Theorem tocycfv 33652

Description: Function value of a permutation cycle built from a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycfv	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))

Proof of Theorem tocycfv

Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
3	2	tocycval 33651	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → 𝑤 = 𝑊)
6	5	rneqd 5920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ran 𝑤 = ran 𝑊)
7	6	difeq2d 4074	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (𝐷 ∖ ran 𝑤) = (𝐷 ∖ ran 𝑊))
8	7	reseq2d 5970	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
9	5	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (𝑤 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
10	5	cnveqd 5853	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ◡𝑤 = ◡𝑊)
11	9, 10	coeq12d 5842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
12	8, 11	uneq12d 4116	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
13		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → 𝑢 = 𝑊)
14		dmeq 5885	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → dom 𝑢 = dom 𝑊)
15		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
16	13, 14, 15	f1eq123d 6808	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → (𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
17		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
18		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
19	16, 17, 18	elrabd 3647	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷})
20	1	difexd 5293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∈ V)
21	20	resiexd 7214	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V)
22		cshwcl 14929	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
23	17, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
24		cnvexg 7925	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → ◡𝑊 ∈ V)
25	17, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 ∈ V)
26		coexg 7930	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷 ∧ ◡𝑊 ∈ V) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V)
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V)
28		unexg 7749	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∈ V)
29	21, 27, 28	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∈ V)
30	4, 12, 19, 29	fvmptd 6993	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ↦ cmpt 5186   I cid 5545  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  –1-1→wf1 6528  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  1c1 11182  Word cword 14638   cyclShift ccsh 14919  toCycctocyc 33649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-substr 14769  df-pfx 14801  df-csh 14920  df-tocyc 33650

This theorem is used by:  tocycfvres1  33653  tocycfvres2  33654  cycpmfvlem  33655  cycpmfv3  33658  cycpmcl  33659  tocyc01  33661  cycpm2tr  33662  cycpmconjv  33685  cycpmrn  33686