Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodgam Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodgam 34435
Description: An infinite product version of Euler's gamma function. (Contributed by Scott Fenton, 12-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
iprodgam.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
Assertion
Ref Expression
iprodgam (๐œ‘ โ†’ (ฮ“โ€˜๐ด) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))) / ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem iprodgam
Dummy variables ๐‘— ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodgam.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
2 eflgam 26446 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)) โ†’ (expโ€˜(log ฮ“โ€˜๐ด)) = (ฮ“โ€˜๐ด))
31, 2syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(log ฮ“โ€˜๐ด)) = (ฮ“โ€˜๐ด))
4 oveq1 7384 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) = (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))))
5 oveq1 7384 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (๐‘ง / ๐‘˜) = (๐ด / ๐‘˜))
65fvoveq1d 7399 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘˜) + 1)) = (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))
74, 6oveq12d 7395 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘˜) + 1))) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))))
87sumeq2sdv 15615 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))))
9 fveq2 6862 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (logโ€˜๐‘ง) = (logโ€˜๐ด))
108, 9oveq12d 7395 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐‘ง)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
11 df-lgam 26420 . . . . . 6 log ฮ“ = (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)) โ†ฆ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐‘ง)))
12 ovex 7410 . . . . . 6 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆˆ V
1310, 11, 12fvmpt 6968 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)) โ†’ (log ฮ“โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
141, 13syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (log ฮ“โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
1514fveq2d 6866 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(log ฮ“โ€˜๐ด)) = (expโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด))))
16 nnuz 12830 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
17 1zzd 12558 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
18 oveq1 7384 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— + 1) = (๐‘˜ + 1))
19 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ๐‘— = ๐‘˜)
2018, 19oveq12d 7395 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘— + 1) / ๐‘—) = ((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))
2120fveq2d 6866 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—)) = (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)))
2221oveq2d 7393 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) = (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))))
23 oveq2 7385 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ด / ๐‘—) = (๐ด / ๐‘˜))
2423fvoveq1d 7399 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1)) = (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))
2522, 24oveq12d 7395 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))))
26 eqid 2731 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1)))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))
27 ovex 7410 . . . . . . . 8 ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆˆ V
2825, 26, 27fvmpt 6968 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))โ€˜๐‘˜) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))))
2928adantl 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))โ€˜๐‘˜) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))))
301eldifad 3940 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32 peano2nn 12189 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3332adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3433nncnd 12193 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
35 nncn 12185 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
3635adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
37 nnne0 12211 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
3837adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
3934, 36, 38divcld 11955 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4033nnne0d 12227 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰  0)
4134, 36, 40, 38divne0d 11971 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜) โ‰  0)
4239, 41logcld 25978 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
4331, 42mulcld 11199 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
4431, 36, 38divcld 11955 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
45 1cnd 11174 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4644, 45addcld 11198 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„‚)
471adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
48 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4947, 48dmgmdivn0 26429 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐‘˜) + 1) โ‰  0)
5046, 49logcld 25978 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„‚)
5143, 50subcld 11536 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
5226, 1lgamcvg 26455 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
53 seqex 13933 . . . . . . . 8 seq1( + , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))) โˆˆ V
54 ovex 7410 . . . . . . . 8 ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)) โˆˆ V
5553, 54breldm 5884 . . . . . . 7 (seq1( + , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)) โ†’ seq1( + , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))) โˆˆ dom โ‡ )
5652, 55syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))) โˆˆ dom โ‡ )
5716, 17, 29, 51, 56isumcl 15672 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
581dmgmn0 26427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
5930, 58logcld 25978 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
60 efsub 16008 . . . . 5 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) / (expโ€˜(logโ€˜๐ด))))
6157, 59, 60syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) / (expโ€˜(logโ€˜๐ด))))
6216, 17, 29, 51, 56iprodefisum 34434 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (expโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))))
63 efsub 16008 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = ((expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)))) / (expโ€˜(logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))))
6443, 50, 63syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = ((expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)))) / (expโ€˜(logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))))
6536, 45, 36, 38divdird 11993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜) = ((๐‘˜ / ๐‘˜) + (1 / ๐‘˜)))
6636, 38dividd 11953 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ / ๐‘˜) = 1)
6766oveq1d 7392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ / ๐‘˜) + (1 / ๐‘˜)) = (1 + (1 / ๐‘˜)))
6865, 67eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜) = (1 + (1 / ๐‘˜)))
6968fveq2d 6866 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)) = (logโ€˜(1 + (1 / ๐‘˜))))
7069oveq2d 7393 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) = (๐ด ยท (logโ€˜(1 + (1 / ๐‘˜)))))
7170fveq2d 6866 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)))) = (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜(1 + (1 / ๐‘˜))))))
72 1rp 12943 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„+
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
7448nnrpd 12979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
7574rpreccld 12991 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
7673, 75rpaddcld 12996 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (1 / ๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
7776rpcnd 12983 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (1 / ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
7876rpne0d 12986 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (1 / ๐‘˜)) โ‰  0)
7977, 78, 31cxpefd 26119 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) = (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜(1 + (1 / ๐‘˜))))))
8071, 79eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)))) = ((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด))
81 eflog 25984 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด / ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด / ๐‘˜) + 1) โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) = ((๐ด / ๐‘˜) + 1))
8246, 49, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) = ((๐ด / ๐‘˜) + 1))
8344, 45addcomd 11381 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐‘˜) + 1) = (1 + (๐ด / ๐‘˜)))
8482, 83eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) = (1 + (๐ด / ๐‘˜)))
8580, 84oveq12d 7395 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)))) / (expโ€˜(logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))))
8664, 85eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))))
8786prodeq2dv 15832 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (expโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))))
8862, 87eqtr3d 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))))
89 eflog 25984 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
9030, 58, 89syl2anc 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
9188, 90oveq12d 7395 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) / (expโ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))) / ๐ด))
9261, 91eqtrd 2771 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด))) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))) / ๐ด))
9315, 92eqtrd 2771 . 2 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(log ฮ“โ€˜๐ด)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))) / ๐ด))
943, 93eqtr3d 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (ฮ“โ€˜๐ด) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))) / ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2939   โˆ– cdif 3925   class class class wbr 5125   โ†ฆ cmpt 5208  dom cdm 5653  โ€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  โ„‚cc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ยท cmul 11080   โˆ’ cmin 11409   / cdiv 11836  โ„•cn 12177  โ„คcz 12523  โ„+crp 12939  seqcseq 13931   โ‡ cli 15393  ฮฃcsu 15597  โˆcprod 15814  expce 15970  logclog 25962  โ†‘๐‘ccxp 25963  log ฮ“clgam 26417  ฮ“cgam 26418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-supp 8113  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fsupp 9328  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-fl 13722  df-mod 13800  df-seq 13932  df-exp 13993  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14979  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15598  df-prod 15815  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-tan 15980  df-pi 15981  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-starv 17177  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-ip 17180  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-unif 17185  df-hom 17186  df-cco 17187  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17413  df-qtop 17418  df-imas 17419  df-xps 17421  df-mre 17495  df-mrc 17496  df-acs 17498  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-submnd 18631  df-mulg 18902  df-cntz 19126  df-cmn 19593  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-fbas 20845  df-fg 20846  df-cnfld 20849  df-top 22295  df-topon 22312  df-topsp 22334  df-bases 22348  df-cld 22422  df-ntr 22423  df-cls 22424  df-nei 22501  df-lp 22539  df-perf 22540  df-cn 22630  df-cnp 22631  df-haus 22718  df-cmp 22790  df-tx 22965  df-hmeo 23158  df-fil 23249  df-fm 23341  df-flim 23342  df-flf 23343  df-xms 23725  df-ms 23726  df-tms 23727  df-cncf 24293  df-limc 25282  df-dv 25283  df-ulm 25788  df-log 25964  df-cxp 25965  df-lgam 26420  df-gam 26421
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator