Theorem tocycfv 33746

Description: Function value of a permutation cycle built from a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycfv	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))

Proof of Theorem tocycfv

Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
3	2	tocycval 33745	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢⟶1-1𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢⟶1-1𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → 𝑤 = 𝑊)
6	5	rneqd 5928	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ran 𝑤 = ran 𝑊)
7	6	difeq2d 4066	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (𝐷 ∖ ran 𝑤) = (𝐷 ∖ ran 𝑊))
8	7	reseq2d 5982	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
9	5	oveq1d 7461	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (𝑤 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
10	5	cnveqd 5861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ◡𝑤 = ◡𝑊)
11	9, 10	coeq12d 5849	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
12	8, 11	uneq12d 4171	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
13		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → 𝑢 = 𝑊)
14		dmeq 5893	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → dom 𝑢 = dom 𝑊)
15		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
16	13, 14, 15	f1eq123d 6841	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → (𝑢:dom 𝑢⟶1-1𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷))
17		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
18		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊⟶1-1𝐷)
19	16, 17, 18	elrabd 3650	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢⟶1-1𝐷})
20	1	difexd 5298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∈ V)
21	20	resiexd 7248	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V)
22		cshwcl 14980	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
23	17, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
24		cnvexg 7963	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → ◡𝑊 ∈ V)
25	17, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 ∈ V)
26		coexg 7968	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷 ∧ ◡𝑊 ∈ V) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V)
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V)
28		unexg 7787	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∈ V)
29	21, 27, 28	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∈ V)
30	4, 12, 19, 29	fvmptd 7027	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152   ↦ cmpt 5190   I cid 5550  ^◡ccnv 5655  dom cdm 5656  ran crn 5657   ↾ cres 5658   ∘ ccom 5660  ⟶1-1wf1 6558  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  1c1 11231  Word cword 14688   cyclShift ccsh 14970  toCycctocyc 33743

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-csh 14971  df-tocyc 33744

This theorem is used by:  tocycfvres1  33747  tocycfvres2  33748  cycpmfvlem  33749  cycpmfv3  33752  cycpmcl  33753  tocyc01  33755  cycpm2tr  33756  cycpmconjv  33779  cycpmrn  33780