MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn 25886
Description: Domain of continuity of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
cxpcn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn.k 𝐾 = (𝐽t 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cxpcn (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Proof of Theorem cxpcn
StepHypRef Expression
1 cxpcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
21ellogdm 25782 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
32simplbi 498 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
43adantr 481 . . . 4 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
51logdmn0 25783 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
65adantr 481 . . . 4 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → 𝑥 ≠ 0)
7 simpr 485 . . . 4 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
84, 6, 7cxpefd 25855 . . 3 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐𝑦) = (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥))))
98mpoeq3ia 7344 . 2 (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) = (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥))))
10 cxpcn.k . . . . 5 𝐾 = (𝐽t 𝐷)
11 cxpcn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1211cnfldtopon 23934 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1312a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
143ssriv 3925 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
15 resttopon 22300 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
1613, 14, 15sylancl 586 . . . . 5 (⊤ → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
1710, 16eqeltrid 2843 . . . 4 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐷))
1817, 13cnmpt2nd 22808 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
19 fvres 6786 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
2019adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
2120mpoeq3ia 7344 . . . . . 6 (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (log‘𝑥))
2217, 13cnmpt1st 22807 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
231logcn 25790 . . . . . . . . 9 (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)
24 ssid 3943 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
2512toponrestid 22058 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (𝐽t ℂ)
2611, 10, 25cncfcn 24061 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷cn→ℂ) = (𝐾 Cn 𝐽))
2714, 24, 26mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐷cn→ℂ) = (𝐾 Cn 𝐽)
2823, 27eleqtri 2837 . . . . . . . 8 (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
3017, 13, 22, 29cnmpt21f 22811 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3121, 30eqeltrrid 2844 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (log‘𝑥)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3211mulcn 24018 . . . . . 6 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3332a1i 11 . . . . 5 (⊤ → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3417, 13, 18, 31, 33cnmpt22f 22814 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · (log‘𝑥))) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
35 efcn 25590 . . . . . 6 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3611cncfcn1 24062 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℂ) = (𝐽 Cn 𝐽)
3735, 36eleqtri 2837 . . . . 5 exp ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
3837a1i 11 . . . 4 (⊤ → exp ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3917, 13, 34, 38cnmpt21f 22811 . . 3 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥)))) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4039mptru 1546 . 2 (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥)))) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
419, 40eqeltri 2835 1 (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2106  wne 2943  cdif 3884  wss 3887  cres 5587  cfv 6427  (class class class)co 7268  cmpo 7270  cc 10857  cr 10858  0cc0 10859   · cmul 10864  -∞cmnf 10995  +crp 12718  (,]cioc 13068  expce 15759  t crest 17119  TopOpenctopn 17120  fldccnfld 20585  TopOnctopon 22047   Cn ccn 22363   ×t ctx 22699  cnccncf 24027  logclog 25698  𝑐ccxp 25699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937  ax-addf 10938  ax-mulf 10939
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-2o 8286  df-er 8486  df-map 8605  df-pm 8606  df-ixp 8674  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-q 12677  df-rp 12719  df-xneg 12836  df-xadd 12837  df-xmul 12838  df-ioo 13071  df-ioc 13072  df-ico 13073  df-icc 13074  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-fl 13500  df-mod 13578  df-seq 13710  df-exp 13771  df-fac 13976  df-bc 14005  df-hash 14033  df-shft 14766  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-limsup 15168  df-clim 15185  df-rlim 15186  df-sum 15386  df-ef 15765  df-sin 15767  df-cos 15768  df-tan 15769  df-pi 15770  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-starv 16965  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-unif 16973  df-hom 16974  df-cco 16975  df-rest 17121  df-topn 17122  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-topgen 17142  df-pt 17143  df-prds 17146  df-xrs 17201  df-qtop 17206  df-imas 17207  df-xps 17209  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-mulg 18689  df-cntz 18911  df-cmn 19376  df-psmet 20577  df-xmet 20578  df-met 20579  df-bl 20580  df-mopn 20581  df-fbas 20582  df-fg 20583  df-cnfld 20586  df-top 22031  df-topon 22048  df-topsp 22070  df-bases 22084  df-cld 22158  df-ntr 22159  df-cls 22160  df-nei 22237  df-lp 22275  df-perf 22276  df-cn 22366  df-cnp 22367  df-haus 22454  df-cmp 22526  df-tx 22701  df-hmeo 22894  df-fil 22985  df-fm 23077  df-flim 23078  df-flf 23079  df-xms 23461  df-ms 23462  df-tms 23463  df-cncf 24029  df-limc 25018  df-dv 25019  df-log 25700  df-cxp 25701
This theorem is referenced by:  cxpcn2  25887  sqrtcn  25891  cxpcncf1  32561  cxpcncf2  43399
  Copyright terms: Public domain W3C validator