Theorem iprodgam 35736

Description: An infinite product version of Euler's gamma function. (Contributed by Scott Fenton, 12-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
iprodgam.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Assertion

Ref	Expression
iprodgam	⊢ (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem iprodgam

Dummy variables 𝑗 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodgam.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2		eflgam 26962	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
4		oveq1 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
5		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 / 𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
6	5	fvoveq1d 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
7	4, 6	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
8	7	sumeq2sdv 15676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
9		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (log‘𝑧) = (log‘𝐴))
10	8, 9	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
11		df-lgam 26936	. . . . . 6 ⊢ log Γ = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↦ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)))
12		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6971	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
15	14	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))))
16		nnuz 12843	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17		1zzd 12571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
19		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝑗 = 𝑘)
20	18, 19	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 𝑗) = ((𝑘 + 1) / 𝑘))
21	20	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗)) = (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))
22	21	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
23		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑗) = (𝐴 / 𝑘))
24	23	fvoveq1d 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
25	22, 24	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
26		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))
27		ovex 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ V
28	25, 26, 27	fvmpt 6971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
30	1	eldifad 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32		peano2nn 12205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
35		nncn 12201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
37		nnne0 12227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
39	34, 36, 38	divcld 11965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ∈ ℂ)
40	33	nnne0d 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
41	34, 36, 40, 38	divne0d 11981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ≠ 0)
42	39, 41	logcld 26486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) ∈ ℂ)
43	31, 42	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ)
44	31, 36, 38	divcld 11965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
45		1cnd 11176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
46	44, 45	addcld 11200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
47	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
49	47, 48	dmgmdivn0 26945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0)
50	46, 49	logcld 26486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
51	43, 50	subcld 11540	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
52	26, 1	lgamcvg 26971	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
53		seqex 13975	. . . . . . . 8 ⊢ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ V
54		ovex 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ V
55	53, 54	breldm 5875	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
56	52, 55	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
57	16, 17, 29, 51, 56	isumcl 15734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
58	1	dmgmn0 26943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
59	30, 58	logcld 26486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
60		efsub 16075	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
61	57, 59, 60	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
62	16, 17, 29, 51, 56	iprodefisum 35735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
63		efsub 16075	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
64	43, 50, 63	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
65	36, 45, 36, 38	divdird 12003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)))
66	36, 38	dividd 11963	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 / 𝑘) = 1)
67	66	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)) = (1 + (1 / 𝑘)))
68	65, 67	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = (1 + (1 / 𝑘)))
69	68	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
70	69	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
71	70	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
72		1rp 12962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ+
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
74	48	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
75	74	rpreccld 13012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
76	73, 75	rpaddcld 13017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
77	76	rpcnd 13004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
78	76	rpne0d 13007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ≠ 0)
79	77, 78, 31	cxpefd 26628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
80	71, 79	eqtr4d 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴))
81		eflog 26492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
82	46, 49, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
83	44, 45	addcomd 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
84	82, 83	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
85	80, 84	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
86	64, 85	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
87	86	prodeq2dv 15895	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
88	62, 87	eqtr3d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
89		eflog 26492	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
90	30, 58, 89	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
91	88, 90	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
92	61, 91	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
93	15, 92	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
94	3, 93	eqtr3d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℤcz 12536  ℝ⁺crp 12958  seqcseq 13973   ⇝ cli 15457  Σcsu 15659  ∏cprod 15876  expce 16034  logclog 26470  ↑_𝑐ccxp 26471  log Γclgam 26933  Γcgam 26934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-prod 15877  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-tan 16044  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-ulm 26293  df-log 26472  df-cxp 26473  df-lgam 26936  df-gam 26937

This theorem is referenced by: (None)