Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem11 38210
Description: Lemma for dath 38272. Analogue of dalem10 38209 for 𝐸. (Contributed by NM, 23-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalemc.l = (le‘𝐾)
dalemc.j = (join‘𝐾)
dalemc.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem11.m = (meet‘𝐾)
dalem11.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem11.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem11.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
dalem11.x 𝑋 = (𝑌 𝑍)
dalem11.e 𝐸 = ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈))
Assertion
Ref Expression
dalem11 (𝜑𝐸 𝑋)

Proof of Theorem dalem11
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . 4 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
2 dalemc.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 dalemc.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 dalemc.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 dalem11.y . . . 4 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
6 dalem11.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
71, 2, 3, 4, 5, 6dalemrot 38193 . . 3 (𝜑 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴)) ∧ (((𝑄 𝑅) 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 𝑈) 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃) ∧ ¬ 𝐶 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆) ∧ ¬ 𝐶 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈) ∧ 𝐶 (𝑃 𝑆)))))
8 biid 260 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴)) ∧ (((𝑄 𝑅) 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 𝑈) 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃) ∧ ¬ 𝐶 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆) ∧ ¬ 𝐶 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈) ∧ 𝐶 (𝑃 𝑆)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴)) ∧ (((𝑄 𝑅) 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 𝑈) 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃) ∧ ¬ 𝐶 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆) ∧ ¬ 𝐶 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈) ∧ 𝐶 (𝑃 𝑆)))))
9 dalem11.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 dalem11.o . . . 4 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
11 eqid 2731 . . . 4 ((𝑄 𝑅) 𝑃) = ((𝑄 𝑅) 𝑃)
12 eqid 2731 . . . 4 ((𝑇 𝑈) 𝑆) = ((𝑇 𝑈) 𝑆)
13 eqid 2731 . . . 4 (((𝑄 𝑅) 𝑃) ((𝑇 𝑈) 𝑆)) = (((𝑄 𝑅) 𝑃) ((𝑇 𝑈) 𝑆))
14 dalem11.e . . . 4 𝐸 = ((𝑄 𝑅) (𝑇 𝑈))
158, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14dalem10 38209 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴)) ∧ (((𝑄 𝑅) 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 𝑈) 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃) ∧ ¬ 𝐶 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆) ∧ ¬ 𝐶 (𝑆 𝑇)) ∧ (𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈) ∧ 𝐶 (𝑃 𝑆)))) → 𝐸 (((𝑄 𝑅) 𝑃) ((𝑇 𝑈) 𝑆)))
167, 15syl 17 . 2 (𝜑𝐸 (((𝑄 𝑅) 𝑃) ((𝑇 𝑈) 𝑆)))
17 dalem11.x . . 3 𝑋 = (𝑌 𝑍)
181, 3, 4dalemqrprot 38184 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 𝑅) 𝑃) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
195, 18eqtr4id 2790 . . . 4 (𝜑𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑃))
201dalemkehl 38159 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
211dalemtea 38166 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝐴)
221dalemuea 38167 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐴)
231dalemsea 38165 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐴)
243, 4hlatjrot 37908 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑇 𝑈) 𝑆) = ((𝑆 𝑇) 𝑈))
2520, 21, 22, 23, 24syl13anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇 𝑈) 𝑆) = ((𝑆 𝑇) 𝑈))
266, 25eqtr4id 2790 . . . 4 (𝜑𝑍 = ((𝑇 𝑈) 𝑆))
2719, 26oveq12d 7380 . . 3 (𝜑 → (𝑌 𝑍) = (((𝑄 𝑅) 𝑃) ((𝑇 𝑈) 𝑆)))
2817, 27eqtrid 2783 . 2 (𝜑𝑋 = (((𝑄 𝑅) 𝑃) ((𝑇 𝑈) 𝑆)))
2916, 28breqtrrd 5138 1 (𝜑𝐸 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17094  lecple 17154  joincjn 18214  meetcmee 18215  Atomscatm 37798  HLchlt 37885  LPlanesclpl 38028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18198  df-poset 18216  df-lub 18249  df-glb 18250  df-join 18251  df-meet 18252  df-lat 18335  df-ats 37802  df-atl 37833  df-cvlat 37857  df-hlat 37886  df-lplanes 38035
This theorem is referenced by:  dalem12  38211  dalem16  38215
  Copyright terms: Public domain W3C validator