Theorem selvcllem4 42568

Description: The fourth argument passed to evalSub is in the domain (a polynomial in (𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)))). (Contributed by SN, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvcllem4.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcllem4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvcllem4.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvcllem4.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvcllem4.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvcllem4.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvcllem4.s	⊢ 𝑆 = (𝑇 ↾s ran 𝐷)
selvcllem4.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
selvcllem4.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
selvcllem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvcllem4.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvcllem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvcllem4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem selvcllem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvcllem4.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		selvcllem4.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
3		selvcllem4.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		selvcllem4.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
5		selvcllem4.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
6		selvcllem4.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
7		selvcllem4.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
8		selvcllem4.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
9		selvcllem4.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10	1, 3	mplrcl 22032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
12	11	difexd 5337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
13		selvcllem4.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
14	11, 13	ssexd 5330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
15		selvcllem4.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
16	5, 6, 7, 8, 12, 14, 15	selvcllem2 42565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
17	5, 6, 7, 8, 12, 14, 15	selvcllem3 42566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇))
18		ssidd 4019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 ⊆ ran 𝐷)
19		selvcllem4.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑇 ↾s ran 𝐷)
20	19	resrhm2b 20619	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇) ∧ ran 𝐷 ⊆ ran 𝐷) → (𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ↔ 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)))
21	17, 18, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ↔ 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)))
22	16, 21	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
23		rhmghm 20501	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐷 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
24		ghmmhm 19257	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐷 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
25	22, 23, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
26	1, 2, 3, 4, 25, 9	mhmcompl 22400	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ran crn 5690   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274   MndHom cmhm 18807   GrpHom cghm 19243  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  SubRingcsubrg 20586  algSccascl 21890   mPoly cmpl 21944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-assa 21891  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mpl 21949

This theorem is referenced by:  selvcl  42570  selvval2  42571