Theorem zetacvg 27342

Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zetacvg.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
zetacvg.2	⊢ (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
zetacvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝑘↑𝑐 -𝑆))

Assertion

Ref	Expression
zetacvg	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem zetacvg

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 13004	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12727	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)) = (𝑘↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
5		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑘↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
8		zetacvg.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝑘↑𝑐 -𝑆))
9		nncn 12343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
10	9	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
11		nnne0 12372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
12	11	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
13		zetacvg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
14	13	negcld 11656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -𝑆 ∈ ℂ)
16	10, 12, 15	cxpefd 27040	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐 -𝑆) = (exp‘( -𝑆 · (log‘𝑘))))
17	8, 16	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (exp‘( -𝑆 · (log‘𝑘))))
18	17	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(exp‘( -𝑆 · (log‘𝑘)))))
19		nnrp 13132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
20	19	relogcld 26951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
22		mulcl 11284	. . . . . 6 ⊢ (( -𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → ( -𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
23	14, 21, 22	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ( -𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
24		absef 16365	. . . . 5 ⊢ (( -𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘( -𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘( -𝑆 · (log‘𝑘)))))
25	23, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(exp‘( -𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘( -𝑆 · (log‘𝑘)))))
26		remul 15296	. . . . . . . 8 ⊢ (( -𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (ℜ‘( -𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘ -𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘ -𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
27	14, 21, 26	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘( -𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘ -𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘ -𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
28	13	renegd 15376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘ -𝑆) = -(ℜ‘𝑆))
29	20	rered 15391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (ℜ‘(log‘𝑘)) = (log‘𝑘))
30	28, 29	oveqan12d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘ -𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) = ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
31	20	reim0d 15392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (ℑ‘(log‘𝑘)) = 0)
32	31	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((ℑ‘ -𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = ((ℑ‘ -𝑆) · 0))
33		imcl 15278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( -𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘ -𝑆) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘ -𝑆) ∈ ℂ)
35	14, 34	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘ -𝑆) ∈ ℂ)
36	35	mul01d 11509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘ -𝑆) · 0) = 0)
37	32, 36	sylan9eqr 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℑ‘ -𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = 0)
38	30, 37	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘ -𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘ -𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))) = (( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0))
39	13	recld 15361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
40	39	renegcld 11743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
42		mulcl 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
43	41, 21, 42	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
44	43	subid1d 11658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0) = ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
45	27, 38, 44	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘( -𝑆 · (log‘𝑘))) = ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
46	45	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘( -𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
47	41	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
48	10, 12, 47	cxpefd 27040	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)) = (exp‘( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
49	46, 48	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘( -𝑆 · (log‘𝑘)))) = (𝑘↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
50	18, 25, 49	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (𝑘↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
51	7, 50	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
52	10, 15	cxpcld 27036	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐 -𝑆) ∈ ℂ)
53	8, 52	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
54		2rp 13125	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
55		1re 11308	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		resubcl 11622	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
57	55, 39, 56	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
58		rpcxpcl 27004	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ) → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
59	54, 57, 58	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
60	59	rpcnd 13166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ)
61		zetacvg.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
62		recl 15277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
64	13, 63	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
65	64	addlidd 11511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + (ℜ‘𝑆)) = (ℜ‘𝑆))
66	61, 65	breqtrrd 5132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (0 + (ℜ‘𝑆)))
67		0re 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
68		ltsubadd 11786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
69	55, 67, 68	mp3an13 1481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
70	39, 69	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
71	66, 70	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) < 0)
72		2re 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
73		1lt2 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
74		cxplt 27022	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) ∧ ((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
75	72, 73, 74	mpanl12 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
76	57, 67, 75	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
77	71, 76	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0))
78	59	rprege0d 13171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))))
79		absid 15463	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
80	78, 79	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
81		2cn 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
82		cxp0 26998	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐0) = 1)
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝑐0) = 1
84	83	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (2↑𝑐0)
85	84	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (2↑𝑐0))
86	77, 80, 85	3brtr4d 5136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) < 1)
87		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
88		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))
89		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) ∈ V
90	87, 88, 89	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
91	90	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
92	60, 86, 91	geolim 16039	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))))
93		seqex 14146	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ V
94		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) ∈ V
95	93, 94	breldm 5889	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
96	92, 95	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
97		rpcxpcl 27004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (𝑘↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
98	19, 40, 97	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
99	98	rpred 13164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
100	7, 99	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) ∈ ℝ)
101	98	rpge0d 13168	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑘↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
102	101, 7	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
103		nnre 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
104	103	lep1d 12248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
105	19	reeflogd 26952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) = 𝑘)
106		peano2nn 12347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
107	106	nnrpd 13162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
108	107	reeflogd 26952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝑘 + 1))) = (𝑘 + 1))
109	104, 105, 108	3brtr4d 5136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1))))
110	107	relogcld 26951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
111		efle 16286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
112	20, 110, 111	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
113	109, 112	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
114	113	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
115	20	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
116	106	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
117	116	nnrpd 13162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
118	117	relogcld 26951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
119	39	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
120	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
121	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
122		0lt1 11838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
124	120, 121, 39, 123, 61	lttrd 11471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝑆))
125	124	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (ℜ‘𝑆))
126		lemul2 12170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑆))) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
127	115, 118, 119, 125, 126	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
128	114, 127	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
129		remulcl 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
130	39, 20, 129	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
131		remulcl 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
132	39, 110, 131	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
133	130, 132	lenegd 11895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ↔ -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
134	128, 133	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
135	110	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
136		mulneg1 11752	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) → ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
137	64, 135, 136	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
138		mulneg1 11752	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
139	64, 21, 138	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
140	134, 137, 139	3brtr4d 5136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
141		remulcl 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (( -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
142	40, 110, 141	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
143		remulcl 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (( -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
144	40, 20, 143	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
145		efle 16286	. . . . . . 7 ⊢ ((( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ) → (( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
146	142, 144, 145	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ ( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
147	140, 146	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
148		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
149		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)) ∈ V
150	148, 4, 149	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
151	116, 150	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
152	116	nncnd 12351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
153	116	nnne0d 12388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
154	152, 153, 47	cxpefd 27040	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)) = (exp‘( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
155	151, 154	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = (exp‘( -(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
156	7, 48	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (exp‘( -(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
157	147, 155, 156	3brtr4d 5136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
158	57	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
159	158	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
160		nn0re 12615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
161	160	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
162	161	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
163	159, 162	mulcomd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚) = (𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆))))
164	163	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))))
165	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
166	165, 161, 159	cxpmuld 27065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))) = ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
167		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
168		cxpexp 26996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
169	81, 167, 168	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
170		ax-1cn 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
171	64	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
172		negsub 11606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
173	170, 171, 172	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
174	173	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) = (1 + -(ℜ‘𝑆)))
175	169, 174	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
176	164, 166, 175	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
177	57	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
178	165, 177, 162	cxpmuld 27065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚))
179		2nn 12416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
180		nnexpcl 14217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
181	179, 180	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
182	181	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
183	182	nncnd 12351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
184	182	nnne0d 12388	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ≠ 0)
185		1cnd 11302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
186	41	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
187	183, 184, 185, 186	cxpaddd 27045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆))))
188	176, 178, 187	3eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆))))
189		cxpexp 26996	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
190	60, 189	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
191	183	cxp1d 27034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐1) = (2↑𝑚))
192	191	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆))))
193	188, 190, 192	3eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆))))
194	179, 167, 180	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
195		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (2↑𝑚) → (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)) = ((2↑𝑚)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
196		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑𝑚)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)) ∈ V
197	195, 4, 196	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝑚) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
198	194, 197	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))
199	198	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐 -(ℜ‘𝑆))))
200	193, 91, 199	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))))
201	100, 102, 157, 200	climcnds 16020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
202	96, 201	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐 -(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ )
203	1, 2, 51, 53, 202	abscvgcvg 15986	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℝ⁺crp 13120  seqcseq 14144  ↑cexp 14204  ℜcre 15264  ℑcim 15265  abscabs 15401   ⇝ cli 15651  expce 16227  logclog 26882  ↑_𝑐ccxp 26883

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885

This theorem is used by:  lgamgulmlem4  27359