Theorem amgmlem 26947

Description: Lemma for amgm 26948. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgm.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
amgm.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
amgm.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgmlem	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlem

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfld0 21338	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
2		cnring 21336	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringabl 20207	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
4	2, 3	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Abel)
5		amgm.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		resubdrg 21554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
7	6	simpli 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
8		subrgsubg 20501	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
9	7, 8	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10		amgm.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
11	10	ffvelcdmda 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
12	11	relogcld 26579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
13	12	renegcld 11555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	13	fmpttd 7057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))):𝐴⟶ℝ)
15		c0ex 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
17	14, 5, 16	fdmfifsupp 9270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))) finSupp 0)
18	1, 4, 5, 9, 14, 17	gsumsubgcl 19840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) ∈ ℂ)
20		amgm.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
21		hashnncl 14280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
22	5, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
23	20, 22	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
24	23	nncnd 12152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
25	23	nnne0d 12186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
26	19, 24, 25	divnegd 11921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = (-(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
27	12	recnd 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
28	5, 27	gsumfsum 21380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (log‘(𝐹‘𝑘)))
29	27	negnegd 11474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → --(log‘(𝐹‘𝑘)) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
30	29	sumeq2dv 15616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 --(log‘(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (log‘(𝐹‘𝑘)))
31	13	recnd 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
32	5, 31	fsumneg 15701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 --(log‘(𝐹‘𝑘)) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)))
33	28, 30, 32	3eqtr2rd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘)))))
34	5, 31	gsumfsum 21380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)))
35	34	negeqd 11365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = -Σ𝑘 ∈ 𝐴 -(log‘(𝐹‘𝑘)))
36	10	feqmptd 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
37		relogf1o 26522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
38		f1of 6771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
39	37, 38	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
40	39	feqmptd 6899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
41		fvres 6850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
42	41	mpteq2ia 5190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
43	40, 42	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
44		fveq2 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (log‘𝑥) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
45	11, 36, 43, 44	fmptco 7071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘))))
46	45	oveq2d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (log‘(𝐹‘𝑘)))))
47	33, 35, 46	3eqtr4d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
48		amgm.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
49	48	oveq1i 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
50	49	rpmsubg 21377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
51		subgsubm 19069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))))
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
53		cnfldbas 21304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
54		cndrng 21344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
55	53, 1, 54	drngui 20659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
56	55, 48	unitsubm 20313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
57		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
58	57	subsubm 18732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
59	2, 56, 58	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
60	52, 59	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
61	60	simpli 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀)
62		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (𝑀 ↾s ℝ+)
63	62	submbas 18730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
64	61, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+))
65		cnfld1 21339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
66	48, 65	ringidval 20109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
67	62, 66	subm0 18731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
68	61, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
69		cncrng 21334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂfld ∈ CRing
70	48	crngmgp 20167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
71	69, 70	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
72	62	submmnd 18729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
73	61, 72	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
74	62	subcmn 19757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
75	71, 73, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
76		df-refld 21551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
77	76	subrgring 20498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
78	7, 77	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝfld ∈ Ring
79		ringmnd 20169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Mnd)
80	78, 79	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝfld ∈ Mnd)
81	48	oveq1i 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
82	81	reloggim 26555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpIso ℝfld)
83		gimghm 19184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpIso ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld))
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld)
85		ghmmhm 19146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom ℝfld) → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom ℝfld))
86	84, 85	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log ↾ ℝ+) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom ℝfld))
87		1ex 11119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ V)
89	10, 5, 88	fdmfifsupp 9270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1)
90	64, 68, 75, 80, 5, 86, 10, 89	gsummhm 19858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
91		subgsubm 19069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
92	9, 91	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
93		fco 6683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ+) → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
94	39, 10, 93	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹):𝐴⟶ℝ)
95	5, 92, 94, 76	gsumsubm 18751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = (ℝfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)))
96	61	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
97	5, 96, 10, 62	gsumsubm 18751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹))
98	97	fveq2d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
99	90, 95, 98	3eqtr4d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((log ↾ ℝ+) ∘ 𝐹)) = ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)))
100	66, 71, 5, 96, 10, 89	gsumsubmcl 19839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
101	100	fvresd 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ ℝ+)‘(𝑀 Σg 𝐹)) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
102	47, 99, 101	3eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) = (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))
103	102	oveq1d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (♯‘𝐴)))
104	100	relogcld 26579	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℝ)
105	104	recnd 11151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑀 Σg 𝐹)) ∈ ℂ)
106	105, 24, 25	divrec2d 11912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑀 Σg 𝐹)) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
107	26, 103, 106	3eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))))
108	36	oveq2d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
109	11	rpcnd 12942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
110	5, 109	gsumfsum 21380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
111	108, 110	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
112	5, 20, 11	fsumrpcl 15651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
113	111, 112	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
114	23	nnrpd 12938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
115	113, 114	rpdivcld 12957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
116	115	relogcld 26579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ)
117	18, 23	nndivred 12190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
118		rpssre 12904	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
119	118	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
120		relogcl 26531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
121	120	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (log‘𝑤) ∈ ℝ)
122	121	renegcld 11555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑤) ∈ ℝ)
123	122	fmpttd 7057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)):ℝ+⟶ℝ)
124		ioorp 13332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
125	124	eleq2i 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑎 ∈ ℝ+)
126	124	eleq2i 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (0(,)+∞) ↔ 𝑏 ∈ ℝ+)
127		iccssioo2 13326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (0(,)+∞) ∧ 𝑏 ∈ (0(,)+∞)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
128	125, 126, 127	syl2anbr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ (0(,)+∞))
129	128, 124	sseqtrdi 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
130	129	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ ℝ+)
131	23	nnrecred 12187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
132	114	rpreccld 12950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
133	132	rpge0d 12944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / (♯‘𝐴)))
134		elrege0 13361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (♯‘𝐴))))
135	131, 133, 134	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞))
136		fconst6g 6720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ (0[,)+∞) → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶(0[,)+∞))
138		0lt1 11650	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
139		fconstmpt 5683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
140	139	oveq2i 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
141		ringmnd 20169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
142	2, 141	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
143	131	recnd 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
144		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
145	53, 144	gsumconst 19854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))))
146	142, 5, 143, 145	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))))
147	23	nnzd 12505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
148		cnfldmulg 21349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
149	147, 143, 148	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴)(.g‘ℂfld)(1 / (♯‘𝐴))) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
150	24, 25	recidd 11903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
151	146, 149, 150	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = 1)
152	140, 151	eqtrid 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
153	138, 152	breqtrrid 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))
154		logccv 26619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
155	154	3adant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
156		ioossre 13314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
157		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
158	156, 157	sselid 3928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
159		simp21 1207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
160	159	relogcld 26579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
161	158, 160	remulcld 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
162		1re 11123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
163		resubcl 11436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
164	162, 158, 163	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
165		simp22 1208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
166	165	relogcld 26579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
167	164, 166	remulcld 11153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℝ)
168	161, 167	readdcld 11152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) ∈ ℝ)
169		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝜑)
170		ioossicc 13340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
171	170, 157	sselid 3928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
172	119, 130	cvxcl 26942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
173	169, 159, 165, 171, 172	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+)
174	173	relogcld 26579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ ℝ)
175	168, 174	ltnegd 11706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) < (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ↔ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))))
176	155, 175	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
177		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → (log‘𝑤) = (log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
178	177	negeqd 11365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
179		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))
180		negex 11369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ∈ V
181	178, 179, 180	fvmpt 6938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
182	173, 181	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = -(log‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
183		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (log‘𝑤) = (log‘𝑥))
184	183	negeqd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑥))
185		negex 11369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(log‘𝑥) ∈ V
186	184, 179, 185	fvmpt 6938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
187	159, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
188	187	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = (𝑡 · -(log‘𝑥)))
189	158	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
190	160	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
191	189, 190	mulneg2d 11582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · -(log‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
192	188, 191	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) = -(𝑡 · (log‘𝑥)))
193		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (log‘𝑤) = (log‘𝑦))
194	193	negeqd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → -(log‘𝑤) = -(log‘𝑦))
195		negex 11369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -(log‘𝑦) ∈ V
196	194, 179, 195	fvmpt 6938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
197	165, 196	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦) = -(log‘𝑦))
198	197	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)))
199	164	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
200	166	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
201	199, 200	mulneg2d 11582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · -(log‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
202	198, 201	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦)) = -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)))
203	192, 202	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
204	161	recnd 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑡 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
205	167	recnd 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦)) ∈ ℂ)
206	204, 205	negdid 11496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))) = (-(𝑡 · (log‘𝑥)) + -((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
207	203, 206	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))) = -((𝑡 · (log‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (log‘𝑦))))
208	176, 182, 207	3brtr4d 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑦))))
209	119, 123, 130, 208	scvxcvx 26943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1))) → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((𝑠 · 𝑢) + ((1 − 𝑠) · 𝑣))) ≤ ((𝑠 · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑢)) + ((1 − 𝑠) · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘𝑣))))
210	119, 123, 130, 5, 137, 10, 153, 209	jensen 26946	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))))
211	210	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) ≤ ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
212	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
213	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
214	5, 212, 11, 213, 36	offval2 7639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹‘𝑘))))
215	214	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹‘𝑘)))))
216		cnfldmul 21308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
217	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Ring)
218	109	fmpttd 7057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)):𝐴⟶ℂ)
219	218, 5, 16	fdmfifsupp 9270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)) finSupp 0)
220	53, 1, 216, 217, 5, 143, 109, 219	gsummulc2 20243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · (𝐹‘𝑘)))) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
221		fss 6675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
222	10, 118, 221	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
223	10, 5, 16	fdmfifsupp 9270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0)
224	1, 4, 5, 9, 222, 223	gsumsubgcl 19840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℝ)
225	224	recnd 11151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) ∈ ℂ)
226	225, 24, 25	divrec2d 11912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)))
227	108	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg 𝐹)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))))
228	226, 227	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
229	215, 220, 228	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
230	229, 152	oveq12d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) / 1))
231	224, 23	nndivred 12190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
232	231	recnd 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
233	232	div1d 11900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
234	230, 233	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
235	234	fveq2d 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) = ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
236		fveq2 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) → (log‘𝑤) = (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
237	236	negeqd 11365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) → -(log‘𝑤) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
238		negex 11369	. . . . . . . . 9 ⊢ -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ V
239	237, 179, 238	fvmpt 6938	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
240	115, 239	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
241	235, 240	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤))‘((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · 𝐹)) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})))) = -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
242	53, 1, 216, 217, 5, 143, 31, 17	gsummulc2 20243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
243		negex 11369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
244	243	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → -(log‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
245		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)))
246		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑘) → (log‘𝑤) = (log‘(𝐹‘𝑘)))
247	246	negeqd 11365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑘) → -(log‘𝑤) = -(log‘(𝐹‘𝑘)))
248	11, 36, 245, 247	fmptco 7071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))
249	5, 212, 244, 213, 248	offval2 7639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹‘𝑘)))))
250	249	oveq2d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((1 / (♯‘𝐴)) · -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
251	19, 24, 25	divrec2d 11912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) = ((1 / (♯‘𝐴)) · (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘))))))
252	242, 250, 251	3eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
253	252, 152	oveq12d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) / 1))
254	117	recnd 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
255	254	div1d 11900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) / 1) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
256	253, 255	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) ∘f · ((𝑤 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑤)) ∘ 𝐹))) / (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
257	211, 241, 256	3brtr3d 5126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)))
258	116, 117, 257	lenegcon1d 11710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ -(log‘(𝐹‘𝑘)))) / (♯‘𝐴)) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
259	107, 258	eqbrtrrd 5119	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))
260	131, 104	remulcld 11153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ)
261		efle 16034	. . . 4 ⊢ ((((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ∈ ℝ ∧ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ) → (((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))))
262	260, 116, 261	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹))) ≤ (log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))) ↔ (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴))))))
263	259, 262	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))) ≤ (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))))
264	100	rpcnd 12942	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ ℂ)
265	100	rpne0d 12945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0)
266	264, 265, 143	cxpefd 26668	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (exp‘((1 / (♯‘𝐴)) · (log‘(𝑀 Σg 𝐹)))))
267	115	reeflogd 26580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
268	267	eqcomd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = (exp‘(log‘((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))))
269	263, 266, 268	3brtr4d 5127	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4577   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619   ↾ cres 5623   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6485  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617  Fincfn 8879  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  +∞cpnf 11154   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355  -cneg 11356   / cdiv 11785  ℕcn 12136  ℤcz 12479  ℝ⁺crp 12896  (,)cioo 13252  [,)cico 13254  [,]cicc 13255  ♯chash 14244  Σcsu 15600  expce 15975  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148  0_gc0g 17350   Σ_g cgsu 17351  Mndcmnd 18650   MndHom cmhm 18697  SubMndcsubmnd 18698  ._gcmg 18988  SubGrpcsubg 19041   GrpHom cghm 19132   GrpIso cgim 19177  CMndccmn 19700  Abelcabl 19701  mulGrpcmgp 20066  Ringcrg 20159  CRingccrg 20160  SubRingcsubrg 20493  DivRingcdr 20653  ℂ_fldccnfld 21300  ℝ_fldcrefld 21550  logclog 26510  ↑_𝑐ccxp 26511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096  ax-mulf 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ioc 13257  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-fac 14188  df-bc 14217  df-hash 14245  df-shft 14981  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-limsup 15385  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-ef 15981  df-sin 15983  df-cos 15984  df-pi 15986  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-gim 19179  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-dvr 20328  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-drng 20655  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-refld 21551  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-lp 23071  df-perf 23072  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-haus 23250  df-cmp 23322  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-cncf 24818  df-limc 25814  df-dv 25815  df-log 26512  df-cxp 26513

This theorem is referenced by:  amgm  26948  amgm2d  44355  amgm3d  44356  amgm4d  44357