Theorem gamcvg2lem 27260

Description: Lemma for gamcvg2 27261. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
gamcvg2.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
gamcvg2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
gamcvg2.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))

Assertion

Ref	Expression
gamcvg2lem	⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg2lem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11200	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
3		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
4		elfznn 13600	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		oveq1 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
7		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝑚 = 𝑛)
8	6, 7	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
9	8	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
10	9	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
11		oveq2 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
12	11	oveq1d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 / 𝑚) + 1) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
13	12	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))
14	10, 13	oveq12d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
15		gamcvg2.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
16		ovex 7456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
18	17	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
19		gamcvg2.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
21	20	eldifad 3920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
23	22	peano2nnd 12268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24	23	nnrpd 13076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
25	22	nnrpd 13076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
26	24, 25	rpdivcld 13095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
27	26	relogcld 26825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℂ)
29	21, 28	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ)
30	22	nncnd 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
31	22	nnne0d 12304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
32	21, 30, 31	divcld 12009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
33		1cnd 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
34	32, 33	addcld 11246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
35	20, 22	dmgmdivn0 27229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0)
36	34, 35	logcld 26772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
37	29, 36	subcld 11587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
38	18, 37	eqeltrd 2866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
39	3, 5, 38	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
40		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
41		nnuz 12919	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
42	40, 41	eleqtrdi 2876	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
43		efadd 16173	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
44	43	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
45		efsub 16181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
46	29, 36, 45	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
47	30, 33	addcld 11246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
48	47, 30, 31	divcld 12009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℂ)
49	23	nnne0d 12304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
50	47, 30, 49, 31	divne0d 12025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ≠ 0)
51	48, 50, 21	cxpefd 26914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))))
52	51	eqcomd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
53		eflog 26778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
54	34, 35, 53	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
55	52, 54	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
56	46, 55	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
57	18	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺‘𝑛)) = (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
58	8	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
59	58, 12	oveq12d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
60		gamcvg2.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
61		ovex 7456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ V
62	59, 60, 61	fvmpt 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
63	62	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
64	56, 57, 63	3eqtr4d 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
65	3, 5, 64	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (exp‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
66	2, 39, 42, 44, 65	seqhomo 14105	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
67	66	mpteq2dva 5209	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
68		eff 16160	. . . 4 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
69	68	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → exp:ℂ⟶ℂ)
70		1z 12642	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
71	70	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
72	41, 71, 38	serf 14086	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
73		fcompt 7136	. . 3 ⊢ ((exp:ℂ⟶ℂ ∧ seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ) → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
74	69, 72, 73	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
75		seqfn 14069	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
76	70, 75	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
77	41	fneq2i 6640	. . . 4 ⊢ (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
78	76, 77	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn ℕ)
79		dffn5 6946	. . 3 ⊢ (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
80	78, 79	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
81	67, 74, 80	3eqtr4d 2811	1 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∖ cdif 3905   ↦ cmpt 5197   ∘ ccom 5670   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459   / cdiv 11889  ℕcn 12251  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  seqcseq 14057  expce 16140  logclog 26756  ↑_𝑐ccxp 26757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063  df-log 26758  df-cxp 26759

This theorem is used by:  gamcvg2  27261