Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemrotps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalemrotps 39693
Description: Lemma for dath 39738. Rotate triangles 𝑌 = 𝑃𝑄𝑅 and 𝑍 = 𝑆𝑇𝑈 to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 15-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalemrotps.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dalemrotps ((𝜑𝜓) → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ 𝐶 (𝑐 𝑑))))

Proof of Theorem dalemrotps
StepHypRef Expression
1 dalem.ps . . . . 5 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
21dalemccea 39685 . . . 4 (𝜓𝑐𝐴)
31dalemddea 39686 . . . 4 (𝜓𝑑𝐴)
42, 3jca 511 . . 3 (𝜓 → (𝑐𝐴𝑑𝐴))
54adantl 481 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑐𝐴𝑑𝐴))
61dalem-ccly 39687 . . . 4 (𝜓 → ¬ 𝑐 𝑌)
76adantl 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑐 𝑌)
8 dalemrotps.y . . . . . 6 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
9 dalem.ph . . . . . . 7 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
10 dalem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
11 dalem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
129, 10, 11dalemqrprot 39650 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑄 𝑅) 𝑃) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
138, 12eqtr4id 2796 . . . . 5 (𝜑𝑌 = ((𝑄 𝑅) 𝑃))
1413breq2d 5155 . . . 4 (𝜑 → (𝑐 𝑌𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃)))
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑𝜓) → (𝑐 𝑌𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃)))
167, 15mtbid 324 . 2 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃))
171dalemccnedd 39689 . . . . 5 (𝜓𝑐𝑑)
1817necomd 2996 . . . 4 (𝜓𝑑𝑐)
1918adantl 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝑑𝑐)
201dalem-ddly 39688 . . . . 5 (𝜓 → ¬ 𝑑 𝑌)
2120adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑑 𝑌)
2213breq2d 5155 . . . . 5 (𝜑 → (𝑑 𝑌𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃)))
2322adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑑 𝑌𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃)))
2421, 23mtbid 324 . . 3 ((𝜑𝜓) → ¬ 𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃))
251dalemclccjdd 39690 . . . 4 (𝜓𝐶 (𝑐 𝑑))
2625adantl 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → 𝐶 (𝑐 𝑑))
2719, 24, 263jca 1129 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ 𝐶 (𝑐 𝑑)))
285, 16, 273jca 1129 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ((𝑄 𝑅) 𝑃) ∧ 𝐶 (𝑐 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  Atomscatm 39264  HLchlt 39351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-lat 18477  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352
This theorem is referenced by:  dalem29  39703  dalem30  39704  dalem31N  39705  dalem32  39706  dalem33  39707  dalem34  39708  dalem35  39709  dalem36  39710  dalem37  39711  dalem40  39714  dalem46  39720  dalem47  39721  dalem49  39723  dalem50  39724  dalem58  39732  dalem59  39733
  Copyright terms: Public domain W3C validator