MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zetacvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zetacvg 26380
Description: The zeta series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zetacvg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
zetacvg.2 (๐œ‘ โ†’ 1 < (โ„œโ€˜๐‘†))
zetacvg.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜โ†‘๐‘-๐‘†))
Assertion
Ref Expression
zetacvg (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable groups:   ๐‘†,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem zetacvg
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12811 . 2 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2 1zzd 12539 . 2 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
4 eqid 2733 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
5 ovex 7391 . . . . 5 (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ V
63, 4, 5fvmpt 6949 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
76adantl 483 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
8 zetacvg.3 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐‘˜โ†‘๐‘-๐‘†))
9 nncn 12166 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
109adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
11 nnne0 12192 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
1211adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
13 zetacvg.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
1413negcld 11504 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐‘† โˆˆ โ„‚)
1514adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ -๐‘† โˆˆ โ„‚)
1610, 12, 15cxpefd 26083 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-๐‘†) = (expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))))
178, 16eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))))
1817fveq2d 6847 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜(expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
19 nnrp 12931 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
2019relogcld 25994 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
2120recnd 11188 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
22 mulcl 11140 . . . . . 6 ((-๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2314, 21, 22syl2an 597 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
24 absef 16084 . . . . 5 ((-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
26 remul 15020 . . . . . . . 8 ((-๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))) = (((โ„œโ€˜-๐‘†) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜)))))
2714, 21, 26syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))) = (((โ„œโ€˜-๐‘†) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜)))))
2813renegd 15100 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜-๐‘†) = -(โ„œโ€˜๐‘†))
2920rered 15115 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) = (logโ€˜๐‘˜))
3028, 29oveqan12d 7377 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„œโ€˜-๐‘†) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜))) = (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
3120reim0d 15116 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜)) = 0)
3231oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜))) = ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท 0))
33 imcl 15002 . . . . . . . . . . . 12 (-๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐‘†) โˆˆ โ„)
3433recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (-๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐‘†) โˆˆ โ„‚)
3514, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜-๐‘†) โˆˆ โ„‚)
3635mul01d 11359 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท 0) = 0)
3732, 36sylan9eqr 2795 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜))) = 0)
3830, 37oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โ„œโ€˜-๐‘†) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐‘˜))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜-๐‘†) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘˜)))) = ((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆ’ 0))
3913recld 15085 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
4039renegcld 11587 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
4140recnd 11188 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
42 mulcl 11140 . . . . . . . . 9 ((-(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
4341, 21, 42syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
4443subid1d 11506 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆ’ 0) = (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
4527, 38, 443eqtrd 2777 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜))) = (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
4645fveq2d 6847 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
4741adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
4810, 12, 47cxpefd 26083 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
4946, 48eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜(-๐‘† ยท (logโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
5018, 25, 493eqtrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
517, 50eqtr4d 2776 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) = (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))
5210, 15cxpcld 26079 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-๐‘†) โˆˆ โ„‚)
538, 52eqeltrd 2834 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
54 2rp 12925 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„+
55 1re 11160 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
56 resubcl 11470 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
5755, 39, 56sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
58 rpcxpcl 26047 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„) โ†’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„+)
5954, 57, 58sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„+)
6059rpcnd 12964 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„‚)
61 zetacvg.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 < (โ„œโ€˜๐‘†))
62 recl 15001 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
6362recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (๐‘† โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
6413, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
6564addid2d 11361 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 + (โ„œโ€˜๐‘†)) = (โ„œโ€˜๐‘†))
6661, 65breqtrrd 5134 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 < (0 + (โ„œโ€˜๐‘†)))
67 0re 11162 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
68 ltsubadd 11630 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” 1 < (0 + (โ„œโ€˜๐‘†))))
6955, 67, 68mp3an13 1453 . . . . . . . . 9 ((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” 1 < (0 + (โ„œโ€˜๐‘†))))
7039, 69syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” 1 < (0 + (โ„œโ€˜๐‘†))))
7166, 70mpbird 257 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0)
72 2re 12232 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
73 1lt2 12329 . . . . . . . . 9 1 < 2
74 cxplt 26065 . . . . . . . . 9 (((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โˆง ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„)) โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) < (2โ†‘๐‘0)))
7572, 73, 74mpanl12 701 . . . . . . . 8 (((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) < (2โ†‘๐‘0)))
7657, 67, 75sylancl 587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) < 0 โ†” (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) < (2โ†‘๐‘0)))
7771, 76mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) < (2โ†‘๐‘0))
7859rprege0d 12969 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))))
79 absid 15187 . . . . . . 7 (((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) โ†’ (absโ€˜(2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) = (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) = (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))
81 2cn 12233 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
82 cxp0 26041 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ (2โ†‘๐‘0) = 1)
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . 8 (2โ†‘๐‘0) = 1
8483eqcomi 2742 . . . . . . 7 1 = (2โ†‘๐‘0)
8584a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 = (2โ†‘๐‘0))
8677, 80, 853brtr4d 5138 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) < 1)
87 oveq2 7366 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
88 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))
89 ovex 7391 . . . . . . 7 ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š) โˆˆ V
9087, 88, 89fvmpt 6949 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘š) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
9190adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘š) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
9260, 86, 91geolim 15760 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))))
93 seqex 13914 . . . . 5 seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โˆˆ V
94 ovex 7391 . . . . 5 (1 / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))) โˆˆ V
9593, 94breldm 5865 . . . 4 (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ (2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
9692, 95syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
97 rpcxpcl 26047 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„+ โˆง -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„+)
9819, 40, 97syl2anr 598 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„+)
9998rpred 12962 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
1007, 99eqeltrd 2834 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
10198rpge0d 12966 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘˜โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
102101, 7breqtrrd 5134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜))
103 nnre 12165 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
104103lep1d 12091 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1))
10519reeflogd 25995 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) = ๐‘˜)
106 peano2nn 12170 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
107106nnrpd 12960 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„+)
108107reeflogd 25995 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜ + 1))) = (๐‘˜ + 1))
109104, 105, 1083brtr4d 5138 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜ + 1))))
110107relogcld 25994 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
111 efle 16005 . . . . . . . . . . . 12 (((logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” (expโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
11220, 110, 111syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” (expโ€˜(logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (expโ€˜(logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
113109, 112mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))
114113adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))
11520adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
116106adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
117116nnrpd 12960 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„+)
118117relogcld 25994 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
11939adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
12067a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
12155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
122 0lt1 11682 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
124120, 121, 39, 123, 61lttrd 11321 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐‘†))
125124adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜๐‘†))
126 lemul2 12013 . . . . . . . . . 10 (((logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง ((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐‘†))) โ†’ ((logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
127115, 118, 119, 125, 126syl112anc 1375 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜๐‘˜) โ‰ค (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
128114, 127mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))))
129 remulcl 11141 . . . . . . . . . 10 (((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
13039, 20, 129syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
131 remulcl 11141 . . . . . . . . . 10 (((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
13239, 110, 131syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
133130, 132lenegd 11739 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ†” -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
134128, 133mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
135110recnd 11188 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
136 mulneg1 11596 . . . . . . . 8 (((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) = -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))))
13764, 135, 136syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) = -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))))
138 mulneg1 11596 . . . . . . . 8 (((โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) = -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
13964, 21, 138syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) = -((โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
140134, 137, 1393brtr4d 5138 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))
141 remulcl 11141 . . . . . . . 8 ((-(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
14240, 110, 141syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„)
143 remulcl 11141 . . . . . . . 8 ((-(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
14440, 20, 143syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
145 efle 16005 . . . . . . 7 (((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„ โˆง (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„) โ†’ ((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ†” (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ‰ค (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
146142, 144, 145syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค (-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)) โ†” (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ‰ค (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜)))))
147140, 146mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))) โ‰ค (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
148 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (๐‘› = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
149 ovex 7391 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ V
150148, 4, 149fvmpt 6949 . . . . . . 7 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
151116, 150syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
152116nncnd 12174 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
153116nnne0d 12208 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰  0)
154152, 153, 47cxpefd 26083 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
155151, 154eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(๐‘˜ + 1)) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜(๐‘˜ + 1)))))
1567, 48eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜) = (expโ€˜(-(โ„œโ€˜๐‘†) ยท (logโ€˜๐‘˜))))
157147, 155, 1563brtr4d 5138 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜๐‘˜))
15857recnd 11188 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
159158adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„‚)
160 nn0re 12427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
161160adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
162161recnd 11188 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
163159, 162mulcomd 11181 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) ยท ๐‘š) = (๐‘š ยท (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))
164163oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) ยท ๐‘š)) = (2โ†‘๐‘(๐‘š ยท (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))))
16554a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
166165, 161, 159cxpmuld 26107 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘(๐‘š ยท (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))) = ((2โ†‘๐‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))))
167 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
168 cxpexp 26039 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘๐‘š) = (2โ†‘๐‘š))
16981, 167, 168sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘๐‘š) = (2โ†‘๐‘š))
170 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
17164adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
172 negsub 11454 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + -(โ„œโ€˜๐‘†)) = (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))
173170, 171, 172sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 + -(โ„œโ€˜๐‘†)) = (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))
174173eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) = (1 + -(โ„œโ€˜๐‘†)))
175169, 174oveq12d 7376 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 + -(โ„œโ€˜๐‘†))))
176164, 166, 1753eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) ยท ๐‘š)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 + -(โ„œโ€˜๐‘†))))
17757adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
178165, 177, 162cxpmuld 26107 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘((1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)) ยท ๐‘š)) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘๐‘š))
179 2nn 12231 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
180 nnexpcl 13986 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
181179, 180mpan 689 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
182181adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
183182nncnd 12174 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚)
184182nnne0d 12208 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โ‰  0)
185 1cnd 11155 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
18641adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ -(โ„œโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚)
187183, 184, 185, 186cxpaddd 26088 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘(1 + -(โ„œโ€˜๐‘†))) = (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘1) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
188176, 178, 1873eqtr3d 2781 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘๐‘š) = (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘1) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
189 cxpexp 26039 . . . . . . 7 (((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†))) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘๐‘š) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
19060, 189sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘๐‘š) = ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š))
191183cxp1d 26077 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘1) = (2โ†‘๐‘š))
192191oveq1d 7373 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘1) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))) = ((2โ†‘๐‘š) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
193188, 190, 1923eqtr3d 2781 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘š) = ((2โ†‘๐‘š) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
194179, 167, 180sylancr 588 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„•)
195 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (๐‘› = (2โ†‘๐‘š) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
196 ovex 7391 . . . . . . . 8 ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)) โˆˆ V
197195, 4, 196fvmpt 6949 . . . . . . 7 ((2โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(2โ†‘๐‘š)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
198194, 197syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(2โ†‘๐‘š)) = ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))
199198oveq2d 7374 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘š) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(2โ†‘๐‘š))) = ((2โ†‘๐‘š) ยท ((2โ†‘๐‘š)โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†))))
200193, 91, 1993eqtr4d 2783 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘š) = ((2โ†‘๐‘š) ยท ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))โ€˜(2โ†‘๐‘š))))
201100, 102, 157, 200climcnds 15741 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘(1 โˆ’ (โ„œโ€˜๐‘†)))โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ ))
20296, 201mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘›โ†‘๐‘-(โ„œโ€˜๐‘†)))) โˆˆ dom โ‡ )
2031, 2, 51, 53, 202abscvgcvg 15709 1 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  dom cdm 5634  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„+crp 12920  seqcseq 13912  โ†‘cexp 13973  โ„œcre 14988  โ„‘cim 14989  abscabs 15125   โ‡ cli 15372  expce 15949  logclog 25926  โ†‘๐‘ccxp 25927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem4  26397
  Copyright terms: Public domain W3C validator