Theorem zetacvg 27058

Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zetacvg.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
zetacvg.2	⊢ (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
zetacvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-𝑆))

Assertion

Ref	Expression
zetacvg	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem zetacvg

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12921	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12648	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
5		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 7016	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
8		zetacvg.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-𝑆))
9		nncn 12274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
10	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
11		nnne0 12300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
13		zetacvg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
14	13	negcld 11607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -𝑆 ∈ ℂ)
16	10, 12, 15	cxpefd 26754	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-𝑆) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
17	8, 16	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
18	17	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
19		nnrp 13046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
20	19	relogcld 26665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
22		mulcl 11239	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
23	14, 21, 22	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
24		absef 16233	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
26		remul 15168	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
27	14, 21, 26	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
28	13	renegd 15248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-𝑆) = -(ℜ‘𝑆))
29	20	rered 15263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (ℜ‘(log‘𝑘)) = (log‘𝑘))
30	28, 29	oveqan12d 7450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
31	20	reim0d 15264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (ℑ‘(log‘𝑘)) = 0)
32	31	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = ((ℑ‘-𝑆) · 0))
33		imcl 15150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
35	14, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
36	35	mul01d 11460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘-𝑆) · 0) = 0)
37	32, 36	sylan9eqr 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = 0)
38	30, 37	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))) = ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0))
39	13	recld 15233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
40	39	renegcld 11690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
42		mulcl 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
43	41, 21, 42	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
44	43	subid1d 11609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
45	27, 38, 44	3eqtrd 2781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
46	45	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
47	41	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
48	10, 12, 47	cxpefd 26754	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
49	46, 48	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
50	18, 25, 49	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
51	7, 50	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
52	10, 15	cxpcld 26750	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-𝑆) ∈ ℂ)
53	8, 52	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
54		2rp 13039	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
55		1re 11261	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		resubcl 11573	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
57	55, 39, 56	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
58		rpcxpcl 26718	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ) → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
59	54, 57, 58	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
60	59	rpcnd 13079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ)
61		zetacvg.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
62		recl 15149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
64	13, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
65	64	addlidd 11462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + (ℜ‘𝑆)) = (ℜ‘𝑆))
66	61, 65	breqtrrd 5171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (0 + (ℜ‘𝑆)))
67		0re 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
68		ltsubadd 11733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
69	55, 67, 68	mp3an13 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
70	39, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
71	66, 70	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) < 0)
72		2re 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
73		1lt2 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
74		cxplt 26736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) ∧ ((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
75	72, 73, 74	mpanl12 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
76	57, 67, 75	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
77	71, 76	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0))
78	59	rprege0d 13084	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))))
79		absid 15335	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
81		2cn 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
82		cxp0 26712	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐0) = 1)
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝑐0) = 1
84	83	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (2↑𝑐0)
85	84	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (2↑𝑐0))
86	77, 80, 85	3brtr4d 5175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) < 1)
87		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
88		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))
89		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) ∈ V
90	87, 88, 89	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
91	90	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
92	60, 86, 91	geolim 15906	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))))
93		seqex 14044	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ V
94		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) ∈ V
95	93, 94	breldm 5919	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
96	92, 95	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
97		rpcxpcl 26718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
98	19, 40, 97	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
99	98	rpred 13077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
100	7, 99	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) ∈ ℝ)
101	98	rpge0d 13081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
102	101, 7	breqtrrd 5171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
103		nnre 12273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
104	103	lep1d 12199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
105	19	reeflogd 26666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) = 𝑘)
106		peano2nn 12278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
107	106	nnrpd 13075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
108	107	reeflogd 26666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝑘 + 1))) = (𝑘 + 1))
109	104, 105, 108	3brtr4d 5175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1))))
110	107	relogcld 26665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
111		efle 16154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
112	20, 110, 111	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
113	109, 112	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
114	113	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
115	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
116	106	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
117	116	nnrpd 13075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
118	117	relogcld 26665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
119	39	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
120	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
121	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
122		0lt1 11785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
124	120, 121, 39, 123, 61	lttrd 11422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝑆))
125	124	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (ℜ‘𝑆))
126		lemul2 12120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑆))) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
127	115, 118, 119, 125, 126	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
128	114, 127	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
129		remulcl 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
130	39, 20, 129	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
131		remulcl 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
132	39, 110, 131	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
133	130, 132	lenegd 11842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ↔ -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
134	128, 133	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
135	110	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
136		mulneg1 11699	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
137	64, 135, 136	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
138		mulneg1 11699	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
139	64, 21, 138	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
140	134, 137, 139	3brtr4d 5175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
141		remulcl 11240	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
142	40, 110, 141	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
143		remulcl 11240	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
144	40, 20, 143	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
145		efle 16154	. . . . . . 7 ⊢ (((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
146	142, 144, 145	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
147	140, 146	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
148		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
149		ovex 7464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
150	148, 4, 149	fvmpt 7016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
151	116, 150	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
152	116	nncnd 12282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
153	116	nnne0d 12316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
154	152, 153, 47	cxpefd 26754	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
155	151, 154	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
156	7, 48	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
157	147, 155, 156	3brtr4d 5175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
158	57	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
159	158	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
160		nn0re 12535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
161	160	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
162	161	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
163	159, 162	mulcomd 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚) = (𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆))))
164	163	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))))
165	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
166	165, 161, 159	cxpmuld 26779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))) = ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
167		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
168		cxpexp 26710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
169	81, 167, 168	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
170		ax-1cn 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
171	64	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
172		negsub 11557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
173	170, 171, 172	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
174	173	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) = (1 + -(ℜ‘𝑆)))
175	169, 174	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
176	164, 166, 175	3eqtrd 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
177	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
178	165, 177, 162	cxpmuld 26779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚))
179		2nn 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
180		nnexpcl 14115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
181	179, 180	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
182	181	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
183	182	nncnd 12282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
184	182	nnne0d 12316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ≠ 0)
185		1cnd 11256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
186	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
187	183, 184, 185, 186	cxpaddd 26759	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
188	176, 178, 187	3eqtr3d 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
189		cxpexp 26710	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
190	60, 189	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
191	183	cxp1d 26748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐1) = (2↑𝑚))
192	191	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
193	188, 190, 192	3eqtr3d 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
194	179, 167, 180	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
195		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (2↑𝑚) → (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
196		ovex 7464	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
197	195, 4, 196	fvmpt 7016	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝑚) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
198	194, 197	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
199	198	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
200	193, 91, 199	3eqtr4d 2787	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))))
201	100, 102, 157, 200	climcnds 15887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
202	96, 201	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ )
203	1, 2, 51, 53, 202	abscvgcvg 15855	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℝ⁺crp 13034  seqcseq 14042  ↑cexp 14102  ℜcre 15136  ℑcim 15137  abscabs 15273   ⇝ cli 15520  expce 16097  logclog 26596  ↑_𝑐ccxp 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  27075