Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycfv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tocycfv 32851
Description: Function value of a permutation cycle built from a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
tocycfv.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
Assertion
Ref Expression
tocycfv (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
Proof of Theorem tocycfv
Dummy variables 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocycfv.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
2 tocycval.1 . . . 4 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
32tocycval 32850 . . 3 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
5 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ 𝑀 = π‘Š)
65rneqd 5944 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ran 𝑀 = ran π‘Š)
76difeq2d 4122 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ (𝐷 βˆ– ran 𝑀) = (𝐷 βˆ– ran π‘Š))
87reseq2d 5989 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)))
95oveq1d 7441 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ (𝑀 cyclShift 1) = (π‘Š cyclShift 1))
105cnveqd 5882 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ◑𝑀 = β—‘π‘Š)
119, 10coeq12d 5871 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀) = ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š))
128, 11uneq12d 4165 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = π‘Š) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀)) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
13 id 22 . . . 4 (𝑒 = π‘Š β†’ 𝑒 = π‘Š)
14 dmeq 5910 . . . 4 (𝑒 = π‘Š β†’ dom 𝑒 = dom π‘Š)
15 eqidd 2729 . . . 4 (𝑒 = π‘Š β†’ 𝐷 = 𝐷)
1613, 14, 15f1eq123d 6836 . . 3 (𝑒 = π‘Š β†’ (𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷 ↔ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷))
17 tocycfv.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Word 𝐷)
18 tocycfv.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š:dom π‘Šβ€“1-1→𝐷)
1916, 17, 18elrabd 3686 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷})
201difexd 5335 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ– ran π‘Š) ∈ V)
2120resiexd 7234 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) ∈ V)
22 cshwcl 14788 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ (π‘Š cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
2317, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
24 cnvexg 7938 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐷 β†’ β—‘π‘Š ∈ V)
2517, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘π‘Š ∈ V)
26 coexg 7943 . . . 4 (((π‘Š cyclShift 1) ∈ Word 𝐷 ∧ β—‘π‘Š ∈ V) β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∈ V)
2723, 25, 26syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∈ V)
28 unexg 7757 . . 3 ((( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) ∈ V ∧ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š) ∈ V) β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) ∈ V)
2921, 27, 28syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)) ∈ V)
304, 12, 19, 29fvmptd 7017 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π‘Š) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran π‘Š)) βˆͺ ((π‘Š cyclShift 1) ∘ β—‘π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ↦ cmpt 5235   I cid 5579  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  β€“1-1β†’wf1 6550  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147  Word cword 14504   cyclShift ccsh 14778  toCycctocyc 32848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-csh 14779  df-tocyc 32849
This theorem is referenced by:  tocycfvres1  32852  tocycfvres2  32853  cycpmfvlem  32854  cycpmfv3  32857  cycpmcl  32858  tocyc01  32860  cycpm2tr  32861  cycpmconjv  32884  cycpmrn  32885
  Copyright terms: Public domain W3C validator