Theorem hlatjidm 39080

Description: Idempotence of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18467 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjidm	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem hlatjidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39074	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39000	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6	2, 5	latjidm 18482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 594	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  joincjn 18331  Latclat 18451  Atomscatm 38974  HLchlt 39061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18315  df-poset 18333  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-lat 18452  df-ats 38978  df-atl 39009  df-cvlat 39033  df-hlat 39062

This theorem is referenced by:  atcvr0eq  39138  lnnat  39139  atcvrj0  39140  atltcvr  39147  3dim2  39180  3dim3  39181  islln2a  39229  2at0mat0  39237  lplnnle2at  39253  lplnnleat  39254  islpln2a  39260  lvolnle3at  39294  lvolnleat  39295  lvolnlelln  39296  2atnelvolN  39299  islvol2aN  39304  dalempnes  39363  dalemqnet  39364  2llnma3r  39500  dalawlem12  39594  4atex2-0aOLDN  39790  idltrn  39862  trl0  39882  trlval3  39899  cdleme3b  39941  cdleme11h  39978  cdleme16c  39992  cdleme18b  40004  cdleme20j  40030  cdleme42ke  40197  cdleme50trn3  40265  cdlemb3  40318  cdlemg8a  40339  trlcone  40440  dia2dimlem13  40788