MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gamcvg2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gamcvg2lem 27102
Description: Lemma for gamcvg2 27103. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gamcvg2.f 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
gamcvg2.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
gamcvg2.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
Assertion
Ref Expression
gamcvg2lem (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg2lem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 11237 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
21adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
3 simpll 767 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
4 elfznn 13593 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
54adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
86, 7oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
98fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
109oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
11 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
1211oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 / 𝑚) + 1) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
1312fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))
1410, 13oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
15 gamcvg2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
16 ovex 7464 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
19 gamcvg2.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2120eldifad 3963 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2322peano2nnd 12283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2423nnrpd 13075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2522nnrpd 13075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2624, 25rpdivcld 13094 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
2726relogcld 26665 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
2827recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℂ)
2921, 28mulcld 11281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ)
3022nncnd 12282 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
3122nnne0d 12316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
3221, 30, 31divcld 12043 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
33 1cnd 11256 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
3432, 33addcld 11280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
3520, 22dmgmdivn0 27071 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0)
3634, 35logcld 26612 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3729, 36subcld 11620 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
3818, 37eqeltrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
393, 5, 38syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
40 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
41 nnuz 12921 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
4240, 41eleqtrdi 2851 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
43 efadd 16130 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
4443adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
45 efsub 16136 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
4629, 36, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
4730, 33addcld 11280 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
4847, 30, 31divcld 12043 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℂ)
4923nnne0d 12316 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
5047, 30, 49, 31divne0d 12059 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ≠ 0)
5148, 50, 21cxpefd 26754 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))))
5251eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
53 eflog 26618 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
5434, 35, 53syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
5552, 54oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
5646, 55eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
5718fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺𝑛)) = (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
588oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
5958, 12oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
60 gamcvg2.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
61 ovex 7464 . . . . . . . 8 ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ V
6259, 60, 61fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
6362adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
6456, 57, 633eqtr4d 2787 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺𝑛)) = (𝐹𝑛))
653, 5, 64syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (exp‘(𝐺𝑛)) = (𝐹𝑛))
662, 39, 42, 44, 65seqhomo 14090 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
6766mpteq2dva 5242 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
68 eff 16117 . . . 4 exp:ℂ⟶ℂ
6968a1i 11 . . 3 (𝜑 → exp:ℂ⟶ℂ)
70 1z 12647 . . . . 5 1 ∈ ℤ
7170a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7241, 71, 38serf 14071 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
73 fcompt 7153 . . 3 ((exp:ℂ⟶ℂ ∧ seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ) → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
7469, 72, 73syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
75 seqfn 14054 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
7670, 75mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
7741fneq2i 6666 . . . 4 (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
7876, 77sylibr 234 . . 3 (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn ℕ)
79 dffn5 6967 . . 3 (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
8078, 79sylib 218 . 2 (𝜑 → seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
8167, 74, 803eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  cmpt 5225  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  expce 16097  logclog 26596  𝑐ccxp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599
This theorem is referenced by:  gamcvg2  27103
  Copyright terms: Public domain W3C validator