MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxploglim 26225
Description: The logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem cxploglim
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 12831 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 reefcl 15887 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
4 efgt1 15916 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘𝐴))
5 cxp2limlem 26223 . . 3 (((exp‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 < (exp‘𝐴)) → (𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0)
63, 4, 5syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0)
7 reefcl 15887 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘𝑧) ∈ ℝ)
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → (exp‘𝑧) ∈ ℝ)
9 1re 11068 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
10 ifcl 4517 . . . . . . 7 (((exp‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) ∈ ℝ)
118, 9, 10sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) ∈ ℝ)
12 rpre 12831 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ)
13 maxlt 13020 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 ↔ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛)))
149, 8, 12, 13mp3an3an 1466 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 ↔ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛)))
15 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝑧) < 𝑛)
16 reeflog 25834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝑛)) = 𝑛)
1716ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘(log‘𝑛)) = 𝑛)
1815, 17breqtrrd 5117 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝑧) < (exp‘(log‘𝑛)))
19 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑧 ∈ ℝ)
2012ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℝ)
21 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 1 < 𝑛)
2220, 21rplogcld 25882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ+)
2322rpred 12865 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
24 eflt 15917 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑛) ∈ ℝ) → (𝑧 < (log‘𝑛) ↔ (exp‘𝑧) < (exp‘(log‘𝑛))))
2519, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (𝑧 < (log‘𝑛) ↔ (exp‘𝑧) < (exp‘(log‘𝑛))))
2618, 25mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑧 < (log‘𝑛))
27 breq2 5093 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (log‘𝑛) → (𝑧 < 𝑚𝑧 < (log‘𝑛)))
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (log‘𝑛) → 𝑚 = (log‘𝑛))
29 oveq2 7337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = (log‘𝑛) → ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚) = ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))
3028, 29oveq12d 7347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = (log‘𝑛) → (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) = ((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛))))
3130fveq2d 6823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (log‘𝑛) → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) = (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))))
3231breq1d 5099 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (log‘𝑛) → ((abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥 ↔ (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥))
3327, 32imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (log‘𝑛) → ((𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) ↔ (𝑧 < (log‘𝑛) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥)))
3433rspcv 3566 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘𝑛) ∈ ℝ+ → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (𝑧 < (log‘𝑛) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥)))
3522, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (𝑧 < (log‘𝑛) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥)))
3626, 35mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥))
371ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℝ)
3837relogefd 25881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘(exp‘𝐴)) = 𝐴)
3938oveq2d 7345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴))) = ((log‘𝑛) · 𝐴))
4022rpcnd 12867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
41 rpcn 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
4241ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℂ)
4340, 42mulcomd 11089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) · 𝐴) = (𝐴 · (log‘𝑛)))
4439, 43eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴))) = (𝐴 · (log‘𝑛)))
4544fveq2d 6823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴)))) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑛))))
463ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ)
4746recnd 11096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
48 efne0 15897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
4942, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (exp‘𝐴) ≠ 0)
5047, 49, 40cxpefd 25965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)) = (exp‘((log‘𝑛) · (log‘(exp‘𝐴)))))
51 rpcn 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℂ)
5251ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℂ)
53 rpne0 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ≠ 0)
5453ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → 𝑛 ≠ 0)
5552, 54, 42cxpefd 25965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (𝑛𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘𝑛))))
5645, 50, 553eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)) = (𝑛𝑐𝐴))
5756oveq2d 7345 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛))) = ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)))
5857fveq2d 6823 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) = (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))))
5958breq1d 5099 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → ((abs‘((log‘𝑛) / ((exp‘𝐴)↑𝑐(log‘𝑛)))) < 𝑥 ↔ (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
6036, 59sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛))) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
6160expr 457 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 < 𝑛 ∧ (exp‘𝑧) < 𝑛) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6214, 61sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6362com23 86 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6463ralrimdva 3147 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℝ+ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
65 breq1 5092 . . . . . . 7 (𝑦 = if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) → (𝑦 < 𝑛 ↔ if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛))
6665rspceaimv 3574 . . . . . 6 ((if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (if(1 ≤ (exp‘𝑧), (exp‘𝑧), 1) < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥))
6711, 64, 66syl6an 681 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ) → (∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6867rexlimdva 3148 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
6968ralimdv 3162 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
70 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑚 ∈ ℝ+)
711adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
7271rpefcld 15905 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (exp‘𝐴) ∈ ℝ+)
73 rpre 12831 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ)
7473adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑚 ∈ ℝ)
7572, 74rpcxpcld 25985 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚) ∈ ℝ+)
7670, 75rpdivcld 12882 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) ∈ ℝ+)
7776rpcnd 12867 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) ∈ ℂ)
7877ralrimiva 3139 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚)) ∈ ℂ)
79 rpssre 12830 . . . . 5 + ⊆ ℝ
8079a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ℝ+ ⊆ ℝ)
8178, 80rlim0lt 15309 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ ℝ+ (𝑧 < 𝑚 → (abs‘(𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) < 𝑥)))
82 relogcl 25829 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
8382adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
84 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
851adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
8684, 85rpcxpcld 25985 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℝ+)
8783, 86rerpdivcld 12896 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
8887recnd 11096 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℂ)
8988ralrimiva 3139 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∀𝑛 ∈ ℝ+ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴)) ∈ ℂ)
9089, 80rlim0lt 15309 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ℝ+ (𝑦 < 𝑛 → (abs‘((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) < 𝑥)))
9169, 81, 903imtr4d 293 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑚 ∈ ℝ+ ↦ (𝑚 / ((exp‘𝐴)↑𝑐𝑚))) ⇝𝑟 0 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0))
926, 91mpd 15 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐𝐴))) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3897  ifcif 4472   class class class wbr 5089  cmpt 5172  cfv 6473  (class class class)co 7329  cc 10962  cr 10963  0cc0 10964  1c1 10965   · cmul 10969   < clt 11102  cle 11103   / cdiv 11725  +crp 12823  abscabs 15036  𝑟 crli 15285  expce 15862  logclog 25808  𝑐ccxp 25809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-ioc 13177  df-ico 13178  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-mod 13683  df-seq 13815  df-exp 13876  df-fac 14081  df-bc 14110  df-hash 14138  df-shft 14869  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-limsup 15271  df-clim 15288  df-rlim 15289  df-sum 15489  df-ef 15868  df-sin 15870  df-cos 15871  df-pi 15873  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-fbas 20692  df-fg 20693  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cld 22268  df-ntr 22269  df-cls 22270  df-nei 22347  df-lp 22385  df-perf 22386  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-haus 22564  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-fil 23095  df-fm 23187  df-flim 23188  df-flf 23189  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-cncf 24139  df-limc 25128  df-dv 25129  df-log 25810  df-cxp 25811
This theorem is referenced by:  cxploglim2  26226  logfacrlim  26470  chtppilimlem2  26720  chpchtlim  26725  dchrvmasumlema  26746  logdivsum  26779
  Copyright terms: Public domain W3C validator