Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummono Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esummono 32018
Description: Extended sum is monotonic. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummono.f 𝑘𝜑
esummono.c (𝜑𝐶𝑉)
esummono.b ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummono.a (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
esummono (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘𝐶𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esummono
StepHypRef Expression
1 esummono.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
21difexd 5257 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ V)
3 esummono.f . . . . . 6 𝑘𝜑
4 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐶𝐴)) → 𝑘 ∈ (𝐶𝐴))
54eldifad 3904 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐶𝐴)) → 𝑘𝐶)
6 esummono.b . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
75, 6syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐶𝐴)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
87ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐶𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
93, 8ralrimi 3142 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10 nfcv 2909 . . . . . 6 𝑘(𝐶𝐴)
1110esumcl 31994 . . . . 5 (((𝐶𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
122, 9, 11syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13 elxrge0 13188 . . . . 5 *𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵))
1413simprbi 497 . . . 4 *𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵)
1512, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵)
16 iccssxr 13161 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
17 esummono.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐶)
181, 17ssexd 5252 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
1917sselda 3926 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐶)
2019, 6syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2120ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
223, 21ralrimi 3142 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
23 nfcv 2909 . . . . . . 7 𝑘𝐴
2423esumcl 31994 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2518, 22, 24syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2616, 25sselid 3924 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
2716, 12sselid 3924 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ ℝ*)
28 xraddge02 31075 . . . 4 ((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵)))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵)))
3015, 29mpd 15 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵))
31 disjdif 4411 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐶𝐴)) = ∅)
333, 23, 10, 18, 2, 32, 20, 7esumsplit 32017 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐶𝐴))𝐵 = (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵))
34 undif 4421 . . . . 5 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) = 𝐶)
3517, 34sylib 217 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐶𝐴)) = 𝐶)
363, 35esumeq1d 31999 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐶𝐴))𝐵 = Σ*𝑘𝐶𝐵)
3733, 36eqtr3d 2782 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 +𝑒 Σ*𝑘 ∈ (𝐶𝐴)𝐵) = Σ*𝑘𝐶𝐵)
3830, 37breqtrd 5105 1 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘𝐶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wnf 1790  wcel 2110  wral 3066  Vcvv 3431  cdif 3889  cun 3890  cin 3891  wss 3892  c0 4262   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  0cc0 10872  +∞cpnf 11007  *cxr 11009  cle 11011   +𝑒 cxad 12845  [,]cicc 13081  Σ*cesum 31991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ioc 13083  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-ef 15775  df-sin 15777  df-cos 15778  df-pi 15780  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-ordt 17210  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-ps 18282  df-tsr 18283  df-plusf 18323  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-subrg 20020  df-abv 20075  df-lmod 20123  df-scaf 20124  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-tmd 23221  df-tgp 23222  df-tsms 23276  df-trg 23309  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-nm 23736  df-ngp 23737  df-nrg 23739  df-nlm 23740  df-ii 24038  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029  df-log 25710  df-esum 31992
This theorem is referenced by:  esumpad2  32020  esumrnmpt2  32032  esumfsup  32034  esum2d  32057  esumiun  32058  omssubadd  32263  carsggect  32281
  Copyright terms: Public domain W3C validator