Theorem selvval2 22443

Description: Value of the "variable selection" function. Convert selvval 22422 into a simpler form by using evlsevl 22434. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvval2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvval2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvval2.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvval2.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvval2.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvval2.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvval2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvval2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvval2	⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝐽   𝑥,𝑈   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem selvval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvval2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		selvval2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		selvval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
4		selvval2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
5		selvval2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
6		selvval2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
7		selvval2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
8		selvval2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	selvval 22422	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran 𝐷)‘(𝐷 ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran 𝐷) = ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran 𝐷)
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝐼 eval 𝑇) = (𝐼 eval 𝑇)
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran 𝐷)) = (𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran 𝐷))
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑇 ↾s ran 𝐷) = (𝑇 ↾s ran 𝐷)
14		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran 𝐷))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran 𝐷)))
15	1, 2	mplrcl 22294	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
16	8, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
17	16, 7	ssexd 5286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
18	16	difexd 5293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
19		selvval2.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
20	3, 18, 19	mplcrngd 22324	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
21	4, 17, 20	mplcrngd 22324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
22	3, 4, 5, 6, 18, 17, 19	selvcllem3 22438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 12, 14, 19, 7, 8	selvcllem4 22440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran 𝐷))))
24	10, 11, 12, 13, 14, 16, 21, 22, 23	evlsevl 22434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran 𝐷)‘(𝐷 ∘ 𝐹)) = ((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ 𝐹)))
25	24	fveq1d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran 𝐷)‘(𝐷 ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
26	9, 25	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380   ↾_s cress 17401  CRingccrg 20453  algSccascl 22153   mVar cmvr 22206   mPoly cmpl 22207   evalSub ces 22374   eval cevl 22375   selectVars cslv 22418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-srg 20406  df-ring 20454  df-cring 20455  df-rhm 20695  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-assa 22154  df-asp 22155  df-ascl 22156  df-psr 22210  df-mvr 22211  df-mpl 22212  df-evls 22376  df-evl 22377  df-selv 22419

This theorem is used by:  selvvvval  22444  selvadd  22445  selvmul  22446  selvascl  34142