MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2 27008
Description: - Lemma for ostth 27010: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.3 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
ostth2.4 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
ostth2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
Distinct variable groups:   π‘ž,π‘Ž,π‘₯,𝑦,πœ‘   𝐽,π‘Ž,𝑦   𝐴,π‘Ž,π‘ž,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑄,𝑦   𝐹,π‘Ž,π‘ž,𝑦   𝑅,π‘Ž,π‘ž,𝑦   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž,π‘Ž)   𝑅(π‘₯)   𝐽(π‘₯,π‘ž)   𝐾(π‘₯,𝑦,π‘ž,π‘Ž)   𝑁(π‘ž,π‘Ž)

Proof of Theorem ostth2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.4 . . . . 5 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
2 ostth.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
3 ostth2.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
4 eluz2b2 12854 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
53, 4sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
65simpld 496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7 nnq 12895 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„š)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„š)
9 qabsabv.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
10 qrng.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
1110qrngbas 26990 . . . . . . . . 9 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
129, 11abvcl 20326 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
132, 8, 12syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
14 ostth2.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
1513, 14rplogcld 26007 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
166nnred 12176 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
175simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
1816, 17rplogcld 26007 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
1915, 18rpdivcld 12982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
201, 19eqeltrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
2120rpred 12965 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2220rpgt0d 12968 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑅)
236nnnn0d 12481 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2410, 9qabvle 26996 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ 𝑁)
252, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ 𝑁)
266nnne0d 12211 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
2710qrng0 26992 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜π‘„)
289, 11, 27abvgt0 20330 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘))
292, 8, 26, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘))
3013, 29elrpd 12962 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
3130reeflogd 26002 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) = (πΉβ€˜π‘))
326nnrpd 12963 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
3332reeflogd 26002 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) = 𝑁)
3425, 31, 333brtr4d 5141 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘)))
3515rpred 12965 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
3632relogcld 26001 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
37 efle 16008 . . . . . . . 8 (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
3934, 38mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘))
4018rpcnd 12967 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
4140mulridd 11180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· 1) = (logβ€˜π‘))
4239, 41breqtrrd 5137 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· 1))
43 1red 11164 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
4435, 43, 18ledivmuld 13018 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ≀ 1 ↔ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· 1)))
4542, 44mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ≀ 1)
461, 45eqbrtrid 5144 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 1)
47 0xr 11210 . . . 4 0 ∈ ℝ*
48 1re 11163 . . . 4 1 ∈ ℝ
49 elioc2 13336 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑅 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ 1)))
5047, 48, 49mp2an 691 . . 3 (𝑅 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ 1))
5121, 22, 46, 50syl3anbrc 1344 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0(,]1))
5210, 9qabsabv 27000 . . . 4 (abs β†Ύ β„š) ∈ 𝐴
53 fvres 6865 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„š β†’ ((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
5453oveq1d 7376 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„š β†’ (((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
5554mpteq2ia 5212 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„š ↦ (((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
5655eqcomi 2742 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
579, 11, 56abvcxp 26986 . . . 4 (((abs β†Ύ β„š) ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
5852, 51, 57sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
59 eluzelz 12781 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
60 zq 12887 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„€ β†’ 𝑧 ∈ β„š)
61 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘§))
6261oveq1d 7376 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅))
63 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
64 ovex 7394 . . . . . . 7 ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅) ∈ V
6562, 63, 64fvmpt 6952 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„š β†’ ((𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))β€˜π‘§) = ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅))
6659, 60, 653syl 18 . . . . 5 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))β€˜π‘§) = ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅))
6766adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))β€˜π‘§) = ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅))
68 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
69 eluz2b2 12854 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑧 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑧))
7068, 69sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑧 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑧))
7170simpld 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
7271nnred 12176 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
7371nnnn0d 12481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„•0)
7473nn0ge0d 12484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 0 ≀ 𝑧)
7572, 74absidd 15316 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (absβ€˜π‘§) = 𝑧)
7675oveq1d 7376 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅) = (𝑧↑𝑐𝑅))
7772recnd 11191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
7871nnne0d 12211 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 β‰  0)
7920rpcnd 12967 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
8079adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
8177, 78, 80cxpefd 26090 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑧↑𝑐𝑅) = (expβ€˜(𝑅 Β· (logβ€˜π‘§))))
82 padic.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
83 ostth.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
842adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
853adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
8614adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
87 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§))
88 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 if((πΉβ€˜π‘§) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘§)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘§))
89 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘§)) = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘§))
9010, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89ostth2lem4 27007 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘§) ∧ 𝑅 ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§))))
9190simprd 497 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑅 ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)))
9290simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘§))
93 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 if((πΉβ€˜π‘) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘)) = if((πΉβ€˜π‘) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘))
94 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((logβ€˜π‘§) / (logβ€˜π‘)) = ((logβ€˜π‘§) / (logβ€˜π‘))
9510, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94ostth2lem4 27007 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘) ∧ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ≀ 𝑅))
9695simprd 497 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ≀ 𝑅)
9721adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
9859adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
9998, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„š)
1009, 11abvcl 20326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
10184, 99, 100syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
1029, 11, 27abvgt0 20330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ β„š ∧ 𝑧 β‰  0) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘§))
10384, 99, 78, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘§))
104101, 103elrpd 12962 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ+)
105104relogcld 26001 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
10671nnrpd 12963 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
107106relogcld 26001 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
108 ef0 15981 . . . . . . . . . . . . . 14 (expβ€˜0) = 1
10970simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 < 𝑧)
110106reeflogd 26002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘§)) = 𝑧)
111109, 110breqtrrd 5137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 < (expβ€˜(logβ€˜π‘§)))
112108, 111eqbrtrid 5144 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (expβ€˜0) < (expβ€˜(logβ€˜π‘§)))
113 0re 11165 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
114 eflt 16007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (0 < (logβ€˜π‘§) ↔ (expβ€˜0) < (expβ€˜(logβ€˜π‘§))))
115113, 107, 114sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (0 < (logβ€˜π‘§) ↔ (expβ€˜0) < (expβ€˜(logβ€˜π‘§))))
116112, 115mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 0 < (logβ€˜π‘§))
117116gt0ne0d 11727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜π‘§) β‰  0)
118105, 107, 117redivcld 11991 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
11997, 118letri3d 11305 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ↔ (𝑅 ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ∧ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ≀ 𝑅)))
12091, 96, 119mpbir2and 712 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)))
121120oveq1d 7376 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑅 Β· (logβ€˜π‘§)) = (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) Β· (logβ€˜π‘§)))
122105recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
123107recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
124122, 123, 117divcan1d 11940 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) Β· (logβ€˜π‘§)) = (logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
125121, 124eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑅 Β· (logβ€˜π‘§)) = (logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
126125fveq2d 6850 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (expβ€˜(𝑅 Β· (logβ€˜π‘§))) = (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
127104reeflogd 26002 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (πΉβ€˜π‘§))
12881, 126, 1273eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑧↑𝑐𝑅) = (πΉβ€˜π‘§))
12967, 76, 1283eqtrrd 2778 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ((𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))β€˜π‘§))
13010, 9, 2, 58, 129ostthlem1 26998 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)))
131 oveq2 7369 . . . 4 (π‘Ž = 𝑅 β†’ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž) = ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
132131mpteq2dv 5211 . . 3 (π‘Ž = 𝑅 β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)))
133132rspceeqv 3599 . 2 ((𝑅 ∈ (0(,]1) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
13451, 130, 133syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  -cneg 11394   / cdiv 11820  β„•cn 12161  2c2 12216  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„šcq 12881  β„+crp 12923  (,]cioc 13274  β†‘cexp 13976  abscabs 15128  expce 15952  β„™cprime 16555   pCnt cpc 16716   β†Ύs cress 17120  AbsValcabv 20318  β„‚fldccnfld 20819  logclog 25933  β†‘𝑐ccxp 25934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-abv 20319  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935  df-cxp 25936
This theorem is referenced by:  ostth  27010
  Copyright terms: Public domain W3C validator