Theorem zetacvg 26923

Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zetacvg.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
zetacvg.2	⊢ (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
zetacvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-𝑆))

Assertion

Ref	Expression
zetacvg	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem zetacvg

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12778	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12506	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		oveq1 7356	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
5		ovex 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6930	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
8		zetacvg.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-𝑆))
9		nncn 12136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
10	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
11		nnne0 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
13		zetacvg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
14	13	negcld 11462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -𝑆 ∈ ℂ)
16	10, 12, 15	cxpefd 26619	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-𝑆) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
17	8, 16	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
18	17	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
19		nnrp 12905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
20	19	relogcld 26530	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
22		mulcl 11093	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
23	14, 21, 22	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
24		absef 16106	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
26		remul 15036	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
27	14, 21, 26	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
28	13	renegd 15116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-𝑆) = -(ℜ‘𝑆))
29	20	rered 15131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (ℜ‘(log‘𝑘)) = (log‘𝑘))
30	28, 29	oveqan12d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
31	20	reim0d 15132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (ℑ‘(log‘𝑘)) = 0)
32	31	oveq2d 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = ((ℑ‘-𝑆) · 0))
33		imcl 15018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
35	14, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
36	35	mul01d 11315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘-𝑆) · 0) = 0)
37	32, 36	sylan9eqr 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = 0)
38	30, 37	oveq12d 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))) = ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0))
39	13	recld 15101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
40	39	renegcld 11547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
42		mulcl 11093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
43	41, 21, 42	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
44	43	subid1d 11464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
45	27, 38, 44	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
46	45	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
47	41	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
48	10, 12, 47	cxpefd 26619	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
49	46, 48	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
50	18, 25, 49	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
51	7, 50	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
52	10, 15	cxpcld 26615	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-𝑆) ∈ ℂ)
53	8, 52	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
54		2rp 12898	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
55		1re 11115	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		resubcl 11428	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
57	55, 39, 56	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
58		rpcxpcl 26583	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ) → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
59	54, 57, 58	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
60	59	rpcnd 12939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ)
61		zetacvg.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
62		recl 15017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
64	13, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
65	64	addlidd 11317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + (ℜ‘𝑆)) = (ℜ‘𝑆))
66	61, 65	breqtrrd 5120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (0 + (ℜ‘𝑆)))
67		0re 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
68		ltsubadd 11590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
69	55, 67, 68	mp3an13 1454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
70	39, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
71	66, 70	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) < 0)
72		2re 12202	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
73		1lt2 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
74		cxplt 26601	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) ∧ ((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
75	72, 73, 74	mpanl12 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
76	57, 67, 75	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
77	71, 76	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0))
78	59	rprege0d 12944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))))
79		absid 15203	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
80	78, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
81		2cn 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
82		cxp0 26577	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐0) = 1)
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝑐0) = 1
84	83	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (2↑𝑐0)
85	84	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (2↑𝑐0))
86	77, 80, 85	3brtr4d 5124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) < 1)
87		oveq2 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
88		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))
89		ovex 7382	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) ∈ V
90	87, 88, 89	fvmpt 6930	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
91	90	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
92	60, 86, 91	geolim 15777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))))
93		seqex 13910	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ V
94		ovex 7382	. . . . 5 ⊢ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) ∈ V
95	93, 94	breldm 5851	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
96	92, 95	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
97		rpcxpcl 26583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
98	19, 40, 97	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
99	98	rpred 12937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
100	7, 99	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) ∈ ℝ)
101	98	rpge0d 12941	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
102	101, 7	breqtrrd 5120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
103		nnre 12135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
104	103	lep1d 12056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
105	19	reeflogd 26531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) = 𝑘)
106		peano2nn 12140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
107	106	nnrpd 12935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
108	107	reeflogd 26531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝑘 + 1))) = (𝑘 + 1))
109	104, 105, 108	3brtr4d 5124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1))))
110	107	relogcld 26530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
111		efle 16027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
112	20, 110, 111	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
113	109, 112	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
114	113	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
115	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
116	106	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
117	116	nnrpd 12935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
118	117	relogcld 26530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
119	39	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
120	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
121	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
122		0lt1 11642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
124	120, 121, 39, 123, 61	lttrd 11277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝑆))
125	124	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (ℜ‘𝑆))
126		lemul2 11977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑆))) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
127	115, 118, 119, 125, 126	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
128	114, 127	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
129		remulcl 11094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
130	39, 20, 129	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
131		remulcl 11094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
132	39, 110, 131	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
133	130, 132	lenegd 11699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ↔ -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
134	128, 133	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
135	110	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
136		mulneg1 11556	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
137	64, 135, 136	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
138		mulneg1 11556	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
139	64, 21, 138	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
140	134, 137, 139	3brtr4d 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
141		remulcl 11094	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
142	40, 110, 141	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
143		remulcl 11094	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
144	40, 20, 143	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
145		efle 16027	. . . . . . 7 ⊢ (((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
146	142, 144, 145	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
147	140, 146	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
148		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
149		ovex 7382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
150	148, 4, 149	fvmpt 6930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
151	116, 150	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
152	116	nncnd 12144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
153	116	nnne0d 12178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
154	152, 153, 47	cxpefd 26619	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
155	151, 154	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
156	7, 48	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
157	147, 155, 156	3brtr4d 5124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
158	57	recnd 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
159	158	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
160		nn0re 12393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
161	160	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
162	161	recnd 11143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
163	159, 162	mulcomd 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚) = (𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆))))
164	163	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))))
165	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
166	165, 161, 159	cxpmuld 26644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))) = ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
167		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
168		cxpexp 26575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
169	81, 167, 168	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
170		ax-1cn 11067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
171	64	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
172		negsub 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
173	170, 171, 172	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
174	173	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) = (1 + -(ℜ‘𝑆)))
175	169, 174	oveq12d 7367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
176	164, 166, 175	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
177	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
178	165, 177, 162	cxpmuld 26644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚))
179		2nn 12201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
180		nnexpcl 13981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
181	179, 180	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
182	181	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
183	182	nncnd 12144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
184	182	nnne0d 12178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ≠ 0)
185		1cnd 11110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
186	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
187	183, 184, 185, 186	cxpaddd 26624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
188	176, 178, 187	3eqtr3d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
189		cxpexp 26575	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
190	60, 189	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
191	183	cxp1d 26613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐1) = (2↑𝑚))
192	191	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
193	188, 190, 192	3eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
194	179, 167, 180	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
195		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (2↑𝑚) → (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
196		ovex 7382	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
197	195, 4, 196	fvmpt 6930	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝑚) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
198	194, 197	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
199	198	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
200	193, 91, 199	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))))
201	100, 102, 157, 200	climcnds 15758	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
202	96, 201	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ )
203	1, 2, 51, 53, 202	abscvgcvg 15726	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  -cneg 11348   / cdiv 11777  ℕcn 12128  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ℝ⁺crp 12893  seqcseq 13908  ↑cexp 13968  ℜcre 15004  ℑcim 15005  abscabs 15141   ⇝ cli 15391  expce 15968  logclog 26461  ↑_𝑐ccxp 26462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766  df-log 26463  df-cxp 26464

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  26940