MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcnOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcnOLD 26789
Description: Obsolete version of cxpcn 26788 as of 17-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcnOLD.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
cxpcnOLD.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcnOLD.k 𝐾 = (𝐽t 𝐷)
Assertion
Ref Expression
cxpcnOLD (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Proof of Theorem cxpcnOLD
StepHypRef Expression
1 cxpcnOLD.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
21ellogdm 26682 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
32simplbi 497 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
43adantr 480 . . . 4 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
51logdmn0 26683 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
65adantr 480 . . . 4 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → 𝑥 ≠ 0)
7 simpr 484 . . . 4 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
84, 6, 7cxpefd 26755 . . 3 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑐𝑦) = (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥))))
98mpoeq3ia 7512 . 2 (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) = (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥))))
10 cxpcnOLD.k . . . . 5 𝐾 = (𝐽t 𝐷)
11 cxpcnOLD.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
1211cnfldtopon 24804 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
1312a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
143ssriv 3986 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
15 resttopon 23170 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
1613, 14, 15sylancl 586 . . . . 5 (⊤ → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
1710, 16eqeltrid 2844 . . . 4 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐷))
1817, 13cnmpt2nd 23678 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
19 fvres 6924 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷𝑦 ∈ ℂ) → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
2120mpoeq3ia 7512 . . . . . 6 (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (log‘𝑥))
2217, 13cnmpt1st 23677 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
231logcn 26690 . . . . . . . . 9 (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)
24 ssid 4005 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
2512toponrestid 22928 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (𝐽t ℂ)
2611, 10, 25cncfcn 24937 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷cn→ℂ) = (𝐾 Cn 𝐽))
2714, 24, 26mp2an 692 . . . . . . . . 9 (𝐷cn→ℂ) = (𝐾 Cn 𝐽)
2823, 27eleqtri 2838 . . . . . . . 8 (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
2928a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
3017, 13, 22, 29cnmpt21f 23681 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3121, 30eqeltrrid 2845 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (log‘𝑥)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3211mulcn 24890 . . . . . 6 · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
3332a1i 11 . . . . 5 (⊤ → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
3417, 13, 18, 31, 33cnmpt22f 23684 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 · (log‘𝑥))) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
35 efcn 26488 . . . . . 6 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3611cncfcn1 24938 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℂ) = (𝐽 Cn 𝐽)
3735, 36eleqtri 2838 . . . . 5 exp ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
3837a1i 11 . . . 4 (⊤ → exp ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3917, 13, 34, 38cnmpt21f 23681 . . 3 (⊤ → (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥)))) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
4039mptru 1546 . 2 (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑦 · (log‘𝑥)))) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
419, 40eqeltri 2836 1 (𝑥𝐷, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2107  wne 2939  cdif 3947  wss 3950  cres 5686  cfv 6560  (class class class)co 7432  cmpo 7434  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156   · cmul 11161  -∞cmnf 11294  +crp 13035  (,]cioc 13389  expce 16098  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21365  TopOnctopon 22917   Cn ccn 23233   ×t ctx 23569  cnccncf 24903  logclog 26597  𝑐ccxp 26598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-tan 16108  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599  df-cxp 26600
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator