Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodgam Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodgam 32073
Description: An infinite product version of Euler's gamma function. (Contributed by Scott Fenton, 12-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
iprodgam.1 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
Assertion
Ref Expression
iprodgam (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem iprodgam
Dummy variables 𝑗 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodgam.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2 eflgam 25062 . . 3 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
4 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
5 oveq1 6849 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 / 𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
65fvoveq1d 6864 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
74, 6oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
87sumeq2sdv 14720 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
9 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (log‘𝑧) = (log‘𝐴))
108, 9oveq12d 6860 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
11 df-lgam 25036 . . . . . 6 log Γ = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↦ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)))
12 ovex 6874 . . . . . 6 𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6471 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
141, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
1514fveq2d 6379 . . 3 (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))))
16 nnuz 11923 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
17 1zzd 11655 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
19 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘𝑗 = 𝑘)
2018, 19oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 𝑗) = ((𝑘 + 1) / 𝑘))
2120fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗)) = (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))
2221oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
23 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑗) = (𝐴 / 𝑘))
2423fvoveq1d 6864 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
2522, 24oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
26 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))
27 ovex 6874 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ V
2825, 26, 27fvmpt 6471 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
2928adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
301eldifad 3744 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3130adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32 peano2nn 11288 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3332adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3433nncnd 11292 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
35 nncn 11283 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
3635adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
37 nnne0 11310 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
3837adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
3934, 36, 38divcld 11055 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ∈ ℂ)
4033nnne0d 11322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
4134, 36, 40, 38divne0d 11071 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ≠ 0)
4239, 41logcld 24608 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) ∈ ℂ)
4331, 42mulcld 10314 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ)
4431, 36, 38divcld 11055 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
45 1cnd 10288 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
4644, 45addcld 10313 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
471adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
48 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
4947, 48dmgmdivn0 25045 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0)
5046, 49logcld 24608 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
5143, 50subcld 10646 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
5226, 1lgamcvg 25071 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
53 seqex 13010 . . . . . . . 8 seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ V
54 ovex 6874 . . . . . . . 8 ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ V
5553, 54breldm 5497 . . . . . . 7 (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
5652, 55syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
5716, 17, 29, 51, 56isumcl 14777 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
581dmgmn0 25043 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
5930, 58logcld 24608 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
60 efsub 15112 . . . . 5 ((Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
6157, 59, 60syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
6216, 17, 29, 51, 56iprodefisum 32072 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
63 efsub 15112 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
6443, 50, 63syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
6536, 45, 36, 38divdird 11093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)))
6636, 38dividd 11053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 / 𝑘) = 1)
6766oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)) = (1 + (1 / 𝑘)))
6865, 67eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = (1 + (1 / 𝑘)))
6968fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
7069oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
7170fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
72 1rp 12032 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
7448nnrpd 12068 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
7574rpreccld 12080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
7673, 75rpaddcld 12085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
7776rpcnd 12072 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
7876rpne0d 12075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ≠ 0)
7977, 78, 31cxpefd 24749 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
8071, 79eqtr4d 2802 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴))
81 eflog 24614 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
8246, 49, 81syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
8344, 45addcomd 10492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
8482, 83eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
8580, 84oveq12d 6860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
8664, 85eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
8786prodeq2dv 14936 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
8862, 87eqtr3d 2801 . . . . 5 (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
89 eflog 24614 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
9030, 58, 89syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
9188, 90oveq12d 6860 . . . 4 (𝜑 → ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
9261, 91eqtrd 2799 . . 3 (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
9315, 92eqtrd 2799 . 2 (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
943, 93eqtr3d 2801 1 (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  cdif 3729   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  cz 11624  +crp 12028  seqcseq 13008  cli 14500  Σcsu 14701  cprod 14918  expce 15074  logclog 24592  𝑐ccxp 24593  log Γclgam 25033  Γcgam 25034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-prod 14919  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-tan 15084  df-pi 15085  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-ulm 24422  df-log 24594  df-cxp 24595  df-lgam 25036  df-gam 25037
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator