Theorem esummono 34736

Description: Extended sum is monotonic. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esummono.f	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esummono.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
esummono.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummono.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
esummono	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐶𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esummono

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esummono.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
2	1	difexd 5293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∖ 𝐴) ∈ V)
3		esummono.f	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
4		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴))
5	4	eldifad 4050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)) → 𝑘 ∈ 𝐶)
6		esummono.b	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7	5, 6	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8	7	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
9	3, 8	ralrimi 3260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶 ∖ 𝐴)
11	10	esumcl 34712	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∖ 𝐴) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12	2, 9, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
13		elxrge0 13595	. . . . 5 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵))
14	13	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵)
15	12, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵)
16		iccssxr 13568	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
17		esummono.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
18	1, 17	ssexd 5286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
19	17	sselda 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝐶)
20	19, 6	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
21	20	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
22	3, 21	ralrimi 3260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
23		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
24	23	esumcl 34712	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
25	18, 22, 24	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
26	16, 25	sselid 3907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
27	16, 12	sselid 3907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ ℝ*)
28		xraddge02 33399	. . . 4 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵)))
29	26, 27, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵)))
30	15, 29	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵))
31		disjdif 4425	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐶 ∖ 𝐴)) = ∅)
33	3, 23, 10, 18, 2, 32, 20, 7	esumsplit 34735	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴))𝐵 = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵))
34		undif 4437	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) = 𝐶)
35	17, 34	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴)) = 𝐶)
36	3, 35	esumeq1d 34717	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐶 ∖ 𝐴))𝐵 = Σ*𝑘 ∈ 𝐶𝐵)
37	33, 36	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 +e Σ*𝑘 ∈ (𝐶 ∖ 𝐴)𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐶𝐵)
38	30, 37	breqtrd 5130	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  ∅c0 4277   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  0cc0 11207  +∞cpnf 11347  ℝ^*cxr 11349   ≤ cle 11351   +_e cxad 13246  [,]cicc 13486  Σ^*cesum 34709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286  ax-mulf 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-ordt 17682  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-ps 18749  df-tsr 18750  df-plusf 18824  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-cring 20471  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-abv 21075  df-lmod 21146  df-scaf 21147  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-tmd 24400  df-tgp 24401  df-tsms 24455  df-trg 24488  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-nm 24910  df-ngp 24911  df-nrg 24913  df-nlm 24914  df-ii 25207  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-log 26893  df-esum 34710

This theorem is used by:  esumpad2  34738  esumrnmpt2  34750  esumfsup  34752  esum2d  34775  esumiun  34776  omssubadd  34982  carsggect  35000