Theorem gamcvg2lem 26976

Description: Lemma for gamcvg2 26977. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
gamcvg2.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
gamcvg2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
gamcvg2.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))

Assertion

Ref	Expression
gamcvg2lem	⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg2lem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11157	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
3		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
4		elfznn 13521	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
7		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝑚 = 𝑛)
8	6, 7	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
9	8	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
10	9	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
11		oveq2 7398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
12	11	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 / 𝑚) + 1) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
13	12	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))
14	10, 13	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
15		gamcvg2.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
16		ovex 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 6971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
19		gamcvg2.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
21	20	eldifad 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
23	22	peano2nnd 12210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24	23	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
25	22	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
26	24, 25	rpdivcld 13019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
27	26	relogcld 26539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℂ)
29	21, 28	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ)
30	22	nncnd 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
31	22	nnne0d 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
32	21, 30, 31	divcld 11965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
33		1cnd 11176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
34	32, 33	addcld 11200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
35	20, 22	dmgmdivn0 26945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0)
36	34, 35	logcld 26486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
37	29, 36	subcld 11540	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
38	18, 37	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
39	3, 5, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
40		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
41		nnuz 12843	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
42	40, 41	eleqtrdi 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
43		efadd 16067	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
44	43	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
45		efsub 16075	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
46	29, 36, 45	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
47	30, 33	addcld 11200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
48	47, 30, 31	divcld 11965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℂ)
49	23	nnne0d 12243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
50	47, 30, 49, 31	divne0d 11981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ≠ 0)
51	48, 50, 21	cxpefd 26628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))))
52	51	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
53		eflog 26492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
54	34, 35, 53	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
55	52, 54	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
56	46, 55	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
57	18	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺‘𝑛)) = (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
58	8	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
59	58, 12	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
60		gamcvg2.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
61		ovex 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ V
62	59, 60, 61	fvmpt 6971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
63	62	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
64	56, 57, 63	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
65	3, 5, 64	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (exp‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
66	2, 39, 42, 44, 65	seqhomo 14021	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
67	66	mpteq2dva 5203	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
68		eff 16054	. . . 4 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
69	68	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → exp:ℂ⟶ℂ)
70		1z 12570	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
71	70	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
72	41, 71, 38	serf 14002	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
73		fcompt 7108	. . 3 ⊢ ((exp:ℂ⟶ℂ ∧ seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ) → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
74	69, 72, 73	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
75		seqfn 13985	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
76	70, 75	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
77	41	fneq2i 6619	. . . 4 ⊢ (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
78	76, 77	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn ℕ)
79		dffn5 6922	. . 3 ⊢ (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
80	78, 79	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
81	67, 74, 80	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914   ↦ cmpt 5191   ∘ ccom 5645   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  seqcseq 13973  expce 16034  logclog 26470  ↑_𝑐ccxp 26471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473

This theorem is referenced by:  gamcvg2  26977