Theorem esumpad 32163

Description: Extend an extended sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
esumpad.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumpad	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2905	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2905	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐵 ∖ 𝐴)
4		esumpad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		elex 3459	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		esumpad.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8	7	difexd 5268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V)
9		disjdif 4416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
11		esumpad.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12		difssd 4078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵)
13	12	sselda 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐵)
14		esumpad.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)
15		0e0iccpnf 13271	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
16	14, 15	eqeltrdi 2846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17	13, 16	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
18	1, 2, 3, 6, 8, 10, 11, 17	esumsplit 32161	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶))
19		undif2 4421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
20		esumeq1 32142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
23	13, 14	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
24	23	ralrimiva 3140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
25	1, 24	esumeq2d 32145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)0)
26	3	esum0 32157	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)0 = 0)
27	8, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)0 = 0)
28	25, 27	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
29	28	oveq2d 7333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 0))
30		iccssxr 13242	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
31	11	ralrimiva 3140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
32	2	esumcl 32138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
33	4, 31, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
34	30, 33	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
35		xaddid1 13055	. . . 4 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ* → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
37	29, 36	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
38	18, 22, 37	3eqtr3d 2785	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3062  Vcvv 3441   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896  ∅c0 4267  (class class class)co 7317  0cc0 10951  +∞cpnf 11086  ℝ^*cxr 11088   +_𝑒 cxad 12926  [,]cicc 13162  Σ^*cesum 32135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-inf2 9477  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029  ax-addf 11030  ax-mulf 11031

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-se 5564  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-isom 6475  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-of 7575  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-supp 8027  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-2o 8347  df-er 8548  df-map 8667  df-pm 8668  df-ixp 8736  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fsupp 9206  df-fi 9247  df-sup 9278  df-inf 9279  df-oi 9346  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-q 12769  df-rp 12811  df-xneg 12928  df-xadd 12929  df-xmul 12930  df-ioo 13163  df-ioc 13164  df-ico 13165  df-icc 13166  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-fl 13592  df-mod 13670  df-seq 13802  df-exp 13863  df-fac 14068  df-bc 14097  df-hash 14125  df-shft 14857  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-limsup 15259  df-clim 15276  df-rlim 15277  df-sum 15477  df-ef 15856  df-sin 15858  df-cos 15859  df-pi 15861  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-starv 17054  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-ip 17057  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ds 17061  df-unif 17062  df-hom 17063  df-cco 17064  df-rest 17210  df-topn 17211  df-0g 17229  df-gsum 17230  df-topgen 17231  df-pt 17232  df-prds 17235  df-ordt 17289  df-xrs 17290  df-qtop 17295  df-imas 17296  df-xps 17298  df-mre 17372  df-mrc 17373  df-acs 17375  df-ps 18361  df-tsr 18362  df-plusf 18402  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-mhm 18507  df-submnd 18508  df-grp 18656  df-minusg 18657  df-sbg 18658  df-mulg 18777  df-subg 18828  df-cntz 18999  df-cmn 19463  df-abl 19464  df-mgp 19796  df-ur 19813  df-ring 19860  df-cring 19861  df-subrg 20104  df-abv 20160  df-lmod 20208  df-scaf 20209  df-sra 20517  df-rgmod 20518  df-psmet 20672  df-xmet 20673  df-met 20674  df-bl 20675  df-mopn 20676  df-fbas 20677  df-fg 20678  df-cnfld 20681  df-top 22126  df-topon 22143  df-topsp 22165  df-bases 22179  df-cld 22253  df-ntr 22254  df-cls 22255  df-nei 22332  df-lp 22370  df-perf 22371  df-cn 22461  df-cnp 22462  df-haus 22549  df-tx 22796  df-hmeo 22989  df-fil 23080  df-fm 23172  df-flim 23173  df-flf 23174  df-tmd 23306  df-tgp 23307  df-tsms 23361  df-trg 23394  df-xms 23556  df-ms 23557  df-tms 23558  df-nm 23821  df-ngp 23822  df-nrg 23824  df-nlm 23825  df-ii 24123  df-cncf 24124  df-limc 25113  df-dv 25114  df-log 25795  df-esum 32136

This theorem is referenced by:  esumpad2  32164  carsggect  32425