Theorem efiatan 26062

Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))

Proof of Theorem efiatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atanval 26034	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
2	1	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) = (i · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3		ax-icn 10930	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
5		halfcl 12198	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
6	3, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 10929	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		atandm2 26027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
9	8	simp1bi 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
10		mulcl 10955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	3, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12		subcl 11220	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	8	simp2bi 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
15	13, 14	logcld 25726	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
16		addcl 10953	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	7, 11, 16	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	8	simp3bi 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
19	17, 18	logcld 25726	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
20	15, 19	subcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
21	4, 6, 20	mulassd 10998	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (i · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
22		2cn 12048	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		2ne0 12077	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
24		divneg 11667	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
25	7, 22, 23, 24	mp3an 1460	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) = (-1 / 2)
26		ixi 11604	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
27	26	oveq1i 7285	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) / 2) = (-1 / 2)
28	3, 3, 22, 23	divassi 11731	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) / 2) = (i · (i / 2))
29	25, 27, 28	3eqtr2i 2772	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 2) = (i · (i / 2))
30	29	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
31		halfcn 12188	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
32		mulneg12 11413	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
33	31, 20, 32	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
34	15, 19	negsubdi2d 11348	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
35	34	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
36	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 / 2) ∈ ℂ)
37	36, 19, 15	subdid 11431	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
38	33, 35, 37	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
39	30, 38	eqtr3id 2792	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
40	2, 21, 39	3eqtr2d 2784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
41	40	fveq2d 6778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
42		mulcl 10955	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
43	31, 19, 42	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
44		mulcl 10955	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
45	31, 15, 44	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
46		efsub 15809	. . 3 ⊢ ((((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
47	43, 45, 46	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
48	17, 18, 36	cxpefd 25867	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
49		cxpsqrt 25858	. . . . 5 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
50	17, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
51	48, 50	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
52	13, 14, 36	cxpefd 25867	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
53		cxpsqrt 25858	. . . . 5 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
54	13, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
55	52, 54	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
56	51, 55	oveq12d 7293	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))
57	41, 47, 56	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  √csqrt 14944  expce 15771  logclog 25710  ↑_𝑐ccxp 25711  arctancatan 26014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713  df-atan 26017

This theorem is referenced by: (None)