MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gamcvg2lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gamcvg2lem 26560
Description: Lemma for gamcvg2 26561. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gamcvg2.f 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1)))
gamcvg2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
gamcvg2.g 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / π‘š) + 1))))
Assertion
Ref Expression
gamcvg2lem (πœ‘ β†’ (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( Β· , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š   πœ‘,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘š)   𝐺(π‘š)
Proof of Theorem gamcvg2lem
Dummy variables π‘˜ 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 11191 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑛 + π‘₯) ∈ β„‚)
21adantl 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑛 + π‘₯) ∈ β„‚)
3 simpll 765 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)) β†’ πœ‘)
4 elfznn 13529 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
54adantl 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š + 1) = (𝑛 + 1))
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ π‘š = 𝑛)
86, 7oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
98fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) = (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))
109oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) = (𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))))
11 oveq2 7416 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝐴 / π‘š) = (𝐴 / 𝑛))
1211oveq1d 7423 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝐴 / π‘š) + 1) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
1312fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((𝐴 / π‘š) + 1)) = (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))
1410, 13oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝐴 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / π‘š) + 1))) = ((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))))
15 gamcvg2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / π‘š) + 1))))
16 ovex 7441 . . . . . . . 8 ((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6998 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))))
1817adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))))
19 gamcvg2.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
2019adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
2120eldifad 3960 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2322peano2nnd 12228 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
2423nnrpd 13013 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2522nnrpd 13013 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
2624, 25rpdivcld 13032 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
2726relogcld 26130 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
2827recnd 11241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ β„‚)
2921, 28mulcld 11233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ β„‚)
3022nncnd 12227 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
3122nnne0d 12261 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 β‰  0)
3221, 30, 31divcld 11989 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝑛) ∈ β„‚)
33 1cnd 11208 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
3432, 33addcld 11232 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ β„‚)
3520, 22dmgmdivn0 26529 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / 𝑛) + 1) β‰  0)
3634, 35logcld 26078 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
3729, 36subcld 11570 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
3818, 37eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
393, 5, 38syl2anc 584 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
40 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
41 nnuz 12864 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4240, 41eleqtrdi 2843 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
43 efadd 16036 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝑛 + π‘₯)) = ((expβ€˜π‘›) Β· (expβ€˜π‘₯)))
4443adantl 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (expβ€˜(𝑛 + π‘₯)) = ((expβ€˜π‘›) Β· (expβ€˜π‘₯)))
45 efsub 16042 . . . . . . . 8 (((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (expβ€˜(logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
4629, 36, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (expβ€˜(logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
4730, 33addcld 11232 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
4847, 30, 31divcld 11989 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ β„‚)
4923nnne0d 12261 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) β‰  0)
5047, 30, 49, 31divne0d 12005 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑛) β‰  0)
5148, 50, 21cxpefd 26219 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) = (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))))
5251eqcomd 2738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
53 eflog 26084 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 / 𝑛) + 1) β‰  0) β†’ (expβ€˜(logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
5434, 35, 53syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
5552, 54oveq12d 7426 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (expβ€˜(logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
5646, 55eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
5718fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(πΊβ€˜π‘›)) = (expβ€˜((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
588oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
5958, 12oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1)) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
60 gamcvg2.f . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1)))
61 ovex 7441 . . . . . . . 8 ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ V
6259, 60, 61fvmpt 6998 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
6362adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
6456, 57, 633eqtr4d 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(πΊβ€˜π‘›)) = (πΉβ€˜π‘›))
653, 5, 64syl2anc 584 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)) β†’ (expβ€˜(πΊβ€˜π‘›)) = (πΉβ€˜π‘›))
662, 39, 42, 44, 65seqhomo 14014 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(seq1( + , 𝐺)β€˜π‘˜)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜))
6766mpteq2dva 5248 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (expβ€˜(seq1( + , 𝐺)β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜)))
68 eff 16024 . . . 4 exp:β„‚βŸΆβ„‚
6968a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
70 1z 12591 . . . . 5 1 ∈ β„€
7170a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
7241, 71, 38serf 13995 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐺):β„•βŸΆβ„‚)
73 fcompt 7130 . . 3 ((exp:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ seq1( + , 𝐺):β„•βŸΆβ„‚) β†’ (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (expβ€˜(seq1( + , 𝐺)β€˜π‘˜))))
7469, 72, 73syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (expβ€˜(seq1( + , 𝐺)β€˜π‘˜))))
75 seqfn 13977 . . . . 5 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( Β· , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
7670, 75mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
7741fneq2i 6647 . . . 4 (seq1( Β· , 𝐹) Fn β„• ↔ seq1( Β· , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
7876, 77sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹) Fn β„•)
79 dffn5 6950 . . 3 (seq1( Β· , 𝐹) Fn β„• ↔ seq1( Β· , 𝐹) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜)))
8078, 79sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜)))
8167, 74, 803eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( Β· , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  β„•cn 12211  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  ...cfz 13483  seqcseq 13965  expce 16004  logclog 26062  β†‘𝑐ccxp 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-cxp 26065
This theorem is referenced by:  gamcvg2  26561
  Copyright terms: Public domain W3C validator