Theorem esumpad 34566

Description: Extend an extended sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
esumpad.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumpad	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐵 ∖ 𝐴)
4		esumpad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		esumpad.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8	7	difexd 5296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V)
9		disjdif 4426	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
11		esumpad.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12		difssd 4084	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵)
13	12	sselda 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐵)
14		esumpad.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)
15		0e0iccpnf 13513	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
16	14, 15	eqeltrdi 2868	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17	13, 16	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
18	1, 2, 3, 6, 8, 10, 11, 17	esumsplit 34564	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶))
19		undif2 4431	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
20		esumeq1 34545	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
23	13, 14	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
24	23	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
25	1, 24	esumeq2d 34548	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)0)
26	3	esum0 34560	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)0 = 0)
27	8, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)0 = 0)
28	25, 27	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
29	28	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 0))
30		iccssxr 13484	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
31	11	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
32	2	esumcl 34541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
33	4, 31, 32	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
34	30, 33	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
35		xaddrid 13294	. . . 4 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ* → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
36	34, 35	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
37	29, 36	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
38	18, 22, 37	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  (class class class)co 7414  0cc0 11125  +∞cpnf 11265  ℝ^*cxr 11267   +_𝑒 cxad 13162  [,]cicc 13402  Σ^*cesum 34538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ioc 13404  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-mod 13932  df-seq 14067  df-exp 14127  df-fac 14339  df-bc 14368  df-hash 14396  df-shft 15141  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-limsup 15559  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-ef 16154  df-sin 16156  df-cos 16157  df-pi 16159  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-ordt 17588  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-ps 18655  df-tsr 18656  df-plusf 18730  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-abv 20976  df-lmod 21047  df-scaf 21048  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-tmd 24299  df-tgp 24300  df-tsms 24354  df-trg 24387  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-nm 24809  df-ngp 24810  df-nrg 24812  df-nlm 24813  df-ii 25106  df-cncf 25107  df-limc 26094  df-dv 26095  df-log 26794  df-esum 34539

This theorem is used by:  esumpad2  34567  carsggect  34830