Theorem zetacvg 27291

Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zetacvg.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
zetacvg.2	⊢ (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
zetacvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-𝑆))

Assertion

Ref	Expression
zetacvg	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem zetacvg

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12959	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12682	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
5		ovex 7442	. . . . 5 ⊢ (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6982	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
8		zetacvg.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-𝑆))
9		nncn 12298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
10	9	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
11		nnne0 12327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
12	11	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
13		zetacvg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
14	13	negcld 11613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -𝑆 ∈ ℂ)
16	10, 12, 15	cxpefd 26989	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-𝑆) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
17	8, 16	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
18	17	fveq2d 6878	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
19		nnrp 13087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
20	19	relogcld 26900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11294	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
22		mulcl 11241	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
23	14, 21, 22	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
24		absef 16318	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
25	23, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
26		remul 15249	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
27	14, 21, 26	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
28	13	renegd 15329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-𝑆) = -(ℜ‘𝑆))
29	20	rered 15344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (ℜ‘(log‘𝑘)) = (log‘𝑘))
30	28, 29	oveqan12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
31	20	reim0d 15345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (ℑ‘(log‘𝑘)) = 0)
32	31	oveq2d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = ((ℑ‘-𝑆) · 0))
33		imcl 15231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
35	14, 34	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
36	35	mul01d 11466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘-𝑆) · 0) = 0)
37	32, 36	sylan9eqr 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = 0)
38	30, 37	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))) = ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0))
39	13	recld 15314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
40	39	renegcld 11698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
42		mulcl 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
43	41, 21, 42	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
44	43	subid1d 11615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
45	27, 38, 44	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
46	45	fveq2d 6878	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
47	41	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
48	10, 12, 47	cxpefd 26989	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
49	46, 48	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
50	18, 25, 49	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
51	7, 50	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
52	10, 15	cxpcld 26985	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-𝑆) ∈ ℂ)
53	8, 52	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
54		2rp 13080	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
55		1re 11265	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		resubcl 11579	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
57	55, 39, 56	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
58		rpcxpcl 26953	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ) → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
59	54, 57, 58	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
60	59	rpcnd 13121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ)
61		zetacvg.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
62		recl 15230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
64	13, 63	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
65	64	addlidd 11468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + (ℜ‘𝑆)) = (ℜ‘𝑆))
66	61, 65	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (0 + (ℜ‘𝑆)))
67		0re 11267	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
68		ltsubadd 11741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
69	55, 67, 68	mp3an13 1481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
70	39, 69	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
71	66, 70	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) < 0)
72		2re 12372	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
73		1lt2 12470	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
74		cxplt 26971	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) ∧ ((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
75	72, 73, 74	mpanl12 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
76	57, 67, 75	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
77	71, 76	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0))
78	59	rprege0d 13126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))))
79		absid 15416	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
80	78, 79	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
81		2cn 12373	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
82		cxp0 26947	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐0) = 1)
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝑐0) = 1
84	83	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (2↑𝑐0)
85	84	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (2↑𝑐0))
86	77, 80, 85	3brtr4d 5137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) < 1)
87		oveq2 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
88		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))
89		ovex 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) ∈ V
90	87, 88, 89	fvmpt 6982	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
91	90	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
92	60, 86, 91	geolim 15992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))))
93		seqex 14100	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ V
94		ovex 7442	. . . . 5 ⊢ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) ∈ V
95	93, 94	breldm 5887	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
96	92, 95	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
97		rpcxpcl 26953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
98	19, 40, 97	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
99	98	rpred 13119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
100	7, 99	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) ∈ ℝ)
101	98	rpge0d 13123	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
102	101, 7	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
103		nnre 12297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
104	103	lep1d 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
105	19	reeflogd 26901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) = 𝑘)
106		peano2nn 12302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
107	106	nnrpd 13117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
108	107	reeflogd 26901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝑘 + 1))) = (𝑘 + 1))
109	104, 105, 108	3brtr4d 5137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1))))
110	107	relogcld 26900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
111		efle 16239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
112	20, 110, 111	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
113	109, 112	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
114	113	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
115	20	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
116	106	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
117	116	nnrpd 13117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
118	117	relogcld 26900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
119	39	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
120	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
121	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
122		0lt1 11793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
124	120, 121, 39, 123, 61	lttrd 11428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝑆))
125	124	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (ℜ‘𝑆))
126		lemul2 12125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑆))) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
127	115, 118, 119, 125, 126	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
128	114, 127	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
129		remulcl 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
130	39, 20, 129	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
131		remulcl 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
132	39, 110, 131	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
133	130, 132	lenegd 11850	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ↔ -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
134	128, 133	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
135	110	recnd 11294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
136		mulneg1 11707	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
137	64, 135, 136	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
138		mulneg1 11707	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
139	64, 21, 138	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
140	134, 137, 139	3brtr4d 5137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
141		remulcl 11242	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
142	40, 110, 141	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
143		remulcl 11242	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
144	40, 20, 143	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
145		efle 16239	. . . . . . 7 ⊢ (((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
146	142, 144, 145	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
147	140, 146	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
148		oveq1 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
149		ovex 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
150	148, 4, 149	fvmpt 6982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
151	116, 150	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
152	116	nncnd 12306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
153	116	nnne0d 12343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
154	152, 153, 47	cxpefd 26989	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
155	151, 154	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
156	7, 48	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
157	147, 155, 156	3brtr4d 5137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
158	57	recnd 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
159	158	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
160		nn0re 12570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
161	160	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
162	161	recnd 11294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
163	159, 162	mulcomd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚) = (𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆))))
164	163	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))))
165	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
166	165, 161, 159	cxpmuld 27014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))) = ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
167		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
168		cxpexp 26945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
169	81, 167, 168	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
170		ax-1cn 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
171	64	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
172		negsub 11563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
173	170, 171, 172	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
174	173	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) = (1 + -(ℜ‘𝑆)))
175	169, 174	oveq12d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
176	164, 166, 175	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
177	57	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
178	165, 177, 162	cxpmuld 27014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚))
179		2nn 12371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
180		nnexpcl 14171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
181	179, 180	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
182	181	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
183	182	nncnd 12306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
184	182	nnne0d 12343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ≠ 0)
185		1cnd 11259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
186	41	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
187	183, 184, 185, 186	cxpaddd 26994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
188	176, 178, 187	3eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
189		cxpexp 26945	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
190	60, 189	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
191	183	cxp1d 26983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐1) = (2↑𝑚))
192	191	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
193	188, 190, 192	3eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
194	179, 167, 180	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
195		oveq1 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (2↑𝑚) → (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
196		ovex 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
197	195, 4, 196	fvmpt 6982	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝑚) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
198	194, 197	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
199	198	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
200	193, 91, 199	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))))
201	100, 102, 157, 200	climcnds 15973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
202	96, 201	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ )
203	1, 2, 51, 53, 202	abscvgcvg 15939	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5648  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160   · cmul 11162   < clt 11300   ≤ cle 11301   − cmin 11498  -cneg 11499   / cdiv 11928  ℕcn 12290  2c2 12352  ℕ₀cn0 12561  ℝ⁺crp 13075  seqcseq 14098  ↑cexp 14158  ℜcre 15217  ℑcim 15218  abscabs 15354   ⇝ cli 15604  expce 16180  logclog 26831  ↑_𝑐ccxp 26832

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ioc 13436  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-fac 14371  df-bc 14400  df-hash 14428  df-shft 15173  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-ef 16186  df-sin 16188  df-cos 16189  df-pi 16191  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-fbas 21622  df-fg 21623  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cld 23284  df-ntr 23285  df-cls 23286  df-nei 23363  df-lp 23401  df-perf 23402  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-haus 23580  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-fil 24112  df-fm 24204  df-flim 24205  df-flf 24206  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-cncf 25146  df-limc 26133  df-dv 26134  df-log 26833  df-cxp 26834

This theorem is used by:  lgamgulmlem4  27308