Theorem tocycfv 33197

Description: Function value of a permutation cycle built from a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycfv	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))

Proof of Theorem tocycfv

Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
3	2	tocycval 33196	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
5		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → 𝑤 = 𝑊)
6	5	rneqd 5887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ran 𝑤 = ran 𝑊)
7	6	difeq2d 4064	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (𝐷 ∖ ran 𝑤) = (𝐷 ∖ ran 𝑊))
8	7	reseq2d 5938	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
9	5	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (𝑤 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
10	5	cnveqd 5824	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ◡𝑤 = ◡𝑊)
11	9, 10	coeq12d 5813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
12	8, 11	uneq12d 4106	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
13		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → 𝑢 = 𝑊)
14		dmeq 5852	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → dom 𝑢 = dom 𝑊)
15		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
16	13, 14, 15	f1eq123d 6766	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → (𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
17		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
18		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
19	16, 17, 18	elrabd 3638	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷})
20	1	difexd 5266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∈ V)
21	20	resiexd 7167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V)
22		cshwcl 14758	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
23	17, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
24		cnvexg 7871	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → ◡𝑊 ∈ V)
25	17, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 ∈ V)
26		coexg 7876	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷 ∧ ◡𝑊 ∈ V) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V)
27	23, 25, 26	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V)
28		unexg 7693	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∈ V)
29	21, 27, 28	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∈ V)
30	4, 12, 19, 29	fvmptd 6950	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ↦ cmpt 5160   I cid 5519  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  1c1 11037  Word cword 14473   cyclShift ccsh 14748  toCycctocyc 33194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-csh 14749  df-tocyc 33195

This theorem is referenced by:  tocycfvres1  33198  tocycfvres2  33199  cycpmfvlem  33200  cycpmfv3  33203  cycpmcl  33204  tocyc01  33206  cycpm2tr  33207  cycpmconjv  33230  cycpmrn  33231