Theorem esummono 34312

Description: Extended sum is monotonic. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esummono.f	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esummono.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
esummono.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummono.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
esummono	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐶𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esummono

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esummono.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
2	1	difexd 5284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∖ 𝐴) ∈ V)
3		esummono.f	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴))
5	4	eldifad 3914	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐶)
6		esummono.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7	5, 6	syldan 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8	7	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
9	3, 8	ralrimi 3259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶 ∖ 𝐴)
11	10	esumcl 34288	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∖ 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12	2, 9, 11	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13		elxrge0 13455	. . . . 5 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵))
14	13	simprbi 501	. . . 4 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵)
16		iccssxr 13428	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
17		esummono.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
18	1, 17	ssexd 5277	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
19	17	sselda 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐶)
20	19, 6	syldan 600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
21	20	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
22	3, 21	ralrimi 3259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
23		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
24	23	esumcl 34288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
25	18, 22, 24	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
26	16, 25	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
27	16, 12	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ ℝ*)
28		xraddge02 32920	. . . 4 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵)))
29	26, 27, 28	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵)))
30	15, 29	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵))
31		disjdif 4423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅)
33	3, 23, 10, 18, 2, 32, 20, 7	esumsplit 34311	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴))𝐵 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵))
34		undif 4433	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) = 𝐶)
35	17, 34	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) = 𝐶)
36	3, 35	esumeq1d 34293	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴))𝐵 = Σ*𝑘 ∈ 𝐶𝐵)
37	33, 36	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐶𝐵)
38	30, 37	breqtrd 5123	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  Ⅎwnf 1802   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  0cc0 11067  +∞cpnf 11207  ℝ^*cxr 11209   ≤ cle 11211   +_𝑒 cxad 13106  [,]cicc 13346  Σ^*cesum 34285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146  ax-mulf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-ordt 17522  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-ps 18589  df-tsr 18590  df-plusf 18664  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-cring 20273  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-abv 20846  df-lmod 20917  df-scaf 20918  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-tmd 24120  df-tgp 24121  df-tsms 24175  df-trg 24208  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-nm 24630  df-ngp 24631  df-nrg 24633  df-nlm 24634  df-ii 24927  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26609  df-esum 34286

This theorem is referenced by:  esumpad2  34314  esumrnmpt2  34326  esumfsup  34328  esum2d  34351  esumiun  34352  omssubadd  34558  carsggect  34576