Theorem iprodgam 36404

Description: An infinite product version of Euler's gamma function. (Contributed by Scott Fenton, 12-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
iprodgam.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Assertion

Ref	Expression
iprodgam	⊢ (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem iprodgam

Dummy variables 𝑗 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodgam.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2		eflgam 27313	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
4		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
5		oveq1 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 / 𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
6	5	fvoveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
7	4, 6	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
8	7	sumeq2sdv 15815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
9		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (log‘𝑧) = (log‘𝐴))
10	8, 9	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
11		df-lgam 27287	. . . . . 6 ⊢ log Γ = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↦ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)))
12		ovex 7449	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6989	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
14	1, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
15	14	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))))
16		nnuz 12951	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17		1zzd 12674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
19		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝑗 = 𝑘)
20	18, 19	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 𝑗) = ((𝑘 + 1) / 𝑘))
21	20	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗)) = (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))
22	21	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
23		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑗) = (𝐴 / 𝑘))
24	23	fvoveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
25	22, 24	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
26		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))
27		ovex 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ V
28	25, 26, 27	fvmpt 6989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
29	28	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
30	1	eldifad 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	30	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32		peano2nn 12294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
33	32	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
35		nncn 12290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
37		nnne0 12319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
38	37	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
39	34, 36, 38	divcld 12040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ∈ ℂ)
40	33	nnne0d 12335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
41	34, 36, 40, 38	divne0d 12056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ≠ 0)
42	39, 41	logcld 26839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) ∈ ℂ)
43	31, 42	mulcld 11278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ)
44	31, 36, 38	divcld 12040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
45		1cnd 11251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
46	44, 45	addcld 11277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
47	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
48		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
49	47, 48	dmgmdivn0 27296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0)
50	46, 49	logcld 26839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
51	43, 50	subcld 11618	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
52	26, 1	lgamcvg 27322	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
53		seqex 14092	. . . . . . . 8 ⊢ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ V
54		ovex 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ V
55	53, 54	breldm 5894	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
56	52, 55	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
57	16, 17, 29, 51, 56	isumcl 15872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
58	1	dmgmn0 27294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
59	30, 58	logcld 26839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
60		efsub 16213	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
61	57, 59, 60	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
62	16, 17, 29, 51, 56	iprodefisum 36403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
63		efsub 16213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
64	43, 50, 63	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
65	36, 45, 36, 38	divdird 12078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)))
66	36, 38	dividd 12038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 / 𝑘) = 1)
67	66	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)) = (1 + (1 / 𝑘)))
68	65, 67	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = (1 + (1 / 𝑘)))
69	68	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
70	69	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
71	70	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
72		1rp 13071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ+
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
74	48	nnrpd 13109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
75	74	rpreccld 13121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
76	73, 75	rpaddcld 13126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
77	76	rpcnd 13113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
78	76	rpne0d 13116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ≠ 0)
79	77, 78, 31	cxpefd 26981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
80	71, 79	eqtr4d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴))
81		eflog 26845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
82	46, 49, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
83	44, 45	addcomd 11461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
84	82, 83	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
85	80, 84	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
86	64, 85	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
87	86	prodeq2dv 16035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
88	62, 87	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
89		eflog 26845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
90	30, 58, 89	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
91	88, 90	oveq12d 7434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
92	61, 91	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
93	15, 92	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
94	3, 93	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ℂcc 11147  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154   − cmin 11490   / cdiv 11920  ℕcn 12282  ℤcz 12640  ℝ⁺crp 13067  seqcseq 14090   ⇝ cli 15596  Σcsu 15798  ∏cprod 16017  expce 16172  logclog 26823  ↑_𝑐ccxp 26824  log Γclgam 27284  Γcgam 27285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-ioo 13427  df-ioc 13428  df-ico 13429  df-icc 13430  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-mod 13956  df-seq 14091  df-exp 14151  df-fac 14363  df-bc 14392  df-hash 14420  df-shft 15165  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-limsup 15583  df-clim 15600  df-rlim 15601  df-sum 15799  df-prod 16018  df-ef 16178  df-sin 16180  df-cos 16181  df-tan 16182  df-pi 16183  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-rest 17532  df-topn 17533  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-topgen 17553  df-pt 17554  df-prds 17557  df-xrs 17613  df-qtop 17618  df-imas 17619  df-xps 17621  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-submnd 18918  df-mulg 19217  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-fbas 21614  df-fg 21615  df-cnfld 21618  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-cld 23276  df-ntr 23277  df-cls 23278  df-nei 23355  df-lp 23393  df-perf 23394  df-cn 23484  df-cnp 23485  df-haus 23572  df-cmp 23644  df-tx 23820  df-hmeo 24013  df-fil 24104  df-fm 24196  df-flim 24197  df-flf 24198  df-xms 24578  df-ms 24579  df-tms 24580  df-cncf 25138  df-limc 26125  df-dv 26126  df-ulm 26645  df-log 26825  df-cxp 26826  df-lgam 27287  df-gam 27288

This theorem is used by: (None)