MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  amgmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmlem 27047
Description: Lemma for amgm 27048. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm.1 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgm.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgm.3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgm.4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgmlem (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfld0 21422 . . . . . . . 8 0 = (0g‘ℂfld)
2 cnring 21420 . . . . . . . . 9 fld ∈ Ring
3 ringabl 20294 . . . . . . . . 9 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
42, 3mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂfld ∈ Abel)
5 amgm.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 resubdrg 21643 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
76simpli 483 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
8 subrgsubg 20593 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
97, 8mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10 amgm.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
1110ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
1211relogcld 26679 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1312renegcld 11687 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
1413fmpttd 7134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))):𝐴⟶ℝ)
15 c0ex 11252 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ V)
1714, 5, 16fdmfifsupp 9412 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))) finSupp 0)
181, 4, 5, 9, 14, 17gsumsubgcl 19952 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℝ)
1918recnd 11286 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) ∈ ℂ)
20 amgm.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
21 hashnncl 14401 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
225, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2320, 22mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
2423nncnd 12279 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
2523nnne0d 12313 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2619, 24, 25divnegd 12053 . . . . 5 (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = (-(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
2712recnd 11286 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
285, 27gsumfsum 21469 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘)))) = Σ𝑘𝐴 (log‘(𝐹𝑘)))
2927negnegd 11608 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → --(log‘(𝐹𝑘)) = (log‘(𝐹𝑘)))
3029sumeq2dv 15734 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘(𝐹𝑘)) = Σ𝑘𝐴 (log‘(𝐹𝑘)))
3113recnd 11286 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
325, 31fsumneg 15819 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 --(log‘(𝐹𝑘)) = -Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)))
3328, 30, 323eqtr2rd 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → -Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘)))))
345, 31gsumfsum 21469 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)))
3534negeqd 11499 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = -Σ𝑘𝐴 -(log‘(𝐹𝑘)))
3610feqmptd 6976 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
37 relogf1o 26622 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
38 f1of 6848 . . . . . . . . . . . . 13 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3937, 38mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
4039feqmptd 6976 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
41 fvres 6925 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
4241mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
4340, 42eqtrdi 2790 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
44 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐹𝑘)))
4511, 36, 43, 44fmptco 7148 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘))))
4645oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (log‘(𝐹𝑘)))))
4733, 35, 463eqtr4d 2784 . . . . . . 7 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
48 amgm.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
4948oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
5049rpmsubg 21466 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
51 subgsubm 19178 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
53 cnfldbas 21385 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ = (Base‘ℂfld)
54 cndrng 21428 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld ∈ DivRing
5553, 1, 54drngui 20751 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
5655, 48unitsubm 20402 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
57 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
5857subsubm 18841 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
592, 56, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
6052, 59mpbi 230 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
6160simpli 483 . . . . . . . . . 10 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
62 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑀s+) = (𝑀s+)
6362submbas 18839 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
6461, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 + = (Base‘(𝑀s+))
65 cnfld1 21423 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r‘ℂfld)
6648, 65ringidval 20200 . . . . . . . . . . 11 1 = (0g𝑀)
6762, 66subm0 18840 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → 1 = (0g‘(𝑀s+)))
6861, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 = (0g‘(𝑀s+))
69 cncrng 21418 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ CRing
7048crngmgp 20258 . . . . . . . . . . 11 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
7169, 70mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
7262submmnd 18838 . . . . . . . . . . 11 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
7361, 72mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
7462subcmn 19869 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
7571, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
76 df-refld 21640 . . . . . . . . . . . 12 fld = (ℂflds ℝ)
7776subrgring 20590 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
787, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
79 ringmnd 20260 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Mnd)
8078, 79mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝfld ∈ Mnd)
8148oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
8281reloggim 26655 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpIso ℝfld)
83 gimghm 19294 . . . . . . . . . . 11 ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpIso ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld)
85 ghmmhm 19256 . . . . . . . . . 10 ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) GrpHom ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) MndHom ℝfld))
8684, 85mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀s+) MndHom ℝfld))
87 1ex 11254 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
8887a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ V)
8910, 5, 88fdmfifsupp 9412 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 finSupp 1)
9064, 68, 75, 80, 5, 86, 10, 89gsummhm 19970 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
91 subgsubm 19178 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
929, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
93 fco 6760 . . . . . . . . . 10 (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
9439, 10, 93syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
955, 92, 94, 76gsumsubm 18860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
9661a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
975, 96, 10, 62gsumsubm 18860 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀s+) Σg 𝐹))
9897fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
9990, 95, 983eqtr4d 2784 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)))
10066, 71, 5, 96, 10, 89gsumsubmcl 19951 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
101100fvresd 6926 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
10247, 99, 1013eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
103102oveq1d 7445 . . . . 5 (𝜑 → (-(ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (♯‘𝐴)))
104100relogcld 26679 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℝ)
105104recnd 11286 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℂ)
106105, 24, 25divrec2d 12044 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
10726, 103, 1063eqtrd 2778 . . . 4 (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
10836oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))))
10911rpcnd 13076 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1105, 109gsumfsum 21469 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
111108, 110eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
1125, 20, 11fsumrpcl 15769 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
113111, 112eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
11423nnrpd 13072 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
115113, 114rpdivcld 13091 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
116115relogcld 26679 . . . . 5 (𝜑 → (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ)
11718, 23nndivred 12317 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
118 rpssre 13039 . . . . . . . . 9 + ⊆ ℝ
119118a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
120 relogcl 26631 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+ → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
121120adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
122121renegcld 11687 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℝ)
123122fmpttd 7134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℝ)
124 ioorp 13461 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) = ℝ+
125124eleq2i 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑎 ∈ ℝ+)
126124eleq2i 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑏 ∈ ℝ+)
127 iccssioo2 13456 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (0(,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0(,)+∞)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
128125, 126, 127syl2anbr 599 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
129128, 124sseqtrdi 4045 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
130129adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
13123nnrecred 12314 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
132114rpreccld 13084 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
133132rpge0d 13078 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (♯‘𝐴)))
134 elrege0 13490 . . . . . . . . . 10 ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (♯‘𝐴))))
135131, 133, 134sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞))
136 fconst6g 6797 . . . . . . . . 9 ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
137135, 136syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
138 0lt1 11782 . . . . . . . . 9 0 < 1
139 fconstmpt 5750 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
140139oveq2i 7441 . . . . . . . . . 10 (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
141 ringmnd 20260 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
1422, 141mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
143131recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
144 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
14553, 144gsumconst 19966 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))))
146142, 5, 143, 145syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))))
14723nnzd 12637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
148 cnfldmulg 21433 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
149147, 143, 148syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
15024, 25recidd 12035 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
151146, 149, 1503eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = 1)
152140, 151eqtrid 2786 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
153138, 152breqtrrid 5185 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))
154 logccv 26719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
1551543adant1 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
156 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)1) ⊆ ℝ
157 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
158156, 157sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
159 simp21 1205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
160159relogcld 26679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
161158, 160remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
162 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
163 resubcl 11570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
164162, 158, 163sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
165 simp22 1206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
166165relogcld 26679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
167164, 166remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
168161, 167readdcld 11287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
169 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝜑)
170 ioossicc 13469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
171170, 157sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
172119, 130cvxcl 27042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
173169, 159, 165, 171, 172syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
174173relogcld 26679 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ ℝ)
175168, 174ltnegd 11838 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ↔ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))))
176155, 175mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
177 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
178177negeqd 11499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
179 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))
180 negex 11503 . . . . . . . . . . . 12 -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V
181178, 179, 180fvmpt 7015 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
182173, 181syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
183 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑥 → (log‘𝑤) = (log‘𝑥))
184183negeqd 11499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑥 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑥))
185 negex 11503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(log‘𝑥) ∈ V
186184, 179, 185fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
187159, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
188187oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = (𝑡 · -(log‘𝑥)))
189158recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
190160recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
191189, 190mulneg2d 11714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · -(log‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
192188, 191eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
193 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑦 → (log‘𝑤) = (log‘𝑦))
194193negeqd 11499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑦 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑦))
195 negex 11503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(log‘𝑦) ∈ V
196194, 179, 195fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
197165, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
198197oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)))
199164recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
200166recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
201199, 200mulneg2d 11714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
202198, 201eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
203192, 202oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
204161recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
205167recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
206204, 205negdid 11630 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
207203, 206eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
208176, 182, 2073brtr4d 5179 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))))
209119, 123, 130, 208scvxcvx 27043 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑠 · 𝑢) + ((1 − 𝑠) · 𝑣))) ≤ ((𝑠 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑢)) + ((1 − 𝑠) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑣))))
210119, 123, 130, 5, 137, 10, 153, 209jensen 27046 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))))
211210simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
212131adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
213139a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
2145, 212, 11, 213, 36offval2 7716 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹𝑘))))
215214oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹𝑘)))))
216 cnfldmul 21389 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℂfld)
2172a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
218109fmpttd 7134 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)):𝐴⟶ℂ)
219218, 5, 16fdmfifsupp 9412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)) finSupp 0)
22053, 1, 216, 217, 5, 143, 109, 219gsummulc2 20330 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹𝑘)))) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))))
221 fss 6752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
22210, 118, 221sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
22310, 5, 16fdmfifsupp 9412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 finSupp 0)
2241, 4, 5, 9, 222, 223gsumsubgcl 19952 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ)
225224recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℂ)
226225, 24, 25divrec2d 12044 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)))
227108oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))))
228226, 227eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
229215, 220, 2283eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
230229, 152oveq12d 7448 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) / 1))
231224, 23nndivred 12317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
232231recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
233232div1d 12032 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
234230, 233eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
235234fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
236 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) → (log‘𝑤) = (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
237236negeqd 11499 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
238 negex 11503 . . . . . . . . 9 -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ V
239237, 179, 238fvmpt 7015 . . . . . . . 8 (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
240115, 239syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
241235, 240eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
24253, 1, 216, 217, 5, 143, 31, 17gsummulc2 20330 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹𝑘))))) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
243 negex 11503 . . . . . . . . . . . 12 -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ V
244243a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → -(log‘(𝐹𝑘)) ∈ V)
245 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
246 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑘) → (log‘𝑤) = (log‘(𝐹𝑘)))
247246negeqd 11499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑘) → -(log‘𝑤) = -(log‘(𝐹𝑘)))
24811, 36, 245, 247fmptco 7148 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))
2495, 212, 244, 213, 248offval2 7716 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) = (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹𝑘)))))
250249oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹𝑘))))))
25119, 24, 25divrec2d 12044 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘))))))
252242, 250, 2513eqtr4d 2784 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
253252, 152oveq12d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) / 1))
254117recnd 11286 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
255254div1d 12032 . . . . . . 7 (𝜑 → (((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
256253, 255eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
257211, 241, 2563brtr3d 5178 . . . . 5 (𝜑 → -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
258116, 117, 257lenegcon1d 11842 . . . 4 (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ -(log‘(𝐹𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
259107, 258eqbrtrrd 5171 . . 3 (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
260131, 104remulcld 11288 . . . 4 (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ)
261 efle 16150 . . . 4 ((((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ) → (((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))))
262260, 116, 261syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))))
263259, 262mpbid 232 . 2 (𝜑 → (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))))
264100rpcnd 13076 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℂ)
265100rpne0d 13079 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0)
266264, 265, 143cxpefd 26768 . 2 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))))
267115reeflogd 26680 . . 3 (𝜑 → (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
268267eqcomd 2740 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))))
269263, 266, 2683brtr4d 5179 1 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  cdif 3959  wss 3962  c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  cres 5690  ccom 5692  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  cz 12610  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  chash 14365  Σcsu 15718  expce 16093  Basecbs 17244  s cress 17273  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18759   MndHom cmhm 18806  SubMndcsubmnd 18807  .gcmg 19097  SubGrpcsubg 19150   GrpHom cghm 19242   GrpIso cgim 19287  CMndccmn 19812  Abelcabl 19813  mulGrpcmgp 20151  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  SubRingcsubrg 20585  DivRingcdr 20745  fldccnfld 21381  fldcrefld 21639  logclog 26610  𝑐ccxp 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-refld 21640  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613
This theorem is referenced by:  amgm  27048  amgm2d  44187  amgm3d  44188  amgm4d  44189
  Copyright terms: Public domain W3C validator