MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2 26365
Description: - Lemma for ostth 26367: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
Assertion
Ref Expression
ostth2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑎,𝑥,𝑦,𝜑   𝐽,𝑎,𝑦   𝐴,𝑎,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝐹,𝑎,𝑞,𝑦   𝑅,𝑎,𝑞,𝑦   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞,𝑎)   𝑅(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑞,𝑎)   𝑁(𝑞,𝑎)

Proof of Theorem ostth2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.4 . . . . 5 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
2 ostth.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐴)
3 ostth2.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
4 eluz2b2 12396 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
53, 4sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
65simpld 498 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
7 nnq 12437 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
9 qabsabv.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
10 qrng.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1110qrngbas 26347 . . . . . . . . 9 ℚ = (Base‘𝑄)
129, 11abvcl 19707 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
132, 8, 12syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
14 ostth2.3 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
1513, 14rplogcld 25364 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ+)
166nnred 11724 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
175simprd 499 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑁)
1816, 17rplogcld 25364 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
1915, 18rpdivcld 12524 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ∈ ℝ+)
201, 19eqeltrid 2837 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
2120rpred 12507 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
2220rpgt0d 12510 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝑅)
236nnnn0d 12029 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2410, 9qabvle 26353 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)
252, 23, 24syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)
266nnne0d 11759 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ≠ 0)
2710qrng0 26349 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑄)
289, 11, 27abvgt0 19711 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑁))
292, 8, 26, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑁))
3013, 29elrpd 12504 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
3130reeflogd 25359 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) = (𝐹𝑁))
326nnrpd 12505 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3332reeflogd 25359 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
3425, 31, 333brtr4d 5059 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑁)))
3515rpred 12507 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
3632relogcld 25358 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
37 efle 15556 . . . . . . . 8 (((log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐹𝑁)) ≤ (log‘𝑁) ↔ (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑁))))
3835, 36, 37syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) ≤ (log‘𝑁) ↔ (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑁))))
3934, 38mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ≤ (log‘𝑁))
4018rpcnd 12509 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
4140mulid1d 10729 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑁) · 1) = (log‘𝑁))
4239, 41breqtrrd 5055 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · 1))
43 1red 10713 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4435, 43, 18ledivmuld 12560 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ 1 ↔ (log‘(𝐹𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · 1)))
4542, 44mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ 1)
461, 45eqbrtrid 5062 . . 3 (𝜑𝑅 ≤ 1)
47 0xr 10759 . . . 4 0 ∈ ℝ*
48 1re 10712 . . . 4 1 ∈ ℝ
49 elioc2 12877 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅𝑅 ≤ 1)))
5047, 48, 49mp2an 692 . . 3 (𝑅 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅𝑅 ≤ 1))
5121, 22, 46, 50syl3anbrc 1344 . 2 (𝜑𝑅 ∈ (0(,]1))
5210, 9qabsabv 26357 . . . 4 (abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴
53 fvres 6687 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℚ → ((abs ↾ ℚ)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
5453oveq1d 7179 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℚ → (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))
5554mpteq2ia 5118 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))
5655eqcomi 2747 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑅))
579, 11, 56abvcxp 26343 . . . 4 (((abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴𝑅 ∈ (0(,]1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
5852, 51, 57sylancr 590 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
59 eluzelz 12327 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
60 zq 12429 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
61 fveq2 6668 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑧))
6261oveq1d 7179 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅) = ((abs‘𝑧)↑𝑐𝑅))
63 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))
64 ovex 7197 . . . . . . 7 ((abs‘𝑧)↑𝑐𝑅) ∈ V
6562, 63, 64fvmpt 6769 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑧) = ((abs‘𝑧)↑𝑐𝑅))
6659, 60, 653syl 18 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑧) = ((abs‘𝑧)↑𝑐𝑅))
6766adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑧) = ((abs‘𝑧)↑𝑐𝑅))
68 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
69 eluz2b2 12396 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑧))
7068, 69sylib 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑧))
7170simpld 498 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℕ)
7271nnred 11724 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℝ)
7371nnnn0d 12029 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
7473nn0ge0d 12032 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ 𝑧)
7572, 74absidd 14865 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (abs‘𝑧) = 𝑧)
7675oveq1d 7179 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((abs‘𝑧)↑𝑐𝑅) = (𝑧𝑐𝑅))
7772recnd 10740 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℂ)
7871nnne0d 11759 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ≠ 0)
7920rpcnd 12509 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
8079adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑅 ∈ ℂ)
8177, 78, 80cxpefd 25447 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑐𝑅) = (exp‘(𝑅 · (log‘𝑧))))
82 padic.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
83 ostth.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
842adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐹𝐴)
853adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
8614adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < (𝐹𝑁))
87 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) = ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧))
88 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 if((𝐹𝑧) ≤ 1, 1, (𝐹𝑧)) = if((𝐹𝑧) ≤ 1, 1, (𝐹𝑧))
89 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 ((log‘𝑁) / (log‘𝑧)) = ((log‘𝑁) / (log‘𝑧))
9010, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89ostth2lem4 26364 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (1 < (𝐹𝑧) ∧ 𝑅 ≤ ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧))))
9190simprd 499 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑅 ≤ ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)))
9290simpld 498 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < (𝐹𝑧))
93 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 if((𝐹𝑁) ≤ 1, 1, (𝐹𝑁)) = if((𝐹𝑁) ≤ 1, 1, (𝐹𝑁))
94 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 ((log‘𝑧) / (log‘𝑁)) = ((log‘𝑧) / (log‘𝑁))
9510, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94ostth2lem4 26364 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (1 < (𝐹𝑁) ∧ ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) ≤ 𝑅))
9695simprd 499 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) ≤ 𝑅)
9721adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑅 ∈ ℝ)
9859adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
9998, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℚ)
1009, 11abvcl 19707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴𝑧 ∈ ℚ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
10184, 99, 100syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
1029, 11, 27abvgt0 19711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑧))
10384, 99, 78, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝐹𝑧))
104101, 103elrpd 12504 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ+)
105104relogcld 25358 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (log‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
10671nnrpd 12505 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
107106relogcld 25358 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (log‘𝑧) ∈ ℝ)
108 ef0 15529 . . . . . . . . . . . . . 14 (exp‘0) = 1
10970simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝑧)
110106reeflogd 25359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (exp‘(log‘𝑧)) = 𝑧)
111109, 110breqtrrd 5055 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < (exp‘(log‘𝑧)))
112108, 111eqbrtrid 5062 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (exp‘0) < (exp‘(log‘𝑧)))
113 0re 10714 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
114 eflt 15555 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑧) ∈ ℝ) → (0 < (log‘𝑧) ↔ (exp‘0) < (exp‘(log‘𝑧))))
115113, 107, 114sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (0 < (log‘𝑧) ↔ (exp‘0) < (exp‘(log‘𝑧))))
116112, 115mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (log‘𝑧))
117116gt0ne0d 11275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (log‘𝑧) ≠ 0)
118105, 107, 117redivcld 11539 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) ∈ ℝ)
11997, 118letri3d 10853 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑅 = ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) ↔ (𝑅 ≤ ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) ∧ ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) ≤ 𝑅)))
12091, 96, 119mpbir2and 713 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)))
121120oveq1d 7179 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑅 · (log‘𝑧)) = (((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) · (log‘𝑧)))
122105recnd 10740 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (log‘(𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
123107recnd 10740 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (log‘𝑧) ∈ ℂ)
124122, 123, 117divcan1d 11488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) · (log‘𝑧)) = (log‘(𝐹𝑧)))
125121, 124eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑅 · (log‘𝑧)) = (log‘(𝐹𝑧)))
126125fveq2d 6672 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (exp‘(𝑅 · (log‘𝑧))) = (exp‘(log‘(𝐹𝑧))))
127104reeflogd 25359 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (exp‘(log‘(𝐹𝑧))) = (𝐹𝑧))
12881, 126, 1273eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑐𝑅) = (𝐹𝑧))
12967, 76, 1283eqtrrd 2778 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑧) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑧))
13010, 9, 2, 58, 129ostthlem1 26355 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
131 oveq2 7172 . . . 4 (𝑎 = 𝑅 → ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎) = ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))
132131mpteq2dv 5123 . . 3 (𝑎 = 𝑅 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
133132rspceeqv 3539 . 2 ((𝑅 ∈ (0(,]1) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
13451, 130, 133syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wrex 3054  ifcif 4411   class class class wbr 5027  cmpt 5107  cres 5521  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609   · cmul 10613  *cxr 10745   < clt 10746  cle 10747  -cneg 10942   / cdiv 11368  cn 11709  2c2 11764  0cn0 11969  cz 12055  cuz 12317  cq 12423  +crp 12465  (,]cioc 12815  cexp 13514  abscabs 14676  expce 15500  cprime 16105   pCnt cpc 16266  s cress 16580  AbsValcabv 19699  fldccnfld 20210  logclog 25290  𝑐ccxp 25291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-shft 14509  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-limsup 14911  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-ef 15506  df-sin 15508  df-cos 15509  df-pi 15511  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-drng 19616  df-subrg 19645  df-abv 19700  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cncf 23623  df-limc 24610  df-dv 24611  df-log 25292  df-cxp 25293
This theorem is referenced by:  ostth  26367
  Copyright terms: Public domain W3C validator