Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tocycfv 32007
Description: Function value of a permutation cycle built from a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
Assertion
Ref Expression
tocycfv (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))

Proof of Theorem tocycfv
Dummy variables 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocycfv.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
2 tocycval.1 . . . 4 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
32tocycval 32006 . . 3 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
5 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ 𝑀 = π‘Š)
65rneqd 5894 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ran 𝑀 = ran π‘Š)
76difeq2d 4083 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ (𝐷 βˆ– ran 𝑀) = (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
87reseq2d 5938 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)))
95oveq1d 7373 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ (𝑀 cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1))
105cnveqd 5832 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ◑𝑀 = β—‘π‘Š)
119, 10coeq12d 5821 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))
128, 11uneq12d 4125 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀)) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
13 id 22 . . . 4 (𝑒 = π‘Š β†’ 𝑒 = π‘Š)
14 dmeq 5860 . . . 4 (𝑒 = π‘Š β†’ dom 𝑒 = dom π‘Š)
15 eqidd 2734 . . . 4 (𝑒 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
1613, 14, 15f1eq123d 6777 . . 3 (𝑒 = π‘Š β†’ (𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
17 tocycfv.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
18 tocycfv.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
1916, 17, 18elrabd 3648 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷})
201difexd 5287 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∈ V)
2120resiexd 7167 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) ∈ V)
22 cshwcl 14692 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
2317, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
24 cnvexg 7862 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ β—‘π‘Š ∈ V)
2517, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š ∈ V)
26 coexg 7867 . . . 4 (((π‘Š cyclShift 1) ∈ Word 𝐷 ∧ β—‘π‘Š ∈ V) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∈ V)
2723, 25, 26syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∈ V)
28 unexg 7684 . . 3 ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) ∈ V ∧ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∈ V) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) ∈ V)
2921, 27, 28syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) ∈ V)
304, 12, 19, 29fvmptd 6956 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ↦ cmpt 5189   I cid 5531  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€“1-1β†’wf1 6494  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057  Word cword 14408   cyclShift ccsh 14682  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-csh 14683  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  tocycfvres1  32008  tocycfvres2  32009  cycpmfvlem  32010  cycpmfv3  32013  cycpmcl  32014  tocyc01  32016  cycpm2tr  32017  cycpmconjv  32040  cycpmrn  32041
  Copyright terms: Public domain W3C validator