Theorem esumpad 33844

Description: Extend an extended sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
esumpad.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumpad	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1909	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐵 ∖ 𝐴)
4		esumpad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		elex 3481	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		esumpad.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
8	7	difexd 5335	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V)
9		disjdif 4475	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
11		esumpad.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
12		difssd 4131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ⊆ 𝐵)
13	12	sselda 3978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐵)
14		esumpad.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)
15		0e0iccpnf 13485	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
16	14, 15	eqeltrdi 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
17	13, 16	syldan 589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
18	1, 2, 3, 6, 8, 10, 11, 17	esumsplit 33842	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶))
19		undif2 4480	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵)
20		esumeq1 33823	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴))𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
23	13, 14	syldan 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
24	23	ralrimiva 3135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
25	1, 24	esumeq2d 33826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)0)
26	3	esum0 33838	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)0 = 0)
27	8, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)0 = 0)
28	25, 27	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 0)
29	28	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 0))
30		iccssxr 13456	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
31	11	ralrimiva 3135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
32	2	esumcl 33819	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
33	4, 31, 32	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
34	30, 33	sselid 3976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
35		xaddrid 13269	. . . 4 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ* → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 0) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
37	29, 36	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
38	18, 22, 37	3eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  Vcvv 3461   ∖ cdif 3943   ∪ cun 3944   ∩ cin 3945  ∅c0 4324  (class class class)co 7423  0cc0 11154  +∞cpnf 11291  ℝ^*cxr 11293   +_𝑒 cxad 13139  [,]cicc 13376  Σ^*cesum 33816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-inf2 9680  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232  ax-addf 11233  ax-mulf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9402  df-fi 9450  df-sup 9481  df-inf 9482  df-oi 9549  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12980  df-rp 13024  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-ef 16064  df-sin 16066  df-cos 16067  df-pi 16069  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-ordt 17511  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-ps 18586  df-tsr 18587  df-plusf 18627  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-mulg 19057  df-subg 19112  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-subrng 20523  df-subrg 20548  df-abv 20737  df-lmod 20785  df-scaf 20786  df-sra 21098  df-rgmod 21099  df-psmet 21327  df-xmet 21328  df-met 21329  df-bl 21330  df-mopn 21331  df-fbas 21332  df-fg 21333  df-cnfld 21336  df-top 22879  df-topon 22896  df-topsp 22918  df-bases 22932  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-lp 23123  df-perf 23124  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-tmd 24059  df-tgp 24060  df-tsms 24114  df-trg 24147  df-xms 24309  df-ms 24310  df-tms 24311  df-nm 24574  df-ngp 24575  df-nrg 24577  df-nlm 24578  df-ii 24880  df-cncf 24881  df-limc 25878  df-dv 25879  df-log 26575  df-esum 33817

This theorem is referenced by:  esumpad2  33845  carsggect  34108