Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemrotps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalemrotps 39220
Description: Lemma for dath 39265. Rotate triangles π‘Œ = 𝑃𝑄𝑅 and 𝑍 = π‘†π‘‡π‘ˆ to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 15-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalemrotps.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalemrotps ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))

Proof of Theorem dalemrotps
StepHypRef Expression
1 dalem.ps . . . . 5 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
21dalemccea 39212 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
31dalemddea 39213 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
42, 3jca 510 . . 3 (πœ“ β†’ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))
54adantl 480 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))
61dalem-ccly 39214 . . . 4 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
76adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
8 dalemrotps.y . . . . . 6 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
9 dalem.ph . . . . . . 7 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
10 dalem.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 dalem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
129, 10, 11dalemqrprot 39177 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
138, 12eqtr4id 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
1413breq2d 5155 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑐 ≀ π‘Œ ↔ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
1514adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ≀ π‘Œ ↔ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
167, 15mtbid 323 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
171dalemccnedd 39216 . . . . 5 (πœ“ β†’ 𝑐 β‰  𝑑)
1817necomd 2986 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝑑 β‰  𝑐)
1918adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑑 β‰  𝑐)
201dalem-ddly 39215 . . . . 5 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
2120adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
2213breq2d 5155 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ≀ π‘Œ ↔ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
2322adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ≀ π‘Œ ↔ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
2421, 23mtbid 323 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
251dalemclccjdd 39217 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))
2625adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))
2719, 24, 263jca 1125 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑)))
285, 16, 273jca 1125 1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  Atomscatm 38791  HLchlt 38878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18286  df-poset 18304  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-lat 18423  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879
This theorem is referenced by:  dalem29  39230  dalem30  39231  dalem31N  39232  dalem32  39233  dalem33  39234  dalem34  39235  dalem35  39236  dalem36  39237  dalem37  39238  dalem40  39241  dalem46  39247  dalem47  39248  dalem49  39250  dalem50  39251  dalem58  39259  dalem59  39260
  Copyright terms: Public domain W3C validator