MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2limlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxp2limlem 26459
Description: A linear factor grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2limlem ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem cxp2limlem
StepHypRef Expression
1 0red 11212 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2 2rp 12974 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
3 rplogcl 26093 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
4 2z 12589 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
5 rpexpcl 14041 . . . . . 6 (((log‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
63, 4, 5sylancl 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
7 rpdivcl 12994 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
82, 6, 7sylancr 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
98rpcnd 13013 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
10 divrcnv 15793 . . 3 ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
119, 10syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
128rpred 13011 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
13 rerpdivcl 12999 . . 3 (((2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛) ∈ ℝ)
1412, 13sylan 581 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛) ∈ ℝ)
15 simpr 486 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
16 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 1red 11210 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
18 0lt1 11731 . . . . . . . 8 0 < 1
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
20 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
211, 17, 16, 19, 20lttrd 11370 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
2216, 21elrpd 13008 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
23 rpre 12977 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ)
24 rpcxpcl 26165 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
2522, 23, 24syl2an 597 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
2615, 25rpdivcld 13028 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
2726rpred 13011 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
283adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
2915, 28rpmulcld 13027 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3029rpred 13011 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
3130resqcld 14085 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
3231rehalfcld 12454 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) ∈ ℝ)
33 1rp 12973 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
34 rpaddcl 12991 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
3533, 29, 34sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
3635rpred 13011 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
3736, 32readdcld 11238 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) ∈ ℝ)
3830reefcld 16026 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
3932, 35ltaddrp2d 13045 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) < ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)))
40 efgt1p2 16052 . . . . . . . . 9 ((𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
4129, 40syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
4232, 37, 38, 39, 41lttrd 11370 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
4323adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ)
4443recnd 11237 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
4544sqcld 14104 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
46 2cnd 12285 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
476adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
4847rpcnd 13013 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
49 2ne0 12311 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
5147rpne0d 13016 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ≠ 0)
5245, 46, 48, 50, 51divdiv2d 12017 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) = (((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)) / 2))
533rpcnd 13013 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
5453adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
5544, 54sqmuld 14118 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) = ((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)))
5655oveq1d 7418 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) = (((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)) / 2))
5752, 56eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) = (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2))
5816recnd 11237 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5958adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6022adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
6160rpne0d 13016 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
6259, 61, 44cxpefd 26201 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑐𝑛) = (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
6342, 57, 623brtr4d 5178 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) < (𝐴𝑐𝑛))
64 rpexpcl 14041 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑛↑2) ∈ ℝ+)
6515, 4, 64sylancl 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ∈ ℝ+)
668adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
6765, 66rpdivcld 13028 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) ∈ ℝ+)
6867, 25, 15ltdiv2d 13034 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) < (𝐴𝑐𝑛) ↔ (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) < (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))))))
6963, 68mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) < (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))))
709adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
7165rpne0d 13016 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ≠ 0)
7266rpne0d 13016 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
7344, 45, 70, 71, 72divdiv2d 12017 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))) = ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛↑2)))
7444sqvald 14103 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) = (𝑛 · 𝑛))
7574oveq2d 7419 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛↑2)) = ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛 · 𝑛)))
76 rpne0 12985 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ≠ 0)
7776adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ≠ 0)
7870, 44, 44, 77, 77divcan5d 12011 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛 · 𝑛)) = ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
7973, 75, 783eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))) = ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
8069, 79breqtrd 5172 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) < ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
8127, 14, 80ltled 11357 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) ≤ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
8281adantrr 716 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) ≤ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
8326rpge0d 13015 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)))
8483adantrr 716 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → 0 ≤ (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)))
851, 1, 11, 14, 27, 82, 84rlimsqz2 15592 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5146  cmpt 5229  cfv 6539  (class class class)co 7403  cc 11103  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11243  cle 11244   / cdiv 11866  2c2 12262  cz 12553  +crp 12969  cexp 14022  𝑟 crli 15424  expce 16000  logclog 26044  𝑐ccxp 26045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-xneg 13087  df-xadd 13088  df-xmul 13089  df-ioo 13323  df-ioc 13324  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-fl 13752  df-mod 13830  df-seq 13962  df-exp 14023  df-fac 14229  df-bc 14258  df-hash 14286  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15410  df-clim 15427  df-rlim 15428  df-sum 15628  df-ef 16006  df-sin 16008  df-cos 16009  df-pi 16011  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-starv 17207  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-unif 17215  df-hom 17216  df-cco 17217  df-rest 17363  df-topn 17364  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-topgen 17384  df-pt 17385  df-prds 17388  df-xrs 17443  df-qtop 17448  df-imas 17449  df-xps 17451  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-submnd 18667  df-mulg 18944  df-cntz 19174  df-cmn 19642  df-psmet 20920  df-xmet 20921  df-met 20922  df-bl 20923  df-mopn 20924  df-fbas 20925  df-fg 20926  df-cnfld 20929  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-bases 22430  df-cld 22504  df-ntr 22505  df-cls 22506  df-nei 22583  df-lp 22621  df-perf 22622  df-cn 22712  df-cnp 22713  df-haus 22800  df-tx 23047  df-hmeo 23240  df-fil 23331  df-fm 23423  df-flim 23424  df-flf 23425  df-xms 23807  df-ms 23808  df-tms 23809  df-cncf 24375  df-limc 25364  df-dv 25365  df-log 26046  df-cxp 26047
This theorem is referenced by:  cxp2lim  26460  cxploglim  26461
  Copyright terms: Public domain W3C validator