MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2limlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxp2limlem 26487
Description: A linear factor grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2limlem ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘› / (๐ดโ†‘๐‘๐‘›))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›

Proof of Theorem cxp2limlem
StepHypRef Expression
1 0red 11219 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2 2rp 12981 . . . . 5 2 โˆˆ โ„+
3 rplogcl 26119 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
4 2z 12596 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
5 rpexpcl 14048 . . . . . 6 (((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((logโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„+)
63, 4, 5sylancl 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ((logโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„+)
7 rpdivcl 13001 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ((logโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„+)
82, 6, 7sylancr 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„+)
98rpcnd 13020 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
10 divrcnv 15800 . . 3 ((2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) / ๐‘›)) โ‡๐‘Ÿ 0)
119, 10syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) / ๐‘›)) โ‡๐‘Ÿ 0)
128rpred 13018 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
13 rerpdivcl 13006 . . 3 (((2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
1412, 13sylan 580 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
15 simpr 485 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
16 simpl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
17 1red 11217 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
18 0lt1 11738 . . . . . . . 8 0 < 1
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < 1)
20 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 1 < ๐ด)
211, 17, 16, 19, 20lttrd 11377 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
2216, 21elrpd 13015 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
23 rpre 12984 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
24 rpcxpcl 26191 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐‘›) โˆˆ โ„+)
2522, 23, 24syl2an 596 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐‘›) โˆˆ โ„+)
2615, 25rpdivcld 13035 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› / (๐ดโ†‘๐‘๐‘›)) โˆˆ โ„+)
2726rpred 13018 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› / (๐ดโ†‘๐‘๐‘›)) โˆˆ โ„)
283adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
2915, 28rpmulcld 13034 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
3029rpred 13018 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
3130resqcld 14092 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))โ†‘2) โˆˆ โ„)
3231rehalfcld 12461 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„)
33 1rp 12980 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„+
34 rpaddcl 12998 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘› ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+) โ†’ (1 + (๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
3533, 29, 34sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (1 + (๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
3635rpred 13018 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (1 + (๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
3736, 32readdcld 11245 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 + (๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))) + (((๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))โ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„)
3830reefcld 16033 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜(๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
3932, 35ltaddrp2d 13052 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))โ†‘2) / 2) < ((1 + (๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))) + (((๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))โ†‘2) / 2)))
40 efgt1p2 16059 . . . . . . . . 9 ((๐‘› ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โ†’ ((1 + (๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))) + (((๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))โ†‘2) / 2)) < (expโ€˜(๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))))
4129, 40syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 + (๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))) + (((๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))โ†‘2) / 2)) < (expโ€˜(๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))))
4232, 37, 38, 39, 41lttrd 11377 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))โ†‘2) / 2) < (expโ€˜(๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))))
4323adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
4443recnd 11244 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
4544sqcld 14111 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
46 2cnd 12292 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
476adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„+)
4847rpcnd 13020 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
49 2ne0 12318 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ 2 โ‰  0)
5147rpne0d 13023 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐ด)โ†‘2) โ‰  0)
5245, 46, 48, 50, 51divdiv2d 12024 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘›โ†‘2) / (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))) = (((๐‘›โ†‘2) ยท ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) / 2))
533rpcnd 13020 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5453adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5544, 54sqmuld 14125 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))โ†‘2) = ((๐‘›โ†‘2) ยท ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)))
5655oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))โ†‘2) / 2) = (((๐‘›โ†‘2) ยท ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) / 2))
5752, 56eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘›โ†‘2) / (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))) = (((๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))โ†‘2) / 2))
5816recnd 11244 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5958adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6022adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
6160rpne0d 13023 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โ‰  0)
6259, 61, 44cxpefd 26227 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐‘›) = (expโ€˜(๐‘› ยท (logโ€˜๐ด))))
6342, 57, 623brtr4d 5180 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘›โ†‘2) / (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))) < (๐ดโ†‘๐‘๐‘›))
64 rpexpcl 14048 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„+)
6515, 4, 64sylancl 586 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„+)
668adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„+)
6765, 66rpdivcld 13035 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘›โ†‘2) / (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))) โˆˆ โ„+)
6867, 25, 15ltdiv2d 13041 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐‘›โ†‘2) / (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))) < (๐ดโ†‘๐‘๐‘›) โ†” (๐‘› / (๐ดโ†‘๐‘๐‘›)) < (๐‘› / ((๐‘›โ†‘2) / (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))))))
6963, 68mpbid 231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› / (๐ดโ†‘๐‘๐‘›)) < (๐‘› / ((๐‘›โ†‘2) / (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)))))
709adantr 481 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
7165rpne0d 13023 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โ‰  0)
7266rpne0d 13023 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) โ‰  0)
7344, 45, 70, 71, 72divdiv2d 12024 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› / ((๐‘›โ†‘2) / (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)))) = ((๐‘› ยท (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))) / (๐‘›โ†‘2)))
7444sqvald 14110 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘2) = (๐‘› ยท ๐‘›))
7574oveq2d 7427 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘› ยท (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))) / (๐‘›โ†‘2)) = ((๐‘› ยท (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))) / (๐‘› ยท ๐‘›)))
76 rpne0 12992 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โ‰  0)
7776adantl 482 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
7870, 44, 44, 77, 77divcan5d 12018 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘› ยท (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))) / (๐‘› ยท ๐‘›)) = ((2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) / ๐‘›))
7973, 75, 783eqtrd 2776 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› / ((๐‘›โ†‘2) / (2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)))) = ((2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) / ๐‘›))
8069, 79breqtrd 5174 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› / (๐ดโ†‘๐‘๐‘›)) < ((2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) / ๐‘›))
8127, 14, 80ltled 11364 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› / (๐ดโ†‘๐‘๐‘›)) โ‰ค ((2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) / ๐‘›))
8281adantrr 715 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (๐‘› / (๐ดโ†‘๐‘๐‘›)) โ‰ค ((2 / ((logโ€˜๐ด)โ†‘2)) / ๐‘›))
8326rpge0d 13022 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘› / (๐ดโ†‘๐‘๐‘›)))
8483adantrr 715 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 0 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘› / (๐ดโ†‘๐‘๐‘›)))
851, 1, 11, 14, 27, 82, 84rlimsqz2 15599 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘› / (๐ดโ†‘๐‘๐‘›))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   / cdiv 11873  2c2 12269  โ„คcz 12560  โ„+crp 12976  โ†‘cexp 14029   โ‡๐‘Ÿ crli 15431  expce 16007  logclog 26070  โ†‘๐‘ccxp 26071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073
This theorem is referenced by:  cxp2lim  26488  cxploglim  26489
  Copyright terms: Public domain W3C validator