Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycfv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tocycfv 32255
Description: Function value of a permutation cycle built from a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
Assertion
Ref Expression
tocycfv (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
Proof of Theorem tocycfv
Dummy variables 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocycfv.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
2 tocycval.1 . . . 4 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
32tocycval 32254 . . 3 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
5 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ 𝑀 = π‘Š)
65rneqd 5935 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ran 𝑀 = ran π‘Š)
76difeq2d 4121 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ (𝐷 βˆ– ran 𝑀) = (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
87reseq2d 5979 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)))
95oveq1d 7420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ (𝑀 cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1))
105cnveqd 5873 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ◑𝑀 = β—‘π‘Š)
119, 10coeq12d 5862 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))
128, 11uneq12d 4163 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀)) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
13 id 22 . . . 4 (𝑒 = π‘Š β†’ 𝑒 = π‘Š)
14 dmeq 5901 . . . 4 (𝑒 = π‘Š β†’ dom 𝑒 = dom π‘Š)
15 eqidd 2733 . . . 4 (𝑒 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
1613, 14, 15f1eq123d 6822 . . 3 (𝑒 = π‘Š β†’ (𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
17 tocycfv.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
18 tocycfv.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
1916, 17, 18elrabd 3684 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷})
201difexd 5328 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∈ V)
2120resiexd 7214 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) ∈ V)
22 cshwcl 14744 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
2317, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
24 cnvexg 7911 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ β—‘π‘Š ∈ V)
2517, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š ∈ V)
26 coexg 7916 . . . 4 (((π‘Š cyclShift 1) ∈ Word 𝐷 ∧ β—‘π‘Š ∈ V) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∈ V)
2723, 25, 26syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∈ V)
28 unexg 7732 . . 3 ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) ∈ V ∧ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∈ V) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) ∈ V)
2921, 27, 28syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) ∈ V)
304, 12, 19, 29fvmptd 7002 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ↦ cmpt 5230   I cid 5572  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€“1-1β†’wf1 6537  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107  Word cword 14460   cyclShift ccsh 14734  toCycctocyc 32252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-csh 14735  df-tocyc 32253
This theorem is referenced by:  tocycfvres1  32256  tocycfvres2  32257  cycpmfvlem  32258  cycpmfv3  32261  cycpmcl  32262  tocyc01  32264  cycpm2tr  32265  cycpmconjv  32288  cycpmrn  32289
  Copyright terms: Public domain W3C validator