Theorem selvcllem5 43029

Description: The fifth argument passed to evalSub is in the domain (a function 𝐼⟶𝐸). (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvcllem5.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvcllem5.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvcllem5.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvcllem5.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
selvcllem5.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
selvcllem5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvcllem5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvcllem5.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
selvcllem5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem selvcllem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvcllem5.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
2	1	fvexi 6848	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
4		selvcllem5.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		selvcllem5.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 mVar 𝑈) = (𝐽 mVar 𝑈)
7		selvcllem5.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
8	4, 7	ssexd 5261	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐽 ∈ V)
10		selvcllem5.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
11	4	difexd 5268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
12		selvcllem5.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	12	crngringd 20218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	10, 11, 13	mplringd 22011	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑈 ∈ Ring)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐽)
17	5, 6, 1, 9, 15, 16	mvrcl 21980	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥) ∈ 𝐸)
18	17	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥) ∈ 𝐸)
19		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
20		selvcllem5.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
21	5, 1, 19, 20, 8, 14	mplasclf 22053	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(Base‘𝑈)⟶𝐸)
22	21	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝐶:(Base‘𝑈)⟶𝐸)
23		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅) = ((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)
24	11	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
25	13	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑅 ∈ Ring)
26		eldif 3900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽))
27	26	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
28	27	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
29	10, 23, 19, 24, 25, 28	mvrcl 21980	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → (((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑈))
30	22, 29	ffvelcdmd 7031	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐸)
31	18, 30	ifclda 4503	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))) ∈ 𝐸)
32		selvcllem5.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
33	31, 32	fmptd 7060	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐸)
34	3, 4, 33	elmapdd 8781	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  Basecbs 17170  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206  algSccascl 21842   mVar cmvr 21895   mPoly cmpl 21896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901

This theorem is referenced by:  selvcl  43030  selvadd  43035  selvmul  43036