Theorem iprodgam 35793

Description: An infinite product version of Euler's gamma function. (Contributed by Scott Fenton, 12-Feb-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
iprodgam.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Assertion

Ref	Expression
iprodgam	⊢ (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem iprodgam

Dummy variables 𝑗 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodgam.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2		eflgam 26988	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
4		oveq1 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
5		oveq1 7359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 / 𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
6	5	fvoveq1d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
7	4, 6	oveq12d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
8	7	sumeq2sdv 15616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
9		fveq2 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (log‘𝑧) = (log‘𝐴))
10	8, 9	oveq12d 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
11		df-lgam 26962	. . . . . 6 ⊢ log Γ = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↦ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑧 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝑧 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝑧)))
12		ovex 7385	. . . . . 6 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6935	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log Γ‘𝐴) = (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴)))
15	14	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))))
16		nnuz 12781	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17		1zzd 12509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
18		oveq1 7359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
19		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝑗 = 𝑘)
20	18, 19	oveq12d 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 𝑗) = ((𝑘 + 1) / 𝑘))
21	20	fveq2d 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗)) = (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))
22	21	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) = (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))))
23		oveq2 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑗) = (𝐴 / 𝑘))
24	23	fvoveq1d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))
25	22, 24	oveq12d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
26		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))
27		ovex 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ V
28	25, 26, 27	fvmpt 6935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))‘𝑘) = ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))))
30	1	eldifad 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32		peano2nn 12143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
35		nncn 12139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
37		nnne0 12165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
39	34, 36, 38	divcld 11903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ∈ ℂ)
40	33	nnne0d 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
41	34, 36, 40, 38	divne0d 11919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) ≠ 0)
42	39, 41	logcld 26512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) ∈ ℂ)
43	31, 42	mulcld 11138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ)
44	31, 36, 38	divcld 11903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
45		1cnd 11113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
46	44, 45	addcld 11137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
47	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
49	47, 48	dmgmdivn0 26971	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0)
50	46, 49	logcld 26512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
51	43, 50	subcld 11478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
52	26, 1	lgamcvg 26997	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
53		seqex 13916	. . . . . . . 8 ⊢ seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ V
54		ovex 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ V
55	53, 54	breldm 5853	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
56	52, 55	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑗 + 1) / 𝑗))) − (log‘((𝐴 / 𝑗) + 1))))) ∈ dom ⇝ )
57	16, 17, 29, 51, 56	isumcl 15674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
58	1	dmgmn0 26969	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
59	30, 58	logcld 26512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
60		efsub 16015	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
61	57, 59, 60	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))))
62	16, 17, 29, 51, 56	iprodefisum 35792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
63		efsub 16015	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
64	43, 50, 63	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))))
65	36, 45, 36, 38	divdird 11941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)))
66	36, 38	dividd 11901	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 / 𝑘) = 1)
67	66	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 / 𝑘) + (1 / 𝑘)) = (1 + (1 / 𝑘)))
68	65, 67	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) / 𝑘) = (1 + (1 / 𝑘)))
69	68	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)) = (log‘(1 + (1 / 𝑘))))
70	69	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) = (𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘)))))
71	70	fveq2d 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
72		1rp 12900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ+
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ+)
74	48	nnrpd 12938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
75	74	rpreccld 12950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
76	73, 75	rpaddcld 12955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℝ+)
77	76	rpcnd 12942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
78	76	rpne0d 12945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (1 / 𝑘)) ≠ 0)
79	77, 78, 31	cxpefd 26654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘(1 + (1 / 𝑘))))))
80	71, 79	eqtr4d 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) = ((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴))
81		eflog 26518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 / 𝑘) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑘) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
82	46, 49, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = ((𝐴 / 𝑘) + 1))
83	44, 45	addcomd 11321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑘) + 1) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
84	82, 83	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) = (1 + (𝐴 / 𝑘)))
85	80, 84	oveq12d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
86	64, 85	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
87	86	prodeq2dv 15835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ℕ (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
88	62, 87	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) = ∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))))
89		eflog 26518	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
90	30, 58, 89	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
91	88, 90	oveq12d 7370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((exp‘Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1)))) / (exp‘(log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
92	61, 91	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 · (log‘((𝑘 + 1) / 𝑘))) − (log‘((𝐴 / 𝑘) + 1))) − (log‘𝐴))) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
93	15, 92	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))
94	3, 93	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝜑 → (Γ‘𝐴) = (∏𝑘 ∈ ℕ (((1 + (1 / 𝑘))↑𝑐𝐴) / (1 + (𝐴 / 𝑘))) / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  dom cdm 5619  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  0cc0 11012  1c1 11013   + caddc 11015   · cmul 11017   − cmin 11350   / cdiv 11780  ℕcn 12131  ℤcz 12474  ℝ⁺crp 12896  seqcseq 13914   ⇝ cli 15397  Σcsu 15599  ∏cprod 15816  expce 15974  logclog 26496  ↑_𝑐ccxp 26497  log Γclgam 26959  Γcgam 26960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13255  df-ioc 13256  df-ico 13257  df-icc 13258  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-mod 13780  df-seq 13915  df-exp 13975  df-fac 14187  df-bc 14216  df-hash 14244  df-shft 14980  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-limsup 15384  df-clim 15401  df-rlim 15402  df-sum 15600  df-prod 15817  df-ef 15980  df-sin 15982  df-cos 15983  df-tan 15984  df-pi 15985  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-rest 17332  df-topn 17333  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-topgen 17353  df-pt 17354  df-prds 17357  df-xrs 17412  df-qtop 17417  df-imas 17418  df-xps 17420  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-submnd 18698  df-mulg 18987  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-lp 23057  df-perf 23058  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-haus 23236  df-cmp 23308  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801  df-ulm 26319  df-log 26498  df-cxp 26499  df-lgam 26962  df-gam 26963

This theorem is referenced by: (None)