Theorem efiatan 27043

Description: Value of the exponential of an arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))

Proof of Theorem efiatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atanval 27015	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
2	1	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) = (i · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3		ax-icn 11159	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
5		halfcl 12470	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
6	3, 5	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11158	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		atandm2 27008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
9	8	simp1bi 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
10		mulcl 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	3, 9, 10	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12		subcl 11456	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 11, 12	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	8	simp2bi 1162	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
15	13, 14	logcld 26701	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
16		addcl 11182	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	7, 11, 16	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	8	simp3bi 1163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
19	17, 18	logcld 26701	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
20	15, 19	subcld 11569	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
21	4, 6, 20	mulassd 11232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (i · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
22		2cn 12316	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		2ne0 12347	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
24		divneg 11906	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
25	7, 22, 23, 24	mp3an 1487	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) = (-1 / 2)
26		ixi 11843	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
27	26	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) / 2) = (-1 / 2)
28	3, 3, 22, 23	divassi 11971	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) / 2) = (i · (i / 2))
29	25, 27, 28	3eqtr2i 2798	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 2) = (i · (i / 2))
30	29	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
31		halfcn 12458	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
32		mulneg12 11652	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
33	31, 20, 32	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
34	15, 19	negsubdi2d 11585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
35	34	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
36	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 / 2) ∈ ℂ)
37	36, 19, 15	subdid 11670	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
38	33, 35, 37	3eqtrd 2808	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
39	30, 38	eqtr3id 2818	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
40	2, 21, 39	3eqtr2d 2810	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
41	40	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
42		mulcl 11184	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
43	31, 19, 42	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
44		mulcl 11184	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
45	31, 15, 44	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
46		efsub 16156	. . 3 ⊢ ((((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
47	43, 45, 46	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
48	17, 18, 36	cxpefd 26843	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
49		cxpsqrt 26834	. . . . 5 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
50	17, 49	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
51	48, 50	eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
52	13, 14, 36	cxpefd 26843	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
53		cxpsqrt 26834	. . . . 5 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
54	13, 53	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
55	52, 54	eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
56	51, 55	oveq12d 7429	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))
57	41, 47, 56	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101  ici 11102   + caddc 11103   · cmul 11105   − cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11871  2c2 12295  √csqrt 15284  expce 16115  logclog 26685  ↑_𝑐ccxp 26686  arctancatan 26995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687  df-cxp 26688  df-atan 26998

This theorem is referenced by: (None)