Theorem zetacvg 27145

Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zetacvg.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
zetacvg.2	⊢ (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
zetacvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-𝑆))

Assertion

Ref	Expression
zetacvg	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem zetacvg

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12901	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12625	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
5		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6990	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
7	6	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
8		zetacvg.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝑘↑𝑐-𝑆))
9		nncn 12241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
10	9	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
11		nnne0 12270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
12	11	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
13		zetacvg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
14	13	negcld 11556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -𝑆 ∈ ℂ)
16	10, 12, 15	cxpefd 26843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-𝑆) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
17	8, 16	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
18	17	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
19		nnrp 13028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
20	19	relogcld 26754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11237	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
22		mulcl 11184	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
23	14, 21, 22	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
24		absef 16253	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
25	23, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
26		remul 15180	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
27	14, 21, 26	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
28	13	renegd 15260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘-𝑆) = -(ℜ‘𝑆))
29	20	rered 15275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (ℜ‘(log‘𝑘)) = (log‘𝑘))
30	28, 29	oveqan12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
31	20	reim0d 15276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (ℑ‘(log‘𝑘)) = 0)
32	31	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = ((ℑ‘-𝑆) · 0))
33		imcl 15162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
35	14, 34	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
36	35	mul01d 11409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘-𝑆) · 0) = 0)
37	32, 36	sylan9eqr 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = 0)
38	30, 37	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))) = ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0))
39	13	recld 15245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
40	39	renegcld 11641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
42		mulcl 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
43	41, 21, 42	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
44	43	subid1d 11558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
45	27, 38, 44	3eqtrd 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
46	45	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
47	41	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
48	10, 12, 47	cxpefd 26843	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
49	46, 48	eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
50	18, 25, 49	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
51	7, 50	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
52	10, 15	cxpcld 26839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-𝑆) ∈ ℂ)
53	8, 52	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
54		2rp 13021	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
55		1re 11208	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		resubcl 11522	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
57	55, 39, 56	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
58		rpcxpcl 26807	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ) → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
59	54, 57, 58	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
60	59	rpcnd 13062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ)
61		zetacvg.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
62		recl 15161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
64	13, 63	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
65	64	addlidd 11411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + (ℜ‘𝑆)) = (ℜ‘𝑆))
66	61, 65	breqtrrd 5141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (0 + (ℜ‘𝑆)))
67		0re 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
68		ltsubadd 11684	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
69	55, 67, 68	mp3an13 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
70	39, 69	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
71	66, 70	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) < 0)
72		2re 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
73		1lt2 12413	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
74		cxplt 26825	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) ∧ ((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
75	72, 73, 74	mpanl12 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
76	57, 67, 75	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
77	71, 76	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0))
78	59	rprege0d 13067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))))
79		absid 15347	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
80	78, 79	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
81		2cn 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
82		cxp0 26801	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐0) = 1)
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝑐0) = 1
84	83	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (2↑𝑐0)
85	84	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (2↑𝑐0))
86	77, 80, 85	3brtr4d 5145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) < 1)
87		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
88		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))
89		ovex 7444	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) ∈ V
90	87, 88, 89	fvmpt 6990	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
91	90	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
92	60, 86, 91	geolim 15924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))))
93		seqex 14039	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ V
94		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) ∈ V
95	93, 94	breldm 5899	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
96	92, 95	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
97		rpcxpcl 26807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
98	19, 40, 97	syl2anr 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
99	98	rpred 13060	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
100	7, 99	eqeltrd 2869	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) ∈ ℝ)
101	98	rpge0d 13064	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑘↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
102	101, 7	breqtrrd 5141	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
103		nnre 12240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
104	103	lep1d 12146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
105	19	reeflogd 26755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) = 𝑘)
106		peano2nn 12245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
107	106	nnrpd 13058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
108	107	reeflogd 26755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝑘 + 1))) = (𝑘 + 1))
109	104, 105, 108	3brtr4d 5145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1))))
110	107	relogcld 26754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
111		efle 16174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
112	20, 110, 111	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
113	109, 112	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
114	113	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
115	20	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
116	106	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
117	116	nnrpd 13058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
118	117	relogcld 26754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
119	39	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
120	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
121	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
122		0lt1 11736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
124	120, 121, 39, 123, 61	lttrd 11371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝑆))
125	124	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (ℜ‘𝑆))
126		lemul2 12068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑆))) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
127	115, 118, 119, 125, 126	syl112anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
128	114, 127	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
129		remulcl 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
130	39, 20, 129	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
131		remulcl 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
132	39, 110, 131	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
133	130, 132	lenegd 11793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ↔ -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
134	128, 133	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
135	110	recnd 11237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
136		mulneg1 11650	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
137	64, 135, 136	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
138		mulneg1 11650	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
139	64, 21, 138	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
140	134, 137, 139	3brtr4d 5145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
141		remulcl 11185	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
142	40, 110, 141	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
143		remulcl 11185	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
144	40, 20, 143	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
145		efle 16174	. . . . . . 7 ⊢ (((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
146	142, 144, 145	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
147	140, 146	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
148		oveq1 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
149		ovex 7444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
150	148, 4, 149	fvmpt 6990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
151	116, 150	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
152	116	nncnd 12249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
153	116	nnne0d 12286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
154	152, 153, 47	cxpefd 26843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
155	151, 154	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
156	7, 48	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
157	147, 155, 156	3brtr4d 5145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
158	57	recnd 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
159	158	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
160		nn0re 12513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
161	160	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
162	161	recnd 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
163	159, 162	mulcomd 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚) = (𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆))))
164	163	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))))
165	54	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
166	165, 161, 159	cxpmuld 26868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))) = ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
167		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
168		cxpexp 26799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
169	81, 167, 168	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
170		ax-1cn 11158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
171	64	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
172		negsub 11506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
173	170, 171, 172	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
174	173	eqcomd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) = (1 + -(ℜ‘𝑆)))
175	169, 174	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
176	164, 166, 175	3eqtrd 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
177	57	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
178	165, 177, 162	cxpmuld 26868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚))
179		2nn 12314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
180		nnexpcl 14110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
181	179, 180	mpan 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
182	181	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
183	182	nncnd 12249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
184	182	nnne0d 12286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ≠ 0)
185		1cnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
186	41	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
187	183, 184, 185, 186	cxpaddd 26848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
188	176, 178, 187	3eqtr3d 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
189		cxpexp 26799	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
190	60, 189	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
191	183	cxp1d 26837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐1) = (2↑𝑚))
192	191	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
193	188, 190, 192	3eqtr3d 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
194	179, 167, 180	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
195		oveq1 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (2↑𝑚) → (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
196		ovex 7444	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
197	195, 4, 196	fvmpt 6990	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑𝑚) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
198	194, 197	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
199	198	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
200	193, 91, 199	3eqtr4d 2814	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))))
201	100, 102, 157, 200	climcnds 15905	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
202	96, 201	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ )
203	1, 2, 51, 53, 202	abscvgcvg 15871	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11871  ℕcn 12233  2c2 12295  ℕ₀cn0 12504  ℝ⁺crp 13016  seqcseq 14037  ↑cexp 14097  ℜcre 15148  ℑcim 15149  abscabs 15285   ⇝ cli 15535  expce 16115  logclog 26685  ↑_𝑐ccxp 26686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687  df-cxp 26688

This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  27162