Theorem amgmlem 25561

Description: Lemma for amgm 25562. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgm.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
amgm.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
amgm.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgmlem	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfld0 20563	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
2		cnring 20561	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringabl 19324	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Abel)
5		amgm.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		resubdrg 20746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
7	6	simpli 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
8		subrgsubg 19535	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
9	7, 8	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10		amgm.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
11	10	ffvelrnda 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
12	11	relogcld 25200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
13	12	renegcld 11061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	13	fmpttd 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))):𝐴⟶ℝ)
15		c0ex 10629	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
17	14, 5, 16	fdmfifsupp 8837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))) finSupp 0)
18	1, 4, 5, 9, 14, 17	gsumsubgcl 19034	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℂ)
20		amgm.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
21		hashnncl 13721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
22	5, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
23	20, 22	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
24	23	nncnd 11648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
25	23	nnne0d 11681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
26	19, 24, 25	divnegd 11423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = (-(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
27	12	recnd 10663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
28	5, 27	gsumfsum 20606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (log‘(𝐹‘𝑘)))
29	27	negnegd 10982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → --(log‘(𝐹‘𝑘)) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
30	29	sumeq2dv 15054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 --(log‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (log‘(𝐹‘𝑘)))
31	13	recnd 10663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
32	5, 31	fsumneg 15136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 --(log‘(𝐹‘𝑘)) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)))
33	28, 30, 32	3eqtr2rd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘)))))
34	5, 31	gsumfsum 20606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)))
35	34	negeqd 10874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)))
36	10	feqmptd 6728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
37		relogf1o 25144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
38		f1of 6610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
39	37, 38	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
40	39	feqmptd 6728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
41		fvres 6684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
42	41	mpteq2ia 5150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
43	40, 42	syl6eq 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
44		fveq2 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
45	11, 36, 43, 44	fmptco 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘))))
46	45	oveq2d 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘)))))
47	33, 35, 46	3eqtr4d 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
48		amgm.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
49	48	oveq1i 7160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
50	49	rpmsubg 20603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
51		subgsubm 18295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))))
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
53		cnfldbas 20543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
54		cndrng 20568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
55	53, 1, 54	drngui 19502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
56	55, 48	unitsubm 19414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
57		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
58	57	subsubm 17975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
59	2, 56, 58	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
60	52, 59	mpbi 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
61	60	simpli 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀)
62		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (𝑀 ↾s ℝ+)
63	62	submbas 17973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
64	61, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+))
65		cnfld1 20564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
66	48, 65	ringidval 19247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
67	62, 66	subm0 17974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
68	61, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
69		cncrng 20560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ CRing
70	48	crngmgp 19299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
71	69, 70	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
72	62	submmnd 17972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
73	61, 72	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
74	62	subcmn 18951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
75	71, 73, 74	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
76		df-refld 20743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
77	76	subrgring 19532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
78	7, 77	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝfld ∈ Ring
79		ringmnd 19300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Mnd)
80	78, 79	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝfld ∈ Mnd)
81	48	oveq1i 7160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
82	81	reloggim 25176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpIso ℝfld)
83		gimghm 18398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpIso ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld))
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld)
85		ghmmhm 18362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom ℝfld))
86	84, 85	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom ℝfld))
87		1ex 10631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
89	10, 5, 88	fdmfifsupp 8837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1)
90	64, 68, 75, 80, 5, 86, 10, 89	gsummhm 19052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
91		subgsubm 18295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
92	9, 91	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
93		fco 6526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
94	39, 10, 93	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
95	5, 92, 94, 76	gsumsubm 17993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
96	61	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
97	5, 96, 10, 62	gsumsubm 17993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹))
98	97	fveq2d 6669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
99	90, 95, 98	3eqtr4d 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)))
100	66, 71, 5, 96, 10, 89	gsumsubmcl 19033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
101	100	fvresd 6685	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
102	47, 99, 101	3eqtrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
103	102	oveq1d 7165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (♯‘𝐴)))
104	100	relogcld 25200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℝ)
105	104	recnd 10663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℂ)
106	105, 24, 25	divrec2d 11414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
107	26, 103, 106	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
108	36	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
109	11	rpcnd 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
110	5, 109	gsumfsum 20606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
111	108, 110	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
112	5, 20, 11	fsumrpcl 15088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
113	111, 112	eqeltrd 2913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
114	23	nnrpd 12423	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
115	113, 114	rpdivcld 12442	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
116	115	relogcld 25200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ)
117	18, 23	nndivred 11685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
118		rpssre 12390	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
119	118	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
120		relogcl 25153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
121	120	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
122	121	renegcld 11061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℝ)
123	122	fmpttd 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℝ)
124		ioorp 12808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
125	124	eleq2i 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑎 ∈ ℝ+)
126	124	eleq2i 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑏 ∈ ℝ+)
127		iccssioo2 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (0(,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0(,)+∞)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
128	125, 126, 127	syl2anbr 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
129	128, 124	sseqtrdi 4017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
130	129	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
131	23	nnrecred 11682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
132	114	rpreccld 12435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
133	132	rpge0d 12429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / (♯‘𝐴)))
134		elrege0 12836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (♯‘𝐴))))
135	131, 133, 134	sylanbrc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞))
136		fconst6g 6563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
138		0lt1 11156	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
139		fconstmpt 5609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
140	139	oveq2i 7161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
141		ringmnd 19300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
142	2, 141	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
143	131	recnd 10663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
144		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
145	53, 144	gsumconst 19048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))))
146	142, 5, 143, 145	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))))
147	23	nnzd 12080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
148		cnfldmulg 20571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
149	147, 143, 148	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
150	24, 25	recidd 11405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
151	146, 149, 150	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = 1)
152	140, 151	syl5eq 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
153	138, 152	breqtrrid 5097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))
154		logccv 25240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
155	154	3adant1 1126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
156		ioossre 12792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
157		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
158	156, 157	sseldi 3965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
159		simp21 1202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
160	159	relogcld 25200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
161	158, 160	remulcld 10665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
162		1re 10635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
163		resubcl 10944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
164	162, 158, 163	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
165		simp22 1203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
166	165	relogcld 25200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
167	164, 166	remulcld 10665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
168	161, 167	readdcld 10664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
169		simp1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝜑)
170		ioossicc 12816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
171	170, 157	sseldi 3965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
172	119, 130	cvxcl 25556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
173	169, 159, 165, 171, 172	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
174	173	relogcld 25200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ ℝ)
175	168, 174	ltnegd 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ↔ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))))
176	155, 175	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
177		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
178	177	negeqd 10874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
179		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))
180		negex 10878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V
181	178, 179, 180	fvmpt 6763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
182	173, 181	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
183		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (log‘𝑤) = (log‘𝑥))
184	183	negeqd 10874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑥))
185		negex 10878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(log‘𝑥) ∈ V
186	184, 179, 185	fvmpt 6763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
187	159, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
188	187	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = (𝑡 · -(log‘𝑥)))
189	158	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
190	160	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
191	189, 190	mulneg2d 11088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · -(log‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
192	188, 191	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
193		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (log‘𝑤) = (log‘𝑦))
194	193	negeqd 10874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑦))
195		negex 10878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(log‘𝑦) ∈ V
196	194, 179, 195	fvmpt 6763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
197	165, 196	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
198	197	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)))
199	164	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
200	166	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
201	199, 200	mulneg2d 11088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
202	198, 201	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
203	192, 202	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
204	161	recnd 10663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
205	167	recnd 10663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
206	204, 205	negdid 11004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
207	203, 206	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
208	176, 182, 207	3brtr4d 5091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))))
209	119, 123, 130, 208	scvxcvx 25557	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑠 · 𝑢) + ((1 − 𝑠) · 𝑣))) ≤ ((𝑠 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑢)) + ((1 − 𝑠) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑣))))
210	119, 123, 130, 5, 137, 10, 153, 209	jensen 25560	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))))
211	210	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
212	131	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
213	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
214	5, 212, 11, 213, 36	offval2 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹‘𝑘))))
215	214	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹‘𝑘)))))
216		cnfldadd 20544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
217		cnfldmul 20545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
218	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
219	109	fmpttd 6874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝐴⟶ℂ)
220	219, 5, 16	fdmfifsupp 8837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) finSupp 0)
221	53, 1, 216, 217, 218, 5, 143, 109, 220	gsummulc2 19351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹‘𝑘)))) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
222		fss 6522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
223	10, 118, 222	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
224	10, 5, 16	fdmfifsupp 8837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
225	1, 4, 5, 9, 223, 224	gsumsubgcl 19034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ)
226	225	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℂ)
227	226, 24, 25	divrec2d 11414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)))
228	108	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
229	227, 228	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
230	215, 221, 229	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
231	230, 152	oveq12d 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) / 1))
232	225, 23	nndivred 11685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
233	232	recnd 10663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
234	233	div1d 11402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
235	231, 234	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
236	235	fveq2d 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
237		fveq2 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) → (log‘𝑤) = (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
238	237	negeqd 10874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
239		negex 10878	. . . . . . . . 9 ⊢ -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ V
240	238, 179, 239	fvmpt 6763	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
241	115, 240	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
242	236, 241	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
243	53, 1, 216, 217, 218, 5, 143, 31, 17	gsummulc2 19351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
244		negex 10878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
245	244	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
246		eqidd 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
247		fveq2 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑘) → (log‘𝑤) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
248	247	negeqd 10874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑘) → -(log‘𝑤) = -(log‘(𝐹‘𝑘)))
249	11, 36, 246, 248	fmptco 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))
250	5, 212, 245, 213, 249	offval2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹‘𝑘)))))
251	250	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
252	19, 24, 25	divrec2d 11414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
253	243, 251, 252	3eqtr4d 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
254	253, 152	oveq12d 7168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) / 1))
255	117	recnd 10663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
256	255	div1d 11402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
257	254, 256	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
258	211, 242, 257	3brtr3d 5090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
259	116, 117, 258	lenegcon1d 11216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
260	107, 259	eqbrtrrd 5083	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
261	131, 104	remulcld 10665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ)
262		efle 15465	. . . 4 ⊢ ((((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ) → (((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))))
263	261, 116, 262	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))))
264	260, 263	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))))
265	100	rpcnd 12427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℂ)
266	100	rpne0d 12430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0)
267	265, 266, 143	cxpefd 25289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))))
268	115	reeflogd 25201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
269	268	eqcomd 2827	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))))
270	264, 267, 269	3brtr4d 5091	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3495   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4561   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139   × cxp 5548   ↾ cres 5552   ∘ ccom 5554  ⟶wf 6346  –1-1-onto→wf1o 6349  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ∘_f cof 7401  Fincfn 8503  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  +∞cpnf 10666   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  ℕcn 11632  ℤcz 11975  ℝ⁺crp 12383  (,)cioo 12732  [,)cico 12734  [,]cicc 12735  ♯chash 13684  Σcsu 15036  expce 15409  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  0_gc0g 16707   Σ_g cgsu 16708  Mndcmnd 17905   MndHom cmhm 17948  SubMndcsubmnd 17949  ._gcmg 18218  SubGrpcsubg 18267   GrpHom cghm 18349   GrpIso cgim 18391  CMndccmn 18900  Abelcabl 18901  mulGrpcmgp 19233  Ringcrg 19291  CRingccrg 19292  DivRingcdr 19496  SubRingcsubrg 19525  ℂ_fldccnfld 20539  ℝ_fldcrefld 20742  logclog 25132  ↑_𝑐ccxp 25133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-gim 18393  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19498  df-subrg 19527  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-refld 20743  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-cmp 21989  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134  df-cxp 25135

This theorem is referenced by:  amgm  25562  amgm2d  40544  amgm3d  40545  amgm4d  40546