Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemrotps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalemrotps 39075
Description: Lemma for dath 39120. Rotate triangles π‘Œ = 𝑃𝑄𝑅 and 𝑍 = π‘†π‘‡π‘ˆ to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 15-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalemrotps.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalemrotps ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))

Proof of Theorem dalemrotps
StepHypRef Expression
1 dalem.ps . . . . 5 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
21dalemccea 39067 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
31dalemddea 39068 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
42, 3jca 511 . . 3 (πœ“ β†’ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))
54adantl 481 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴))
61dalem-ccly 39069 . . . 4 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
76adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
8 dalemrotps.y . . . . . 6 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
9 dalem.ph . . . . . . 7 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
10 dalem.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 dalem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
129, 10, 11dalemqrprot 39032 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
138, 12eqtr4id 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
1413breq2d 5153 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑐 ≀ π‘Œ ↔ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
1514adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ≀ π‘Œ ↔ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
167, 15mtbid 324 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
171dalemccnedd 39071 . . . . 5 (πœ“ β†’ 𝑐 β‰  𝑑)
1817necomd 2990 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝑑 β‰  𝑐)
1918adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝑑 β‰  𝑐)
201dalem-ddly 39070 . . . . 5 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
2120adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
2213breq2d 5153 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ≀ π‘Œ ↔ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
2322adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ≀ π‘Œ ↔ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃)))
2421, 23mtbid 324 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃))
251dalemclccjdd 39072 . . . 4 (πœ“ β†’ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))
2625adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))
2719, 24, 263jca 1125 . 2 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑)))
285, 16, 273jca 1125 1 ((πœ‘ ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑃) ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-lat 18397  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734
This theorem is referenced by:  dalem29  39085  dalem30  39086  dalem31N  39087  dalem32  39088  dalem33  39089  dalem34  39090  dalem35  39091  dalem36  39092  dalem37  39093  dalem40  39096  dalem46  39102  dalem47  39103  dalem49  39105  dalem50  39106  dalem58  39114  dalem59  39115
  Copyright terms: Public domain W3C validator