Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatjidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatjidm 39370
Description: Idempotence of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18492 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j = (join‘𝐾)
hlatjcom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatjidm ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem hlatjidm
StepHypRef Expression
1 hllat 39364 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 hlatjcom.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 39290 . 2 (𝑋𝐴𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5 hlatjcom.j . . 3 = (join‘𝐾)
62, 5latjidm 18507 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
71, 4, 6syl2an 596 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  joincjn 18357  Latclat 18476  Atomscatm 39264  HLchlt 39351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-lat 18477  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352
This theorem is referenced by:  atcvr0eq  39428  lnnat  39429  atcvrj0  39430  atltcvr  39437  3dim2  39470  3dim3  39471  islln2a  39519  2at0mat0  39527  lplnnle2at  39543  lplnnleat  39544  islpln2a  39550  lvolnle3at  39584  lvolnleat  39585  lvolnlelln  39586  2atnelvolN  39589  islvol2aN  39594  dalempnes  39653  dalemqnet  39654  2llnma3r  39790  dalawlem12  39884  4atex2-0aOLDN  40080  idltrn  40152  trl0  40172  trlval3  40189  cdleme3b  40231  cdleme11h  40268  cdleme16c  40282  cdleme18b  40294  cdleme20j  40320  cdleme42ke  40487  cdleme50trn3  40555  cdlemb3  40608  cdlemg8a  40629  trlcone  40730  dia2dimlem13  41078
  Copyright terms: Public domain W3C validator