MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efiatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efiatan 26278
Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
efiatan (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜(i Β· (arctanβ€˜π΄))) = ((βˆšβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) / (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))

Proof of Theorem efiatan
StepHypRef Expression
1 atanval 26250 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜π΄) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
21oveq2d 7378 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· (arctanβ€˜π΄)) = (i Β· ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
3 ax-icn 11117 . . . . . 6 i ∈ β„‚
43a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ i ∈ β„‚)
5 halfcl 12385 . . . . . 6 (i ∈ β„‚ β†’ (i / 2) ∈ β„‚)
63, 5mp1i 13 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i / 2) ∈ β„‚)
7 ax-1cn 11116 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
8 atandm2 26243 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0))
98simp1bi 1146 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
10 mulcl 11142 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
113, 9, 10sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
12 subcl 11407 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
137, 11, 12sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
148simp2bi 1147 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0)
1513, 14logcld 25942 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
16 addcl 11140 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
177, 11, 16sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
188simp3bi 1148 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0)
1917, 18logcld 25942 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
2015, 19subcld 11519 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
214, 6, 20mulassd 11185 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i Β· (i / 2)) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = (i Β· ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
22 2cn 12235 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
23 2ne0 12264 . . . . . . . 8 2 β‰  0
24 divneg 11854 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ -(1 / 2) = (-1 / 2))
257, 22, 23, 24mp3an 1462 . . . . . . 7 -(1 / 2) = (-1 / 2)
26 ixi 11791 . . . . . . . 8 (i Β· i) = -1
2726oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((i Β· i) / 2) = (-1 / 2)
283, 3, 22, 23divassi 11918 . . . . . . 7 ((i Β· i) / 2) = (i Β· (i / 2))
2925, 27, 283eqtr2i 2771 . . . . . 6 -(1 / 2) = (i Β· (i / 2))
3029oveq1i 7372 . . . . 5 (-(1 / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((i Β· (i / 2)) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))
31 halfcn 12375 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ β„‚
32 mulneg12 11600 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚) β†’ (-(1 / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((1 / 2) Β· -((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
3331, 20, 32sylancr 588 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-(1 / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((1 / 2) Β· -((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
3415, 19negsubdi2d 11535 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ -((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))
3534oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((1 / 2) Β· -((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((1 / 2) Β· ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
3631a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
3736, 19, 15subdid 11618 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((1 / 2) Β· ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) = (((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) βˆ’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
3833, 35, 373eqtrd 2781 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-(1 / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = (((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) βˆ’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
3930, 38eqtr3id 2791 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i Β· (i / 2)) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = (((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) βˆ’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
402, 21, 393eqtr2d 2783 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· (arctanβ€˜π΄)) = (((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) βˆ’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
4140fveq2d 6851 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜(i Β· (arctanβ€˜π΄))) = (expβ€˜(((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) βˆ’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))))
42 mulcl 11142 . . . 4 (((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
4331, 19, 42sylancr 588 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
44 mulcl 11142 . . . 4 (((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
4531, 15, 44sylancr 588 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
46 efsub 15989 . . 3 ((((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚ ∧ ((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) βˆ’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))) = ((expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) / (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))))
4743, 45, 46syl2anc 585 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜(((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) βˆ’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))) = ((expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) / (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))))
4817, 18, 36cxpefd 26083 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((1 + (i Β· 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
49 cxpsqrt 26074 . . . . 5 ((1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚ β†’ ((1 + (i Β· 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))
5017, 49syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((1 + (i Β· 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))
5148, 50eqtr3d 2779 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = (βˆšβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))
5213, 14, 36cxpefd 26083 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((1 βˆ’ (i Β· 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
53 cxpsqrt 26074 . . . . 5 ((1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ (i Β· 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))
5413, 53syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((1 βˆ’ (i Β· 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))
5552, 54eqtr3d 2779 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) = (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))
5651, 55oveq12d 7380 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) / (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))) = ((βˆšβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) / (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))
5741, 47, 563eqtrd 2781 1 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜(i Β· (arctanβ€˜π΄))) = ((βˆšβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) / (βˆšβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   Β· cmul 11063   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  βˆšcsqrt 15125  expce 15951  logclog 25926  β†‘𝑐ccxp 25927  arctancatan 26230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-atan 26233
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator