MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostth2 27376
Description: - Lemma for ostth 27378: regular case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
padic.j 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
ostth.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
ostth.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth2.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
ostth2.3 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
ostth2.4 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
ostth2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
Distinct variable groups:   π‘ž,π‘Ž,π‘₯,𝑦,πœ‘   𝐽,π‘Ž,𝑦   𝐴,π‘Ž,π‘ž,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑄,𝑦   𝐹,π‘Ž,π‘ž,𝑦   𝑅,π‘Ž,π‘ž,𝑦   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘ž,π‘Ž)   𝑅(π‘₯)   𝐽(π‘₯,π‘ž)   𝐾(π‘₯,𝑦,π‘ž,π‘Ž)   𝑁(π‘ž,π‘Ž)

Proof of Theorem ostth2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth2.4 . . . . 5 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘))
2 ostth.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
3 ostth2.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
4 eluz2b2 12909 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
53, 4sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
65simpld 493 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
7 nnq 12950 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„š)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„š)
9 qabsabv.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘„)
10 qrng.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = (β„‚fld β†Ύs β„š)
1110qrngbas 27358 . . . . . . . . 9 β„š = (Baseβ€˜π‘„)
129, 11abvcl 20575 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
132, 8, 12syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
14 ostth2.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
1513, 14rplogcld 26373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
166nnred 12231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
175simprd 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
1816, 17rplogcld 26373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
1915, 18rpdivcld 13037 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ∈ ℝ+)
201, 19eqeltrid 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
2120rpred 13020 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2220rpgt0d 13023 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑅)
236nnnn0d 12536 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2410, 9qabvle 27364 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ 𝑁)
252, 23, 24syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ 𝑁)
266nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
2710qrng0 27360 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜π‘„)
289, 11, 27abvgt0 20579 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑁 ∈ β„š ∧ 𝑁 β‰  0) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘))
292, 8, 26, 28syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘))
3013, 29elrpd 13017 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
3130reeflogd 26368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) = (πΉβ€˜π‘))
326nnrpd 13018 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
3332reeflogd 26368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘)) = 𝑁)
3425, 31, 333brtr4d 5179 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘)))
3515rpred 13020 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
3632relogcld 26367 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
37 efle 16065 . . . . . . . 8 (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
3835, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘) ↔ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘))) ≀ (expβ€˜(logβ€˜π‘))))
3934, 38mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ (logβ€˜π‘))
4018rpcnd 13022 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
4140mulridd 11235 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜π‘) Β· 1) = (logβ€˜π‘))
4239, 41breqtrrd 5175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· 1))
43 1red 11219 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
4435, 43, 18ledivmuld 13073 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ≀ 1 ↔ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((logβ€˜π‘) Β· 1)))
4542, 44mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘)) / (logβ€˜π‘)) ≀ 1)
461, 45eqbrtrid 5182 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ≀ 1)
47 0xr 11265 . . . 4 0 ∈ ℝ*
48 1re 11218 . . . 4 1 ∈ ℝ
49 elioc2 13391 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑅 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ 1)))
5047, 48, 49mp2an 688 . . 3 (𝑅 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅 ∧ 𝑅 ≀ 1))
5121, 22, 46, 50syl3anbrc 1341 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0(,]1))
5210, 9qabsabv 27368 . . . 4 (abs β†Ύ β„š) ∈ 𝐴
53 fvres 6909 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„š β†’ ((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
5453oveq1d 7426 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„š β†’ (((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
5554mpteq2ia 5250 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„š ↦ (((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
5655eqcomi 2739 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ (((abs β†Ύ β„š)β€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
579, 11, 56abvcxp 27354 . . . 4 (((abs β†Ύ β„š) ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ (0(,]1)) β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
5852, 51, 57sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
59 eluzelz 12836 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
60 zq 12942 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„€ β†’ 𝑧 ∈ β„š)
61 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘§))
6261oveq1d 7426 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅) = ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅))
63 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
64 ovex 7444 . . . . . . 7 ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅) ∈ V
6562, 63, 64fvmpt 6997 . . . . . 6 (𝑧 ∈ β„š β†’ ((𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))β€˜π‘§) = ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅))
6659, 60, 653syl 18 . . . . 5 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))β€˜π‘§) = ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅))
6766adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))β€˜π‘§) = ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅))
68 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
69 eluz2b2 12909 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑧 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑧))
7068, 69sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑧 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑧))
7170simpld 493 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
7271nnred 12231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
7371nnnn0d 12536 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„•0)
7473nn0ge0d 12539 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 0 ≀ 𝑧)
7572, 74absidd 15373 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (absβ€˜π‘§) = 𝑧)
7675oveq1d 7426 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((absβ€˜π‘§)↑𝑐𝑅) = (𝑧↑𝑐𝑅))
7772recnd 11246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
7871nnne0d 12266 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 β‰  0)
7920rpcnd 13022 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
8079adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
8177, 78, 80cxpefd 26456 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑧↑𝑐𝑅) = (expβ€˜(𝑅 Β· (logβ€˜π‘§))))
82 padic.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (π‘ž ∈ β„™ ↦ (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, (π‘žβ†‘-(π‘ž pCnt π‘₯)))))
83 ostth.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (π‘₯ ∈ β„š ↦ if(π‘₯ = 0, 0, 1))
842adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
853adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
8614adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘))
87 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§))
88 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 if((πΉβ€˜π‘§) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘§)) = if((πΉβ€˜π‘§) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘§))
89 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘§)) = ((logβ€˜π‘) / (logβ€˜π‘§))
9010, 9, 82, 83, 84, 85, 86, 1, 68, 87, 88, 89ostth2lem4 27375 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘§) ∧ 𝑅 ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§))))
9190simprd 494 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑅 ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)))
9290simpld 493 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 < (πΉβ€˜π‘§))
93 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 if((πΉβ€˜π‘) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘)) = if((πΉβ€˜π‘) ≀ 1, 1, (πΉβ€˜π‘))
94 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 ((logβ€˜π‘§) / (logβ€˜π‘)) = ((logβ€˜π‘§) / (logβ€˜π‘))
9510, 9, 82, 83, 84, 68, 92, 87, 85, 1, 93, 94ostth2lem4 27375 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (1 < (πΉβ€˜π‘) ∧ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ≀ 𝑅))
9695simprd 494 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ≀ 𝑅)
9721adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
9859adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„€)
9998, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ β„š)
1009, 11abvcl 20575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ β„š) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
10184, 99, 100syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
1029, 11, 27abvgt0 20579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ β„š ∧ 𝑧 β‰  0) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘§))
10384, 99, 78, 102syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘§))
104101, 103elrpd 13017 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ+)
105104relogcld 26367 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
10671nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
107106relogcld 26367 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
108 ef0 16038 . . . . . . . . . . . . . 14 (expβ€˜0) = 1
10970simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 < 𝑧)
110106reeflogd 26368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜π‘§)) = 𝑧)
111109, 110breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 < (expβ€˜(logβ€˜π‘§)))
112108, 111eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (expβ€˜0) < (expβ€˜(logβ€˜π‘§)))
113 0re 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
114 eflt 16064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (0 < (logβ€˜π‘§) ↔ (expβ€˜0) < (expβ€˜(logβ€˜π‘§))))
115113, 107, 114sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (0 < (logβ€˜π‘§) ↔ (expβ€˜0) < (expβ€˜(logβ€˜π‘§))))
116112, 115mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 0 < (logβ€˜π‘§))
117116gt0ne0d 11782 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜π‘§) β‰  0)
118105, 107, 117redivcld 12046 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
11997, 118letri3d 11360 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ↔ (𝑅 ≀ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ∧ ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) ≀ 𝑅)))
12091, 96, 119mpbir2and 709 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑅 = ((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)))
121120oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑅 Β· (logβ€˜π‘§)) = (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) Β· (logβ€˜π‘§)))
122105recnd 11246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
123107recnd 11246 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (logβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
124122, 123, 117divcan1d 11995 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) / (logβ€˜π‘§)) Β· (logβ€˜π‘§)) = (logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
125121, 124eqtrd 2770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑅 Β· (logβ€˜π‘§)) = (logβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
126125fveq2d 6894 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (expβ€˜(𝑅 Β· (logβ€˜π‘§))) = (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
127104reeflogd 26368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (expβ€˜(logβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (πΉβ€˜π‘§))
12881, 126, 1273eqtrd 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑧↑𝑐𝑅) = (πΉβ€˜π‘§))
12967, 76, 1283eqtrrd 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ((𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))β€˜π‘§))
13010, 9, 2, 58, 129ostthlem1 27366 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)))
131 oveq2 7419 . . . 4 (π‘Ž = 𝑅 β†’ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž) = ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))
132131mpteq2dv 5249 . . 3 (π‘Ž = 𝑅 β†’ (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)) = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅)))
133132rspceeqv 3632 . 2 ((𝑅 ∈ (0(,]1) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)↑𝑐𝑅))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
13451, 130, 133syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (0(,]1)𝐹 = (𝑦 ∈ β„š ↦ ((absβ€˜π‘¦)β†‘π‘π‘Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„šcq 12936  β„+crp 12978  (,]cioc 13329  β†‘cexp 14031  abscabs 15185  expce 16009  β„™cprime 16612   pCnt cpc 16773   β†Ύs cress 17177  AbsValcabv 20567  β„‚fldccnfld 21144  logclog 26299  β†‘𝑐ccxp 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-abv 20568  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302
This theorem is referenced by:  ostth  27378
  Copyright terms: Public domain W3C validator