Theorem selvcllem4 42596

Description: The fourth argument passed to evalSub is in the domain (a polynomial in (𝐼 mPoly (𝐽 mPoly ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)))). (Contributed by SN, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvcllem4.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcllem4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvcllem4.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvcllem4.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvcllem4.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvcllem4.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvcllem4.s	⊢ 𝑆 = (𝑇 ↾s ran 𝐷)
selvcllem4.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
selvcllem4.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
selvcllem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvcllem4.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvcllem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvcllem4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem selvcllem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvcllem4.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		selvcllem4.w	. 2 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
3		selvcllem4.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		selvcllem4.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
5		selvcllem4.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
6		selvcllem4.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
7		selvcllem4.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
8		selvcllem4.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
9		selvcllem4.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10	1, 3	mplrcl 22015	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
12	11	difexd 5330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
13		selvcllem4.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
14	11, 13	ssexd 5323	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
15		selvcllem4.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
16	5, 6, 7, 8, 12, 14, 15	selvcllem2 42593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
17	5, 6, 7, 8, 12, 14, 15	selvcllem3 42594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇))
18		ssidd 4006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 ⊆ ran 𝐷)
19		selvcllem4.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑇 ↾s ran 𝐷)
20	19	resrhm2b 20603	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇) ∧ ran 𝐷 ⊆ ran 𝐷) → (𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ↔ 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)))
21	17, 18, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) ↔ 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆)))
22	16, 21	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
23		rhmghm 20485	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐷 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
24		ghmmhm 19245	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐷 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
25	22, 23, 24	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
26	1, 2, 3, 4, 25, 9	mhmcompl 22385	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  ran crn 5685   ∘ ccom 5688  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275   MndHom cmhm 18795   GrpHom cghm 19231  CRingccrg 20232   RingHom crh 20470  SubRingcsubrg 20570  algSccascl 21873   mPoly cmpl 21927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-assa 21874  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mpl 21932

This theorem is referenced by:  selvcl  42598  selvval2  42599