Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpad 30457
Description: Extend an extended sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpad.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumpad.2 (𝜑𝐵𝑊)
esumpad.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
esumpad (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad
StepHypRef Expression
1 nfv 1995 . . 3 𝑘𝜑
2 nfcv 2913 . . 3 𝑘𝐴
3 nfcv 2913 . . 3 𝑘(𝐵𝐴)
4 esumpad.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 elex 3364 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
7 esumpad.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
8 difexg 4942 . . . 4 (𝐵𝑊 → (𝐵𝐴) ∈ V)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ V)
10 disjdif 4182 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
12 esumpad.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13 difssd 3889 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵)
1413sselda 3752 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑘𝐵)
15 esumpad.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 = 0)
16 0e0iccpnf 12490 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1715, 16syl6eqel 2858 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1814, 17syldan 579 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
191, 2, 3, 6, 9, 11, 12, 18esumsplit 30455 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶))
20 undif2 4186 . . . 4 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
21 esumeq1 30436 . . . 4 ((𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
2220, 21ax-mp 5 . . 3 Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶
2322a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
2414, 15syldan 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
2524ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
261, 25esumeq2d 30439 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)0)
273esum0 30451 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) ∈ V → Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)0 = 0)
289, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)0 = 0)
2926, 28eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
3029oveq2d 6809 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 0))
31 iccssxr 12461 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3212ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
332esumcl 30432 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
344, 32, 33syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3531, 34sseldi 3750 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
36 xaddid1 12277 . . . 4 *𝑘𝐴𝐶 ∈ ℝ* → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
3735, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
3830, 37eqtrd 2805 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
3919, 23, 383eqtr3d 2813 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  c0 4063  (class class class)co 6793  0cc0 10138  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   +𝑒 cxad 12149  [,]cicc 12383  Σ*cesum 30429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-ordt 16369  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-plusf 17449  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-abv 19027  df-lmod 19075  df-scaf 19076  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tmd 22096  df-tgp 22097  df-tsms 22150  df-trg 22183  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nrg 22610  df-nlm 22611  df-ii 22900  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-esum 30430
This theorem is referenced by:  esumpad2  30458  carsggect  30720
  Copyright terms: Public domain W3C validator