MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  amgmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmlem 26339
Description: Lemma for amgm 26340. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm.1 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgm.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgm.3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgm.4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgmlem (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfld0 20821 . . . . . . . 8 0 = (0g‘ℂfld)
2 cnring 20819 . . . . . . . . 9 fld ∈ Ring
3 ringabl 20002 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
42, 3mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂfld ∈ Abel)
5 amgm.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 resubdrg 21012 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
76simpli 484 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
8 subrgsubg 20228 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
97, 8mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10 amgm.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
1110ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
1211relogcld 25978 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1312renegcld 11582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1413fmpttd 7063 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))):𝐴⟶ℝ)
15 c0ex 11149 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ V)
1714, 5, 16fdmfifsupp 9315 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))) finSupp 0)
181, 4, 5, 9, 14, 17gsumsubgcl 19697 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ)
1918recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℂ)
20 amgm.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
21 hashnncl 14266 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
225, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2320, 22mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
2423nncnd 12169 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
2523nnne0d 12203 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2619, 24, 25divnegd 11944 . . . . 5 (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = (-(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
2712recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
285, 27gsumfsum 20864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘)))) = Σ𝑘𝐴 (log‘(𝐹𝑘)))
2927negnegd 11503 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → --(log‘(𝐹𝑘)) = (log‘(𝐹𝑘)))
3029sumeq2dv 15588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘(𝐹𝑘)) = Σ𝑘𝐴 (log‘(𝐹𝑘)))
3113recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
325, 31fsumneg 15672 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘(𝐹𝑘)) = -Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)))
3328, 30, 323eqtr2rd 2783 . . . . . . . 8 (𝜑 → -Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘)))))
345, 31gsumfsum 20864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)))
3534negeqd 11395 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = -Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)))
3610feqmptd 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
37 relogf1o 25922 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
38 f1of 6784 . . . . . . . . . . . . 13 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3937, 38mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4039feqmptd 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
41 fvres 6861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
4241mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
4340, 42eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
44 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐹𝑘)))
4511, 36, 43, 44fmptco 7075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘))))
4645oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘)))))
4733, 35, 463eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
48 amgm.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
4948oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
5049rpmsubg 20861 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
51 subgsubm 18950 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
53 cnfldbas 20800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ = (Base‘ℂfld)
54 cndrng 20826 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld ∈ DivRing
5553, 1, 54drngui 20191 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
5655, 48unitsubm 20099 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
57 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
5857subsubm 18627 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
592, 56, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
6052, 59mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
6160simpli 484 . . . . . . . . . 10 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
62 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑀s+) = (𝑀s+)
6362submbas 18625 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
6461, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 + = (Base‘(𝑀s+))
65 cnfld1 20822 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r‘ℂfld)
6648, 65ringidval 19915 . . . . . . . . . . 11 1 = (0g𝑀)
6762, 66subm0 18626 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → 1 = (0g‘(𝑀s+)))
6861, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 = (0g‘(𝑀s+))
69 cncrng 20818 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ CRing
7048crngmgp 19972 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
7169, 70mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
7262submmnd 18624 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
7361, 72mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
7462subcmn 19615 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
7571, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
76 df-refld 21009 . . . . . . . . . . . 12 fld = (ℂflds ℝ)
7776subrgring 20225 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
787, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
79 ringmnd 19974 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Mnd)
8078, 79mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝfld ∈ Mnd)
8148oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
8281reloggim 25954 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpIso ℝfld)
83 gimghm 19054 . . . . . . . . . . 11 ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpIso ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld)
85 ghmmhm 19018 . . . . . . . . . 10 ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) MndHom ℝfld))
8684, 85mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) MndHom ℝfld))
87 1ex 11151 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
8887a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ V)
8910, 5, 88fdmfifsupp 9315 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 finSupp 1)
9064, 68, 75, 80, 5, 86, 10, 89gsummhm 19715 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
91 subgsubm 18950 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
929, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
93 fco 6692 . . . . . . . . . 10 (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
9439, 10, 93syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
955, 92, 94, 76gsumsubm 18645 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
9661a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
975, 96, 10, 62gsumsubm 18645 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀s+) Σg 𝐹))
9897fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
9990, 95, 983eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)))
10066, 71, 5, 96, 10, 89gsumsubmcl 19696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
101100fvresd 6862 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
10247, 99, 1013eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
103102oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (-(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (♯‘𝐴)))
104100relogcld 25978 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℝ)
105104recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℂ)
106105, 24, 25divrec2d 11935 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
10726, 103, 1063eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
10836oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))))
10911rpcnd 12959 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1105, 109gsumfsum 20864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
111108, 110eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
1125, 20, 11fsumrpcl 15622 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
113111, 112eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
11423nnrpd 12955 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
115113, 114rpdivcld 12974 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
116115relogcld 25978 . . . . 5 (𝜑 → (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ)
11718, 23nndivred 12207 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
118 rpssre 12922 . . . . . . . . 9 + ⊆ ℝ
119118a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
120 relogcl 25931 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+ → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
121120adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
122121renegcld 11582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℝ)
123122fmpttd 7063 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℝ)
124 ioorp 13342 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) = ℝ+
125124eleq2i 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑎 ∈ ℝ+)
126124eleq2i 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑏 ∈ ℝ+)
127 iccssioo2 13337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (0(,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0(,)+∞)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
128125, 126, 127syl2anbr 599 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
129128, 124sseqtrdi 3994 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
130129adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
13123nnrecred 12204 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
132114rpreccld 12967 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
133132rpge0d 12961 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (♯‘𝐴)))
134 elrege0 13371 . . . . . . . . . 10 ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (♯‘𝐴))))
135131, 133, 134sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞))
136 fconst6g 6731 . . . . . . . . 9 ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
137135, 136syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
138 0lt1 11677 . . . . . . . . 9 0 < 1
139 fconstmpt 5694 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
140139oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
141 ringmnd 19974 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
1422, 141mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
143131recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
144 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
14553, 144gsumconst 19711 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))))
146142, 5, 143, 145syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))))
14723nnzd 12526 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
148 cnfldmulg 20829 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
149147, 143, 148syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
15024, 25recidd 11926 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
151146, 149, 1503eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = 1)
152140, 151eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
153138, 152breqtrrid 5143 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))
154 logccv 26018 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
1551543adant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
156 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)1) ⊆ ℝ
157 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
158156, 157sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
159 simp21 1206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
160159relogcld 25978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
161158, 160remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
162 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
163 resubcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
164162, 158, 163sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
165 simp22 1207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
166165relogcld 25978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
167164, 166remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
168161, 167readdcld 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
169 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝜑)
170 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
171170, 157sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
172119, 130cvxcl 26334 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
173169, 159, 165, 171, 172syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
174173relogcld 25978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ ℝ)
175168, 174ltnegd 11733 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ↔ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))))
176155, 175mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
177 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
178177negeqd 11395 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
179 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))
180 negex 11399 . . . . . . . . . . . 12 -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V
181178, 179, 180fvmpt 6948 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
182173, 181syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
183 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑥 → (log‘𝑤) = (log‘𝑥))
184183negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑥 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑥))
185 negex 11399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(log‘𝑥) ∈ V
186184, 179, 185fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
187159, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
188187oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = (𝑡 · -(log‘𝑥)))
189158recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
190160recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
191189, 190mulneg2d 11609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · -(log‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
192188, 191eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
193 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑦 → (log‘𝑤) = (log‘𝑦))
194193negeqd 11395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑦 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑦))
195 negex 11399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(log‘𝑦) ∈ V
196194, 179, 195fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
197165, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
198197oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)))
199164recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
200166recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
201199, 200mulneg2d 11609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
202198, 201eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
203192, 202oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
204161recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
205167recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
206204, 205negdid 11525 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
207203, 206eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
208176, 182, 2073brtr4d 5137 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))))
209119, 123, 130, 208scvxcvx 26335 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑠 · 𝑢) + ((1 − 𝑠) · 𝑣))) ≤ ((𝑠 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑢)) + ((1 − 𝑠) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑣))))
210119, 123, 130, 5, 137, 10, 153, 209jensen 26338 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))))
211210simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
212131adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
213139a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
2145, 212, 11, 213, 36offval2 7637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹𝑘))))
215214oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹𝑘)))))
216 cnfldadd 20801 . . . . . . . . . . . 12 + = (+g‘ℂfld)
217 cnfldmul 20802 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℂfld)
2182a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
219109fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)):𝐴⟶ℂ)
220219, 5, 16fdmfifsupp 9315 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) finSupp 0)
22153, 1, 216, 217, 218, 5, 143, 109, 220gsummulc2 20031 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹𝑘)))) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))))
222 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
22310, 118, 222sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
22410, 5, 16fdmfifsupp 9315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 finSupp 0)
2251, 4, 5, 9, 223, 224gsumsubgcl 19697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ)
226225recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℂ)
227226, 24, 25divrec2d 11935 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)))
228108oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))))
229227, 228eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
230215, 221, 2293eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
231230, 152oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) / 1))
232225, 23nndivred 12207 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
233232recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
234233div1d 11923 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
235231, 234eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
236235fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
237 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) → (log‘𝑤) = (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
238237negeqd 11395 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
239 negex 11399 . . . . . . . . 9 -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ V
240238, 179, 239fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
241115, 240syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
242236, 241eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
24353, 1, 216, 217, 218, 5, 143, 31, 17gsummulc2 20031 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹𝑘))))) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
244 negex 11399 . . . . . . . . . . . 12 -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ V
245244a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ V)
246 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
247 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑘) → (log‘𝑤) = (log‘(𝐹𝑘)))
248247negeqd 11395 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑘) → -(log‘𝑤) = -(log‘(𝐹𝑘)))
24911, 36, 246, 248fmptco 7075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))
2505, 212, 245, 213, 249offval2 7637 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) = (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹𝑘)))))
251250oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹𝑘))))))
25219, 24, 25divrec2d 11935 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
253243, 251, 2523eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
254253, 152oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) / 1))
255117recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
256255div1d 11923 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
257254, 256eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
258211, 242, 2573brtr3d 5136 . . . . 5 (𝜑 → -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
259116, 117, 258lenegcon1d 11737 . . . 4 (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
260107, 259eqbrtrrd 5129 . . 3 (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
261131, 104remulcld 11185 . . . 4 (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ)
262 efle 16000 . . . 4 ((((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ) → (((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))))
263261, 116, 262syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))))
264260, 263mpbid 231 . 2 (𝜑 → (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))))
265100rpcnd 12959 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℂ)
266100rpne0d 12962 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0)
267265, 266, 143cxpefd 26067 . 2 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))))
268115reeflogd 25979 . . 3 (𝜑 → (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
269268eqcomd 2742 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))))
270264, 267, 2693brtr4d 5137 1 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  cz 12499  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  chash 14230  Σcsu 15570  expce 15944  Basecbs 17083  s cress 17112  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  SubMndcsubmnd 18600  .gcmg 18872  SubGrpcsubg 18922   GrpHom cghm 19005   GrpIso cgim 19047  CMndccmn 19562  Abelcabl 19563  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  DivRingcdr 20185  SubRingcsubrg 20218  fldccnfld 20796  fldcrefld 21008  logclog 25910  𝑐ccxp 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  amgm  26340  amgm2d  42461  amgm3d  42462  amgm4d  42463
  Copyright terms: Public domain W3C validator