Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemrot Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalemrot 38614
Description: Lemma for dath 38693. Rotate triangles π‘Œ = 𝑃𝑄𝑅 and 𝑍 = π‘†π‘‡π‘ˆ to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 14-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalemrot.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalemrot.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dalemrot (πœ‘ β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))

Proof of Theorem dalemrot
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . . 5 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
21dalemkehl 38580 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 dalemc.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 3dalemceb 38595 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52, 4jca 512 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
61dalemqea 38584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
71dalemrea 38585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
81dalempea 38583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
96, 7, 83jca 1128 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴))
101dalemtea 38587 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
111dalemuea 38588 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
121dalemsea 38586 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
1310, 11, 123jca 1128 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
145, 9, 133jca 1128 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)))
15 dalemc.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
161, 15, 3dalemqrprot 38605 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
17 dalemrot.y . . . . 5 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
181dalemyeo 38589 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑂)
1917, 18eqeltrrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂)
2016, 19eqeltrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂)
2115, 3hlatjrot 38329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
222, 10, 11, 12, 21syl13anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
23 dalemrot.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
241dalemzeo 38590 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑂)
2523, 24eqeltrrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂)
2622, 25eqeltrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂)
2720, 26jca 512 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂))
28 simp312 1321 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
291, 28sylbi 216 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
30 simp313 1322 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃))
311, 30sylbi 216 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃))
321dalem-clpjq 38594 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
3329, 31, 323jca 1128 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
34 simp322 1324 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ))
351, 34sylbi 216 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ))
36 simp323 1325 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))
371, 36sylbi 216 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆))
38 simp321 1323 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
391, 38sylbi 216 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
4035, 37, 393jca 1128 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
411dalemclqjt 38592 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
421dalemclrju 38593 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))
431dalemclpjs 38591 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
4441, 42, 433jca 1128 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
4533, 40, 443jca 1128 . 2 (πœ‘ β†’ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))))
4614, 27, 453jca 1128 1 (πœ‘ β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑆) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  lecple 17206  joincjn 18266  Atomscatm 38219  HLchlt 38306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18250  df-poset 18268  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-lat 18387  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307
This theorem is referenced by:  dalemeea  38620  dalem6  38625  dalem7  38626  dalem11  38631  dalem12  38632  dalem29  38658  dalem30  38659  dalem31N  38660  dalem32  38661  dalem33  38662  dalem34  38663  dalem35  38664  dalem36  38665  dalem37  38666  dalem40  38669  dalem46  38675  dalem47  38676  dalem49  38678  dalem50  38679  dalem58  38687  dalem59  38688
  Copyright terms: Public domain W3C validator