MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2 25617
Description: - Lemma for ostth 25619: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth2.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
ostth2.3 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
ostth2.4 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
Assertion
Ref Expression
ostth2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑎,𝑥,𝑦,𝜑   𝐽,𝑎,𝑦   𝐴,𝑎,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝐹,𝑎,𝑞,𝑦   𝑅,𝑎,𝑞,𝑦   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞,𝑎)   𝑅(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑞,𝑎)   𝑁(𝑞,𝑎)

Proof of Theorem ostth2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.4 . . . . 5 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁))
2 ostth.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐴)
3 ostth2.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
4 eluz2b2 11962 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
53, 4sylib 209 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
65simpld 488 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
7 nnq 12002 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
9 qabsabv.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
10 qrng.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1110qrngbas 25599 . . . . . . . . 9 ℚ = (Base‘𝑄)
129, 11abvcl 19093 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
132, 8, 12syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
14 ostth2.3 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (𝐹𝑁))
1513, 14rplogcld 24666 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ+)
166nnred 11291 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
175simprd 489 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑁)
1816, 17rplogcld 24666 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ+)
1915, 18rpdivcld 12087 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ∈ ℝ+)
201, 19syl5eqel 2848 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
2120rpred 12070 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
2220rpgt0d 12073 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝑅)
236nnnn0d 11598 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2410, 9qabvle 25605 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)
252, 23, 24syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ 𝑁)
266nnne0d 11322 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ≠ 0)
2710qrng0 25601 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑄)
289, 11, 27abvgt0 19097 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑁))
292, 8, 26, 28syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑁))
3013, 29elrpd 12067 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
3130reeflogd 24661 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) = (𝐹𝑁))
326nnrpd 12068 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3332reeflogd 24661 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
3425, 31, 333brtr4d 4841 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑁)))
3515rpred 12070 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
3632relogcld 24660 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
37 efle 15132 . . . . . . . 8 (((log‘(𝐹𝑁)) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((log‘(𝐹𝑁)) ≤ (log‘𝑁) ↔ (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑁))))
3835, 36, 37syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) ≤ (log‘𝑁) ↔ (exp‘(log‘(𝐹𝑁))) ≤ (exp‘(log‘𝑁))))
3934, 38mpbird 248 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ≤ (log‘𝑁))
4018rpcnd 12072 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
4140mulid1d 10311 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑁) · 1) = (log‘𝑁))
4239, 41breqtrrd 4837 . . . . 5 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · 1))
43 1red 10294 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4435, 43, 18ledivmuld 12123 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ 1 ↔ (log‘(𝐹𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) · 1)))
4542, 44mpbird 248 . . . 4 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑁)) / (log‘𝑁)) ≤ 1)
461, 45syl5eqbr 4844 . . 3 (𝜑𝑅 ≤ 1)
47 0xr 10340 . . . 4 0 ∈ ℝ*
48 1re 10293 . . . 4 1 ∈ ℝ
49 elioc2 12438 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑅 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅𝑅 ≤ 1)))
5047, 48, 49mp2an 683 . . 3 (𝑅 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅𝑅 ≤ 1))
5121, 22, 46, 50syl3anbrc 1443 . 2 (𝜑𝑅 ∈ (0(,]1))
5210, 9qabsabv 25609 . . . 4 (abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴
53 fvres 6394 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℚ → ((abs ↾ ℚ)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
5453oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℚ → (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))
5554mpteq2ia 4899 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))
5655eqcomi 2774 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((abs ↾ ℚ)‘𝑦)↑𝑐𝑅))
579, 11, 56abvcxp 25595 . . . 4 (((abs ↾ ℚ) ∈ 𝐴𝑅 ∈ (0(,]1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
5852, 51, 57sylancr 581 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
59 eluzelz 11896 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
60 zq 11995 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
61 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑧))
6261oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅) = ((abs‘𝑧)↑𝑐𝑅))
63 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))
64 ovex 6874 . . . . . . 7 ((abs‘𝑧)↑𝑐𝑅) ∈ V
6562, 63, 64fvmpt 6471 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑧) = ((abs‘𝑧)↑𝑐𝑅))
6659, 60, 653syl 18 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑧) = ((abs‘𝑧)↑𝑐𝑅))
6766adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑧) = ((abs‘𝑧)↑𝑐𝑅))
68 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
69 eluz2b2 11962 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑧))
7068, 69sylib 209 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑧))
7170simpld 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℕ)
7271nnred 11291 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℝ)
7371nnnn0d 11598 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
7473nn0ge0d 11601 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ 𝑧)
7572, 74absidd 14448 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (abs‘𝑧) = 𝑧)
7675oveq1d 6857 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((abs‘𝑧)↑𝑐𝑅) = (𝑧𝑐𝑅))
7772recnd 10322 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℂ)
7871nnne0d 11322 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ≠ 0)
7920rpcnd 12072 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
8079adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑅 ∈ ℂ)
8177, 78, 80cxpefd 24749 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑐𝑅) = (exp‘(𝑅 · (log‘𝑧))))
82 padic.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
83 ostth.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
842adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐹𝐴)
853adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
8614adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < (𝐹𝑁))
87 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) = ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧))
88 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 if((𝐹𝑧) ≤ 1, 1, (𝐹𝑧)) = if((𝐹𝑧) ≤ 1, 1, (𝐹𝑧))
89 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 ((log‘𝑁) / (log‘𝑧)) = ((log‘𝑁) / (log‘𝑧))
9010, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89ostth2lem4 25616 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (1 < (𝐹𝑧) ∧ 𝑅 ≤ ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧))))
9190simprd 489 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑅 ≤ ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)))
9290simpld 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < (𝐹𝑧))
93 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 if((𝐹𝑁) ≤ 1, 1, (𝐹𝑁)) = if((𝐹𝑁) ≤ 1, 1, (𝐹𝑁))
94 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 ((log‘𝑧) / (log‘𝑁)) = ((log‘𝑧) / (log‘𝑁))
9510, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94ostth2lem4 25616 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (1 < (𝐹𝑁) ∧ ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) ≤ 𝑅))
9695simprd 489 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) ≤ 𝑅)
9721adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑅 ∈ ℝ)
9859adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℤ)
9998, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℚ)
1009, 11abvcl 19093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴𝑧 ∈ ℚ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
10184, 99, 100syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
1029, 11, 27abvgt0 19097 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴𝑧 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑧))
10384, 99, 78, 102syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝐹𝑧))
104101, 103elrpd 12067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ+)
105104relogcld 24660 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (log‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
10671nnrpd 12068 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
107106relogcld 24660 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (log‘𝑧) ∈ ℝ)
108 ef0 15105 . . . . . . . . . . . . . 14 (exp‘0) = 1
10970simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝑧)
110106reeflogd 24661 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (exp‘(log‘𝑧)) = 𝑧)
111109, 110breqtrrd 4837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < (exp‘(log‘𝑧)))
112108, 111syl5eqbr 4844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (exp‘0) < (exp‘(log‘𝑧)))
113 0re 10295 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
114 eflt 15131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑧) ∈ ℝ) → (0 < (log‘𝑧) ↔ (exp‘0) < (exp‘(log‘𝑧))))
115113, 107, 114sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (0 < (log‘𝑧) ↔ (exp‘0) < (exp‘(log‘𝑧))))
116112, 115mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (log‘𝑧))
117116gt0ne0d 10846 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (log‘𝑧) ≠ 0)
118105, 107, 117redivcld 11107 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) ∈ ℝ)
11997, 118letri3d 10433 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑅 = ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) ↔ (𝑅 ≤ ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) ∧ ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) ≤ 𝑅)))
12091, 96, 119mpbir2and 704 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑅 = ((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)))
121120oveq1d 6857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑅 · (log‘𝑧)) = (((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) · (log‘𝑧)))
122105recnd 10322 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (log‘(𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
123107recnd 10322 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (log‘𝑧) ∈ ℂ)
124122, 123, 117divcan1d 11056 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((log‘(𝐹𝑧)) / (log‘𝑧)) · (log‘𝑧)) = (log‘(𝐹𝑧)))
125121, 124eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑅 · (log‘𝑧)) = (log‘(𝐹𝑧)))
126125fveq2d 6379 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (exp‘(𝑅 · (log‘𝑧))) = (exp‘(log‘(𝐹𝑧))))
127104reeflogd 24661 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (exp‘(log‘(𝐹𝑧))) = (𝐹𝑧))
12881, 126, 1273eqtrd 2803 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑧𝑐𝑅) = (𝐹𝑧))
12967, 76, 1283eqtrrd 2804 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑧) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑧))
13010, 9, 2, 58, 129ostthlem1 25607 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
131 oveq2 6850 . . . 4 (𝑎 = 𝑅 → ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎) = ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))
132131mpteq2dv 4904 . . 3 (𝑎 = 𝑅 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
133132rspceeqv 3479 . 2 ((𝑅 ∈ (0(,]1) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑅))) → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
13451, 130, 133syl2anc 579 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ ((abs‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cres 5279  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  cq 11989  +crp 12028  (,]cioc 12378  cexp 13067  abscabs 14261  expce 15076  cprime 15667   pCnt cpc 15822  s cress 16133  AbsValcabv 19085  fldccnfld 20019  logclog 24592  𝑐ccxp 24593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-drng 19018  df-subrg 19047  df-abv 19086  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-cxp 24595
This theorem is referenced by:  ostth  25619
  Copyright terms: Public domain W3C validator