MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gamcvg2lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem gamcvg2lem 26796
Description: Lemma for gamcvg2 26797. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gamcvg2.f 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1)))
gamcvg2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
gamcvg2.g 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / π‘š) + 1))))
Assertion
Ref Expression
gamcvg2lem (πœ‘ β†’ (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( Β· , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š   πœ‘,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘š)   𝐺(π‘š)
Proof of Theorem gamcvg2lem
Dummy variables π‘˜ 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 11195 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑛 + π‘₯) ∈ β„‚)
21adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑛 + π‘₯) ∈ β„‚)
3 simpll 764 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)) β†’ πœ‘)
4 elfznn 13535 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
54adantl 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š + 1) = (𝑛 + 1))
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝑛 β†’ π‘š = 𝑛)
86, 7oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
98fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) = (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))
109oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) = (𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))))
11 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝐴 / π‘š) = (𝐴 / 𝑛))
1211oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝐴 / π‘š) + 1) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
1312fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (logβ€˜((𝐴 / π‘š) + 1)) = (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))
1410, 13oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ ((𝐴 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / π‘š) + 1))) = ((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))))
15 gamcvg2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / π‘š) + 1))))
16 ovex 7445 . . . . . . . 8 ((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6999 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))))
1817adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = ((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))))
19 gamcvg2.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
2120eldifad 3961 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2322peano2nnd 12234 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
2423nnrpd 13019 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2522nnrpd 13019 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
2624, 25rpdivcld 13038 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
2726relogcld 26364 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
2827recnd 11247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ β„‚)
2921, 28mulcld 11239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ β„‚)
3022nncnd 12233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
3122nnne0d 12267 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 β‰  0)
3221, 30, 31divcld 11995 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝑛) ∈ β„‚)
33 1cnd 11214 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
3432, 33addcld 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ β„‚)
3520, 22dmgmdivn0 26765 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / 𝑛) + 1) β‰  0)
3634, 35logcld 26312 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ β„‚)
3729, 36subcld 11576 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ β„‚)
3818, 37eqeltrd 2832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
393, 5, 38syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
40 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
41 nnuz 12870 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4240, 41eleqtrdi 2842 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
43 efadd 16042 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝑛 + π‘₯)) = ((expβ€˜π‘›) Β· (expβ€˜π‘₯)))
4443adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (expβ€˜(𝑛 + π‘₯)) = ((expβ€˜π‘›) Β· (expβ€˜π‘₯)))
45 efsub 16048 . . . . . . . 8 (((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (expβ€˜(logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
4629, 36, 45syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (expβ€˜(logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
4730, 33addcld 11238 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„‚)
4847, 30, 31divcld 11995 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ β„‚)
4923nnne0d 12267 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) β‰  0)
5047, 30, 49, 31divne0d 12011 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 + 1) / 𝑛) β‰  0)
5148, 50, 21cxpefd 26453 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) = (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))))
5251eqcomd 2737 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
53 eflog 26318 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 / 𝑛) + 1) β‰  0) β†’ (expβ€˜(logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
5434, 35, 53syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
5552, 54oveq12d 7430 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((expβ€˜(𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (expβ€˜(logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
5646, 55eqtrd 2771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
5718fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(πΊβ€˜π‘›)) = (expβ€˜((𝐴 Β· (logβ€˜((𝑛 + 1) / 𝑛))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
588oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
5958, 12oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1)) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
60 gamcvg2.f . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1)))
61 ovex 7445 . . . . . . . 8 ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ V
6259, 60, 61fvmpt 6999 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
6362adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
6456, 57, 633eqtr4d 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(πΊβ€˜π‘›)) = (πΉβ€˜π‘›))
653, 5, 64syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)) β†’ (expβ€˜(πΊβ€˜π‘›)) = (πΉβ€˜π‘›))
662, 39, 42, 44, 65seqhomo 14020 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (expβ€˜(seq1( + , 𝐺)β€˜π‘˜)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜))
6766mpteq2dva 5249 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (expβ€˜(seq1( + , 𝐺)β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜)))
68 eff 16030 . . . 4 exp:β„‚βŸΆβ„‚
6968a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
70 1z 12597 . . . . 5 1 ∈ β„€
7170a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
7241, 71, 38serf 14001 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐺):β„•βŸΆβ„‚)
73 fcompt 7134 . . 3 ((exp:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ seq1( + , 𝐺):β„•βŸΆβ„‚) β†’ (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (expβ€˜(seq1( + , 𝐺)β€˜π‘˜))))
7469, 72, 73syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (expβ€˜(seq1( + , 𝐺)β€˜π‘˜))))
75 seqfn 13983 . . . . 5 (1 ∈ β„€ β†’ seq1( Β· , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
7670, 75mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
7741fneq2i 6648 . . . 4 (seq1( Β· , 𝐹) Fn β„• ↔ seq1( Β· , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜1))
7876, 77sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹) Fn β„•)
79 dffn5 6951 . . 3 (seq1( Β· , 𝐹) Fn β„• ↔ seq1( Β· , 𝐹) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜)))
8078, 79sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜)))
8167, 74, 803eqtr4d 2781 1 (πœ‘ β†’ (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( Β· , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ– cdif 3946   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  seqcseq 13971  expce 16010  logclog 26296  β†‘𝑐ccxp 26297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26298  df-cxp 26299
This theorem is referenced by:  gamcvg2  26797
  Copyright terms: Public domain W3C validator