Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ss 45829
Description: Change the index set to a subset in a sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0ss.kph 𝑘𝜑
sge0ss.b (𝜑𝐵𝑉)
sge0ss.a (𝜑𝐴𝐵)
sge0ss.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0ss.c0 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
sge0ss (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0ss
StepHypRef Expression
1 sge0ss.kph . . . 4 𝑘𝜑
2 sge0ss.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
3 sge0ss.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
4 ssexg 5327 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
52, 3, 4syl2anc 582 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
63difexd 5335 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ V)
7 disjdif 4475 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
9 sge0ss.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10 sge0ss.c0 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
11 0e0iccpnf 13476 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]+∞)
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
1310, 12eqeltrd 2829 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
141, 5, 6, 8, 9, 13sge0splitmpt 45828 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))))
1514eqcomd 2734 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶)))
161, 10mpteq2da 5250 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
1716fveq2d 6906 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0)))
181, 6sge0z 45792 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0)) = 0)
1917, 18eqtrd 2768 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶)) = 0)
2019oveq2d 7442 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 0))
21 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
221, 9, 21fmptdf 7132 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
235, 22sge0xrcl 45802 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ*)
24 xaddrid 13260 . . . 4 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ* → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
26 eqidd 2729 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
2720, 25, 263eqtrrd 2773 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))))
28 undif 4485 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
292, 28sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3029eqcomd 2734 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
3130mpteq1d 5247 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶))
3231fveq2d 6906 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶)))
3315, 27, 323eqtr4d 2778 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  Vcvv 3473  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4326  cmpt 5235  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  *cxr 11285   +𝑒 cxad 13130  [,]cicc 13367  Σ^csumge0 45779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-sumge0 45780
This theorem is referenced by:  sge0fodjrnlem  45833  meadjiunlem  45882  ovnhoilem1  46018  ovnsubadd2lem  46062
  Copyright terms: Public domain W3C validator