Theorem iprodgam 33708

Description: An infinite product version of Euler's gamma function. (Contributed by Scott Fenton, 12-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
iprodgam.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Assertion

Ref	Expression
iprodgam	⊢ (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem iprodgam

Dummy variables 𝑗 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodgam.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2		eflgam 26194	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
4		oveq1 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
5		oveq1 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 / 𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
6	5	fvoveq1d 7297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
7	4, 6	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
8	7	sumeq2sdv 15416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
9		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (log‘𝑧) = (log‘𝐴))
10	8, 9	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
11		df-lgam 26168	. . . . . 6 ⊢ log Γ = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↦ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)))
12		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6875	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
15	14	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))))
16		nnuz 12621	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17		1zzd 12351	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
19		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝑗 = 𝑘)
20	18, 19	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 𝑗) = ((𝑘 + 1) / 𝑘))
21	20	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗)) = (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))
22	21	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
23		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑗) = (𝐴 / 𝑘))
24	23	fvoveq1d 7297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
25	22, 24	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
26		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))
27		ovex 7308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ V
28	25, 26, 27	fvmpt 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
29	28	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
30	1	eldifad 3899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32		peano2nn 11985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 11989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
35		nncn 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
37		nnne0 12007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
39	34, 36, 38	divcld 11751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ∈ ℂ)
40	33	nnne0d 12023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
41	34, 36, 40, 38	divne0d 11767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ≠ 0)
42	39, 41	logcld 25726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) ∈ ℂ)
43	31, 42	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ)
44	31, 36, 38	divcld 11751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
45		1cnd 10970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
46	44, 45	addcld 10994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
47	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
48		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
49	47, 48	dmgmdivn0 26177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0)
50	46, 49	logcld 25726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
51	43, 50	subcld 11332	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
52	26, 1	lgamcvg 26203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
53		seqex 13723	. . . . . . . 8 ⊢ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ V
54		ovex 7308	. . . . . . . 8 ⊢ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ V
55	53, 54	breldm 5817	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
56	52, 55	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
57	16, 17, 29, 51, 56	isumcl 15473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
58	1	dmgmn0 26175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
59	30, 58	logcld 25726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
60		efsub 15809	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
61	57, 59, 60	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
62	16, 17, 29, 51, 56	iprodefisum 33707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
63		efsub 15809	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
64	43, 50, 63	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
65	36, 45, 36, 38	divdird 11789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)))
66	36, 38	dividd 11749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 / 𝑘) = 1)
67	66	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)) = (1 + (1 / 𝑘)))
68	65, 67	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = (1 + (1 / 𝑘)))
69	68	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
70	69	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
71	70	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
72		1rp 12734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ+
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
74	48	nnrpd 12770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
75	74	rpreccld 12782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
76	73, 75	rpaddcld 12787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
77	76	rpcnd 12774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
78	76	rpne0d 12777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ≠ 0)
79	77, 78, 31	cxpefd 25867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
80	71, 79	eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴))
81		eflog 25732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
82	46, 49, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
83	44, 45	addcomd 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
84	82, 83	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
85	80, 84	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
86	64, 85	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
87	86	prodeq2dv 15633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
88	62, 87	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
89		eflog 25732	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
90	30, 58, 89	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
91	88, 90	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
92	61, 91	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
93	15, 92	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
94	3, 93	eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℝ⁺crp 12730  seqcseq 13721   ⇝ cli 15193  Σcsu 15397  ∏cprod 15615  expce 15771  logclog 25710  ↑_𝑐ccxp 25711  log Γclgam 26165  Γcgam 26166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-prod 15616  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-tan 15781  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-ulm 25536  df-log 25712  df-cxp 25713  df-lgam 26168  df-gam 26169

This theorem is referenced by: (None)