Theorem hlatjidm 37583

Description: Idempotence of join operation. Frequently-used special case of latjcom 18214 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjidm	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem hlatjidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 37577	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatjcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 37503	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		hlatjcom.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6	2, 5	latjidm 18229	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16961  joincjn 18078  Latclat 18198  Atomscatm 37477  HLchlt 37564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-proset 18062  df-poset 18080  df-lub 18113  df-glb 18114  df-join 18115  df-meet 18116  df-lat 18199  df-ats 37481  df-atl 37512  df-cvlat 37536  df-hlat 37565

This theorem is referenced by:  atcvr0eq  37640  lnnat  37641  atcvrj0  37642  atltcvr  37649  3dim2  37682  3dim3  37683  islln2a  37731  2at0mat0  37739  lplnnle2at  37755  lplnnleat  37756  islpln2a  37762  lvolnle3at  37796  lvolnleat  37797  lvolnlelln  37798  2atnelvolN  37801  islvol2aN  37806  dalempnes  37865  dalemqnet  37866  2llnma3r  38002  dalawlem12  38096  4atex2-0aOLDN  38292  idltrn  38364  trl0  38384  trlval3  38401  cdleme3b  38443  cdleme11h  38480  cdleme16c  38494  cdleme18b  38506  cdleme20j  38532  cdleme42ke  38699  cdleme50trn3  38767  cdlemb3  38820  cdlemg8a  38841  trlcone  38942  dia2dimlem13  39290