Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dalema.ph |
. . . 4
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π))))) |
2 | | dalemc.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | dalemc.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | dalemc.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | dalem11.y |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π
) |
6 | | dalem11.z |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π) |
7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | dalemrot 38831 |
. . 3
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (((π β¨ π
) β¨ π) β π β§ ((π β¨ π) β¨ π) β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π))))) |
8 | | biid 260 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (((π β¨ π
) β¨ π) β π β§ ((π β¨ π) β¨ π) β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (((π β¨ π
) β¨ π) β π β§ ((π β¨ π) β¨ π) β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π))))) |
9 | | dalem11.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | dalem11.o |
. . . 4
β’ π = (LPlanesβπΎ) |
11 | | eqid 2732 |
. . . 4
β’ ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π
) β¨ π) |
12 | | eqid 2732 |
. . . 4
β’ ((π β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π) |
13 | | eqid 2732 |
. . . 4
β’ (((π β¨ π
) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) = (((π β¨ π
) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) |
14 | | dalem11.e |
. . . 4
β’ πΈ = ((π β¨ π
) β§ (π β¨ π)) |
15 | 8, 2, 3, 4, 9, 10,
11, 12, 13, 14 | dalem10 38847 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (((π β¨ π
) β¨ π) β π β§ ((π β¨ π) β¨ π) β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) β πΈ β€ (((π β¨ π
) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π))) |
16 | 7, 15 | syl 17 |
. 2
β’ (π β πΈ β€ (((π β¨ π
) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π))) |
17 | | dalem11.x |
. . 3
β’ π = (π β§ π) |
18 | 1, 3, 4 | dalemqrprot 38822 |
. . . . 5
β’ (π β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
19 | 5, 18 | eqtr4id 2791 |
. . . 4
β’ (π β π = ((π β¨ π
) β¨ π)) |
20 | 1 | dalemkehl 38797 |
. . . . . 6
β’ (π β πΎ β HL) |
21 | 1 | dalemtea 38804 |
. . . . . 6
β’ (π β π β π΄) |
22 | 1 | dalemuea 38805 |
. . . . . 6
β’ (π β π β π΄) |
23 | 1 | dalemsea 38803 |
. . . . . 6
β’ (π β π β π΄) |
24 | 3, 4 | hlatjrot 38546 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
25 | 20, 21, 22, 23, 24 | syl13anc 1372 |
. . . . 5
β’ (π β ((π β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
26 | 6, 25 | eqtr4id 2791 |
. . . 4
β’ (π β π = ((π β¨ π) β¨ π)) |
27 | 19, 26 | oveq12d 7429 |
. . 3
β’ (π β (π β§ π) = (((π β¨ π
) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π))) |
28 | 17, 27 | eqtrid 2784 |
. 2
β’ (π β π = (((π β¨ π
) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π))) |
29 | 16, 28 | breqtrrd 5176 |
1
β’ (π β πΈ β€ π) |