MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gamcvg2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gamcvg2lem 25550
Description: Lemma for gamcvg2 25551. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gamcvg2.f 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
gamcvg2.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
gamcvg2.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
Assertion
Ref Expression
gamcvg2lem (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg2lem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 10611 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
21adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
3 simpll 763 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
4 elfznn 12929 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
54adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
86, 7oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
98fveq2d 6670 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
109oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
11 oveq2 7159 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
1211oveq1d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 / 𝑚) + 1) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
1312fveq2d 6670 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))
1410, 13oveq12d 7169 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
15 gamcvg2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
16 ovex 7184 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6764 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
1817adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
19 gamcvg2.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2019adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2120eldifad 3951 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2322peano2nnd 11647 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2423nnrpd 12422 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2522nnrpd 12422 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2624, 25rpdivcld 12441 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
2726relogcld 25119 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
2827recnd 10661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℂ)
2921, 28mulcld 10653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ)
3022nncnd 11646 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
3122nnne0d 11679 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
3221, 30, 31divcld 11408 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
33 1cnd 10628 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
3432, 33addcld 10652 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
3520, 22dmgmdivn0 25519 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0)
3634, 35logcld 25067 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3729, 36subcld 10989 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
3818, 37eqeltrd 2917 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
393, 5, 38syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
40 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
41 nnuz 12273 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
4240, 41syl6eleq 2927 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
43 efadd 15439 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
4443adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
45 efsub 15445 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
4629, 36, 45syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
4730, 33addcld 10652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
4847, 30, 31divcld 11408 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℂ)
4923nnne0d 11679 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
5047, 30, 49, 31divne0d 11424 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ≠ 0)
5148, 50, 21cxpefd 25208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))))
5251eqcomd 2830 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
53 eflog 25073 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
5434, 35, 53syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
5552, 54oveq12d 7169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
5646, 55eqtrd 2860 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
5718fveq2d 6670 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺𝑛)) = (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
588oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
5958, 12oveq12d 7169 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
60 gamcvg2.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
61 ovex 7184 . . . . . . . 8 ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ V
6259, 60, 61fvmpt 6764 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
6362adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
6456, 57, 633eqtr4d 2870 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺𝑛)) = (𝐹𝑛))
653, 5, 64syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (exp‘(𝐺𝑛)) = (𝐹𝑛))
662, 39, 42, 44, 65seqhomo 13410 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
6766mpteq2dva 5157 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
68 eff 15427 . . . 4 exp:ℂ⟶ℂ
6968a1i 11 . . 3 (𝜑 → exp:ℂ⟶ℂ)
70 1z 12004 . . . . 5 1 ∈ ℤ
7170a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7241, 71, 38serf 13391 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
73 fcompt 6890 . . 3 ((exp:ℂ⟶ℂ ∧ seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ) → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
7469, 72, 73syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
75 seqfn 13374 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
7670, 75mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
7741fneq2i 6447 . . . 4 (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
7876, 77sylibr 235 . . 3 (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn ℕ)
79 dffn5 6720 . . 3 (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
8078, 79sylib 219 . 2 (𝜑 → seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
8167, 74, 803eqtr4d 2870 1 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  cdif 3936  cmpt 5142  ccom 5557   Fn wfn 6346  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12885  seqcseq 13362  expce 15407  logclog 25051  𝑐ccxp 25052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380  df-log 25053  df-cxp 25054
This theorem is referenced by:  gamcvg2  25551
  Copyright terms: Public domain W3C validator