MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcnOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcnOLD 26621
Description: Obsolete version of cxpcn 26620 as of 17-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcnOLD.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
cxpcnOLD.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
cxpcnOLD.k 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cxpcnOLD (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦

Proof of Theorem cxpcnOLD
StepHypRef Expression
1 cxpcnOLD.d . . . . . . 7 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
21ellogdm 26514 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
32simplbi 497 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
43adantr 480 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
51logdmn0 26515 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ β‰  0)
65adantr 480 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ π‘₯ β‰  0)
7 simpr 484 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
84, 6, 7cxpefd 26587 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑𝑐𝑦) = (expβ€˜(𝑦 Β· (logβ€˜π‘₯))))
98mpoeq3ia 7480 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑐𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑦 Β· (logβ€˜π‘₯))))
10 cxpcnOLD.k . . . . 5 𝐾 = (𝐽 β†Ύt 𝐷)
11 cxpcnOLD.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1211cnfldtopon 24643 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1312a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
143ssriv 3979 . . . . . 6 𝐷 βŠ† β„‚
15 resttopon 23009 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
1613, 14, 15sylancl 585 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
1710, 16eqeltrid 2829 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π·))
1817, 13cnmpt2nd 23517 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
19 fvres 6901 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
2120mpoeq3ia 7480 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (logβ€˜π‘₯))
2217, 13cnmpt1st 23516 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ π‘₯) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐾))
231logcn 26522 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
24 ssid 3997 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
2512toponrestid 22767 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (𝐽 β†Ύt β„‚)
2611, 10, 25cncfcn 24774 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cnβ†’β„‚) = (𝐾 Cn 𝐽))
2714, 24, 26mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐷–cnβ†’β„‚) = (𝐾 Cn 𝐽)
2823, 27eleqtri 2823 . . . . . . . 8 (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
3017, 13, 22, 29cnmpt21f 23520 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3121, 30eqeltrrid 2830 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3211mulcn 24727 . . . . . 6 Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
3332a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
3417, 13, 18, 31, 33cnmpt22f 23523 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (𝑦 Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
35 efcn 26321 . . . . . 6 exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
3611cncfcn1 24775 . . . . . 6 (ℂ–cnβ†’β„‚) = (𝐽 Cn 𝐽)
3735, 36eleqtri 2823 . . . . 5 exp ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
3837a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ exp ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3917, 13, 34, 38cnmpt21f 23520 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑦 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4039mptru 1540 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑦 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
419, 40eqeltri 2821 1 (π‘₯ ∈ 𝐷, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βˆ– cdif 3938   βŠ† wss 3941   β†Ύ cres 5669  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∈ cmpo 7404  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107   Β· cmul 11112  -∞cmnf 11245  β„+crp 12975  (,]cioc 13326  expce 16007   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  β„‚fldccnfld 21234  TopOnctopon 22756   Cn ccn 23072   Γ—t ctx 23408  β€“cnβ†’ccncf 24740  logclog 26429  β†‘𝑐ccxp 26430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-cmp 23235  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-limc 25739  df-dv 25740  df-log 26431  df-cxp 26432
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator