Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodgam Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodgam 34712
Description: An infinite product version of Euler's gamma function. (Contributed by Scott Fenton, 12-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
iprodgam.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
Assertion
Ref Expression
iprodgam (๐œ‘ โ†’ (ฮ“โ€˜๐ด) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))) / ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem iprodgam
Dummy variables ๐‘— ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodgam.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
2 eflgam 26549 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)) โ†’ (expโ€˜(log ฮ“โ€˜๐ด)) = (ฮ“โ€˜๐ด))
31, 2syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(log ฮ“โ€˜๐ด)) = (ฮ“โ€˜๐ด))
4 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) = (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))))
5 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (๐‘ง / ๐‘˜) = (๐ด / ๐‘˜))
65fvoveq1d 7431 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘˜) + 1)) = (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))
74, 6oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘˜) + 1))) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))))
87sumeq2sdv 15650 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))))
9 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (logโ€˜๐‘ง) = (logโ€˜๐ด))
108, 9oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ด โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐‘ง)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
11 df-lgam 26523 . . . . . 6 log ฮ“ = (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)) โ†ฆ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐‘ง)))
12 ovex 7442 . . . . . 6 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆˆ V
1310, 11, 12fvmpt 6999 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)) โ†’ (log ฮ“โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
141, 13syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (log ฮ“โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
1514fveq2d 6896 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(log ฮ“โ€˜๐ด)) = (expโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด))))
16 nnuz 12865 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
17 1zzd 12593 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
18 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— + 1) = (๐‘˜ + 1))
19 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ๐‘— = ๐‘˜)
2018, 19oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘— + 1) / ๐‘—) = ((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))
2120fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—)) = (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)))
2221oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) = (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))))
23 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ด / ๐‘—) = (๐ด / ๐‘˜))
2423fvoveq1d 7431 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1)) = (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))
2522, 24oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))))
26 eqid 2733 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1)))) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))
27 ovex 7442 . . . . . . . 8 ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆˆ V
2825, 26, 27fvmpt 6999 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))โ€˜๐‘˜) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))))
2928adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))โ€˜๐‘˜) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))))
301eldifad 3961 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3130adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32 peano2nn 12224 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3332adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3433nncnd 12228 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
35 nncn 12220 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
3635adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
37 nnne0 12246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
3837adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
3934, 36, 38divcld 11990 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4033nnne0d 12262 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰  0)
4134, 36, 40, 38divne0d 12006 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜) โ‰  0)
4239, 41logcld 26079 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
4331, 42mulcld 11234 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
4431, 36, 38divcld 11990 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
45 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4644, 45addcld 11233 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„‚)
471adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
48 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4947, 48dmgmdivn0 26532 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐‘˜) + 1) โ‰  0)
5046, 49logcld 26079 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„‚)
5143, 50subcld 11571 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
5226, 1lgamcvg 26558 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)))
53 seqex 13968 . . . . . . . 8 seq1( + , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))) โˆˆ V
54 ovex 7442 . . . . . . . 8 ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)) โˆˆ V
5553, 54breldm 5909 . . . . . . 7 (seq1( + , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))) โ‡ ((log ฮ“โ€˜๐ด) + (logโ€˜๐ด)) โ†’ seq1( + , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))) โˆˆ dom โ‡ )
5652, 55syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘— + 1) / ๐‘—))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘—) + 1))))) โˆˆ dom โ‡ )
5716, 17, 29, 51, 56isumcl 15707 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
581dmgmn0 26530 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
5930, 58logcld 26079 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
60 efsub 16043 . . . . 5 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) / (expโ€˜(logโ€˜๐ด))))
6157, 59, 60syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) / (expโ€˜(logโ€˜๐ด))))
6216, 17, 29, 51, 56iprodefisum 34711 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (expโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))))
63 efsub 16043 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = ((expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)))) / (expโ€˜(logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))))
6443, 50, 63syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = ((expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)))) / (expโ€˜(logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))))
6536, 45, 36, 38divdird 12028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜) = ((๐‘˜ / ๐‘˜) + (1 / ๐‘˜)))
6636, 38dividd 11988 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ / ๐‘˜) = 1)
6766oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ / ๐‘˜) + (1 / ๐‘˜)) = (1 + (1 / ๐‘˜)))
6865, 67eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜) = (1 + (1 / ๐‘˜)))
6968fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)) = (logโ€˜(1 + (1 / ๐‘˜))))
7069oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) = (๐ด ยท (logโ€˜(1 + (1 / ๐‘˜)))))
7170fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)))) = (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜(1 + (1 / ๐‘˜))))))
72 1rp 12978 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„+
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
7448nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
7574rpreccld 13026 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
7673, 75rpaddcld 13031 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (1 / ๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
7776rpcnd 13018 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (1 / ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
7876rpne0d 13021 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 + (1 / ๐‘˜)) โ‰  0)
7977, 78, 31cxpefd 26220 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) = (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜(1 + (1 / ๐‘˜))))))
8071, 79eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)))) = ((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด))
81 eflog 26085 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด / ๐‘˜) + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด / ๐‘˜) + 1) โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) = ((๐ด / ๐‘˜) + 1))
8246, 49, 81syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) = ((๐ด / ๐‘˜) + 1))
8344, 45addcomd 11416 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / ๐‘˜) + 1) = (1 + (๐ด / ๐‘˜)))
8482, 83eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) = (1 + (๐ด / ๐‘˜)))
8580, 84oveq12d 7427 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜)))) / (expโ€˜(logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))))
8664, 85eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (expโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))))
8786prodeq2dv 15867 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (expโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))))
8862, 87eqtr3d 2775 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))))
89 eflog 26085 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
9030, 58, 89syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
9188, 90oveq12d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1)))) / (expโ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))) / ๐ด))
9261, 91eqtrd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘˜ + 1) / ๐‘˜))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘˜) + 1))) โˆ’ (logโ€˜๐ด))) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))) / ๐ด))
9315, 92eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(log ฮ“โ€˜๐ด)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))) / ๐ด))
943, 93eqtr3d 2775 1 (๐œ‘ โ†’ (ฮ“โ€˜๐ด) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โ„• (((1 + (1 / ๐‘˜))โ†‘๐‘๐ด) / (1 + (๐ด / ๐‘˜))) / ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆ– cdif 3946   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  dom cdm 5677  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  seqcseq 13966   โ‡ cli 15428  ฮฃcsu 15632  โˆcprod 15849  expce 16005  logclog 26063  โ†‘๐‘ccxp 26064  log ฮ“clgam 26520  ฮ“cgam 26521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-cxp 26066  df-lgam 26523  df-gam 26524
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator