Theorem amgmlem 27363

Description: Lemma for amgm 27364. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgm.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
amgm.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
amgm.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgmlem	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfld0 21744	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
2		cnring 21742	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringabl 20552	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
4	2, 3	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Abel)
5		amgm.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		resubdrg 21958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
7	6	simpli 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
8		subrgsubg 20871	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
9	7, 8	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10		amgm.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
11	10	ffvelcdmda 7114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
12	11	relogcld 26997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
13	12	renegcld 11780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	13	fmpttd 7145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))):𝐴⟶ℝ)
15		c0ex 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
17	14, 5, 16	fdmfifsupp 9402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))) finSupp 0)
18	1, 4, 5, 9, 14, 17	gsumsubgcl 20176	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℂ)
20		amgm.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
21		hashnncl 14549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
22	5, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
23	20, 22	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
24	23	nncnd 12389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
25	23	nnne0d 12426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
26	19, 24, 25	divnegd 12144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ( -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
27	12	recnd 11374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
28	5, 27	gsumfsum 21784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (log‘(𝐹‘𝑘)))
29	27	negnegd 11697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → - -(log‘(𝐹‘𝑘)) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
30	29	sumeq2dv 15910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 - -(log‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (log‘(𝐹‘𝑘)))
31	13	recnd 11374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
32	5, 31	fsumneg 15994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 - -(log‘(𝐹‘𝑘)) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)))
33	28, 30, 32	3eqtr2rd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘)))))
34	5, 31	gsumfsum 21784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)))
35	34	negeqd 11588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)))
36	10	feqmptd 6982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
37		relogf1o 26940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶1-1ontoℝ
38		f1of 6852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶1-1ontoℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
39	37, 38	mp1i 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
40	39	feqmptd 6982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
41		fvres 6933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
42	41	mpteq2ia 5204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
43	40, 42	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
44		fveq2 6914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
45	11, 36, 43, 44	fmptco 7160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘))))
46	45	oveq2d 7465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘)))))
47	33, 35, 46	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
48		amgm.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
49	48	oveq1i 7459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
50	49	rpmsubg 21781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
51		subgsubm 19400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))))
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
53		cnfldbas 21724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
54		cndrng 21749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
55	53, 1, 54	drngui 21028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
56	55, 48	unitsubm 20658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
57		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
58	57	subsubm 19053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
59	2, 56, 58	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
60	52, 59	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
61	60	simpli 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀)
62		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (𝑀 ↾s ℝ+)
63	62	submbas 19051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
64	61, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+))
65		cnfld1 21745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
66	48, 65	ringidval 20451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
67	62, 66	subm0 19052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
68	61, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
69		cncrng 21741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ CRing
70	48	crngmgp 20509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
71	69, 70	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
72	62	submmnd 19050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
73	61, 72	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
74	62	subcmn 20093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
75	71, 73, 74	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
76		df-refld 21955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
77	76	subrgring 20868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
78	7, 77	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝfld ∈ Ring
79		ringmnd 20512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Mnd)
80	78, 79	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝfld ∈ Mnd)
81	48	oveq1i 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
82	81	reloggim 26973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpIso ℝfld)
83		gimghm 19519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpIso ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld))
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld)
85		ghmmhm 19481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom ℝfld))
86	84, 85	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom ℝfld))
87		1ex 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
89	10, 5, 88	fdmfifsupp 9402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1)
90	64, 68, 75, 80, 5, 86, 10, 89	gsummhm 20194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
91		subgsubm 19400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
92	9, 91	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
93		fco 6762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
94	39, 10, 93	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
95	5, 92, 94, 76	gsumsubm 19072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
96	61	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
97	5, 96, 10, 62	gsumsubm 19072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹))
98	97	fveq2d 6918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
99	90, 95, 98	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)))
100	66, 71, 5, 96, 10, 89	gsumsubmcl 20175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
101	100	fvresd 6934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
102	47, 99, 101	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
103	102	oveq1d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (♯‘𝐴)))
104	100	relogcld 26997	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℝ)
105	104	recnd 11374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℂ)
106	105, 24, 25	divrec2d 12135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
107	26, 103, 106	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
108	36	oveq2d 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
109	11	rpcnd 13204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
110	5, 109	gsumfsum 21784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
111	108, 110	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
112	5, 20, 11	fsumrpcl 15944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
113	111, 112	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
114	23	nnrpd 13200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
115	113, 114	rpdivcld 13219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
116	115	relogcld 26997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ)
117	18, 23	nndivred 12430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
118		rpssre 13166	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
119	118	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
120		relogcl 26949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
121	120	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
122	121	renegcld 11780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℝ)
123	122	fmpttd 7145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℝ)
124		ioorp 13594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
125	124	eleq2i 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑎 ∈ ℝ+)
126	124	eleq2i 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑏 ∈ ℝ+)
127		iccssioo2 13588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (0(,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0(,)+∞)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
128	125, 126, 127	syl2anbr 611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
129	128, 124	sseqtrdi 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
130	129	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
131	23	nnrecred 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
132	114	rpreccld 13212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
133	132	rpge0d 13206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / (♯‘𝐴)))
134		elrege0 13623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (♯‘𝐴))))
135	131, 133, 134	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞))
136		fconst6g 6799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
137	135, 136	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
138		0lt1 11876	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
139		fconstmpt 5718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
140	139	oveq2i 7460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
141		ringmnd 20512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
142	2, 141	mp1i 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
143	131	recnd 11374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
144		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
145	53, 144	gsumconst 20190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))))
146	142, 5, 143, 145	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))))
147	23	nnzd 12757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
148		cnfldmulg 21752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
149	147, 143, 148	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
150	24, 25	recidd 12126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
151	146, 149, 150	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = 1)
152	140, 151	eqtrid 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
153	138, 152	breqtrrid 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))
154		logccv 27037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
155	154	3adant1 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
156		ioossre 13576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
157		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
158	156, 157	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
159		simp21 1225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
160	159	relogcld 26997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
161	158, 160	remulcld 11376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
162		1re 11345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
163		resubcl 11659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
164	162, 158, 163	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
165		simp22 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
166	165	relogcld 26997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
167	164, 166	remulcld 11376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
168	161, 167	readdcld 11375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
169		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝜑)
170		ioossicc 13602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
171	170, 157	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
172	119, 130	cvxcl 27358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
173	169, 159, 165, 171, 172	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
174	173	relogcld 26997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ ℝ)
175	168, 174	ltnegd 11932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ↔ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))))
176	155, 175	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
177		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
178	177	negeqd 11588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
179		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))
180		negex 11592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V
181	178, 179, 180	fvmpt 7022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
182	173, 181	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
183		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (log‘𝑤) = (log‘𝑥))
184	183	negeqd 11588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑥))
185		negex 11592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(log‘𝑥) ∈ V
186	184, 179, 185	fvmpt 7022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
187	159, 186	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
188	187	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = (𝑡 · -(log‘𝑥)))
189	158	recnd 11374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
190	160	recnd 11374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
191	189, 190	mulneg2d 11807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · -(log‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
192	188, 191	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
193		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (log‘𝑤) = (log‘𝑦))
194	193	negeqd 11588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑦))
195		negex 11592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(log‘𝑦) ∈ V
196	194, 179, 195	fvmpt 7022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
197	165, 196	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
198	197	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)))
199	164	recnd 11374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
200	166	recnd 11374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
201	199, 200	mulneg2d 11807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
202	198, 201	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
203	192, 202	oveq12d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = ( -(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
204	161	recnd 11374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
205	167	recnd 11374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
206	204, 205	negdid 11719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) = ( -(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
207	203, 206	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
208	176, 182, 207	3brtr4d 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))))
209	119, 123, 130, 208	scvxcvx 27359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑠 · 𝑢) + ((1 − 𝑠) · 𝑣))) ≤ ((𝑠 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑢)) + ((1 − 𝑠) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑣))))
210	119, 123, 130, 5, 137, 10, 153, 209	jensen 27362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))))
211	210	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
212	131	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
213	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
214	5, 212, 11, 213, 36	offval2 7743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹‘𝑘))))
215	214	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹‘𝑘)))))
216		cnfldmul 21728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
217	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
218	109	fmpttd 7145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝐴⟶ℂ)
219	218, 5, 16	fdmfifsupp 9402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) finSupp 0)
220	53, 1, 216, 217, 5, 143, 109, 219	gsummulc2 20588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹‘𝑘)))) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
221		fss 6754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
222	10, 118, 221	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
223	10, 5, 16	fdmfifsupp 9402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
224	1, 4, 5, 9, 222, 223	gsumsubgcl 20176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ)
225	224	recnd 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℂ)
226	225, 24, 25	divrec2d 12135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)))
227	108	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
228	226, 227	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
229	215, 220, 228	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
230	229, 152	oveq12d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) / 1))
231	224, 23	nndivred 12430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
232	231	recnd 11374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
233	232	div1d 12123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
234	230, 233	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
235	234	fveq2d 6918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
236		fveq2 6914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) → (log‘𝑤) = (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
237	236	negeqd 11588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
238		negex 11592	. . . . . . . . 9 ⊢ -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ V
239	237, 179, 238	fvmpt 7022	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
240	115, 239	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
241	235, 240	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
242	53, 1, 216, 217, 5, 143, 31, 17	gsummulc2 20588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
243		negex 11592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
244	243	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
245		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
246		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑘) → (log‘𝑤) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
247	246	negeqd 11588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑘) → -(log‘𝑤) = -(log‘(𝐹‘𝑘)))
248	11, 36, 245, 247	fmptco 7160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))
249	5, 212, 244, 213, 248	offval2 7743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹‘𝑘)))))
250	249	oveq2d 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
251	19, 24, 25	divrec2d 12135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
252	242, 250, 251	3eqtr4d 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
253	252, 152	oveq12d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) / 1))
254	117	recnd 11374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
255	254	div1d 12123	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
256	253, 255	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
257	211, 241, 256	3brtr3d 5140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
258	116, 117, 257	lenegcon1d 11936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
259	107, 258	eqbrtrrd 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
260	131, 104	remulcld 11376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ)
261		efle 16327	. . . 4 ⊢ ((((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ) → (((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))))
262	260, 116, 261	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))))
263	259, 262	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))))
264	100	rpcnd 13204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℂ)
265	100	rpne0d 13207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0)
266	264, 265, 143	cxpefd 27086	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))))
267	115	reeflogd 26998	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
268	267	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))))
269	263, 266, 268	3brtr4d 5141	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654   ↾ cres 5658   ∘ ccom 5660  ⟶wf 6560  ⟶1-1ontowf1o 6563  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ∘_f cof 7721  Fincfn 9009  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   · cmul 11242  +∞cpnf 11377   < clt 11380   ≤ cle 11381   − cmin 11578   -cneg 11579   / cdiv 12011  ℕcn 12373  ℤcz 12731  ℝ⁺crp 13158  (,)cioo 13514  [,)cico 13516  [,]cicc 13517  ♯chash 14513  Σcsu 15894  expce 16268  Basecbs 17428   ↾_s cress 17449  0_gc0g 17651   Σ_g cgsu 17652  Mndcmnd 18964   MndHom cmhm 19017  SubMndcsubmnd 19018  ._gcmg 19318  SubGrpcsubg 19371   GrpHom cghm 19468   GrpIso cgim 19512  CMndccmn 20036  Abelcabl 20037  mulGrpcmgp 20402  Ringcrg 20501  CRingccrg 20502  SubRingcsubrg 20863  DivRingcdr 21022  ℂ_fldccnfld 21720  ℝ_fldcrefld 21954  logclog 26928  ↑_𝑐ccxp 26929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316  ax-mulf 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-tpos 8279  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ioo 13518  df-ioc 13519  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-bc 14486  df-hash 14514  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-ef 16274  df-sin 16276  df-cos 16277  df-pi 16279  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-pt 17656  df-prds 17659  df-xrs 17715  df-qtop 17720  df-imas 17721  df-xps 17723  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-mhm 19019  df-submnd 19020  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-mulg 19319  df-subg 19374  df-ghm 19469  df-gim 19514  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503  df-cring 20504  df-oppr 20609  df-dvdsr 20629  df-unit 20630  df-invr 20660  df-dvr 20673  df-subrng 20840  df-subrg 20864  df-drng 21024  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-fbas 21717  df-fg 21718  df-cnfld 21721  df-refld 21955  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-cld 23381  df-ntr 23382  df-cls 23383  df-nei 23460  df-lp 23498  df-perf 23499  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-haus 23677  df-cmp 23749  df-tx 23925  df-hmeo 24118  df-fil 24209  df-fm 24301  df-flim 24302  df-flf 24303  df-xms 24683  df-ms 24684  df-tms 24685  df-cncf 25243  df-limc 26230  df-dv 26231  df-log 26930  df-cxp 26931

This theorem is used by:  amgm  27364  amgm2d  45453  amgm3d  45454  amgm4d  45455