MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zetacvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zetacvg 26364
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
zetacvg.2 (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
zetacvg.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝑘𝑐-𝑆))
Assertion
Ref Expression
zetacvg (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12806 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12534 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
4 eqid 2736 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))
5 ovex 7390 . . . . 5 (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6948 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
76adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
8 zetacvg.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝑘𝑐-𝑆))
9 nncn 12161 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
109adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
11 nnne0 12187 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
1211adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
13 zetacvg.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
1413negcld 11499 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -𝑆 ∈ ℂ)
1610, 12, 15cxpefd 26067 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-𝑆) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
178, 16eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
1817fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
19 nnrp 12926 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
2019relogcld 25978 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
2120recnd 11183 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
22 mulcl 11135 . . . . . 6 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
2314, 21, 22syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
24 absef 16079 . . . . 5 ((-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
26 remul 15014 . . . . . . . 8 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
2714, 21, 26syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
2813renegd 15094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℜ‘-𝑆) = -(ℜ‘𝑆))
2920rered 15109 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (ℜ‘(log‘𝑘)) = (log‘𝑘))
3028, 29oveqan12d 7376 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
3120reim0d 15110 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (ℑ‘(log‘𝑘)) = 0)
3231oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = ((ℑ‘-𝑆) · 0))
33 imcl 14996 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℝ)
3433recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
3514, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
3635mul01d 11354 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℑ‘-𝑆) · 0) = 0)
3732, 36sylan9eqr 2798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = 0)
3830, 37oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))) = ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0))
3913recld 15079 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
4039renegcld 11582 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
4140recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
42 mulcl 11135 . . . . . . . . 9 ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
4341, 21, 42syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
4443subid1d 11501 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
4527, 38, 443eqtrd 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
4645fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
4741adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
4810, 12, 47cxpefd 26067 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
4946, 48eqtr4d 2779 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
5018, 25, 493eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
517, 50eqtr4d 2779 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5210, 15cxpcld 26063 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-𝑆) ∈ ℂ)
538, 52eqeltrd 2838 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
54 2rp 12920 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
55 1re 11155 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
56 resubcl 11465 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
5755, 39, 56sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
58 rpcxpcl 26031 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ) → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
5954, 57, 58sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
6059rpcnd 12959 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ)
61 zetacvg.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
62 recl 14995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
6362recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
6413, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
6564addid2d 11356 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + (ℜ‘𝑆)) = (ℜ‘𝑆))
6661, 65breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (0 + (ℜ‘𝑆)))
67 0re 11157 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
68 ltsubadd 11625 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
6955, 67, 68mp3an13 1452 . . . . . . . . 9 ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
7039, 69syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
7166, 70mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) < 0)
72 2re 12227 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
73 1lt2 12324 . . . . . . . . 9 1 < 2
74 cxplt 26049 . . . . . . . . 9 (((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) ∧ ((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
7572, 73, 74mpanl12 700 . . . . . . . 8 (((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
7657, 67, 75sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
7771, 76mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0))
7859rprege0d 12964 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))))
79 absid 15181 . . . . . . 7 (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
81 2cn 12228 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
82 cxp0 26025 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐0) = 1)
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑𝑐0) = 1
8483eqcomi 2745 . . . . . . 7 1 = (2↑𝑐0)
8584a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 = (2↑𝑐0))
8677, 80, 853brtr4d 5137 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) < 1)
87 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
88 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))
89 ovex 7390 . . . . . . 7 ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) ∈ V
9087, 88, 89fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
9190adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
9260, 86, 91geolim 15755 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))))
93 seqex 13908 . . . . 5 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ V
94 ovex 7390 . . . . 5 (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) ∈ V
9593, 94breldm 5864 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
9692, 95syl 17 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
97 rpcxpcl 26031 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
9819, 40, 97syl2anr 597 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
9998rpred 12957 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
1007, 99eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) ∈ ℝ)
10198rpge0d 12961 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
102101, 7breqtrrd 5133 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
103 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
104103lep1d 12086 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
10519reeflogd 25979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) = 𝑘)
106 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
107106nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
108107reeflogd 25979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝑘 + 1))) = (𝑘 + 1))
109104, 105, 1083brtr4d 5137 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1))))
110107relogcld 25978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
111 efle 16000 . . . . . . . . . . . 12 (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
11220, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
113109, 112mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
114113adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
11520adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
116106adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
117116nnrpd 12955 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
118117relogcld 25978 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
11939adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
12067a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
122 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
124120, 121, 39, 123, 61lttrd 11316 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝑆))
125124adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (ℜ‘𝑆))
126 lemul2 12008 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑆))) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
127115, 118, 119, 125, 126syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
128114, 127mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
129 remulcl 11136 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
13039, 20, 129syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
131 remulcl 11136 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
13239, 110, 131syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
133130, 132lenegd 11734 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ↔ -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
134128, 133mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
135110recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
136 mulneg1 11591 . . . . . . . 8 (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
13764, 135, 136syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
138 mulneg1 11591 . . . . . . . 8 (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
13964, 21, 138syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
140134, 137, 1393brtr4d 5137 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
141 remulcl 11136 . . . . . . . 8 ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
14240, 110, 141syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
143 remulcl 11136 . . . . . . . 8 ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
14440, 20, 143syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
145 efle 16000 . . . . . . 7 (((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
146142, 144, 145syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
147140, 146mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
148 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
149 ovex 7390 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
150148, 4, 149fvmpt 6948 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
151116, 150syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
152116nncnd 12169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
153116nnne0d 12203 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
154152, 153, 47cxpefd 26067 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
155151, 154eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
1567, 48eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
157147, 155, 1563brtr4d 5137 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
15857recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
159158adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
160 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
161160adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
162161recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
163159, 162mulcomd 11176 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚) = (𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆))))
164163oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))))
16554a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
166165, 161, 159cxpmuld 26091 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))) = ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
167 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
168 cxpexp 26023 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
16981, 167, 168sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
170 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
17164adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
172 negsub 11449 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
173170, 171, 172sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
174173eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) = (1 + -(ℜ‘𝑆)))
175169, 174oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
176164, 166, 1753eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
17757adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
178165, 177, 162cxpmuld 26091 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚))
179 2nn 12226 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
180 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
181179, 180mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
182181adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
183182nncnd 12169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
184182nnne0d 12203 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ≠ 0)
185 1cnd 11150 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
18641adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
187183, 184, 185, 186cxpaddd 26072 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
188176, 178, 1873eqtr3d 2784 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
189 cxpexp 26023 . . . . . . 7 (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
19060, 189sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
191183cxp1d 26061 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐1) = (2↑𝑚))
192191oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
193188, 190, 1923eqtr3d 2784 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
194179, 167, 180sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
195 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑛 = (2↑𝑚) → (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
196 ovex 7390 . . . . . . . 8 ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
197195, 4, 196fvmpt 6948 . . . . . . 7 ((2↑𝑚) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
198194, 197syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
199198oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
200193, 91, 1993eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))))
201100, 102, 157, 200climcnds 15736 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
20296, 201mpbird 256 . 2 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ )
2031, 2, 51, 53, 202abscvgcvg 15704 1 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  +crp 12915  seqcseq 13906  cexp 13967  cre 14982  cim 14983  abscabs 15119  cli 15366  expce 15944  logclog 25910  𝑐ccxp 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  26381
  Copyright terms: Public domain W3C validator