Theorem dalem2 40825

Description: Lemma for dath 40900. Show the lines 𝑃𝑄 and 𝑆𝑇 form a plane. (Contributed by NM, 11-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalema.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalemc.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalemc.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalemc.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem1.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem1.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dalem2	⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝑂)

Proof of Theorem dalem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalema.ph	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
2	1	dalemkehl 40787	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
3	1	dalempea 40790	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
4	1	dalemqea 40791	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
5	1	dalemsea 40793	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
6	1	dalemtea 40794	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐴)
7		dalemc.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		dalemc.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	7, 8	hlatj4 40538	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)))
10	2, 3, 4, 5, 6, 9	syl122anc 1406	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)))
11		dalemc.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		dalem1.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
13		dalem1.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
14	1, 11, 7, 8, 12, 13	dalempjsen 40817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
15	1, 11, 7, 8, 12, 13	dalemqnet 40816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑇)
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
17	7, 8, 16	llni2 40676	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 ≠ 𝑇) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
18	2, 4, 6, 15, 17	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
19	1, 11, 7, 8, 12, 13	dalem1 40823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑆) ≠ (𝑄 ∨ 𝑇))
20	1, 11, 7, 8, 12, 13	dalemcea 40824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
21	1	dalemclpjs 40798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆))
22	1	dalemclqjt 40799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇))
23		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
24		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
25	11, 23, 24, 8, 16	2llnm4 40734	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇))) → ((𝑃 ∨ 𝑆)(meet‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑇)) ≠ (0.‘𝐾))
26	2, 20, 14, 18, 21, 22, 25	syl132anc 1415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑆)(meet‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑇)) ≠ (0.‘𝐾))
27	23, 24, 8, 16	2llnmat 40688	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ≠ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆)(meet‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑇)) ≠ (0.‘𝐾))) → ((𝑃 ∨ 𝑆)(meet‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
28	2, 14, 18, 19, 26, 27	syl32anc 1405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑆)(meet‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
29	7, 23, 8, 16, 12	2llnmj 40724	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑆)(meet‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝑂))
30	2, 14, 18, 29	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 ∨ 𝑆)(meet‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝑂))
31	28, 30	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝑂)
32	10, 31	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝑂)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  lecple 17442  joincjn 18492  meetcmee 18493  0.cp0 18602  Atomscatm 40427  HLchlt 40514  LLinesclln 40655  LPlanesclpl 40656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-proset 18475  df-poset 18494  df-plt 18509  df-lub 18525  df-glb 18526  df-join 18527  df-meet 18528  df-p0 18604  df-lat 18613  df-clat 18680  df-oposet 40340  df-ol 40342  df-oml 40343  df-covers 40430  df-ats 40431  df-atl 40462  df-cvlat 40486  df-hlat 40515  df-llines 40662  df-lplanes 40663

This theorem is used by:  dalemdea  40826