Theorem cxp2limlem 27285

Description: A linear factor grows slower than any exponential with base greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxp2limlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem cxp2limlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
2		2rp 13106	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
3		rplogcl 26914	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
4		2z 12709	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		rpexpcl 14203	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
7		rpdivcl 13128	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
8	2, 6, 7	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
9	8	rpcnd 13147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
10		divrcnv 16001	. . 3 ⊢ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
12	8	rpred 13145	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ)
13		rerpdivcl 13133	. . 3 ⊢ (((2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛) ∈ ℝ)
14	12, 13	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛) ∈ ℝ)
15		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
16		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		1red 11290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
18		0lt1 11819	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 1)
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
21	1, 17, 16, 19, 20	lttrd 11452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
22	16, 21	elrpd 13142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
23		rpre 13110	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℝ)
24		rpcxpcl 26986	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
25	22, 23, 24	syl2an 608	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴↑𝑐𝑛) ∈ ℝ+)
26	15, 25	rpdivcld 13162	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ+)
27	26	rpred 13145	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) ∈ ℝ)
28	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
29	15, 28	rpmulcld 13161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+)
30	29	rpred 13145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31	30	resqcld 14248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
32	31	rehalfcld 12574	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) ∈ ℝ)
33		1rp 13105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
34		rpaddcl 13125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
35	33, 29, 34	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
36	35	rpred 13145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
37	36, 32	readdcld 11319	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) ∈ ℝ)
38	30	reefcld 16234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
39	32, 35	ltaddrp2d 13179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) < ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)))
40		efgt1p2 16262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
41	29, 40	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑛 · (log‘𝐴))) + (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2)) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
42	32, 37, 38, 39, 41	lttrd 11452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) < (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
43	23	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℂ)
45	44	sqcld 14267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
46		2cnd 12402	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
47	6	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℝ+)
48	47	rpcnd 13147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
49		2ne0 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
51	47	rpne0d 13150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴)↑2) ≠ 0)
52	45, 46, 48, 50, 51	divdiv2d 12106	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) = (((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)) / 2))
53	3	rpcnd 13147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
54	53	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
55	44, 54	sqmuld 14281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) = ((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)))
56	55	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2) = (((𝑛↑2) · ((log‘𝐴)↑2)) / 2))
57	52, 56	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) = (((𝑛 · (log‘𝐴))↑2) / 2))
58	16	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	58	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
60	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
61	60	rpne0d 13150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
62	59, 61, 44	cxpefd 27022	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝐴↑𝑐𝑛) = (exp‘(𝑛 · (log‘𝐴))))
63	42, 57, 62	3brtr4d 5137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) < (𝐴↑𝑐𝑛))
64		rpexpcl 14203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑛↑2) ∈ ℝ+)
65	15, 4, 64	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ∈ ℝ+)
66	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℝ+)
67	65, 66	rpdivcld 13162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) ∈ ℝ+)
68	67, 25, 15	ltdiv2d 13168	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))) < (𝐴↑𝑐𝑛) ↔ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) < (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2))))))
69	63, 68	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) < (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))))
70	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
71	65	rpne0d 13150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) ≠ 0)
72	66	rpne0d 13150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (2 / ((log‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
73	44, 45, 70, 71, 72	divdiv2d 12106	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))) = ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛↑2)))
74	44	sqvald 14266	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑2) = (𝑛 · 𝑛))
75	74	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛↑2)) = ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛 · 𝑛)))
76		rpne0 13118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ≠ 0)
77	76	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ≠ 0)
78	70, 44, 44, 77, 77	divcan5d 12100	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((𝑛 · (2 / ((log‘𝐴)↑2))) / (𝑛 · 𝑛)) = ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
79	73, 75, 78	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / ((𝑛↑2) / (2 / ((log‘𝐴)↑2)))) = ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
80	69, 79	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) < ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
81	27, 14, 80	ltled 11439	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) ≤ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
82	81	adantrr 730	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)) ≤ ((2 / ((log‘𝐴)↑2)) / 𝑛))
83	26	rpge0d 13149	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)))
84	83	adantrr 730	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → 0 ≤ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛)))
85	1, 1, 11, 14, 27, 82, 84	rlimsqz2 15798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (𝑛 / (𝐴↑𝑐𝑛))) ⇝𝑟 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11954  2c2 12378  ℤcz 12674  ℝ⁺crp 13101  ↑cexp 14184   ⇝_𝑟 crli 15632  expce 16207  logclog 26864  ↑_𝑐ccxp 26865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866  df-cxp 26867

This theorem is used by:  cxp2lim  27286  cxploglim  27287