Theorem tocycfv 33102

Description: Function value of a permutation cycle built from a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
tocycfv.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1	⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycfv	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))

Proof of Theorem tocycfv

Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycfv.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
2		tocycval.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
3	2	tocycval 33101	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → 𝑤 = 𝑊)
6	5	rneqd 5963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ran 𝑤 = ran 𝑊)
7	6	difeq2d 4149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (𝐷 ∖ ran 𝑤) = (𝐷 ∖ ran 𝑊))
8	7	reseq2d 6009	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
9	5	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (𝑤 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
10	5	cnveqd 5900	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ◡𝑤 = ◡𝑊)
11	9, 10	coeq12d 5889	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊))
12	8, 11	uneq12d 4192	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝑊) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))
13		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → 𝑢 = 𝑊)
14		dmeq 5928	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → dom 𝑢 = dom 𝑊)
15		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → 𝐷 = 𝐷)
16	13, 14, 15	f1eq123d 6854	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑊 → (𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷 ↔ 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷))
17		tocycfv.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝐷)
18		tocycfv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊:dom 𝑊–1-1→𝐷)
19	16, 17, 18	elrabd 3710	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷})
20	1	difexd 5349	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∈ V)
21	20	resiexd 7253	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V)
22		cshwcl 14846	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
23	17, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
24		cnvexg 7964	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐷 → ◡𝑊 ∈ V)
25	17, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑊 ∈ V)
26		coexg 7969	. . . 4 ⊢ (((𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷 ∧ ◡𝑊 ∈ V) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V)
27	23, 25, 26	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V)
28		unexg 7778	. . 3 ⊢ ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∈ V)
29	21, 27, 28	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)) ∈ V)
30	4, 12, 19, 29	fvmptd 7036	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ ◡𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ↦ cmpt 5249   I cid 5592  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  –1-1→wf1 6570  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185  Word cword 14562   cyclShift ccsh 14836  toCycctocyc 33099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-csh 14837  df-tocyc 33100

This theorem is referenced by:  tocycfvres1  33103  tocycfvres2  33104  cycpmfvlem  33105  cycpmfv3  33108  cycpmcl  33109  tocyc01  33111  cycpm2tr  33112  cycpmconjv  33135  cycpmrn  33136