Theorem esummono 31688

Description: Extended sum is monotonic. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esummono.f	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esummono.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
esummono.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummono.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
esummono	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐶𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esummono

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esummono.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
2	1	difexd 5207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∖ 𝐴) ∈ V)
3		esummono.f	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴))
5	4	eldifad 3865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐶)
6		esummono.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7	5, 6	syldan 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8	7	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
9	3, 8	ralrimi 3127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10		nfcv 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶 ∖ 𝐴)
11	10	esumcl 31664	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∖ 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12	2, 9, 11	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13		elxrge0 13010	. . . . 5 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵))
14	13	simprbi 500	. . . 4 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵)
16		iccssxr 12983	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
17		esummono.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
18	1, 17	ssexd 5202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
19	17	sselda 3887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐶)
20	19, 6	syldan 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
21	20	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
22	3, 21	ralrimi 3127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
23		nfcv 2897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
24	23	esumcl 31664	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
25	18, 22, 24	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
26	16, 25	sseldi 3885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
27	16, 12	sseldi 3885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ ℝ*)
28		xraddge02 30753	. . . 4 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵)))
29	26, 27, 28	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵)))
30	15, 29	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵))
31		disjdif 4372	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅)
33	3, 23, 10, 18, 2, 32, 20, 7	esumsplit 31687	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴))𝐵 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵))
34		undif 4382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) = 𝐶)
35	17, 34	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) = 𝐶)
36	3, 35	esumeq1d 31669	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴))𝐵 = Σ*𝑘 ∈ 𝐶𝐵)
37	33, 36	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐶𝐵)
38	30, 37	breqtrd 5065	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  Vcvv 3398   ∖ cdif 3850   ∪ cun 3851   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191  0cc0 10694  +∞cpnf 10829  ℝ^*cxr 10831   ≤ cle 10833   +_𝑒 cxad 12667  [,]cicc 12903  Σ^*cesum 31661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-addf 10773  ax-mulf 10774

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-fi 9005  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-ioo 12904  df-ioc 12905  df-ico 12906  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-mod 13408  df-seq 13540  df-exp 13601  df-fac 13805  df-bc 13834  df-hash 13862  df-shft 14595  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-limsup 14997  df-clim 15014  df-rlim 15015  df-sum 15215  df-ef 15592  df-sin 15594  df-cos 15595  df-pi 15597  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-hom 16773  df-cco 16774  df-rest 16881  df-topn 16882  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-topgen 16902  df-pt 16903  df-prds 16906  df-ordt 16960  df-xrs 16961  df-qtop 16966  df-imas 16967  df-xps 16969  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-ps 18026  df-tsr 18027  df-plusf 18067  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-mhm 18172  df-submnd 18173  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-sbg 18324  df-mulg 18443  df-subg 18494  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-abl 19127  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-cring 19519  df-subrg 19752  df-abv 19807  df-lmod 19855  df-scaf 19856  df-sra 20163  df-rgmod 20164  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-fbas 20314  df-fg 20315  df-cnfld 20318  df-top 21745  df-topon 21762  df-topsp 21784  df-bases 21797  df-cld 21870  df-ntr 21871  df-cls 21872  df-nei 21949  df-lp 21987  df-perf 21988  df-cn 22078  df-cnp 22079  df-haus 22166  df-tx 22413  df-hmeo 22606  df-fil 22697  df-fm 22789  df-flim 22790  df-flf 22791  df-tmd 22923  df-tgp 22924  df-tsms 22978  df-trg 23011  df-xms 23172  df-ms 23173  df-tms 23174  df-nm 23434  df-ngp 23435  df-nrg 23437  df-nlm 23438  df-ii 23728  df-cncf 23729  df-limc 24717  df-dv 24718  df-log 25399  df-esum 31662

This theorem is referenced by:  esumpad2  31690  esumrnmpt2  31702  esumfsup  31704  esum2d  31727  esumiun  31728  omssubadd  31933  carsggect  31951