MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zetacvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zetacvg 25161
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
zetacvg.2 (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
zetacvg.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝑘𝑐-𝑆))
Assertion
Ref Expression
zetacvg (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12012 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11743 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 oveq1 6917 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
4 eqid 2825 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))
5 ovex 6942 . . . . 5 (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6533 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
76adantl 475 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
8 zetacvg.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝑘𝑐-𝑆))
9 nncn 11366 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
109adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
11 nnne0 11393 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
1211adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
13 zetacvg.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
1413negcld 10707 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
1514adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -𝑆 ∈ ℂ)
1610, 12, 15cxpefd 24864 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-𝑆) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
178, 16eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘))))
1817fveq2d 6441 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
19 nnrp 12132 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
2019relogcld 24775 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
2120recnd 10392 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
22 mulcl 10343 . . . . . 6 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
2314, 21, 22syl2an 589 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
24 absef 15306 . . . . 5 ((-𝑆 · (log‘𝑘)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(exp‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))))
26 remul 14253 . . . . . . . 8 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
2714, 21, 26syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))))
2813renegd 14333 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℜ‘-𝑆) = -(ℜ‘𝑆))
2920rered 14348 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (ℜ‘(log‘𝑘)) = (log‘𝑘))
3028, 29oveqan12d 6929 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
3120reim0d 14349 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (ℑ‘(log‘𝑘)) = 0)
3231oveq2d 6926 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = ((ℑ‘-𝑆) · 0))
33 imcl 14235 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℝ)
3433recnd 10392 . . . . . . . . . . 11 (-𝑆 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
3514, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘-𝑆) ∈ ℂ)
3635mul01d 10561 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℑ‘-𝑆) · 0) = 0)
3732, 36sylan9eqr 2883 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘))) = 0)
3830, 37oveq12d 6928 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘-𝑆) · (ℜ‘(log‘𝑘))) − ((ℑ‘-𝑆) · (ℑ‘(log‘𝑘)))) = ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0))
3913recld 14318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
4039renegcld 10788 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
4140recnd 10392 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
42 mulcl 10343 . . . . . . . . 9 ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
4341, 21, 42syl2an 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℂ)
4443subid1d 10709 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) − 0) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
4527, 38, 443eqtrd 2865 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘))) = (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
4645fveq2d 6441 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
4741adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
4810, 12, 47cxpefd 24864 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
4946, 48eqtr4d 2864 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(ℜ‘(-𝑆 · (log‘𝑘)))) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
5018, 25, 493eqtrd 2865 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
517, 50eqtr4d 2864 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5210, 15cxpcld 24860 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-𝑆) ∈ ℂ)
538, 52eqeltrd 2906 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
54 2rp 12124 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
55 1re 10363 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
56 resubcl 10673 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
5755, 39, 56sylancr 581 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
58 rpcxpcl 24828 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ) → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
5954, 57, 58sylancr 581 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ+)
6059rpcnd 12165 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ)
61 zetacvg.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (ℜ‘𝑆))
62 recl 14234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
6362recnd 10392 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
6413, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
6564addid2d 10563 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + (ℜ‘𝑆)) = (ℜ‘𝑆))
6661, 65breqtrrd 4903 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (0 + (ℜ‘𝑆)))
67 0re 10365 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
68 ltsubadd 10829 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
6955, 67, 68mp3an13 1580 . . . . . . . . 9 ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
7039, 69syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ 1 < (0 + (ℜ‘𝑆))))
7166, 70mpbird 249 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) < 0)
72 2re 11432 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
73 1lt2 11536 . . . . . . . . 9 1 < 2
74 cxplt 24846 . . . . . . . . 9 (((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) ∧ ((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
7572, 73, 74mpanl12 693 . . . . . . . 8 (((1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
7657, 67, 75sylancl 580 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − (ℜ‘𝑆)) < 0 ↔ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0)))
7771, 76mpbid 224 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) < (2↑𝑐0))
7859rprege0d 12170 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))))
79 absid 14420 . . . . . . 7 (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) = (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
81 2cn 11433 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
82 cxp0 24822 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℂ → (2↑𝑐0) = 1)
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2↑𝑐0) = 1
8483eqcomi 2834 . . . . . . 7 1 = (2↑𝑐0)
8584a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 = (2↑𝑐0))
8677, 80, 853brtr4d 4907 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))) < 1)
87 oveq2 6918 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
88 eqid 2825 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))
89 ovex 6942 . . . . . . 7 ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) ∈ V
9087, 88, 89fvmpt 6533 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
9190adantl 475 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
9260, 86, 91geolim 14982 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))))
93 seqex 13104 . . . . 5 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ V
94 ovex 6942 . . . . 5 (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) ∈ V
9593, 94breldm 5565 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
9692, 95syl 17 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
97 rpcxpcl 24828 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ -(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ) → (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
9819, 40, 97syl2anr 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ+)
9998rpred 12163 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
1007, 99eqeltrd 2906 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) ∈ ℝ)
10198rpge0d 12167 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑘𝑐-(ℜ‘𝑆)))
102101, 7breqtrrd 4903 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
103 nnre 11365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
104103lep1d 11292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
10519reeflogd 24776 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) = 𝑘)
106 peano2nn 11371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
107106nnrpd 12161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
108107reeflogd 24776 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘(𝑘 + 1))) = (𝑘 + 1))
109104, 105, 1083brtr4d 4907 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1))))
110107relogcld 24775 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
111 efle 15227 . . . . . . . . . . . 12 (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
11220, 110, 111syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ (exp‘(log‘𝑘)) ≤ (exp‘(log‘(𝑘 + 1)))))
113109, 112mpbird 249 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
114113adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)))
11520adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
116106adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
117116nnrpd 12161 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
118117relogcld 24775 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
11939adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℝ)
12067a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
122 0lt1 10881 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
124120, 121, 39, 123, 61lttrd 10524 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (ℜ‘𝑆))
125124adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (ℜ‘𝑆))
126 lemul2 11213 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝑆))) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
127115, 118, 119, 125, 126syl112anc 1497 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((log‘𝑘) ≤ (log‘(𝑘 + 1)) ↔ ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
128114, 127mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
129 remulcl 10344 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
13039, 20, 129syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
131 remulcl 10344 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
13239, 110, 131syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
133130, 132lenegd 10938 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ≤ ((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ↔ -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
134128, 133mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
135110recnd 10392 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
136 mulneg1 10797 . . . . . . . 8 (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
13764, 135, 136syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))))
138 mulneg1 10797 . . . . . . . 8 (((ℜ‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℂ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
13964, 21, 138syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) = -((ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
140134, 137, 1393brtr4d 4907 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))
141 remulcl 10344 . . . . . . . 8 ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
14240, 110, 141syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
143 remulcl 10344 . . . . . . . 8 ((-(ℜ‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑘) ∈ ℝ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
14440, 20, 143syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
145 efle 15227 . . . . . . 7 (((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
146142, 144, 145syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1))) ≤ (-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)) ↔ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘)))))
147140, 146mpbid 224 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))) ≤ (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
148 oveq1 6917 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
149 ovex 6942 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
150148, 4, 149fvmpt 6533 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
151116, 150syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
152116nncnd 11375 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
153116nnne0d 11408 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
154152, 153, 47cxpefd 24864 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
155151, 154eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘(𝑘 + 1)))))
1567, 48eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘) = (exp‘(-(ℜ‘𝑆) · (log‘𝑘))))
157147, 155, 1563brtr4d 4907 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘𝑘))
15857recnd 10392 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
159158adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℂ)
160 nn0re 11635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℝ)
161160adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℝ)
162161recnd 10392 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
163159, 162mulcomd 10385 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚) = (𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆))))
164163oveq2d 6926 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))))
16554a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
166165, 161, 159cxpmuld 24888 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐(𝑚 · (1 − (ℜ‘𝑆)))) = ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))))
167 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
168 cxpexp 24820 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
16981, 167, 168sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝑚) = (2↑𝑚))
170 ax-1cn 10317 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
17164adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
172 negsub 10657 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑆) ∈ ℂ) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
173170, 171, 172sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 + -(ℜ‘𝑆)) = (1 − (ℜ‘𝑆)))
174173eqcomd 2831 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) = (1 + -(ℜ‘𝑆)))
175169, 174oveq12d 6928 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐𝑚)↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
176164, 166, 1753eqtrd 2865 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))))
17757adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (1 − (ℜ‘𝑆)) ∈ ℝ)
178165, 177, 162cxpmuld 24888 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐((1 − (ℜ‘𝑆)) · 𝑚)) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚))
179 2nn 11431 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
180 nnexpcl 13174 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
181179, 180mpan 681 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ0 → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
182181adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
183182nncnd 11375 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
184182nnne0d 11408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ≠ 0)
185 1cnd 10358 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
18641adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → -(ℜ‘𝑆) ∈ ℂ)
187183, 184, 185, 186cxpaddd 24869 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐(1 + -(ℜ‘𝑆))) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
188176, 178, 1873eqtr3d 2869 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
189 cxpexp 24820 . . . . . . 7 (((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆))) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
19060, 189sylan 575 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑐𝑚) = ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚))
191183cxp1d 24858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑐1) = (2↑𝑚))
192191oveq1d 6925 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑚)↑𝑐1) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
193188, 190, 1923eqtr3d 2869 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑚) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
194179, 167, 180sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
195 oveq1 6917 . . . . . . . 8 (𝑛 = (2↑𝑚) → (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
196 ovex 6942 . . . . . . . 8 ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)) ∈ V
197195, 4, 196fvmpt 6533 . . . . . . 7 ((2↑𝑚) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
198194, 197syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚)) = ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆)))
199198oveq2d 6926 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))) = ((2↑𝑚) · ((2↑𝑚)↑𝑐-(ℜ‘𝑆))))
200193, 91, 1993eqtr4d 2871 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))‘𝑚) = ((2↑𝑚) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))‘(2↑𝑚))))
201100, 102, 157, 200climcnds 14964 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑐(1 − (ℜ‘𝑆)))↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
20296, 201mpbird 249 . 2 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛𝑐-(ℜ‘𝑆)))) ∈ dom ⇝ )
2031, 2, 51, 53, 202abscvgcvg 14932 1 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999   class class class wbr 4875  cmpt 4954  dom cdm 5346  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592  -cneg 10593   / cdiv 11016  cn 11357  2c2 11413  0cn0 11625  +crp 12119  seqcseq 13102  cexp 13161  cre 14221  cim 14222  abscabs 14358  cli 14599  expce 15171  logclog 24707  𝑐ccxp 24708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ioc 12475  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-shft 14191  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-ef 15177  df-sin 15179  df-cos 15180  df-pi 15182  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058  df-limc 24036  df-dv 24037  df-log 24709  df-cxp 24710
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  25178
  Copyright terms: Public domain W3C validator