Theorem tocycfv 33337

Description: Function value of a permutation cycle built from a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycfv	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))

Proof of Theorem tocycfv

Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
3	2	tocycval 33336	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
5		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → 𝑤 = 𝑊)
6	5	rneqd 5918	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ran 𝑤 = ran 𝑊)
7	6	difeq2d 4083	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (𝐷 ∖ ran 𝑤) = (𝐷 ∖ ran 𝑊))
8	7	reseq2d 5968	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
9	5	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (𝑤 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
10	5	cnveqd 5851	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ◡𝑤 = ◡𝑊)
11	9, 10	coeq12d 5840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
12	8, 11	uneq12d 4125	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
13		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → 𝑢 = 𝑊)
14		dmeq 5883	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → dom 𝑢 = dom 𝑊)
15		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
16	13, 14, 15	f1eq123d 6802	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → (𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
17		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
18		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
19	16, 17, 18	elrabd 3655	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷})
20	1	difexd 5291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∈ V)
21	20	resiexd 7204	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V)
22		cshwcl 14823	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
23	17, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
24		cnvexg 7909	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → ◡𝑊 ∈ V)
25	17, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 ∈ V)
26		coexg 7914	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷 ∧ ◡𝑊 ∈ V) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V)
27	23, 25, 26	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V)
28		unexg 7730	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∈ V)
29	21, 27, 28	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∈ V)
30	4, 12, 19, 29	fvmptd 6987	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   ↦ cmpt 5185   I cid 5545  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  –1-1→wf1 6522  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089  Word cword 14538   cyclShift ccsh 14813  toCycctocyc 33334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355  df-word 14539  df-concat 14596  df-substr 14667  df-pfx 14697  df-csh 14814  df-tocyc 33335

This theorem is referenced by:  tocycfvres1  33338  tocycfvres2  33339  cycpmfvlem  33340  cycpmfv3  33343  cycpmcl  33344  tocyc01  33346  cycpm2tr  33347  cycpmconjv  33370  cycpmrn  33371