MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxploglim 26865
Description: The logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›

Proof of Theorem cxploglim
Dummy variables ๐‘š ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpre 12988 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 reefcl 16037 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
31, 2syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4 efgt1 16066 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 1 < (expโ€˜๐ด))
5 cxp2limlem 26863 . . 3 (((expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 < (expโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) โ‡๐‘Ÿ 0)
63, 4, 5syl2anc 583 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) โ‡๐‘Ÿ 0)
7 reefcl 16037 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„ โ†’ (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
9 1re 11218 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
10 ifcl 4568 . . . . . . 7 (((expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) โˆˆ โ„)
118, 9, 10sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) โˆˆ โ„)
12 rpre 12988 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
13 maxlt 13178 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†” (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›)))
149, 8, 12, 13mp3an3an 1463 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†” (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›)))
15 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›)
16 reeflog 26469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘›)) = ๐‘›)
1716ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐‘›)) = ๐‘›)
1815, 17breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐‘ง) < (expโ€˜(logโ€˜๐‘›)))
19 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
2012ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
21 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ 1 < ๐‘›)
2220, 21rplogcld 26518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„+)
2322rpred 13022 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
24 eflt 16067 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†” (expโ€˜๐‘ง) < (expโ€˜(logโ€˜๐‘›))))
2519, 23, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†” (expโ€˜๐‘ง) < (expโ€˜(logโ€˜๐‘›))))
2618, 25mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘ง < (logโ€˜๐‘›))
27 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ (๐‘ง < ๐‘š โ†” ๐‘ง < (logโ€˜๐‘›)))
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ ๐‘š = (logโ€˜๐‘›))
29 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š) = ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))
3028, 29oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š)) = ((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›))))
3130fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) = (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))))
3231breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ ((absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ โ†” (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ))
3327, 32imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š = (logโ€˜๐‘›) โ†’ ((๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ)))
3433rspcv 3602 . . . . . . . . . . . . 13 ((logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ)))
3522, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ง < (logโ€˜๐‘›) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ)))
3626, 35mpid 44 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ))
371ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3837relogefd 26517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (logโ€˜(expโ€˜๐ด)) = ๐ด)
3938oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜(expโ€˜๐ด))) = ((logโ€˜๐‘›) ยท ๐ด))
4022rpcnd 13024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
41 rpcn 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4241ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4340, 42mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (logโ€˜๐‘›)))
4439, 43eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜(expโ€˜๐ด))) = (๐ด ยท (logโ€˜๐‘›)))
4544fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜((logโ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜(expโ€˜๐ด)))) = (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜๐‘›))))
463ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4746recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
48 efne0 16047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜๐ด) โ‰  0)
4942, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (expโ€˜๐ด) โ‰  0)
5047, 49, 40cxpefd 26601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)) = (expโ€˜((logโ€˜๐‘›) ยท (logโ€˜(expโ€˜๐ด)))))
51 rpcn 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
5251ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
53 rpne0 12996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โ‰  0)
5453ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
5552, 54, 42cxpefd 26601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) = (expโ€˜(๐ด ยท (logโ€˜๐‘›))))
5645, 50, 553eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)) = (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))
5756oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›))) = ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)))
5857fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) = (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))))
5958breq1d 5151 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(logโ€˜๐‘›)))) < ๐‘ฅ โ†” (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
6036, 59sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง (1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›))) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
6160expr 456 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 < ๐‘› โˆง (expโ€˜๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6214, 61sylbid 239 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6362com23 86 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6463ralrimdva 3148 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
65 breq1 5144 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†” if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘›))
6665rspceaimv 3612 . . . . . 6 ((if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) โˆˆ โ„ โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (if(1 โ‰ค (expโ€˜๐‘ง), (expโ€˜๐‘ง), 1) < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ))
6711, 64, 66syl6an 681 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6867rexlimdva 3149 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
6968ralimdv 3163 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
70 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„+)
711adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7271rpefcld 16055 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
73 rpre 12988 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
7473adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
7572, 74rpcxpcld 26622 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š) โˆˆ โ„+)
7670, 75rpdivcld 13039 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š)) โˆˆ โ„+)
7776rpcnd 13024 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
7877ralrimiva 3140 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
79 rpssre 12987 . . . . 5 โ„+ โІ โ„
8079a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โ„+ โІ โ„)
8178, 80rlim0lt 15459 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) โ‡๐‘Ÿ 0 โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„+ (๐‘ง < ๐‘š โ†’ (absโ€˜(๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) < ๐‘ฅ)))
82 relogcl 26464 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
8382adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
84 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
851adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8684, 85rpcxpcld 26622 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„+)
8783, 86rerpdivcld 13053 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„)
8887recnd 11246 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
8988ralrimiva 3140 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9089, 80rlim0lt 15459 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0 โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„+ (๐‘ฆ < ๐‘› โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) < ๐‘ฅ)))
9169, 81, 903imtr4d 294 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘š / ((expโ€˜๐ด)โ†‘๐‘๐‘š))) โ‡๐‘Ÿ 0 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0))
926, 91mpd 15 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ด))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   โІ wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„+crp 12980  abscabs 15187   โ‡๐‘Ÿ crli 15435  expce 16011  logclog 26443  โ†‘๐‘ccxp 26444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446
This theorem is referenced by:  cxploglim2  26866  logfacrlim  27112  chtppilimlem2  27362  chpchtlim  27367  dchrvmasumlema  27388  logdivsum  27421
  Copyright terms: Public domain W3C validator