Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem11 38848
Description: Lemma for dath 38910. Analogue of dalem10 38847 for 𝐸. (Contributed by NM, 23-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem11.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem11.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem11.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem11.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem11.x 𝑋 = (π‘Œ ∧ 𝑍)
dalem11.e 𝐸 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
dalem11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ≀ 𝑋)

Proof of Theorem dalem11
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . 4 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
2 dalemc.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dalemc.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dalemc.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 dalem11.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
6 dalem11.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6dalemrot 38831 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))
8 biid 260 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))) ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))
9 dalem11.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 dalem11.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
11 eqid 2730 . . . 4 ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)
12 eqid 2730 . . . 4 ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆)
13 eqid 2730 . . . 4 (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆)) = (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆))
14 dalem11.e . . . 4 𝐸 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ))
158, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14dalem10 38847 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))) β†’ 𝐸 ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆)))
167, 15syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆)))
17 dalem11.x . . 3 𝑋 = (π‘Œ ∧ 𝑍)
181, 3, 4dalemqrprot 38822 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
195, 18eqtr4id 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
201dalemkehl 38797 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
211dalemtea 38804 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
221dalemuea 38805 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
231dalemsea 38803 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
243, 4hlatjrot 38546 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
2520, 21, 22, 23, 24syl13anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
266, 25eqtr4id 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆))
2719, 26oveq12d 7429 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) = (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆)))
2817, 27eqtrid 2782 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆)))
2916, 28breqtrrd 5175 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ≀ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LPlanesclpl 38666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-lat 18389  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lplanes 38673
This theorem is referenced by:  dalem12  38849  dalem16  38853
  Copyright terms: Public domain W3C validator