Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tocycfv 33112
Description: Function value of a permutation cycle built from a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d (𝜑𝐷𝑉)
tocycfv.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
Assertion
Ref Expression
tocycfv (𝜑 → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))

Proof of Theorem tocycfv
Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocycfv.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
2 tocycval.1 . . . 4 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
32tocycval 33111 . . 3 (𝐷𝑉𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ 𝑤))))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ 𝑤))))
5 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → 𝑤 = 𝑊)
65rneqd 5952 . . . . 5 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → ran 𝑤 = ran 𝑊)
76difeq2d 4136 . . . 4 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → (𝐷 ∖ ran 𝑤) = (𝐷 ∖ ran 𝑊))
87reseq2d 6000 . . 3 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
95oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → (𝑤 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
105cnveqd 5889 . . . 4 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → 𝑤 = 𝑊)
119, 10coeq12d 5878 . . 3 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → ((𝑤 cyclShift 1) ∘ 𝑤) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))
128, 11uneq12d 4179 . 2 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ 𝑤)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
13 id 22 . . . 4 (𝑢 = 𝑊𝑢 = 𝑊)
14 dmeq 5917 . . . 4 (𝑢 = 𝑊 → dom 𝑢 = dom 𝑊)
15 eqidd 2736 . . . 4 (𝑢 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
1613, 14, 15f1eq123d 6841 . . 3 (𝑢 = 𝑊 → (𝑢:dom 𝑢1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
17 tocycfv.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
18 tocycfv.1 . . 3 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
1916, 17, 18elrabd 3697 . 2 (𝜑𝑊 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷})
201difexd 5337 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∈ V)
2120resiexd 7236 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V)
22 cshwcl 14833 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
2317, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
24 cnvexg 7947 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊 ∈ V)
2517, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ V)
26 coexg 7952 . . . 4 (((𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷𝑊 ∈ V) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∈ V)
2723, 25, 26syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∈ V)
28 unexg 7762 . . 3 ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∈ V)
2921, 27, 28syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∈ V)
304, 12, 19, 29fvmptd 7023 1 (𝜑 → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cmpt 5231   I cid 5582  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  ccom 5693  1-1wf1 6560  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  Word cword 14549   cyclShift ccsh 14823  toCycctocyc 33109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824  df-tocyc 33110
This theorem is referenced by:  tocycfvres1  33113  tocycfvres2  33114  cycpmfvlem  33115  cycpmfv3  33118  cycpmcl  33119  tocyc01  33121  cycpm2tr  33122  cycpmconjv  33145  cycpmrn  33146
  Copyright terms: Public domain W3C validator