Theorem hlatjidm 39803

Description: Idempotence of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18402 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjidm	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem hlatjidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39797	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39723	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6	2, 5	latjidm 18417	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  joincjn 18266  Latclat 18386  Atomscatm 39697  HLchlt 39784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18249  df-poset 18268  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-lat 18387  df-ats 39701  df-atl 39732  df-cvlat 39756  df-hlat 39785

This theorem is referenced by:  atcvr0eq  39860  lnnat  39861  atcvrj0  39862  atltcvr  39869  3dim2  39902  3dim3  39903  islln2a  39951  2at0mat0  39959  lplnnle2at  39975  lplnnleat  39976  islpln2a  39982  lvolnle3at  40016  lvolnleat  40017  lvolnlelln  40018  2atnelvolN  40021  islvol2aN  40026  dalempnes  40085  dalemqnet  40086  2llnma3r  40222  dalawlem12  40316  4atex2-0aOLDN  40512  idltrn  40584  trl0  40604  trlval3  40621  cdleme3b  40663  cdleme11h  40700  cdleme16c  40714  cdleme18b  40726  cdleme20j  40752  cdleme42ke  40919  cdleme50trn3  40987  cdlemb3  41040  cdlemg8a  41061  trlcone  41162  dia2dimlem13  41510