Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycfv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tocycfv 32771
Description: Function value of a permutation cycle built from a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
Assertion
Ref Expression
tocycfv (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
Proof of Theorem tocycfv
Dummy variables 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocycfv.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
2 tocycval.1 . . . 4 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
32tocycval 32770 . . 3 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
5 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ 𝑀 = π‘Š)
65rneqd 5930 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ran 𝑀 = ran π‘Š)
76difeq2d 4117 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ (𝐷 βˆ– ran 𝑀) = (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
87reseq2d 5974 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)))
95oveq1d 7419 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ (𝑀 cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1))
105cnveqd 5868 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ◑𝑀 = β—‘π‘Š)
119, 10coeq12d 5857 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))
128, 11uneq12d 4159 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀)) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
13 id 22 . . . 4 (𝑒 = π‘Š β†’ 𝑒 = π‘Š)
14 dmeq 5896 . . . 4 (𝑒 = π‘Š β†’ dom 𝑒 = dom π‘Š)
15 eqidd 2727 . . . 4 (𝑒 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
1613, 14, 15f1eq123d 6818 . . 3 (𝑒 = π‘Š β†’ (𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
17 tocycfv.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
18 tocycfv.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
1916, 17, 18elrabd 3680 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷})
201difexd 5322 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∈ V)
2120resiexd 7212 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) ∈ V)
22 cshwcl 14751 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
2317, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
24 cnvexg 7911 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ β—‘π‘Š ∈ V)
2517, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š ∈ V)
26 coexg 7916 . . . 4 (((π‘Š cyclShift 1) ∈ Word 𝐷 ∧ β—‘π‘Š ∈ V) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∈ V)
2723, 25, 26syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∈ V)
28 unexg 7732 . . 3 ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) ∈ V ∧ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∈ V) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) ∈ V)
2921, 27, 28syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) ∈ V)
304, 12, 19, 29fvmptd 6998 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ↦ cmpt 5224   I cid 5566  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€“1-1β†’wf1 6533  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110  Word cword 14467   cyclShift ccsh 14741  toCycctocyc 32768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-csh 14742  df-tocyc 32769
This theorem is referenced by:  tocycfvres1  32772  tocycfvres2  32773  cycpmfvlem  32774  cycpmfv3  32777  cycpmcl  32778  tocyc01  32780  cycpm2tr  32781  cycpmconjv  32804  cycpmrn  32805
  Copyright terms: Public domain W3C validator