Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tocycfv 31095
Description: Function value of a permutation cycle built from a word. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
tocycval.1 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
tocycfv.d (𝜑𝐷𝑉)
tocycfv.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
tocycfv.1 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
Assertion
Ref Expression
tocycfv (𝜑 → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))

Proof of Theorem tocycfv
Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocycfv.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
2 tocycval.1 . . . 4 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
32tocycval 31094 . . 3 (𝐷𝑉𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ 𝑤))))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ 𝑤))))
5 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → 𝑤 = 𝑊)
65rneqd 5807 . . . . 5 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → ran 𝑤 = ran 𝑊)
76difeq2d 4037 . . . 4 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → (𝐷 ∖ ran 𝑤) = (𝐷 ∖ ran 𝑊))
87reseq2d 5851 . . 3 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)))
95oveq1d 7228 . . . 4 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → (𝑤 cyclShift 1) = (𝑊 cyclShift 1))
105cnveqd 5744 . . . 4 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → 𝑤 = 𝑊)
119, 10coeq12d 5733 . . 3 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → ((𝑤 cyclShift 1) ∘ 𝑤) = ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊))
128, 11uneq12d 4078 . 2 ((𝜑𝑤 = 𝑊) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ 𝑤)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
13 id 22 . . . 4 (𝑢 = 𝑊𝑢 = 𝑊)
14 dmeq 5772 . . . 4 (𝑢 = 𝑊 → dom 𝑢 = dom 𝑊)
15 eqidd 2738 . . . 4 (𝑢 = 𝑊𝐷 = 𝐷)
1613, 14, 15f1eq123d 6653 . . 3 (𝑢 = 𝑊 → (𝑢:dom 𝑢1-1𝐷𝑊:dom 𝑊1-1𝐷))
17 tocycfv.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝐷)
18 tocycfv.1 . . 3 (𝜑𝑊:dom 𝑊1-1𝐷)
1916, 17, 18elrabd 3604 . 2 (𝜑𝑊 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷})
201difexd 5222 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∖ ran 𝑊) ∈ V)
2120resiexd 7032 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V)
22 cshwcl 14363 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝐷 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
2317, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷)
24 cnvexg 7702 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝐷𝑊 ∈ V)
2517, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ V)
26 coexg 7707 . . . 4 (((𝑊 cyclShift 1) ∈ Word 𝐷𝑊 ∈ V) → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∈ V)
2723, 25, 26syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∈ V)
28 unexg 7534 . . 3 ((( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∈ V ∧ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊) ∈ V) → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∈ V)
2921, 27, 28syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)) ∈ V)
304, 12, 19, 29fvmptd 6825 1 (𝜑 → (𝐶𝑊) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑊)) ∪ ((𝑊 cyclShift 1) ∘ 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  {crab 3065  Vcvv 3408  cdif 3863  cun 3864  cmpt 5135   I cid 5454  ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552  cres 5553  ccom 5555  1-1wf1 6377  cfv 6380  (class class class)co 7213  1c1 10730  Word cword 14069   cyclShift ccsh 14353  toCycctocyc 31092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-csh 14354  df-tocyc 31093
This theorem is referenced by:  tocycfvres1  31096  tocycfvres2  31097  cycpmfvlem  31098  cycpmfv3  31101  cycpmcl  31102  tocyc01  31104  cycpm2tr  31105  cycpmconjv  31128  cycpmrn  31129
  Copyright terms: Public domain W3C validator