Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gamcvg2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gamcvg2lem 25205
 Description: Lemma for gamcvg2 25206. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gamcvg2.f 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
gamcvg2.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
gamcvg2.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
Assertion
Ref Expression
gamcvg2lem (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg2lem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 10341 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
21adantl 475 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
3 simpll 783 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
4 elfznn 12670 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
54adantl 475 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6 oveq1 6917 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
86, 7oveq12d 6928 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
98fveq2d 6441 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
109oveq2d 6926 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
11 oveq2 6918 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
1211oveq1d 6925 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 / 𝑚) + 1) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
1312fveq2d 6441 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))
1410, 13oveq12d 6928 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
15 gamcvg2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
16 ovex 6942 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6533 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
1817adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
19 gamcvg2.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2019adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2120eldifad 3810 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2322peano2nnd 11376 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
2423nnrpd 12161 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2522nnrpd 12161 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2624, 25rpdivcld 12180 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
2726relogcld 24775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
2827recnd 10392 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℂ)
2921, 28mulcld 10384 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ)
3022nncnd 11375 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
3122nnne0d 11408 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
3221, 30, 31divcld 11134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
33 1cnd 10358 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
3432, 33addcld 10383 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
3520, 22dmgmdivn0 25174 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0)
3634, 35logcld 24723 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3729, 36subcld 10720 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
3818, 37eqeltrd 2906 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
393, 5, 38syl2anc 579 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
40 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
41 nnuz 12012 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
4240, 41syl6eleq 2916 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
43 efadd 15203 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
4443adantl 475 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
45 efsub 15209 . . . . . . . 8 (((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
4629, 36, 45syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
4730, 33addcld 10383 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
4847, 30, 31divcld 11134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℂ)
4923nnne0d 11408 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
5047, 30, 49, 31divne0d 11150 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ≠ 0)
5148, 50, 21cxpefd 24864 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))))
5251eqcomd 2831 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
53 eflog 24729 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
5434, 35, 53syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
5552, 54oveq12d 6928 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
5646, 55eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
5718fveq2d 6441 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺𝑛)) = (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
588oveq1d 6925 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
5958, 12oveq12d 6928 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
60 gamcvg2.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
61 ovex 6942 . . . . . . . 8 ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ V
6259, 60, 61fvmpt 6533 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
6362adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
6456, 57, 633eqtr4d 2871 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺𝑛)) = (𝐹𝑛))
653, 5, 64syl2anc 579 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (exp‘(𝐺𝑛)) = (𝐹𝑛))
662, 39, 42, 44, 65seqhomo 13149 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
6766mpteq2dva 4969 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
68 eff 15191 . . . 4 exp:ℂ⟶ℂ
6968a1i 11 . . 3 (𝜑 → exp:ℂ⟶ℂ)
70 1z 11742 . . . . 5 1 ∈ ℤ
7170a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7241, 71, 38serf 13130 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
73 fcompt 6655 . . 3 ((exp:ℂ⟶ℂ ∧ seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ) → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
7469, 72, 73syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
75 seqfn 13114 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
7670, 75mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
7741fneq2i 6223 . . . 4 (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
7876, 77sylibr 226 . . 3 (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn ℕ)
79 dffn5 6492 . . 3 (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
8078, 79sylib 210 . 2 (𝜑 → seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
8167, 74, 803eqtr4d 2871 1 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   ∖ cdif 3795   ↦ cmpt 4954   ∘ ccom 5350   Fn wfn 6122  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   − cmin 10592   / cdiv 11016  ℕcn 11357  ℤcz 11711  ℤ≥cuz 11975  ...cfz 12626  seqcseq 13102  expce 15171  logclog 24707  ↑𝑐ccxp 24708 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ioc 12475  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-shft 14191  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-ef 15177  df-sin 15179  df-cos 15180  df-pi 15182  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058  df-limc 24036  df-dv 24037  df-log 24709  df-cxp 24710 This theorem is referenced by:  gamcvg2  25206
 Copyright terms: Public domain W3C validator