MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxp2limlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxp2limlem 25469
Description: A linear factor grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxp2limlem ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem cxp2limlem
StepHypRef Expression
1 0red 10636 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2 2rp 12387 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
3 rplogcl 25102 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
4 2z 12006 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
5 rpexpcl 13441 . . . . . 6 (((log‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
63, 4, 5sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
7 rpdivcl 12407 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
82, 6, 7sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
98rpcnd 12426 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
10 divrcnv 15199 . . 3 ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
119, 10syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
128rpred 12424 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
13 rerpdivcl 12412 . . 3 (((2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛) ∈ ℝ)
1412, 13sylan 580 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛) ∈ ℝ)
15 simpr 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
16 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 1red 10634 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
18 0lt1 11154 . . . . . . . 8 0 < 1
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
20 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
211, 17, 16, 19, 20lttrd 10793 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
2216, 21elrpd 12421 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
23 rpre 12390 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ)
24 rpcxpcl 25174 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
2522, 23, 24syl2an 595 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
2615, 25rpdivcld 12441 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
2726rpred 12424 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
283adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
2915, 28rpmulcld 12440 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3029rpred 12424 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
3130resqcld 13604 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
3231rehalfcld 11876 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) ∈ ℝ)
33 1rp 12386 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
34 rpaddcl 12404 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
3533, 29, 34sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
3635rpred 12424 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
3736, 32readdcld 10662 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) ∈ ℝ)
3830reefcld 15433 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
3932, 35ltaddrp2d 12458 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) < ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)))
40 efgt1p2 15459 . . . . . . . . 9 ((𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
4129, 40syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
4232, 37, 38, 39, 41lttrd 10793 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
4323adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ)
4443recnd 10661 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
4544sqcld 13501 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
46 2cnd 11707 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
476adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
4847rpcnd 12426 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
49 2ne0 11733 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
5147rpne0d 12429 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ≠ 0)
5245, 46, 48, 50, 51divdiv2d 11440 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) = (((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)) / 2))
533rpcnd 12426 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
5453adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
5544, 54sqmuld 13515 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) = ((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)))
5655oveq1d 7166 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) = (((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)) / 2))
5752, 56eqtr4d 2863 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) = (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2))
5816recnd 10661 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5958adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6022adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
6160rpne0d 12429 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
6259, 61, 44cxpefd 25210 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑐𝑛) = (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
6342, 57, 623brtr4d 5094 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) < (𝐴𝑐𝑛))
64 rpexpcl 13441 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑛↑2) ∈ ℝ+)
6515, 4, 64sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ∈ ℝ+)
668adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
6765, 66rpdivcld 12441 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) ∈ ℝ+)
6867, 25, 15ltdiv2d 12447 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) < (𝐴𝑐𝑛) ↔ (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) < (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))))))
6963, 68mpbid 233 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) < (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))))
709adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
7165rpne0d 12429 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ≠ 0)
7266rpne0d 12429 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
7344, 45, 70, 71, 72divdiv2d 11440 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))) = ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛↑2)))
7444sqvald 13500 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) = (𝑛 · 𝑛))
7574oveq2d 7167 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛↑2)) = ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛 · 𝑛)))
76 rpne0 12398 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ≠ 0)
7776adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ≠ 0)
7870, 44, 44, 77, 77divcan5d 11434 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛 · 𝑛)) = ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
7973, 75, 783eqtrd 2864 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))) = ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
8069, 79breqtrd 5088 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) < ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
8127, 14, 80ltled 10780 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) ≤ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
8281adantrr 713 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)) ≤ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
8326rpge0d 12428 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)))
8483adantrr 713 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → 0 ≤ (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛)))
851, 1, 11, 14, 27, 82, 84rlimsqz2 15000 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / (𝐴𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  wne 3020   class class class wbr 5062  cmpt 5142  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668   / cdiv 11289  2c2 11684  cz 11973  +crp 12382  cexp 13422  𝑟 crli 14835  expce 15407  logclog 25053  𝑐ccxp 25054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20455  df-xmet 20456  df-met 20457  df-bl 20458  df-mopn 20459  df-fbas 20460  df-fg 20461  df-cnfld 20464  df-top 21420  df-topon 21437  df-topsp 21459  df-bases 21472  df-cld 21545  df-ntr 21546  df-cls 21547  df-nei 21624  df-lp 21662  df-perf 21663  df-cn 21753  df-cnp 21754  df-haus 21841  df-tx 22088  df-hmeo 22281  df-fil 22372  df-fm 22464  df-flim 22465  df-flf 22466  df-xms 22847  df-ms 22848  df-tms 22849  df-cncf 23403  df-limc 24381  df-dv 24382  df-log 25055  df-cxp 25056
This theorem is referenced by:  cxp2lim  25470  cxploglim  25471
  Copyright terms: Public domain W3C validator