Theorem cxp2limlem 26469

Description: A linear factor grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxp2limlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem cxp2limlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2		2rp 12975	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		rplogcl 26103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
4		2z 12590	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		rpexpcl 14042	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
7		rpdivcl 12995	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
8	2, 6, 7	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
9	8	rpcnd 13014	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
10		divrcnv 15794	. . 3 ⊢ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
12	8	rpred 13012	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
13		rerpdivcl 13000	. . 3 ⊢ (((2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛) ∈ ℝ)
14	12, 13	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛) ∈ ℝ)
15		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
16		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		1red 11211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
18		0lt1 11732	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
20		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
21	1, 17, 16, 19, 20	lttrd 11371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
22	16, 21	elrpd 13009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
23		rpre 12978	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℝ)
24		rpcxpcl 26175	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
25	22, 23, 24	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
26	15, 25	rpdivcld 13029	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
27	26	rpred 13012	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
28	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
29	15, 28	rpmulcld 13028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 13012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31	30	resqcld 14086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
32	31	rehalfcld 12455	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) ∈ ℝ)
33		1rp 12974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
34		rpaddcl 12992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
35	33, 29, 34	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
36	35	rpred 13012	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
37	36, 32	readdcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) ∈ ℝ)
38	30	reefcld 16027	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
39	32, 35	ltaddrp2d 13046	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) < ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)))
40		efgt1p2 16053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
41	29, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
42	32, 37, 38, 39, 41	lttrd 11371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
43	23	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
45	44	sqcld 14105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
46		2cnd 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
47	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
48	47	rpcnd 13014	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
49		2ne0 12312	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
51	47	rpne0d 13017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ≠ 0)
52	45, 46, 48, 50, 51	divdiv2d 12018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) = (((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)) / 2))
53	3	rpcnd 13014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
55	44, 54	sqmuld 14119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) = ((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)))
56	55	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) = (((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)) / 2))
57	52, 56	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) = (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2))
58	16	recnd 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	58	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
60	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
61	60	rpne0d 13017	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
62	59, 61, 44	cxpefd 26211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴↑𝑐𝑛) = (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
63	42, 57, 62	3brtr4d 5179	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) < (𝐴↑𝑐𝑛))
64		rpexpcl 14042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑛↑2) ∈ ℝ+)
65	15, 4, 64	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ∈ ℝ+)
66	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
67	65, 66	rpdivcld 13029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) ∈ ℝ+)
68	67, 25, 15	ltdiv2d 13035	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) < (𝐴↑𝑐𝑛) ↔ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) < (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))))))
69	63, 68	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) < (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))))
70	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
71	65	rpne0d 13017	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ≠ 0)
72	66	rpne0d 13017	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
73	44, 45, 70, 71, 72	divdiv2d 12018	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))) = ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛↑2)))
74	44	sqvald 14104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) = (𝑛 · 𝑛))
75	74	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛↑2)) = ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛 · 𝑛)))
76		rpne0 12986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ≠ 0)
77	76	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ≠ 0)
78	70, 44, 44, 77, 77	divcan5d 12012	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛 · 𝑛)) = ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
79	73, 75, 78	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))) = ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
80	69, 79	breqtrd 5173	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) < ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
81	27, 14, 80	ltled 11358	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) ≤ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
82	81	adantrr 715	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) ≤ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
83	26	rpge0d 13016	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)))
84	83	adantrr 715	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → 0 ≤ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)))
85	1, 1, 11, 14, 27, 82, 84	rlimsqz2 15593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11867  2c2 12263  ℤcz 12554  ℝ⁺crp 12970  ↑cexp 14023   ⇝_𝑟 crli 15425  expce 16001  logclog 26054  ↑_𝑐ccxp 26055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cxp 26057

This theorem is referenced by:  cxp2lim  26470  cxploglim  26471