Theorem gamcvg2lem 27181

Description: Lemma for gamcvg2 27182. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
gamcvg2.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
gamcvg2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
gamcvg2.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))

Assertion

Ref	Expression
gamcvg2lem	⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg2lem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11170	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
2	1	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
3		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
4		elfznn 13572	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
7		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝑚 = 𝑛)
8	6, 7	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
9	8	fveq2d 6875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
10	9	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
11		oveq2 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
12	11	oveq1d 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 / 𝑚) + 1) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
13	12	fveq2d 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))
14	10, 13	oveq12d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
15		gamcvg2.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
16		ovex 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 6979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
18	17	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
19		gamcvg2.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
20	19	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
21	20	eldifad 3919	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
23	22	peano2nnd 12241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24	23	nnrpd 13049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
25	22	nnrpd 13049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
26	24, 25	rpdivcld 13068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
27	26	relogcld 26746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℂ)
29	21, 28	mulcld 11217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ)
30	22	nncnd 12240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
31	22	nnne0d 12277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
32	21, 30, 31	divcld 11982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
33		1cnd 11190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
34	32, 33	addcld 11216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
35	20, 22	dmgmdivn0 27150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0)
36	34, 35	logcld 26693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
37	29, 36	subcld 11557	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
38	18, 37	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
39	3, 5, 38	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
40		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
41		nnuz 12892	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
42	40, 41	eleqtrdi 2875	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
43		efadd 16138	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
44	43	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
45		efsub 16146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
46	29, 36, 45	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
47	30, 33	addcld 11216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
48	47, 30, 31	divcld 11982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℂ)
49	23	nnne0d 12277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
50	47, 30, 49, 31	divne0d 11998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ≠ 0)
51	48, 50, 21	cxpefd 26835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))))
52	51	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
53		eflog 26699	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
54	34, 35, 53	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
55	52, 54	oveq12d 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
56	46, 55	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
57	18	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺‘𝑛)) = (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
58	8	oveq1d 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
59	58, 12	oveq12d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
60		gamcvg2.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
61		ovex 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ V
62	59, 60, 61	fvmpt 6979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
63	62	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
64	56, 57, 63	3eqtr4d 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
65	3, 5, 64	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (exp‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
66	2, 39, 42, 44, 65	seqhomo 14076	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
67	66	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
68		eff 16125	. . . 4 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
69	68	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → exp:ℂ⟶ℂ)
70		1z 12615	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
71	70	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
72	41, 71, 38	serf 14057	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
73		fcompt 7119	. . 3 ⊢ ((exp:ℂ⟶ℂ ∧ seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ) → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
74	69, 72, 73	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
75		seqfn 14040	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
76	70, 75	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
77	41	fneq2i 6623	. . . 4 ⊢ (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
78	76, 77	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn ℕ)
79		dffn5 6929	. . 3 ⊢ (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
80	78, 79	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
81	67, 74, 80	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3904   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5656   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12224  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13526  seqcseq 14028  expce 16105  logclog 26677  ↑_𝑐ccxp 26678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-shft 15094  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-ef 16111  df-sin 16113  df-cos 16114  df-pi 16116  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-limc 25986  df-dv 25987  df-log 26679  df-cxp 26680

This theorem is referenced by:  gamcvg2  27182