MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zetacvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zetacvg 26897
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
zetacvg.2 (๐œ‘ โ†’ 1 < (โ„œโ€˜๐‘†))
zetacvg.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜โ†‘๐‘-๐‘†))
Assertion
Ref Expression
zetacvg (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable groups:   ๐‘†,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12866 . 2 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12594 . 2 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 oveq1 7411 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
4 eqid 2726 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
5 ovex 7437 . . . . 5 (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ V
63, 4, 5fvmpt 6991 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
76adantl 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
8 zetacvg.3 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜โ†‘๐‘-๐‘†))
9 nncn 12221 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
109adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
11 nnne0 12247 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
13 zetacvg.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
1413negcld 11559 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐‘† โˆˆ โ„‚)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ -๐‘† โˆˆ โ„‚)
1610, 12, 15cxpefd 26596 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-๐‘†) = (expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))))
178, 16eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))))
1817fveq2d 6888 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜(expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
19 nnrp 12988 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
2019relogcld 26507 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
2120recnd 11243 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
22 mulcl 11193 . . . . . 6 ((-๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2314, 21, 22syl2an 595 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
24 absef 16144 . . . . 5 ((-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
26 remul 15079 . . . . . . . 8 ((-๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))) = (((โ„œโ€˜-๐‘†) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜)))))
2714, 21, 26syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))) = (((โ„œโ€˜-๐‘†) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜)))))
2813renegd 15159 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜-๐‘†) = -(โ„œโ€˜๐‘†))
2920rered 15174 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) = (logโ€˜๐‘˜))
3028, 29oveqan12d 7423 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„œโ€˜-๐‘†) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜))) = (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
3120reim0d 15175 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜)) = 0)
3231oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜))) = ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท 0))
33 imcl 15061 . . . . . . . . . . . 12 (-๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐‘†) โˆˆ โ„)
3433recnd 11243 . . . . . . . . . . 11 (-๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐‘†) โˆˆ โ„‚)
3514, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐‘†) โˆˆ โ„‚)
3635mul01d 11414 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท 0) = 0)
3732, 36sylan9eqr 2788 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜))) = 0)
3830, 37oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โ„œโ€˜-๐‘†) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜)))) = ((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆ’ 0))
3913recld 15144 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
4039renegcld 11642 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
4140recnd 11243 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
42 mulcl 11193 . . . . . . . . 9 ((-(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
4341, 21, 42syl2an 595 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
4443subid1d 11561 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆ’ 0) = (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
4527, 38, 443eqtrd 2770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))) = (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
4645fveq2d 6888 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
4741adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
4810, 12, 47cxpefd 26596 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
4946, 48eqtr4d 2769 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
5018, 25, 493eqtrd 2770 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
517, 50eqtr4d 2769 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))
5210, 15cxpcld 26592 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-๐‘†) โˆˆ โ„‚)
538, 52eqeltrd 2827 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
54 2rp 12982 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
55 1re 11215 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
56 resubcl 11525 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
5755, 39, 56sylancr 586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
58 rpcxpcl 26560 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„) โ†’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„+)
5954, 57, 58sylancr 586 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„+)
6059rpcnd 13021 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„‚)
61 zetacvg.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 < (โ„œโ€˜๐‘†))
62 recl 15060 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
6362recnd 11243 . . . . . . . . . . 11 (๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
6413, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
6564addlidd 11416 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 + (โ„œโ€˜๐‘†)) = (โ„œโ€˜๐‘†))
6661, 65breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 < (0 + (โ„œโ€˜๐‘†)))
67 0re 11217 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
68 ltsubadd 11685 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” 1 < (0 + (โ„œโ€˜๐‘†))))
6955, 67, 68mp3an13 1448 . . . . . . . . 9 ((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” 1 < (0 + (โ„œโ€˜๐‘†))))
7039, 69syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” 1 < (0 + (โ„œโ€˜๐‘†))))
7166, 70mpbird 257 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0)
72 2re 12287 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
73 1lt2 12384 . . . . . . . . 9 1 < 2
74 cxplt 26578 . . . . . . . . 9 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โˆง ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„)) โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) < (2โ†‘๐‘0)))
7572, 73, 74mpanl12 699 . . . . . . . 8 (((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) < (2โ†‘๐‘0)))
7657, 67, 75sylancl 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) < (2โ†‘๐‘0)))
7771, 76mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) < (2โ†‘๐‘0))
7859rprege0d 13026 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))))
79 absid 15246 . . . . . . 7 (((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) โ†’ (absโ€˜(2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) = (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) = (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))
81 2cn 12288 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
82 cxp0 26554 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2โ†‘๐‘0) = 1)
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2โ†‘๐‘0) = 1
8483eqcomi 2735 . . . . . . 7 1 = (2โ†‘๐‘0)
8584a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 = (2โ†‘๐‘0))
8677, 80, 853brtr4d 5173 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) < 1)
87 oveq2 7412 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
88 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))
89 ovex 7437 . . . . . . 7 ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š) โˆˆ V
9087, 88, 89fvmpt 6991 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘š) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
9190adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘š) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
9260, 86, 91geolim 15819 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))))
93 seqex 13971 . . . . 5 seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โˆˆ V
94 ovex 7437 . . . . 5 (1 / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))) โˆˆ V
9593, 94breldm 5901 . . . 4 (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
9692, 95syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
97 rpcxpcl 26560 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„+ โˆง -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„+)
9819, 40, 97syl2anr 596 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„+)
9998rpred 13019 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
1007, 99eqeltrd 2827 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
10198rpge0d 13023 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
102101, 7breqtrrd 5169 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜))
103 nnre 12220 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
104103lep1d 12146 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1))
10519reeflogd 26508 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) = ๐‘˜)
106 peano2nn 12225 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
107106nnrpd 13017 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„+)
108107reeflogd 26508 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜ + 1))) = (๐‘˜ + 1))
109104, 105, 1083brtr4d 5173 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜ + 1))))
110107relogcld 26507 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
111 efle 16065 . . . . . . . . . . . 12 (((logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” (expโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
11220, 110, 111syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” (expโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
113109, 112mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))
114113adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))
11520adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
116106adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
117116nnrpd 13017 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„+)
118117relogcld 26507 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
11939adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
12067a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
12155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
122 0lt1 11737 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
124120, 121, 39, 123, 61lttrd 11376 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐‘†))
125124adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐‘†))
126 lemul2 12068 . . . . . . . . . 10 (((logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐‘†))) โ†’ ((logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
127115, 118, 119, 125, 126syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
128114, 127mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))))
129 remulcl 11194 . . . . . . . . . 10 (((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
13039, 20, 129syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
131 remulcl 11194 . . . . . . . . . 10 (((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
13239, 110, 131syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
133130, 132lenegd 11794 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ†” -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
134128, 133mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
135110recnd 11243 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
136 mulneg1 11651 . . . . . . . 8 (((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) = -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))))
13764, 135, 136syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) = -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))))
138 mulneg1 11651 . . . . . . . 8 (((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) = -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
13964, 21, 138syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) = -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
140134, 137, 1393brtr4d 5173 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
141 remulcl 11194 . . . . . . . 8 ((-(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
14240, 110, 141syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
143 remulcl 11194 . . . . . . . 8 ((-(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
14440, 20, 143syl2an 595 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
145 efle 16065 . . . . . . 7 (((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„ โˆง (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„) โ†’ ((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ†” (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ‰ค (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
146142, 144, 145syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ†” (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ‰ค (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
147140, 146mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ‰ค (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
148 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (๐‘› = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
149 ovex 7437 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ V
150148, 4, 149fvmpt 6991 . . . . . . 7 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
151116, 150syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
152116nncnd 12229 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
153116nnne0d 12263 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰  0)
154152, 153, 47cxpefd 26596 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
155151, 154eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
1567, 48eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
157147, 155, 1563brtr4d 5173 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜))
15857recnd 11243 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
159158adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
160 nn0re 12482 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
161160adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
162161recnd 11243 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
163159, 162mulcomd 11236 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) ยท ๐‘š) = (๐‘š ยท (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))
164163oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) ยท ๐‘š)) = (2โ†‘๐‘(๐‘š ยท (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))))
16554a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
166165, 161, 159cxpmuld 26621 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘(๐‘š ยท (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) = ((2โ†‘๐‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))
167 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
168 cxpexp 26552 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘๐‘š) = (2โ†‘๐‘š))
16981, 167, 168sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘๐‘š) = (2โ†‘๐‘š))
170 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
17164adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
172 negsub 11509 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + -(โ„œโ€˜๐‘†)) = (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))
173170, 171, 172sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 + -(โ„œโ€˜๐‘†)) = (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))
174173eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) = (1 + -(โ„œโ€˜๐‘†)))
175169, 174oveq12d 7422 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 + -(โ„œโ€˜๐‘†))))
176164, 166, 1753eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) ยท ๐‘š)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 + -(โ„œโ€˜๐‘†))))
17757adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
178165, 177, 162cxpmuld 26621 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) ยท ๐‘š)) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘๐‘š))
179 2nn 12286 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
180 nnexpcl 14042 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
181179, 180mpan 687 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
182181adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
183182nncnd 12229 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚)
184182nnne0d 12263 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โ‰  0)
185 1cnd 11210 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
18641adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
187183, 184, 185, 186cxpaddd 26601 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 + -(โ„œโ€˜๐‘†))) = (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘1) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
188176, 178, 1873eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘๐‘š) = (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘1) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
189 cxpexp 26552 . . . . . . 7 (((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘๐‘š) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
19060, 189sylan 579 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘๐‘š) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
191183cxp1d 26590 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘1) = (2โ†‘๐‘š))
192191oveq1d 7419 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘1) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))) = ((2โ†‘๐‘š) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
193188, 190, 1923eqtr3d 2774 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š) = ((2โ†‘๐‘š) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
194179, 167, 180sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
195 oveq1 7411 . . . . . . . 8 (๐‘› = (2โ†‘๐‘š) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
196 ovex 7437 . . . . . . . 8 ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ V
197195, 4, 196fvmpt 6991 . . . . . . 7 ((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(2โ†‘๐‘š)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
198194, 197syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(2โ†‘๐‘š)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
199198oveq2d 7420 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(2โ†‘๐‘š))) = ((2โ†‘๐‘š) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
200193, 91, 1993eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘š) = ((2โ†‘๐‘š) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(2โ†‘๐‘š))))
201100, 102, 157, 200climcnds 15800 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ ))
20296, 201mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))) โˆˆ dom โ‡ )
2031, 2, 51, 53, 202abscvgcvg 15768 1 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  2c2 12268  โ„•0cn0 12473  โ„+crp 12977  seqcseq 13969  โ†‘cexp 14029  โ„œcre 15047  โ„‘cim 15048  abscabs 15184   โ‡ cli 15431  expce 16008  logclog 26438  โ†‘๐‘ccxp 26439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-log 26440  df-cxp 26441
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  26914
  Copyright terms: Public domain W3C validator