Theorem selvcllem5 43015

Description: The fifth argument passed to evalSub is in the domain (a function 𝐼⟶𝐸). (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvcllem5.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvcllem5.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvcllem5.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvcllem5.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
selvcllem5.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
selvcllem5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvcllem5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvcllem5.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
selvcllem5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem selvcllem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvcllem5.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
2	1	fvexi 6854	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
4		selvcllem5.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		selvcllem5.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 mVar 𝑈) = (𝐽 mVar 𝑈)
7		selvcllem5.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
8	4, 7	ssexd 5265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ V)
10		selvcllem5.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
11	4	difexd 5272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
12		selvcllem5.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	12	crngringd 20227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	10, 11, 13	mplringd 22001	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ Ring)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽)
17	5, 6, 1, 9, 15, 16	mvrcl 21970	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥) ∈ 𝐸)
18	17	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥) ∈ 𝐸)
19		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
20		selvcllem5.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
21	5, 1, 19, 20, 8, 14	mplasclf 22043	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(Base‘𝑈)⟶𝐸)
22	21	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐶:(Base‘𝑈)⟶𝐸)
23		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅) = ((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)
24	11	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
25	13	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑅 ∈ Ring)
26		eldif 3899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽))
27	26	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
28	27	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
29	10, 23, 19, 24, 25, 28	mvrcl 21970	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → (((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑈))
30	22, 29	ffvelcdmd 7037	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐸)
31	18, 30	ifclda 4502	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))) ∈ 𝐸)
32		selvcllem5.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
33	31, 32	fmptd 7066	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐸)
34	3, 4, 33	elmapdd 8788	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ifcif 4466   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Basecbs 17179  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215  algSccascl 21832   mVar cmvr 21885   mPoly cmpl 21886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891

This theorem is referenced by:  selvcl  43016  selvadd  43021  selvmul  43022