Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem11 38075
Description: Lemma for dath 38137. Analogue of dalem10 38074 for 𝐸. (Contributed by NM, 23-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalemc.l = (le‘𝐾)
dalemc.j = (join‘𝐾)
dalemc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem11.m = (meet‘𝐾)
dalem11.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem11.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem11.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
dalem11.x 𝑋 = (𝑌 𝑍)
dalem11.e 𝐸 = ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈))
Assertion
Ref Expression
dalem11 (𝜑𝐸 𝑋)

Proof of Theorem dalem11
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . 4 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
2 dalemc.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 dalemc.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 dalemc.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 dalem11.y . . . 4 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
6 dalem11.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
71, 2, 3, 4, 5, 6dalemrot 38058 . . 3 (𝜑 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴)) ∧ (((𝑄 𝑅) 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 𝑈) 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃) ∧ ¬ 𝐶 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆) ∧ ¬ 𝐶 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈) ∧ 𝐶 (𝑃 𝑆)))))
8 biid 260 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴)) ∧ (((𝑄 𝑅) 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 𝑈) 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃) ∧ ¬ 𝐶 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆) ∧ ¬ 𝐶 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈) ∧ 𝐶 (𝑃 𝑆)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴)) ∧ (((𝑄 𝑅) 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 𝑈) 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃) ∧ ¬ 𝐶 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆) ∧ ¬ 𝐶 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈) ∧ 𝐶 (𝑃 𝑆)))))
9 dalem11.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 dalem11.o . . . 4 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
11 eqid 2737 . . . 4 ((𝑄 𝑅) 𝑃) = ((𝑄 𝑅) 𝑃)
12 eqid 2737 . . . 4 ((𝑇 𝑈) 𝑆) = ((𝑇 𝑈) 𝑆)
13 eqid 2737 . . . 4 (((𝑄 𝑅) 𝑃) ((𝑇 𝑈) 𝑆)) = (((𝑄 𝑅) 𝑃) ((𝑇 𝑈) 𝑆))
14 dalem11.e . . . 4 𝐸 = ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈))
158, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14dalem10 38074 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴)) ∧ (((𝑄 𝑅) 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 𝑈) 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃) ∧ ¬ 𝐶 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆) ∧ ¬ 𝐶 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈) ∧ 𝐶 (𝑃 𝑆)))) → 𝐸 (((𝑄 𝑅) 𝑃) ((𝑇 𝑈) 𝑆)))
167, 15syl 17 . 2 (𝜑𝐸 (((𝑄 𝑅) 𝑃) ((𝑇 𝑈) 𝑆)))
17 dalem11.x . . 3 𝑋 = (𝑌 𝑍)
181, 3, 4dalemqrprot 38049 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 𝑅) 𝑃) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
195, 18eqtr4id 2796 . . . 4 (𝜑𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑃))
201dalemkehl 38024 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
211dalemtea 38031 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝐴)
221dalemuea 38032 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐴)
231dalemsea 38030 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐴)
243, 4hlatjrot 37773 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑇 𝑈) 𝑆) = ((𝑆 𝑇) 𝑈))
2520, 21, 22, 23, 24syl13anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇 𝑈) 𝑆) = ((𝑆 𝑇) 𝑈))
266, 25eqtr4id 2796 . . . 4 (𝜑𝑍 = ((𝑇 𝑈) 𝑆))
2719, 26oveq12d 7369 . . 3 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (((𝑄 𝑅) 𝑃) ((𝑇 𝑈) 𝑆)))
2817, 27eqtrid 2789 . 2 (𝜑𝑋 = (((𝑄 𝑅) 𝑃) ((𝑇 𝑈) 𝑆)))
2916, 28breqtrrd 5131 1 (𝜑𝐸 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17043  lecple 17100  joincjn 18160  meetcmee 18161  Atomscatm 37663  HLchlt 37750  LPlanesclpl 37893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-proset 18144  df-poset 18162  df-lub 18195  df-glb 18196  df-join 18197  df-meet 18198  df-lat 18281  df-ats 37667  df-atl 37698  df-cvlat 37722  df-hlat 37751  df-lplanes 37900
This theorem is referenced by:  dalem12  38076  dalem16  38080
  Copyright terms: Public domain W3C validator