MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gamcvg2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gamcvg2lem 26408
Description: Lemma for gamcvg2 26409. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gamcvg2.f 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
gamcvg2.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
gamcvg2.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
Assertion
Ref Expression
gamcvg2lem (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg2lem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 11133 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
21adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
3 simpll 765 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
4 elfznn 13470 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
54adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
86, 7oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
98fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
109oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
11 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
1211oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 / 𝑚) + 1) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
1312fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))
1410, 13oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
15 gamcvg2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
16 ovex 7390 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
1817adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
19 gamcvg2.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2019adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2120eldifad 3922 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2322peano2nnd 12170 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2423nnrpd 12955 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2522nnrpd 12955 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2624, 25rpdivcld 12974 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
2726relogcld 25978 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
2827recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℂ)
2921, 28mulcld 11175 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ)
3022nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
3122nnne0d 12203 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
3221, 30, 31divcld 11931 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
33 1cnd 11150 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
3432, 33addcld 11174 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
3520, 22dmgmdivn0 26377 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0)
3634, 35logcld 25926 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3729, 36subcld 11512 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
3818, 37eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
393, 5, 38syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
40 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
41 nnuz 12806 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
4240, 41eleqtrdi 2848 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
43 efadd 15976 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
4443adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
45 efsub 15982 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
4629, 36, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
4730, 33addcld 11174 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
4847, 30, 31divcld 11931 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℂ)
4923nnne0d 12203 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
5047, 30, 49, 31divne0d 11947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ≠ 0)
5148, 50, 21cxpefd 26067 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))))
5251eqcomd 2742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
53 eflog 25932 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
5434, 35, 53syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
5552, 54oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
5646, 55eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
5718fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺𝑛)) = (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
588oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
5958, 12oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
60 gamcvg2.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
61 ovex 7390 . . . . . . . 8 ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ V
6259, 60, 61fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
6362adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
6456, 57, 633eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺𝑛)) = (𝐹𝑛))
653, 5, 64syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (exp‘(𝐺𝑛)) = (𝐹𝑛))
662, 39, 42, 44, 65seqhomo 13955 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
6766mpteq2dva 5205 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
68 eff 15964 . . . 4 exp:ℂ⟶ℂ
6968a1i 11 . . 3 (𝜑 → exp:ℂ⟶ℂ)
70 1z 12533 . . . . 5 1 ∈ ℤ
7170a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7241, 71, 38serf 13936 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
73 fcompt 7079 . . 3 ((exp:ℂ⟶ℂ ∧ seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ) → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
7469, 72, 73syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
75 seqfn 13918 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
7670, 75mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
7741fneq2i 6600 . . . 4 (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
7876, 77sylibr 233 . . 3 (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn ℕ)
79 dffn5 6901 . . 3 (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
8078, 79sylib 217 . 2 (𝜑 → seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
8167, 74, 803eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  cmpt 5188  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  expce 15944  logclog 25910  𝑐ccxp 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  gamcvg2  26409
  Copyright terms: Public domain W3C validator