MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxploglim 26928
Description: The logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›

Proof of Theorem cxploglim
Dummy variables ๐‘š ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 13014 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 reefcl 16063 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4 efgt1 16092 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 1 < (expโ€˜๐ด))
5 cxp2limlem 26926 . . 3 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 < (expโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) โ‡๐‘Ÿ 0)
63, 4, 5syl2anc 582 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) โ‡๐‘Ÿ 0)
7 reefcl 16063 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
87adantl 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
9 1re 11244 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
10 ifcl 4569 . . . . . . 7 (((expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) โˆˆ โ„)
118, 9, 10sylancl 584 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) โˆˆ โ„)
12 rpre 13014 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
13 maxlt 13204 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†” (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›)))
149, 8, 12, 13mp3an3an 1463 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†” (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›)))
15 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›)
16 reeflog 26532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘›)) = ๐‘›)
1716ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘›)) = ๐‘›)
1815, 17breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐‘ง) < (expโ€˜(logโ€˜๐‘›)))
19 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
2012ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
21 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ 1 < ๐‘›)
2220, 21rplogcld 26581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„+)
2322rpred 13048 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
24 eflt 16093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†” (expโ€˜๐‘ง) < (expโ€˜(logโ€˜๐‘›))))
2519, 23, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†” (expโ€˜๐‘ง) < (expโ€˜(logโ€˜๐‘›))))
2618, 25mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘ง < (logโ€˜๐‘›))
27 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ (๐‘ง < ๐‘š โ†” ๐‘ง < (logโ€˜๐‘›)))
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ ๐‘š = (logโ€˜๐‘›))
29 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))
3028, 29oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š)) = ((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›))))
3130fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) = (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))))
3231breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ ((absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ โ†” (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ))
3327, 32imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ ((๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ)))
3433rspcv 3597 . . . . . . . . . . . . 13 ((logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ)))
3522, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ)))
3626, 35mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ))
371ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3837relogefd 26580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (logโ€˜(expโ€˜๐ด)) = ๐ด)
3938oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜(expโ€˜๐ด))) = ((logโ€˜๐‘›) ยท ๐ด))
4022rpcnd 13050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
41 rpcn 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4340, 42mulcomd 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (logโ€˜๐‘›)))
4439, 43eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜(expโ€˜๐ด))) = (๐ด ยท (logโ€˜๐‘›)))
4544fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜(expโ€˜๐ด)))) = (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜๐‘›))))
463ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4746recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
48 efne0 16073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) โ‰  0)
4942, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐ด) โ‰  0)
5047, 49, 40cxpefd 26664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)) = (expโ€˜((logโ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜(expโ€˜๐ด)))))
51 rpcn 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
5251ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
53 rpne0 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โ‰  0)
5453ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
5552, 54, 42cxpefd 26664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) = (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜๐‘›))))
5645, 50, 553eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)) = (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))
5756oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›))) = ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)))
5857fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) = (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))))
5958breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ โ†” (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
6036, 59sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
6160expr 455 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6214, 61sylbid 239 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6362com23 86 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6463ralrimdva 3144 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
65 breq1 5146 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†” if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘›))
6665rspceaimv 3607 . . . . . 6 ((if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
6711, 64, 66syl6an 682 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6867rexlimdva 3145 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6968ralimdv 3159 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
70 simpr 483 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„+)
711adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7271rpefcld 16081 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
73 rpre 13014 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
7473adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
7572, 74rpcxpcld 26685 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š) โˆˆ โ„+)
7670, 75rpdivcld 13065 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š)) โˆˆ โ„+)
7776rpcnd 13050 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
7877ralrimiva 3136 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
79 rpssre 13013 . . . . 5 โ„+ โІ โ„
8079a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โ„+ โІ โ„)
8178, 80rlim0lt 15485 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) โ‡๐‘Ÿ 0 โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ)))
82 relogcl 26527 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
8382adantl 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
84 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
851adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8684, 85rpcxpcld 26685 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„+)
8783, 86rerpdivcld 13079 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„)
8887recnd 11272 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
8988ralrimiva 3136 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9089, 80rlim0lt 15485 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0 โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
9169, 81, 903imtr4d 293 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) โ‡๐‘Ÿ 0 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0))
926, 91mpd 15 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060   โІ wss 3939  ifcif 4524   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   ยท cmul 11143   < clt 11278   โ‰ค cle 11279   / cdiv 11901  โ„+crp 13006  abscabs 15213   โ‡๐‘Ÿ crli 15461  expce 16037  logclog 26506  โ†‘๐‘ccxp 26507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-cxp 26509
This theorem is referenced by:  cxploglim2  26929  logfacrlim  27175  chtppilimlem2  27425  chpchtlim  27430  dchrvmasumlema  27451  logdivsum  27484
  Copyright terms: Public domain W3C validator