Theorem selvval2 42623

Description: Value of the "variable selection" function. Convert selvval 22051 into a simpler form by using evlsevl 42610. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvval2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvval2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvval2.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvval2.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvval2.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvval2.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvval2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvval2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvval2	⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝐽   𝑥,𝑈   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem selvval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvval2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		selvval2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		selvval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
4		selvval2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
5		selvval2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
6		selvval2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
7		selvval2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
8		selvval2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	selvval 22051	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran 𝐷)‘(𝐷 ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran 𝐷) = ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran 𝐷)
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝐼 eval 𝑇) = (𝐼 eval 𝑇)
12		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran 𝐷)) = (𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran 𝐷))
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑇 ↾s ran 𝐷) = (𝑇 ↾s ran 𝐷)
14		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran 𝐷))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran 𝐷)))
15	1, 2	mplrcl 21932	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
16	8, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
17	16, 7	ssexd 5262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
18	16	difexd 5269	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
19		selvval2.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
20	3, 18, 19	mplcrngd 42586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
21	4, 17, 20	mplcrngd 42586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
22	3, 4, 5, 6, 18, 17, 19	selvcllem3 42618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐷 ∈ (SubRing‘𝑇))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 12, 14, 19, 7, 8	selvcllem4 42620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran 𝐷))))
24	10, 11, 12, 13, 14, 16, 21, 22, 23	evlsevl 42610	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran 𝐷)‘(𝐷 ∘ 𝐹)) = ((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ 𝐹)))
25	24	fveq1d 6824	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran 𝐷)‘(𝐷 ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
26	9, 25	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(𝐷 ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), (𝐶‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ifcif 4475   ↦ cmpt 5172  ran crn 5617   ∘ ccom 5620  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  CRingccrg 20153  algSccascl 21790   mVar cmvr 21843   mPoly cmpl 21844   evalSub ces 22008   eval cevl 22009   selectVars cslv 22044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-srg 20106  df-ring 20154  df-cring 20155  df-rhm 20391  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-lsp 20906  df-assa 21791  df-asp 21792  df-ascl 21793  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-evls 22010  df-evl 22011  df-selv 22048

This theorem is referenced by:  selvvvval  42624  selvadd  42627  selvmul  42628