Theorem oaun2 43343

Description: Ordinal addition as a union of classes. (Contributed by RP, 13-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oaun2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) = ∪ {{𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = 𝑎}, {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝐴 +o 𝑏)}})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦

Proof of Theorem oaun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oacl 8591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)
2	1	difexd 5349	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴) ∈ V)
3		uniprg 4947	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴) ∈ V) → ∪ {𝐴, ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴)} = (𝐴 ∪ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴)))
4	2, 3	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ∪ {𝐴, ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴)} = (𝐴 ∪ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴)))
5		rp-abid 43340	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = 𝑎}
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = 𝑎})
7		oadif1 43342	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝐴 +o 𝑏)})
8	6, 7	preq12d 4766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → {𝐴, ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴)} = {{𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = 𝑎}, {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝐴 +o 𝑏)}})
9	8	unieqd 4944	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ∪ {𝐴, ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴)} = ∪ {{𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = 𝑎}, {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝐴 +o 𝑏)}})
10		undif2 4500	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴)) = (𝐴 ∪ (𝐴 +o 𝐵))
11		oaword1 8608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
12		ssequn1 4209	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ↔ (𝐴 ∪ (𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
13	11, 12	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∪ (𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
14	10, 13	eqtrid 2792	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∪ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴)) = (𝐴 +o 𝐵))
15	4, 9, 14	3eqtr3rd 2789	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) = ∪ {{𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑥 = 𝑎}, {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝐴 +o 𝑏)}})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  {cpr 4650  ∪ cuni 4931  Oncon0 6395  (class class class)co 7448   +_o coa 8519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-oadd 8526

This theorem is referenced by: (None)