Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemrotps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalemrotps 39674
Description: Lemma for dath 39719. Rotate triangles 𝑌 = 𝑃𝑄𝑅 and 𝑍 = 𝑆𝑇𝑈 to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 15-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalemrotps.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalemrotps ((𝜑𝜓) → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ 𝐶 (𝑐 𝑑))))

Proof of Theorem dalemrotps
StepHypRef Expression
1 dalem.ps . . . . 5 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
21dalemccea 39666 . . . 4 (𝜓𝑐𝐴)
31dalemddea 39667 . . . 4 (𝜓𝑑𝐴)
42, 3jca 511 . . 3 (𝜓 → (𝑐𝐴𝑑𝐴))
54adantl 481 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑐𝐴𝑑𝐴))
61dalem-ccly 39668 . . . 4 (𝜓 → ¬ 𝑐 𝑌)
76adantl 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑐 𝑌)
8 dalemrotps.y . . . . . 6 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
9 dalem.ph . . . . . . 7 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
10 dalem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
11 dalem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
129, 10, 11dalemqrprot 39631 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄 𝑅) 𝑃) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
138, 12eqtr4id 2794 . . . . 5 (𝜑𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑃))
1413breq2d 5160 . . . 4 (𝜑 → (𝑐 𝑌𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃)))
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑐 𝑌𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃)))
167, 15mtbid 324 . 2 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃))
171dalemccnedd 39670 . . . . 5 (𝜓𝑐𝑑)
1817necomd 2994 . . . 4 (𝜓𝑑𝑐)
1918adantl 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝑑𝑐)
201dalem-ddly 39669 . . . . 5 (𝜓 → ¬ 𝑑 𝑌)
2120adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑑 𝑌)
2213breq2d 5160 . . . . 5 (𝜑 → (𝑑 𝑌𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃)))
2322adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑑 𝑌𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃)))
2421, 23mtbid 324 . . 3 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃))
251dalemclccjdd 39671 . . . 4 (𝜓𝐶 (𝑐 𝑑))
2625adantl 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝐶 (𝑐 𝑑))
2719, 24, 263jca 1127 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ 𝐶 (𝑐 𝑑)))
285, 16, 273jca 1127 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ 𝐶 (𝑐 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  Atomscatm 39245  HLchlt 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18490  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333
This theorem is referenced by:  dalem29  39684  dalem30  39685  dalem31N  39686  dalem32  39687  dalem33  39688  dalem34  39689  dalem35  39690  dalem36  39691  dalem37  39692  dalem40  39695  dalem46  39701  dalem47  39702  dalem49  39704  dalem50  39705  dalem58  39713  dalem59  39714
  Copyright terms: Public domain W3C validator