Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpad 32694
Description: Extend an extended sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpad.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumpad.2 (𝜑𝐵𝑊)
esumpad.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
esumpad (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . 3 𝑘𝜑
2 nfcv 2908 . . 3 𝑘𝐴
3 nfcv 2908 . . 3 𝑘(𝐵𝐴)
4 esumpad.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 elex 3466 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
7 esumpad.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
87difexd 5291 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ V)
9 disjdif 4436 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
11 esumpad.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12 difssd 4097 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵)
1312sselda 3949 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑘𝐵)
14 esumpad.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 = 0)
15 0e0iccpnf 13383 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1614, 15eqeltrdi 2846 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
1713, 16syldan 592 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
181, 2, 3, 6, 8, 10, 11, 17esumsplit 32692 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))𝐶 = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶))
19 undif2 4441 . . . 4 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
20 esumeq1 32673 . . . 4 ((𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
2119, 20ax-mp 5 . . 3 Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶
2221a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
2313, 14syldan 592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
2423ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
251, 24esumeq2d 32676 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)0)
263esum0 32688 . . . . . 6 ((𝐵𝐴) ∈ V → Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)0 = 0)
278, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)0 = 0)
2825, 27eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 0)
2928oveq2d 7378 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 0))
30 iccssxr 13354 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3111ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
322esumcl 32669 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
334, 31, 32syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3430, 33sselid 3947 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
35 xaddid1 13167 . . . 4 *𝑘𝐴𝐶 ∈ ℝ* → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
3634, 35syl 17 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
3729, 36eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶) = Σ*𝑘𝐴𝐶)
3818, 22, 373eqtr3d 2785 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  Vcvv 3448  cdif 3912  cun 3913  cin 3914  c0 4287  (class class class)co 7362  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  *cxr 11195   +𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13274  Σ*cesum 32666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-plusf 18503  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-abv 20292  df-lmod 20340  df-scaf 20341  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494  df-trg 23527  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-ii 24256  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-esum 32667
This theorem is referenced by:  esumpad2  32695  carsggect  32958
  Copyright terms: Public domain W3C validator