MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn 26678
Description: Domain of continuity of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.) Avoid ax-mulf 11218. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
cxpcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cxpcn.k 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cxpcn (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦

Proof of Theorem cxpcn
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cxpcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
21ellogdm 26572 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
32simplbi 497 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
43adantr 480 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
51logdmn0 26573 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ β‰  0)
65adantr 480 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ π‘₯ β‰  0)
7 simpr 484 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
84, 6, 7cxpefd 26645 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑𝑐𝑦) = (expβ€˜(𝑦 Β· (logβ€˜π‘₯))))
98mpoeq3ia 7498 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑐𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑦 Β· (logβ€˜π‘₯))))
10 cxpcn.k . . . . 5 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐷)
11 cxpcn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1211cnfldtopon 24698 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1312a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
143ssriv 3984 . . . . . 6 𝐷 βŠ† β„‚
15 resttopon 23064 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
1613, 14, 15sylancl 585 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
1710, 16eqeltrid 2833 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π·))
1817, 13cnmpt2nd 23572 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
19 fvres 6916 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
2120mpoeq3ia 7498 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (logβ€˜π‘₯))
2217, 13cnmpt1st 23571 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ π‘₯) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
231logcn 26580 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
24 ssid 4002 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
2512toponrestid 22822 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (𝐽 β†Ύt β„‚)
2611, 10, 25cncfcn 24829 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cnβ†’β„‚) = (𝐾 Cn 𝐽))
2714, 24, 26mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝐷–cnβ†’β„‚) = (𝐾 Cn 𝐽)
2823, 27eleqtri 2827 . . . . . . . 8 (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
3017, 13, 22, 29cnmpt21f 23575 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3121, 30eqeltrrid 2834 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3211mpomulcn 24784 . . . . . 6 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
3332a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
34 oveq12 7429 . . . . 5 ((𝑒 = 𝑦 ∧ 𝑣 = (logβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = (𝑦 Β· (logβ€˜π‘₯)))
3517, 13, 18, 31, 13, 13, 33, 34cnmpt22 23577 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
36 efcn 26379 . . . . . 6 exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
3711cncfcn1 24830 . . . . . 6 (ℂ–cnβ†’β„‚) = (𝐽 Cn 𝐽)
3836, 37eleqtri 2827 . . . . 5 exp ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
3938a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ exp ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4017, 13, 35, 39cnmpt21f 23575 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑦 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4140mptru 1541 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑦 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
429, 41eqeltri 2825 1 (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  βŠ€wtru 1535   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947   β†Ύ cres 5680  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138   Β· cmul 11143  -∞cmnf 11276  β„+crp 13006  (,]cioc 13357  expce 16037   β†Ύt crest 17401  TopOpenctopn 17402  β„‚fldccnfld 21278  TopOnctopon 22811   Cn ccn 23127   Γ—t ctx 23463  β€“cnβ†’ccncf 24795  logclog 26487  β†‘𝑐ccxp 26488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-tan 16047  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24797  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26489  df-cxp 26490
This theorem is referenced by:  cxpcn2  26680  sqrtcn  26684  cxpcncf1  34227  cxpcncf2  45287
  Copyright terms: Public domain W3C validator