Theorem hlatjidm 39697

Description: Idempotence of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18374 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjidm	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem hlatjidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39691	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39617	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6	2, 5	latjidm 18389	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  joincjn 18238  Latclat 18358  Atomscatm 39591  HLchlt 39678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18221  df-poset 18240  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-lat 18359  df-ats 39595  df-atl 39626  df-cvlat 39650  df-hlat 39679

This theorem is referenced by:  atcvr0eq  39754  lnnat  39755  atcvrj0  39756  atltcvr  39763  3dim2  39796  3dim3  39797  islln2a  39845  2at0mat0  39853  lplnnle2at  39869  lplnnleat  39870  islpln2a  39876  lvolnle3at  39910  lvolnleat  39911  lvolnlelln  39912  2atnelvolN  39915  islvol2aN  39920  dalempnes  39979  dalemqnet  39980  2llnma3r  40116  dalawlem12  40210  4atex2-0aOLDN  40406  idltrn  40478  trl0  40498  trlval3  40515  cdleme3b  40557  cdleme11h  40594  cdleme16c  40608  cdleme18b  40620  cdleme20j  40646  cdleme42ke  40813  cdleme50trn3  40881  cdlemb3  40934  cdlemg8a  40955  trlcone  41056  dia2dimlem13  41404