MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2 27140
Description: - Lemma for ostth 27142: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.3 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
ostth2.4 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
ostth2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
Distinct variable groups:   π‘ž,π‘Ž,π‘₯,𝑦,πœ‘   𝐽,π‘Ž,𝑦   𝐴,π‘Ž,π‘ž,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑄,𝑦   𝐹,π‘Ž,π‘ž,𝑦   𝑅,π‘Ž,π‘ž,𝑦   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž,π‘Ž)   𝑅(π‘₯)   𝐽(π‘₯,π‘ž)   𝐾(π‘₯,𝑦,π‘ž,π‘Ž)   𝑁(π‘ž,π‘Ž)

Proof of Theorem ostth2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.4 . . . . 5 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
2 ostth.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
3 ostth2.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
4 eluz2b2 12905 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
53, 4sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
65simpld 496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7 nnq 12946 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„š)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„š)
9 qabsabv.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
10 qrng.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
1110qrngbas 27122 . . . . . . . . 9 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
129, 11abvcl 20432 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
132, 8, 12syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
14 ostth2.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
1513, 14rplogcld 26137 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
166nnred 12227 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
175simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
1816, 17rplogcld 26137 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
1915, 18rpdivcld 13033 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
201, 19eqeltrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
2120rpred 13016 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2220rpgt0d 13019 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑅)
236nnnn0d 12532 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2410, 9qabvle 27128 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ 𝑁)
252, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ 𝑁)
266nnne0d 12262 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
2710qrng0 27124 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜π‘„)
289, 11, 27abvgt0 20436 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘))
292, 8, 26, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘))
3013, 29elrpd 13013 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
3130reeflogd 26132 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) = (πΉβ€˜π‘))
326nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
3332reeflogd 26132 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) = 𝑁)
3425, 31, 333brtr4d 5181 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘)))
3515rpred 13016 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
3632relogcld 26131 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
37 efle 16061 . . . . . . . 8 (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
3934, 38mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘))
4018rpcnd 13018 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
4140mulridd 11231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· 1) = (logβ€˜π‘))
4239, 41breqtrrd 5177 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· 1))
43 1red 11215 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
4435, 43, 18ledivmuld 13069 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ≀ 1 ↔ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· 1)))
4542, 44mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ≀ 1)
461, 45eqbrtrid 5184 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 1)
47 0xr 11261 . . . 4 0 ∈ ℝ*
48 1re 11214 . . . 4 1 ∈ ℝ
49 elioc2 13387 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑅 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ 1)))
5047, 48, 49mp2an 691 . . 3 (𝑅 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ 1))
5121, 22, 46, 50syl3anbrc 1344 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0(,]1))
5210, 9qabsabv 27132 . . . 4 (abs β†Ύ β„š) ∈ 𝐴
53 fvres 6911 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„š β†’ ((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
5453oveq1d 7424 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„š β†’ (((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
5554mpteq2ia 5252 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„š ↦ (((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
5655eqcomi 2742 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
579, 11, 56abvcxp 27118 . . . 4 (((abs β†Ύ β„š) ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
5852, 51, 57sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
59 eluzelz 12832 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
60 zq 12938 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„€ β†’ 𝑧 ∈ β„š)
61 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘§))
6261oveq1d 7424 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅))
63 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
64 ovex 7442 . . . . . . 7 ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅) ∈ V
6562, 63, 64fvmpt 6999 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„š β†’ ((𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))β€˜π‘§) = ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅))
6659, 60, 653syl 18 . . . . 5 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))β€˜π‘§) = ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅))
6766adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))β€˜π‘§) = ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅))
68 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
69 eluz2b2 12905 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑧 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑧))
7068, 69sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑧 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑧))
7170simpld 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
7271nnred 12227 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
7371nnnn0d 12532 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„•0)
7473nn0ge0d 12535 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 0 ≀ 𝑧)
7572, 74absidd 15369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (absβ€˜π‘§) = 𝑧)
7675oveq1d 7424 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅) = (𝑧↑𝑐𝑅))
7772recnd 11242 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
7871nnne0d 12262 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 β‰  0)
7920rpcnd 13018 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
8079adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
8177, 78, 80cxpefd 26220 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑧↑𝑐𝑅) = (expβ€˜(𝑅 Β· (logβ€˜π‘§))))
82 padic.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
83 ostth.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
842adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
853adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
8614adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
87 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§))
88 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 if((πΉβ€˜π‘§) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘§)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘§))
89 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘§)) = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘§))
9010, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89ostth2lem4 27139 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘§) ∧ 𝑅 ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§))))
9190simprd 497 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑅 ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)))
9290simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘§))
93 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 if((πΉβ€˜π‘) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘)) = if((πΉβ€˜π‘) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘))
94 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((logβ€˜π‘§) / (logβ€˜π‘)) = ((logβ€˜π‘§) / (logβ€˜π‘))
9510, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94ostth2lem4 27139 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘) ∧ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ≀ 𝑅))
9695simprd 497 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ≀ 𝑅)
9721adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
9859adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
9998, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„š)
1009, 11abvcl 20432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
10184, 99, 100syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
1029, 11, 27abvgt0 20436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ β„š ∧ 𝑧 β‰  0) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘§))
10384, 99, 78, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘§))
104101, 103elrpd 13013 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ+)
105104relogcld 26131 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
10671nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
107106relogcld 26131 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
108 ef0 16034 . . . . . . . . . . . . . 14 (expβ€˜0) = 1
10970simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 < 𝑧)
110106reeflogd 26132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘§)) = 𝑧)
111109, 110breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 < (expβ€˜(logβ€˜π‘§)))
112108, 111eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (expβ€˜0) < (expβ€˜(logβ€˜π‘§)))
113 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
114 eflt 16060 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (0 < (logβ€˜π‘§) ↔ (expβ€˜0) < (expβ€˜(logβ€˜π‘§))))
115113, 107, 114sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (0 < (logβ€˜π‘§) ↔ (expβ€˜0) < (expβ€˜(logβ€˜π‘§))))
116112, 115mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 0 < (logβ€˜π‘§))
117116gt0ne0d 11778 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜π‘§) β‰  0)
118105, 107, 117redivcld 12042 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
11997, 118letri3d 11356 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ↔ (𝑅 ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ∧ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ≀ 𝑅)))
12091, 96, 119mpbir2and 712 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)))
121120oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑅 Β· (logβ€˜π‘§)) = (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) Β· (logβ€˜π‘§)))
122105recnd 11242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
123107recnd 11242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
124122, 123, 117divcan1d 11991 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) Β· (logβ€˜π‘§)) = (logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
125121, 124eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑅 Β· (logβ€˜π‘§)) = (logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
126125fveq2d 6896 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (expβ€˜(𝑅 Β· (logβ€˜π‘§))) = (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
127104reeflogd 26132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (πΉβ€˜π‘§))
12881, 126, 1273eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑧↑𝑐𝑅) = (πΉβ€˜π‘§))
12967, 76, 1283eqtrrd 2778 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ((𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))β€˜π‘§))
13010, 9, 2, 58, 129ostthlem1 27130 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)))
131 oveq2 7417 . . . 4 (π‘Ž = 𝑅 β†’ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž) = ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
132131mpteq2dv 5251 . . 3 (π‘Ž = 𝑅 β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)))
133132rspceeqv 3634 . 2 ((𝑅 ∈ (0(,]1) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
13451, 130, 133syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„šcq 12932  β„+crp 12974  (,]cioc 13325  β†‘cexp 14027  abscabs 15181  expce 16005  β„™cprime 16608   pCnt cpc 16769   β†Ύs cress 17173  AbsValcabv 20424  β„‚fldccnfld 20944  logclog 26063  β†‘𝑐ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-abv 20425  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  ostth  27142
  Copyright terms: Public domain W3C validator