Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dalema.ph |
. . . . 5
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π))))) |
2 | 1 | dalemkehl 38580 |
. . . 4
β’ (π β πΎ β HL) |
3 | | dalemc.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | 1, 3 | dalemceb 38595 |
. . . 4
β’ (π β πΆ β (BaseβπΎ)) |
5 | 2, 4 | jca 512 |
. . 3
β’ (π β (πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ))) |
6 | 1 | dalemqea 38584 |
. . . 4
β’ (π β π β π΄) |
7 | 1 | dalemrea 38585 |
. . . 4
β’ (π β π
β π΄) |
8 | 1 | dalempea 38583 |
. . . 4
β’ (π β π β π΄) |
9 | 6, 7, 8 | 3jca 1128 |
. . 3
β’ (π β (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄)) |
10 | 1 | dalemtea 38587 |
. . . 4
β’ (π β π β π΄) |
11 | 1 | dalemuea 38588 |
. . . 4
β’ (π β π β π΄) |
12 | 1 | dalemsea 38586 |
. . . 4
β’ (π β π β π΄) |
13 | 10, 11, 12 | 3jca 1128 |
. . 3
β’ (π β (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) |
14 | 5, 9, 13 | 3jca 1128 |
. 2
β’ (π β ((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄))) |
15 | | dalemc.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
16 | 1, 15, 3 | dalemqrprot 38605 |
. . . 4
β’ (π β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
17 | | dalemrot.y |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π
) |
18 | 1 | dalemyeo 38589 |
. . . . 5
β’ (π β π β π) |
19 | 17, 18 | eqeltrrid 2838 |
. . . 4
β’ (π β ((π β¨ π) β¨ π
) β π) |
20 | 16, 19 | eqeltrd 2833 |
. . 3
β’ (π β ((π β¨ π
) β¨ π) β π) |
21 | 15, 3 | hlatjrot 38329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
22 | 2, 10, 11, 12, 21 | syl13anc 1372 |
. . . 4
β’ (π β ((π β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
23 | | dalemrot.z |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β¨ π) |
24 | 1 | dalemzeo 38590 |
. . . . 5
β’ (π β π β π) |
25 | 23, 24 | eqeltrrid 2838 |
. . . 4
β’ (π β ((π β¨ π) β¨ π) β π) |
26 | 22, 25 | eqeltrd 2833 |
. . 3
β’ (π β ((π β¨ π) β¨ π) β π) |
27 | 20, 26 | jca 512 |
. 2
β’ (π β (((π β¨ π
) β¨ π) β π β§ ((π β¨ π) β¨ π) β π)) |
28 | | simp312 1321 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π)))) β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
)) |
29 | 1, 28 | sylbi 216 |
. . . 4
β’ (π β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
)) |
30 | | simp313 1322 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π)))) β Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) |
31 | 1, 30 | sylbi 216 |
. . . 4
β’ (π β Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) |
32 | 1 | dalem-clpjq 38594 |
. . . 4
β’ (π β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) |
33 | 29, 31, 32 | 3jca 1128 |
. . 3
β’ (π β (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π))) |
34 | | simp322 1324 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π)))) β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) |
35 | 1, 34 | sylbi 216 |
. . . 4
β’ (π β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) |
36 | | simp323 1325 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π)))) β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) |
37 | 1, 36 | sylbi 216 |
. . . 4
β’ (π β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) |
38 | | simp321 1323 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (π β π β§ π β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π)))) β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) |
39 | 1, 38 | sylbi 216 |
. . . 4
β’ (π β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) |
40 | 35, 37, 39 | 3jca 1128 |
. . 3
β’ (π β (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π))) |
41 | 1 | dalemclqjt 38592 |
. . . 4
β’ (π β πΆ β€ (π β¨ π)) |
42 | 1 | dalemclrju 38593 |
. . . 4
β’ (π β πΆ β€ (π
β¨ π)) |
43 | 1 | dalemclpjs 38591 |
. . . 4
β’ (π β πΆ β€ (π β¨ π)) |
44 | 41, 42, 43 | 3jca 1128 |
. . 3
β’ (π β (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π))) |
45 | 33, 40, 44 | 3jca 1128 |
. 2
β’ (π β ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π)))) |
46 | 14, 27, 45 | 3jca 1128 |
1
β’ (π β (((πΎ β HL β§ πΆ β (BaseβπΎ)) β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (((π β¨ π
) β¨ π) β π β§ ((π β¨ π) β¨ π) β π) β§ ((Β¬ πΆ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π) β§ Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) β§ (πΆ β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π
β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π))))) |