Theorem sge0ss 46432

Description: Change the index set to a subset in a sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ss.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0ss.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
sge0ss.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sge0ss.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0ss.c0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
sge0ss	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0ss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ss.kph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0ss.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		sge0ss.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ssexg 5322	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6	3	difexd 5330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V)
7		disjdif 4471	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
9		sge0ss.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10		sge0ss.c0	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
11		0e0iccpnf 13500	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
13	10, 12	eqeltrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14	1, 5, 6, 8, 9, 13	sge0splitmpt 46431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))))
15	14	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶)))
16	1, 10	mpteq2da 5239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
17	16	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)))
18	1, 6	sge0z 46395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶)) = 0)
20	19	oveq2d 7448	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 0))
21		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
22	1, 9, 21	fmptdf 7136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
23	5, 22	sge0xrcl 46405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ*)
24		xaddrid 13284	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ* → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
26		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
27	20, 25, 26	3eqtrrd 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))))
28		undif 4481	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
29	2, 28	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
30	29	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)))
31	30	mpteq1d 5236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶))
32	31	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶)))
33	15, 27, 32	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947   ∪ cun 3948   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  +∞cpnf 11293  ℝ^*cxr 11295   +_𝑒 cxad 13153  [,]cicc 13391  Σ^{^}csumge0 46382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-sumge0 46383

This theorem is referenced by:  sge0fodjrnlem  46436  meadjiunlem  46485  ovnhoilem1  46621  ovnsubadd2lem  46665