Theorem selvcllem5 42570

Description: The fifth argument passed to evalSub is in the domain (a function 𝐼⟶𝐸). (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvcllem5.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvcllem5.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvcllem5.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvcllem5.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
selvcllem5.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
selvcllem5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvcllem5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvcllem5.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
selvcllem5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem selvcllem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvcllem5.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
2	1	fvexi 6872	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
4		selvcllem5.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		selvcllem5.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 mVar 𝑈) = (𝐽 mVar 𝑈)
7		selvcllem5.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
8	4, 7	ssexd 5279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ V)
10		selvcllem5.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
11	4	difexd 5286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
12		selvcllem5.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	12	crngringd 20155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	10, 11, 13	mplringd 21932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ Ring)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽)
17	5, 6, 1, 9, 15, 16	mvrcl 21901	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥) ∈ 𝐸)
18	17	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥) ∈ 𝐸)
19		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
20		selvcllem5.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
21	5, 1, 19, 20, 8, 14	mplasclf 21972	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(Base‘𝑈)⟶𝐸)
22	21	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐶:(Base‘𝑈)⟶𝐸)
23		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅) = ((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)
24	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
25	13	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑅 ∈ Ring)
26		eldif 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽))
27	26	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
28	27	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
29	10, 23, 19, 24, 25, 28	mvrcl 21901	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → (((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑈))
30	22, 29	ffvelcdmd 7057	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐸)
31	18, 30	ifclda 4524	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))) ∈ 𝐸)
32		selvcllem5.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
33	31, 32	fmptd 7086	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐸)
34	3, 4, 33	elmapdd 8814	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  ifcif 4488   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Basecbs 17179  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143  algSccascl 21761   mVar cmvr 21814   mPoly cmpl 21815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820

This theorem is referenced by:  selvcl  42571  selvadd  42576  selvmul  42577