Theorem hlatjidm 40171

Description: Idempotence of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18509 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjidm	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem hlatjidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40165	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40091	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6	2, 5	latjidm 18524	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 607	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  joincjn 18373  Latclat 18493  Atomscatm 40065  HLchlt 40152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18356  df-poset 18375  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-lat 18494  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153

This theorem is used by:  atcvr0eq  40228  lnnat  40229  atcvrj0  40230  atltcvr  40237  3dim2  40270  3dim3  40271  islln2a  40319  2at0mat0  40327  lplnnle2at  40343  lplnnleat  40344  islpln2a  40350  lvolnle3at  40384  lvolnleat  40385  lvolnlelln  40386  2atnelvolN  40389  islvol2aN  40394  dalempnes  40453  dalemqnet  40454  2llnma3r  40590  dalawlem12  40684  4atex2-0aOLDN  40880  idltrn  40952  trl0  40972  trlval3  40989  cdleme3b  41031  cdleme11h  41068  cdleme16c  41082  cdleme18b  41094  cdleme20j  41120  cdleme42ke  41287  cdleme50trn3  41355  cdlemb3  41408  cdlemg8a  41429  trlcone  41530  dia2dimlem13  41878