Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummono Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esummono 32426
Description: Extended sum is monotonic. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummono.f 𝑘𝜑
esummono.c (𝜑𝐶𝑉)
esummono.b ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummono.a (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
esummono (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘𝐶𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esummono
StepHypRef Expression
1 esummono.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
21difexd 5284 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ V)
3 esummono.f . . . . . 6 𝑘𝜑
4 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐶𝐴)) → 𝑘 ∈ (𝐶𝐴))
54eldifad 3920 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐶𝐴)) → 𝑘𝐶)
6 esummono.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
75, 6syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐶𝐴)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
87ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
93, 8ralrimi 3238 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑘(𝐶𝐴)
1110esumcl 32402 . . . . 5 (((𝐶𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
122, 9, 11syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13 elxrge0 13302 . . . . 5 *𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵))
1413simprbi 497 . . . 4 *𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵)
1512, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵)
16 iccssxr 13275 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
17 esummono.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐶)
181, 17ssexd 5279 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
1917sselda 3942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐶)
2019, 6syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2120ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
223, 21ralrimi 3238 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
23 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑘𝐴
2423esumcl 32402 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2518, 22, 24syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2616, 25sselid 3940 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
2716, 12sselid 3940 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ ℝ*)
28 xraddge02 31455 . . . 4 ((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵)))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵)))
3015, 29mpd 15 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵))
31 disjdif 4429 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅)
333, 23, 10, 18, 2, 32, 20, 7esumsplit 32425 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐶𝐴))𝐵 = (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵))
34 undif 4439 . . . . 5 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) = 𝐶)
3517, 34sylib 217 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) = 𝐶)
363, 35esumeq1d 32407 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐶𝐴))𝐵 = Σ*𝑘𝐶𝐵)
3733, 36eqtr3d 2779 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵) = Σ*𝑘𝐶𝐵)
3830, 37breqtrd 5129 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘𝐶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wral 3062  Vcvv 3443  cdif 3905  cun 3906  cin 3907  wss 3908  c0 4280   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  *cxr 11121  cle 11123   +𝑒 cxad 12959  [,]cicc 13195  Σ*cesum 32399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062  ax-addf 11063  ax-mulf 11064
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-supp 8060  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-ixp 8769  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fsupp 9239  df-fi 9280  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-ioo 13196  df-ioc 13197  df-ico 13198  df-icc 13199  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-fl 13625  df-mod 13703  df-seq 13835  df-exp 13896  df-fac 14101  df-bc 14130  df-hash 14158  df-shft 14885  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-limsup 15287  df-clim 15304  df-rlim 15305  df-sum 15505  df-ef 15884  df-sin 15886  df-cos 15887  df-pi 15889  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-starv 17082  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-ip 17085  df-tset 17086  df-ple 17087  df-ds 17089  df-unif 17090  df-hom 17091  df-cco 17092  df-rest 17238  df-topn 17239  df-0g 17257  df-gsum 17258  df-topgen 17259  df-pt 17260  df-prds 17263  df-ordt 17317  df-xrs 17318  df-qtop 17323  df-imas 17324  df-xps 17326  df-mre 17400  df-mrc 17401  df-acs 17403  df-ps 18389  df-tsr 18390  df-plusf 18430  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-mhm 18535  df-submnd 18536  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-sbg 18687  df-mulg 18806  df-subg 18857  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-cring 19891  df-subrg 20143  df-abv 20199  df-lmod 20247  df-scaf 20248  df-sra 20556  df-rgmod 20557  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-fbas 20716  df-fg 20717  df-cnfld 20720  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-cld 22292  df-ntr 22293  df-cls 22294  df-nei 22371  df-lp 22409  df-perf 22410  df-cn 22500  df-cnp 22501  df-haus 22588  df-tx 22835  df-hmeo 23028  df-fil 23119  df-fm 23211  df-flim 23212  df-flf 23213  df-tmd 23345  df-tgp 23346  df-tsms 23400  df-trg 23433  df-xms 23595  df-ms 23596  df-tms 23597  df-nm 23860  df-ngp 23861  df-nrg 23863  df-nlm 23864  df-ii 24162  df-cncf 24163  df-limc 25152  df-dv 25153  df-log 25834  df-esum 32400
This theorem is referenced by:  esumpad2  32428  esumrnmpt2  32440  esumfsup  32442  esum2d  32465  esumiun  32466  omssubadd  32673  carsggect  32691
  Copyright terms: Public domain W3C validator