Theorem dalemrotps 39678

Description: Lemma for dath 39723. Rotate triangles 𝑌 = 𝑃𝑄𝑅 and 𝑍 = 𝑆𝑇𝑈 to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 15-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalem.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalemrotps.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dalemrotps	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))

Proof of Theorem dalemrotps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalem.ps	. . . . 5 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
2	1	dalemccea 39670	. . . 4 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴)
3	1	dalemddea 39671	. . . 4 ⊢ (𝜓 → 𝑑 ∈ 𝐴)
4	2, 3	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜓 → (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))
6	1	dalem-ccly 39672	. . . 4 ⊢ (𝜓 → ¬ 𝑐 ≤ 𝑌)
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑐 ≤ 𝑌)
8		dalemrotps.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
9		dalem.ph	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
10		dalem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		dalem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12	9, 10, 11	dalemqrprot 39635	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
13	8, 12	eqtr4id 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
14	13	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ≤ 𝑌 ↔ 𝑐 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑐 ≤ 𝑌 ↔ 𝑐 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
16	7, 15	mtbid 324	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑐 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
17	1	dalemccnedd 39674	. . . . 5 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ≠ 𝑑)
18	17	necomd 2980	. . . 4 ⊢ (𝜓 → 𝑑 ≠ 𝑐)
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑑 ≠ 𝑐)
20	1	dalem-ddly 39673	. . . . 5 ⊢ (𝜓 → ¬ 𝑑 ≤ 𝑌)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑑 ≤ 𝑌)
22	13	breq2d 5114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ≤ 𝑌 ↔ 𝑑 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑑 ≤ 𝑌 ↔ 𝑑 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
24	21, 23	mtbid 324	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑑 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
25	1	dalemclccjdd 39675	. . . 4 ⊢ (𝜓 → 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))
27	19, 24, 26	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑)))
28	5, 16, 27	3jca 1128	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  lecple 17203  joincjn 18252  Atomscatm 39249  HLchlt 39336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-lat 18373  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337

This theorem is referenced by:  dalem29  39688  dalem30  39689  dalem31N  39690  dalem32  39691  dalem33  39692  dalem34  39693  dalem35  39694  dalem36  39695  dalem37  39696  dalem40  39699  dalem46  39705  dalem47  39706  dalem49  39708  dalem50  39709  dalem58  39717  dalem59  39718