Theorem efiatan 25191

Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))

Proof of Theorem efiatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atanval 25163	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
2	1	oveq2d 6992	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) = (i · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3		ax-icn 10394	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
5		halfcl 11672	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
6	3, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 10393	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		atandm2 25156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
9	8	simp1bi 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
10		mulcl 10419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	3, 9, 10	sylancr 578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12		subcl 10685	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 11, 12	sylancr 578	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	8	simp2bi 1126	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
15	13, 14	logcld 24855	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
16		addcl 10417	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	7, 11, 16	sylancr 578	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	8	simp3bi 1127	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
19	17, 18	logcld 24855	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
20	15, 19	subcld 10798	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
21	4, 6, 20	mulassd 10463	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (i · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
22		2cn 11515	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		2ne0 11551	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
24		divneg 11133	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
25	7, 22, 23, 24	mp3an 1440	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) = (-1 / 2)
26		ixi 11070	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
27	26	oveq1i 6986	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) / 2) = (-1 / 2)
28	3, 3, 22, 23	divassi 11197	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) / 2) = (i · (i / 2))
29	25, 27, 28	3eqtr2i 2808	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 2) = (i · (i / 2))
30	29	oveq1i 6986	. . . . 5 ⊢ (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
31		halfcn 11662	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
32		mulneg12 10879	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
33	31, 20, 32	sylancr 578	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
34	15, 19	negsubdi2d 10814	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
35	34	oveq2d 6992	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
36	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 / 2) ∈ ℂ)
37	36, 19, 15	subdid 10897	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
38	33, 35, 37	3eqtrd 2818	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
39	30, 38	syl5eqr 2828	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
40	2, 21, 39	3eqtr2d 2820	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
41	40	fveq2d 6503	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
42		mulcl 10419	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
43	31, 19, 42	sylancr 578	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
44		mulcl 10419	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
45	31, 15, 44	sylancr 578	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
46		efsub 15313	. . 3 ⊢ ((((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
47	43, 45, 46	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
48	17, 18, 36	cxpefd 24996	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
49		cxpsqrt 24987	. . . . 5 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
50	17, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
51	48, 50	eqtr3d 2816	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
52	13, 14, 36	cxpefd 24996	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
53		cxpsqrt 24987	. . . . 5 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
54	13, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
55	52, 54	eqtr3d 2816	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
56	51, 55	oveq12d 6994	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))
57	41, 47, 56	3eqtrd 2818	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  dom cdm 5407  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℂcc 10333  0cc0 10335  1c1 10336  ici 10337   + caddc 10338   · cmul 10340   − cmin 10670  -cneg 10671   / cdiv 11098  2c2 11495  √csqrt 14453  expce 15275  logclog 24839  ↑_𝑐ccxp 24840  arctancatan 25143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-ef 15281  df-sin 15283  df-cos 15284  df-pi 15286  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168  df-log 24841  df-cxp 24842  df-atan 25146

This theorem is referenced by: (None)