MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zetacvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zetacvg 26967
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
zetacvg.2 (๐œ‘ โ†’ 1 < (โ„œโ€˜๐‘†))
zetacvg.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜โ†‘๐‘-๐‘†))
Assertion
Ref Expression
zetacvg (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable groups:   ๐‘†,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12903 . 2 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12631 . 2 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 oveq1 7433 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
4 eqid 2728 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
5 ovex 7459 . . . . 5 (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ V
63, 4, 5fvmpt 7010 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
76adantl 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
8 zetacvg.3 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜โ†‘๐‘-๐‘†))
9 nncn 12258 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
109adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
11 nnne0 12284 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
1211adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
13 zetacvg.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
1413negcld 11596 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐‘† โˆˆ โ„‚)
1514adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ -๐‘† โˆˆ โ„‚)
1610, 12, 15cxpefd 26666 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-๐‘†) = (expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))))
178, 16eqtrd 2768 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))))
1817fveq2d 6906 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜(expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
19 nnrp 13025 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
2019relogcld 26577 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
2120recnd 11280 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
22 mulcl 11230 . . . . . 6 ((-๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2314, 21, 22syl2an 594 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
24 absef 16181 . . . . 5 ((-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
26 remul 15116 . . . . . . . 8 ((-๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))) = (((โ„œโ€˜-๐‘†) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜)))))
2714, 21, 26syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))) = (((โ„œโ€˜-๐‘†) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜)))))
2813renegd 15196 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜-๐‘†) = -(โ„œโ€˜๐‘†))
2920rered 15211 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) = (logโ€˜๐‘˜))
3028, 29oveqan12d 7445 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„œโ€˜-๐‘†) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜))) = (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
3120reim0d 15212 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜)) = 0)
3231oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜))) = ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท 0))
33 imcl 15098 . . . . . . . . . . . 12 (-๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐‘†) โˆˆ โ„)
3433recnd 11280 . . . . . . . . . . 11 (-๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐‘†) โˆˆ โ„‚)
3514, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐‘†) โˆˆ โ„‚)
3635mul01d 11451 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท 0) = 0)
3732, 36sylan9eqr 2790 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜))) = 0)
3830, 37oveq12d 7444 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โ„œโ€˜-๐‘†) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜)))) = ((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆ’ 0))
3913recld 15181 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
4039renegcld 11679 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
4140recnd 11280 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
42 mulcl 11230 . . . . . . . . 9 ((-(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
4341, 21, 42syl2an 594 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
4443subid1d 11598 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆ’ 0) = (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
4527, 38, 443eqtrd 2772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))) = (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
4645fveq2d 6906 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
4741adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
4810, 12, 47cxpefd 26666 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
4946, 48eqtr4d 2771 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
5018, 25, 493eqtrd 2772 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
517, 50eqtr4d 2771 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))
5210, 15cxpcld 26662 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-๐‘†) โˆˆ โ„‚)
538, 52eqeltrd 2829 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
54 2rp 13019 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
55 1re 11252 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
56 resubcl 11562 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
5755, 39, 56sylancr 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
58 rpcxpcl 26630 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„) โ†’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„+)
5954, 57, 58sylancr 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„+)
6059rpcnd 13058 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„‚)
61 zetacvg.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 < (โ„œโ€˜๐‘†))
62 recl 15097 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
6362recnd 11280 . . . . . . . . . . 11 (๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
6413, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
6564addlidd 11453 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 + (โ„œโ€˜๐‘†)) = (โ„œโ€˜๐‘†))
6661, 65breqtrrd 5180 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 < (0 + (โ„œโ€˜๐‘†)))
67 0re 11254 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
68 ltsubadd 11722 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” 1 < (0 + (โ„œโ€˜๐‘†))))
6955, 67, 68mp3an13 1448 . . . . . . . . 9 ((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” 1 < (0 + (โ„œโ€˜๐‘†))))
7039, 69syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” 1 < (0 + (โ„œโ€˜๐‘†))))
7166, 70mpbird 256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0)
72 2re 12324 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
73 1lt2 12421 . . . . . . . . 9 1 < 2
74 cxplt 26648 . . . . . . . . 9 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โˆง ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„)) โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) < (2โ†‘๐‘0)))
7572, 73, 74mpanl12 700 . . . . . . . 8 (((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) < (2โ†‘๐‘0)))
7657, 67, 75sylancl 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) < (2โ†‘๐‘0)))
7771, 76mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) < (2โ†‘๐‘0))
7859rprege0d 13063 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))))
79 absid 15283 . . . . . . 7 (((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) โ†’ (absโ€˜(2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) = (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) = (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))
81 2cn 12325 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
82 cxp0 26624 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2โ†‘๐‘0) = 1)
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2โ†‘๐‘0) = 1
8483eqcomi 2737 . . . . . . 7 1 = (2โ†‘๐‘0)
8584a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 = (2โ†‘๐‘0))
8677, 80, 853brtr4d 5184 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) < 1)
87 oveq2 7434 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
88 eqid 2728 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))
89 ovex 7459 . . . . . . 7 ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š) โˆˆ V
9087, 88, 89fvmpt 7010 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘š) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
9190adantl 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘š) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
9260, 86, 91geolim 15856 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))))
93 seqex 14008 . . . . 5 seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โˆˆ V
94 ovex 7459 . . . . 5 (1 / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))) โˆˆ V
9593, 94breldm 5915 . . . 4 (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
9692, 95syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
97 rpcxpcl 26630 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„+ โˆง -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„+)
9819, 40, 97syl2anr 595 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„+)
9998rpred 13056 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
1007, 99eqeltrd 2829 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
10198rpge0d 13060 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
102101, 7breqtrrd 5180 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜))
103 nnre 12257 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
104103lep1d 12183 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1))
10519reeflogd 26578 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) = ๐‘˜)
106 peano2nn 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
107106nnrpd 13054 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„+)
108107reeflogd 26578 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜ + 1))) = (๐‘˜ + 1))
109104, 105, 1083brtr4d 5184 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜ + 1))))
110107relogcld 26577 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
111 efle 16102 . . . . . . . . . . . 12 (((logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” (expโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
11220, 110, 111syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” (expโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
113109, 112mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))
114113adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))
11520adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
116106adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
117116nnrpd 13054 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„+)
118117relogcld 26577 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
11939adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
12067a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
12155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
122 0lt1 11774 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
124120, 121, 39, 123, 61lttrd 11413 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐‘†))
125124adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐‘†))
126 lemul2 12105 . . . . . . . . . 10 (((logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐‘†))) โ†’ ((logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
127115, 118, 119, 125, 126syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
128114, 127mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))))
129 remulcl 11231 . . . . . . . . . 10 (((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
13039, 20, 129syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
131 remulcl 11231 . . . . . . . . . 10 (((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
13239, 110, 131syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
133130, 132lenegd 11831 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ†” -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
134128, 133mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
135110recnd 11280 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
136 mulneg1 11688 . . . . . . . 8 (((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) = -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))))
13764, 135, 136syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) = -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))))
138 mulneg1 11688 . . . . . . . 8 (((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) = -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
13964, 21, 138syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) = -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
140134, 137, 1393brtr4d 5184 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
141 remulcl 11231 . . . . . . . 8 ((-(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
14240, 110, 141syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
143 remulcl 11231 . . . . . . . 8 ((-(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
14440, 20, 143syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
145 efle 16102 . . . . . . 7 (((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„ โˆง (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„) โ†’ ((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ†” (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ‰ค (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
146142, 144, 145syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ†” (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ‰ค (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
147140, 146mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ‰ค (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
148 oveq1 7433 . . . . . . . 8 (๐‘› = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
149 ovex 7459 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ V
150148, 4, 149fvmpt 7010 . . . . . . 7 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
151116, 150syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
152116nncnd 12266 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
153116nnne0d 12300 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰  0)
154152, 153, 47cxpefd 26666 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
155151, 154eqtrd 2768 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
1567, 48eqtrd 2768 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
157147, 155, 1563brtr4d 5184 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜))
15857recnd 11280 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
159158adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
160 nn0re 12519 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
161160adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
162161recnd 11280 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
163159, 162mulcomd 11273 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) ยท ๐‘š) = (๐‘š ยท (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))
164163oveq2d 7442 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) ยท ๐‘š)) = (2โ†‘๐‘(๐‘š ยท (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))))
16554a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
166165, 161, 159cxpmuld 26691 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘(๐‘š ยท (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) = ((2โ†‘๐‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))
167 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
168 cxpexp 26622 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘๐‘š) = (2โ†‘๐‘š))
16981, 167, 168sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘๐‘š) = (2โ†‘๐‘š))
170 ax-1cn 11204 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
17164adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
172 negsub 11546 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + -(โ„œโ€˜๐‘†)) = (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))
173170, 171, 172sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 + -(โ„œโ€˜๐‘†)) = (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))
174173eqcomd 2734 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) = (1 + -(โ„œโ€˜๐‘†)))
175169, 174oveq12d 7444 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 + -(โ„œโ€˜๐‘†))))
176164, 166, 1753eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) ยท ๐‘š)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 + -(โ„œโ€˜๐‘†))))
17757adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
178165, 177, 162cxpmuld 26691 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) ยท ๐‘š)) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘๐‘š))
179 2nn 12323 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
180 nnexpcl 14079 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
181179, 180mpan 688 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
182181adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
183182nncnd 12266 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚)
184182nnne0d 12300 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โ‰  0)
185 1cnd 11247 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
18641adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
187183, 184, 185, 186cxpaddd 26671 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 + -(โ„œโ€˜๐‘†))) = (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘1) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
188176, 178, 1873eqtr3d 2776 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘๐‘š) = (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘1) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
189 cxpexp 26622 . . . . . . 7 (((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘๐‘š) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
19060, 189sylan 578 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘๐‘š) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
191183cxp1d 26660 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘1) = (2โ†‘๐‘š))
192191oveq1d 7441 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘1) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))) = ((2โ†‘๐‘š) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
193188, 190, 1923eqtr3d 2776 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š) = ((2โ†‘๐‘š) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
194179, 167, 180sylancr 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
195 oveq1 7433 . . . . . . . 8 (๐‘› = (2โ†‘๐‘š) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
196 ovex 7459 . . . . . . . 8 ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ V
197195, 4, 196fvmpt 7010 . . . . . . 7 ((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(2โ†‘๐‘š)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
198194, 197syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(2โ†‘๐‘š)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
199198oveq2d 7442 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(2โ†‘๐‘š))) = ((2โ†‘๐‘š) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
200193, 91, 1993eqtr4d 2778 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘š) = ((2โ†‘๐‘š) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(2โ†‘๐‘š))))
201100, 102, 157, 200climcnds 15837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ ))
20296, 201mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))) โˆˆ dom โ‡ )
2031, 2, 51, 53, 202abscvgcvg 15805 1 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  dom cdm 5682  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482  -cneg 11483   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  2c2 12305  โ„•0cn0 12510  โ„+crp 13014  seqcseq 14006  โ†‘cexp 14066  โ„œcre 15084  โ„‘cim 15085  abscabs 15221   โ‡ cli 15468  expce 16045  logclog 26508  โ†‘๐‘ccxp 26509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-cxp 26511
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  26984
  Copyright terms: Public domain W3C validator