Theorem cxp2limlem 27333

Description: A linear factor grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxp2limlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem cxp2limlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11338	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2		2rp 13152	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		rplogcl 26962	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
4		2z 12755	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		rpexpcl 14250	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
7		rpdivcl 13174	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
8	2, 6, 7	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
9	8	rpcnd 13193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
10		divrcnv 16050	. . 3 ⊢ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
12	8	rpred 13191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
13		rerpdivcl 13179	. . 3 ⊢ (((2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛) ∈ ℝ)
14	12, 13	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛) ∈ ℝ)
15		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
16		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		1red 11336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
18		0lt1 11865	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
21	1, 17, 16, 19, 20	lttrd 11498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
22	16, 21	elrpd 13188	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
23		rpre 13156	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℝ)
24		rpcxpcl 27034	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
25	22, 23, 24	syl2an 608	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
26	15, 25	rpdivcld 13208	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
27	26	rpred 13191	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
28	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
29	15, 28	rpmulcld 13207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 13191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31	30	resqcld 14295	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
32	31	rehalfcld 12620	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) ∈ ℝ)
33		1rp 13151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
34		rpaddcl 13171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
35	33, 29, 34	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
36	35	rpred 13191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
37	36, 32	readdcld 11365	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) ∈ ℝ)
38	30	reefcld 16283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
39	32, 35	ltaddrp2d 13225	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) < ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)))
40		efgt1p2 16311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
41	29, 40	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
42	32, 37, 38, 39, 41	lttrd 11498	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
43	23	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
45	44	sqcld 14314	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
46		2cnd 12448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
47	6	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
48	47	rpcnd 13193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
49		2ne0 12476	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
51	47	rpne0d 13196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ≠ 0)
52	45, 46, 48, 50, 51	divdiv2d 12152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) = (((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)) / 2))
53	3	rpcnd 13193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
54	53	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
55	44, 54	sqmuld 14328	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) = ((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)))
56	55	oveq1d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) = (((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)) / 2))
57	52, 56	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) = (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2))
58	16	recnd 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	58	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
60	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
61	60	rpne0d 13196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
62	59, 61, 44	cxpefd 27070	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴↑𝑐𝑛) = (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
63	42, 57, 62	3brtr4d 5140	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) < (𝐴↑𝑐𝑛))
64		rpexpcl 14250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑛↑2) ∈ ℝ+)
65	15, 4, 64	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ∈ ℝ+)
66	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
67	65, 66	rpdivcld 13208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) ∈ ℝ+)
68	67, 25, 15	ltdiv2d 13214	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) < (𝐴↑𝑐𝑛) ↔ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) < (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))))))
69	63, 68	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) < (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))))
70	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
71	65	rpne0d 13196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ≠ 0)
72	66	rpne0d 13196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
73	44, 45, 70, 71, 72	divdiv2d 12152	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))) = ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛↑2)))
74	44	sqvald 14313	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) = (𝑛 · 𝑛))
75	74	oveq2d 7459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛↑2)) = ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛 · 𝑛)))
76		rpne0 13164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ≠ 0)
77	76	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ≠ 0)
78	70, 44, 44, 77, 77	divcan5d 12146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛 · 𝑛)) = ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
79	73, 75, 78	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))) = ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
80	69, 79	breqtrd 5134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) < ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
81	27, 14, 80	ltled 11485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) ≤ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
82	81	adantrr 730	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) ≤ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
83	26	rpge0d 13195	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)))
84	83	adantrr 730	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → 0 ≤ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)))
85	1, 1, 11, 14, 27, 82, 84	rlimsqz2 15847	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371   / cdiv 12000  2c2 12424  ℤcz 12720  ℝ⁺crp 13147  ↑cexp 14231   ⇝_𝑟 crli 15681  expce 16256  logclog 26912  ↑_𝑐ccxp 26913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-pi 16267  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-limc 26216  df-dv 26217  df-log 26914  df-cxp 26915

This theorem is used by:  cxp2lim  27334  cxploglim  27335