MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxploglim 26343
Description: The logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›

Proof of Theorem cxploglim
Dummy variables ๐‘š ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 12928 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 reefcl 15974 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4 efgt1 16003 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 1 < (expโ€˜๐ด))
5 cxp2limlem 26341 . . 3 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 < (expโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) โ‡๐‘Ÿ 0)
63, 4, 5syl2anc 585 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) โ‡๐‘Ÿ 0)
7 reefcl 15974 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
87adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
9 1re 11160 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
10 ifcl 4532 . . . . . . 7 (((expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) โˆˆ โ„)
118, 9, 10sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) โˆˆ โ„)
12 rpre 12928 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
13 maxlt 13118 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†” (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›)))
149, 8, 12, 13mp3an3an 1468 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†” (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›)))
15 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›)
16 reeflog 25952 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘›)) = ๐‘›)
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘›)) = ๐‘›)
1815, 17breqtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐‘ง) < (expโ€˜(logโ€˜๐‘›)))
19 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
2012ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
21 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ 1 < ๐‘›)
2220, 21rplogcld 26000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„+)
2322rpred 12962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
24 eflt 16004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†” (expโ€˜๐‘ง) < (expโ€˜(logโ€˜๐‘›))))
2519, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†” (expโ€˜๐‘ง) < (expโ€˜(logโ€˜๐‘›))))
2618, 25mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘ง < (logโ€˜๐‘›))
27 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ (๐‘ง < ๐‘š โ†” ๐‘ง < (logโ€˜๐‘›)))
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ ๐‘š = (logโ€˜๐‘›))
29 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))
3028, 29oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š)) = ((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›))))
3130fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) = (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))))
3231breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ ((absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ โ†” (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ))
3327, 32imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ ((๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ)))
3433rspcv 3576 . . . . . . . . . . . . 13 ((logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ)))
3522, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ)))
3626, 35mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ))
371ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3837relogefd 25999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (logโ€˜(expโ€˜๐ด)) = ๐ด)
3938oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜(expโ€˜๐ด))) = ((logโ€˜๐‘›) ยท ๐ด))
4022rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
41 rpcn 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4340, 42mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (logโ€˜๐‘›)))
4439, 43eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜(expโ€˜๐ด))) = (๐ด ยท (logโ€˜๐‘›)))
4544fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜(expโ€˜๐ด)))) = (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜๐‘›))))
463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4746recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
48 efne0 15984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) โ‰  0)
4942, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐ด) โ‰  0)
5047, 49, 40cxpefd 26083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)) = (expโ€˜((logโ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜(expโ€˜๐ด)))))
51 rpcn 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
5251ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
53 rpne0 12936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โ‰  0)
5453ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
5552, 54, 42cxpefd 26083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) = (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜๐‘›))))
5645, 50, 553eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)) = (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))
5756oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›))) = ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)))
5857fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) = (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))))
5958breq1d 5116 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ โ†” (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
6036, 59sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
6160expr 458 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6214, 61sylbid 239 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6362com23 86 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6463ralrimdva 3148 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
65 breq1 5109 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†” if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘›))
6665rspceaimv 3584 . . . . . 6 ((if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
6711, 64, 66syl6an 683 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6867rexlimdva 3149 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6968ralimdv 3163 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
70 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„+)
711adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7271rpefcld 15992 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
73 rpre 12928 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
7473adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
7572, 74rpcxpcld 26103 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š) โˆˆ โ„+)
7670, 75rpdivcld 12979 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š)) โˆˆ โ„+)
7776rpcnd 12964 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
7877ralrimiva 3140 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
79 rpssre 12927 . . . . 5 โ„+ โŠ† โ„
8079a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โ„+ โŠ† โ„)
8178, 80rlim0lt 15397 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) โ‡๐‘Ÿ 0 โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ)))
82 relogcl 25947 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
8382adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
84 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
851adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8684, 85rpcxpcld 26103 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„+)
8783, 86rerpdivcld 12993 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„)
8887recnd 11188 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
8988ralrimiva 3140 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9089, 80rlim0lt 15397 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0 โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
9169, 81, 903imtr4d 294 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) โ‡๐‘Ÿ 0 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0))
926, 91mpd 15 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3911  ifcif 4487   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   / cdiv 11817  โ„+crp 12920  abscabs 15125   โ‡๐‘Ÿ crli 15373  expce 15949  logclog 25926  โ†‘๐‘ccxp 25927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929
This theorem is referenced by:  cxploglim2  26344  logfacrlim  26588  chtppilimlem2  26838  chpchtlim  26843  dchrvmasumlema  26864  logdivsum  26897
  Copyright terms: Public domain W3C validator