Theorem efiatan 26977

Description: Value of the exponential of an arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))

Proof of Theorem efiatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atanval 26949	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
2	1	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) = (i · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3		ax-icn 11132	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
5		halfcl 12447	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
6	3, 5	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11131	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		atandm2 26942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
9	8	simp1bi 1158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
10		mulcl 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	3, 9, 10	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12		subcl 11429	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 11, 12	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
14	8	simp2bi 1159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
15	13, 14	logcld 26635	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
16		addcl 11155	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
17	7, 11, 16	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
18	8	simp3bi 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
19	17, 18	logcld 26635	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
20	15, 19	subcld 11542	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
21	4, 6, 20	mulassd 11205	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (i · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
22		2cn 12293	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		2ne0 12324	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
24		divneg 11882	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
25	7, 22, 23, 24	mp3an 1482	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) = (-1 / 2)
26		ixi 11816	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
27	26	oveq1i 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) / 2) = (-1 / 2)
28	3, 3, 22, 23	divassi 11947	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) / 2) = (i · (i / 2))
29	25, 27, 28	3eqtr2i 2791	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 2) = (i · (i / 2))
30	29	oveq1i 7406	. . . . 5 ⊢ (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
31		halfcn 12435	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
32		mulneg12 11625	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
33	31, 20, 32	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
34	15, 19	negsubdi2d 11558	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
35	34	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((1 / 2) · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
36	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 / 2) ∈ ℂ)
37	36, 19, 15	subdid 11643	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
38	33, 35, 37	3eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-(1 / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
39	30, 38	eqtr3id 2811	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
40	2, 21, 39	3eqtr2d 2803	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) = (((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
41	40	fveq2d 6871	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
42		mulcl 11157	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
43	31, 19, 42	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
44		mulcl 11157	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
45	31, 15, 44	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
46		efsub 16132	. . 3 ⊢ ((((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
47	43, 45, 46	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
48	17, 18, 36	cxpefd 26777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
49		cxpsqrt 26768	. . . . 5 ⊢ ((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
50	17, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
51	48, 50	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (√‘(1 + (i · 𝐴))))
52	13, 14, 36	cxpefd 26777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
53		cxpsqrt 26768	. . . . 5 ⊢ ((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
54	13, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 − (i · 𝐴))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
55	52, 54	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (√‘(1 − (i · 𝐴))))
56	51, 55	oveq12d 7414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (i · 𝐴))))) / (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))
57	41, 47, 56	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((√‘(1 + (i · 𝐴))) / (√‘(1 − (i · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073  1c1 11074  ici 11075   + caddc 11076   · cmul 11078   − cmin 11414  -cneg 11415   / cdiv 11844  2c2 12272  √csqrt 15260  expce 16091  logclog 26619  ↑_𝑐ccxp 26620  arctancatan 26929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-lp 23196  df-perf 23197  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-haus 23375  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cncf 24940  df-limc 25928  df-dv 25929  df-log 26621  df-cxp 26622  df-atan 26932

This theorem is referenced by: (None)