Theorem gamcvg2lem 27036

Description: Lemma for gamcvg2 27037. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
gamcvg2.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
gamcvg2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
gamcvg2.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))

Assertion

Ref	Expression
gamcvg2lem	⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg2lem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 11111	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑥) ∈ ℂ)
3		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝜑)
4		elfznn 13498	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑘) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
7		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → 𝑚 = 𝑛)
8	6, 7	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
9	8	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
10	9	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
11		oveq2 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / 𝑛))
12	11	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 / 𝑚) + 1) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
13	12	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))
14	10, 13	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
15		gamcvg2.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
16		ovex 7393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ V
17	14, 15, 16	fvmpt 6941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) = ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))))
19		gamcvg2.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
21	20	eldifad 3902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
23	22	peano2nnd 12182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24	23	nnrpd 12975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
25	22	nnrpd 12975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
26	24, 25	rpdivcld 12994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
27	26	relogcld 26600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
28	27	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℂ)
29	21, 28	mulcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ)
30	22	nncnd 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
31	22	nnne0d 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
32	21, 30, 31	divcld 11922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑛) ∈ ℂ)
33		1cnd 11130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
34	32, 33	addcld 11155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
35	20, 22	dmgmdivn0 27005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0)
36	34, 35	logcld 26547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
37	29, 36	subcld 11496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
38	18, 37	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
39	3, 5, 38	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
40		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
41		nnuz 12818	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
42	40, 41	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
43		efadd 16050	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
44	43	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (exp‘(𝑛 + 𝑥)) = ((exp‘𝑛) · (exp‘𝑥)))
45		efsub 16058	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℂ ∧ (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
46	29, 36, 45	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
47	30, 33	addcld 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℂ)
48	47, 30, 31	divcld 11922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℂ)
49	23	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ≠ 0)
50	47, 30, 49, 31	divne0d 11938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ≠ 0)
51	48, 50, 21	cxpefd 26689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))))
52	51	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
53		eflog 26553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 / 𝑛) + 1) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑛) + 1) ≠ 0) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
54	34, 35, 53	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1))) = ((𝐴 / 𝑛) + 1))
55	52, 54	oveq12d 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((exp‘(𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))) / (exp‘(log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
56	46, 55	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
57	18	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺‘𝑛)) = (exp‘((𝐴 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) − (log‘((𝐴 / 𝑛) + 1)))))
58	8	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) = (((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴))
59	58, 12	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
60		gamcvg2.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((((𝑚 + 1) / 𝑚)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑚) + 1)))
61		ovex 7393	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)) ∈ V
62	59, 60, 61	fvmpt 6941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
63	62	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = ((((𝑛 + 1) / 𝑛)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / 𝑛) + 1)))
64	56, 57, 63	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (exp‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
65	3, 5, 64	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑘)) → (exp‘(𝐺‘𝑛)) = (𝐹‘𝑛))
66	2, 39, 42, 44, 65	seqhomo 14002	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
67	66	mpteq2dva 5179	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
68		eff 16037	. . . 4 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
69	68	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → exp:ℂ⟶ℂ)
70		1z 12548	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
71	70	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
72	41, 71, 38	serf 13983	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
73		fcompt 7080	. . 3 ⊢ ((exp:ℂ⟶ℂ ∧ seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ) → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
74	69, 72, 73	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (exp‘(seq1( + , 𝐺)‘𝑘))))
75		seqfn 13966	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
76	70, 75	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
77	41	fneq2i 6590	. . . 4 ⊢ (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
78	76, 77	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹) Fn ℕ)
79		dffn5 6892	. . 3 ⊢ (seq1( · , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
80	78, 79	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
81	67, 74, 80	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) = seq1( · , 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  seqcseq 13954  expce 16017  logclog 26531  ↑_𝑐ccxp 26532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-cxp 26534

This theorem is referenced by:  gamcvg2  27037