MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn 26772
Description: Domain of continuity of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.) Avoid ax-mulf 11238. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
cxpcn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn.k 𝐾 = (𝐽t 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cxpcn (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Proof of Theorem cxpcn
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cxpcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
21ellogdm 26666 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
32simplbi 496 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
43adantr 479 . . . 4 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
51logdmn0 26667 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
65adantr 479 . . . 4 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → 𝑥 ≠ 0)
7 simpr 483 . . . 4 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
84, 6, 7cxpefd 26739 . . 3 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐𝑦) = (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥))))
98mpoeq3ia 7503 . 2 (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) = (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥))))
10 cxpcn.k . . . . 5 𝐾 = (𝐽t 𝐷)
11 cxpcn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1211cnfldtopon 24790 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1312a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
143ssriv 3983 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
15 resttopon 23156 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
1613, 14, 15sylancl 584 . . . . 5 (⊤ → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
1710, 16eqeltrid 2830 . . . 4 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐷))
1817, 13cnmpt2nd 23664 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
19 fvres 6920 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
2019adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
2120mpoeq3ia 7503 . . . . . 6 (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (log‘𝑥))
2217, 13cnmpt1st 23663 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
231logcn 26674 . . . . . . . . 9 (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)
24 ssid 4002 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
2512toponrestid 22914 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (𝐽t ℂ)
2611, 10, 25cncfcn 24921 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷cn→ℂ) = (𝐾 Cn 𝐽))
2714, 24, 26mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐷cn→ℂ) = (𝐾 Cn 𝐽)
2823, 27eleqtri 2824 . . . . . . . 8 (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
3017, 13, 22, 29cnmpt21f 23667 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3121, 30eqeltrrid 2831 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (log‘𝑥)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3211mpomulcn 24876 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3332a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
34 oveq12 7433 . . . . 5 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = (log‘𝑥)) → (𝑢 · 𝑣) = (𝑦 · (log‘𝑥)))
3517, 13, 18, 31, 13, 13, 33, 34cnmpt22 23669 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · (log‘𝑥))) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
36 efcn 26473 . . . . . 6 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3711cncfcn1 24922 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℂ) = (𝐽 Cn 𝐽)
3836, 37eleqtri 2824 . . . . 5 exp ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
3938a1i 11 . . . 4 (⊤ → exp ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4017, 13, 35, 39cnmpt21f 23667 . . 3 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥)))) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4140mptru 1541 . 2 (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥)))) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
429, 41eqeltri 2822 1 (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  wne 2930  cdif 3944  wss 3947  cres 5684  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158   · cmul 11163  -∞cmnf 11296  +crp 13028  (,]cioc 13379  expce 16063  t crest 17435  TopOpenctopn 17436  fldccnfld 21343  TopOnctopon 22903   Cn ccn 23219   ×t ctx 23555  cnccncf 24887  logclog 26581  𝑐ccxp 26582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-tan 16073  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887  df-log 26583  df-cxp 26584
This theorem is referenced by:  cxpcn2  26774  sqrtcn  26778  cxpcncf1  34441  cxpcncf2  45520
  Copyright terms: Public domain W3C validator