Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ss 43640
Description: Change the index set to a subset in a sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0ss.kph 𝑘𝜑
sge0ss.b (𝜑𝐵𝑉)
sge0ss.a (𝜑𝐴𝐵)
sge0ss.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0ss.c0 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
sge0ss (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0ss
StepHypRef Expression
1 sge0ss.kph . . . 4 𝑘𝜑
2 sge0ss.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
3 sge0ss.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
4 ssexg 5225 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
52, 3, 4syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
63difexd 5231 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ V)
7 disjdif 4395 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
9 sge0ss.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10 sge0ss.c0 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
11 0e0iccpnf 13060 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]+∞)
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
1310, 12eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
141, 5, 6, 8, 9, 13sge0splitmpt 43639 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))))
1514eqcomd 2744 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶)))
161, 10mpteq2da 5158 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
1716fveq2d 6730 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0)))
181, 6sge0z 43603 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0)) = 0)
1917, 18eqtrd 2778 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶)) = 0)
2019oveq2d 7238 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 0))
21 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
221, 9, 21fmptdf 6943 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
235, 22sge0xrcl 43613 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ*)
24 xaddid1 12844 . . . 4 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ* → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
26 eqidd 2739 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
2720, 25, 263eqtrrd 2783 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))))
28 undif 4405 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
292, 28sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3029eqcomd 2744 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
3130mpteq1d 5153 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶))
3231fveq2d 6730 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶)))
3315, 27, 323eqtr4d 2788 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wnf 1791  wcel 2111  Vcvv 3415  cdif 3872  cun 3873  cin 3874  wss 3875  c0 4246  cmpt 5144  cfv 6389  (class class class)co 7222  0cc0 10742  +∞cpnf 10877  *cxr 10879   +𝑒 cxad 12715  [,]cicc 12951  Σ^csumge0 43590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5188  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532  ax-inf2 9269  ax-cnex 10798  ax-resscn 10799  ax-1cn 10800  ax-icn 10801  ax-addcl 10802  ax-addrcl 10803  ax-mulcl 10804  ax-mulrcl 10805  ax-mulcom 10806  ax-addass 10807  ax-mulass 10808  ax-distr 10809  ax-i2m1 10810  ax-1ne0 10811  ax-1rid 10812  ax-rnegex 10813  ax-rrecex 10814  ax-cnre 10815  ax-pre-lttri 10816  ax-pre-lttrn 10817  ax-pre-ltadd 10818  ax-pre-mulgt0 10819  ax-pre-sup 10820
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-pss 3894  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4829  df-int 4869  df-iun 4915  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-tr 5171  df-id 5464  df-eprel 5469  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5518  df-se 5519  df-we 5520  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-pred 6169  df-ord 6225  df-on 6226  df-lim 6227  df-suc 6228  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-isom 6398  df-riota 7179  df-ov 7225  df-oprab 7226  df-mpo 7227  df-om 7654  df-1st 7770  df-2nd 7771  df-wrecs 8056  df-recs 8117  df-rdg 8155  df-1o 8211  df-er 8400  df-en 8636  df-dom 8637  df-sdom 8638  df-fin 8639  df-sup 9071  df-oi 9139  df-card 9568  df-pnf 10882  df-mnf 10883  df-xr 10884  df-ltxr 10885  df-le 10886  df-sub 11077  df-neg 11078  df-div 11503  df-nn 11844  df-2 11906  df-3 11907  df-n0 12104  df-z 12190  df-uz 12452  df-rp 12600  df-xadd 12718  df-ico 12954  df-icc 12955  df-fz 13109  df-fzo 13252  df-seq 13588  df-exp 13649  df-hash 13910  df-cj 14675  df-re 14676  df-im 14677  df-sqrt 14811  df-abs 14812  df-clim 15062  df-sum 15263  df-sumge0 43591
This theorem is referenced by:  sge0fodjrnlem  43644  meadjiunlem  43693  ovnhoilem1  43829  ovnsubadd2lem  43873
  Copyright terms: Public domain W3C validator