Theorem sge0ss 46840

Description: Change the index set to a subset in a sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ss.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0ss.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
sge0ss.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sge0ss.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0ss.c0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
sge0ss	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0ss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ss.kph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0ss.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		sge0ss.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ssexg 5264	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6	3	difexd 5272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V)
7		disjdif 4412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
9		sge0ss.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10		sge0ss.c0	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
11		0e0iccpnf 13412	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
13	10, 12	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14	1, 5, 6, 8, 9, 13	sge0splitmpt 46839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))))
15	14	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶)))
16	1, 10	mpteq2da 5177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
17	16	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)))
18	1, 6	sge0z 46803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶)) = 0)
20	19	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 0))
21		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
22	1, 9, 21	fmptdf 7069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
23	5, 22	sge0xrcl 46813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ*)
24		xaddrid 13193	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ* → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
26		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
27	20, 25, 26	3eqtrrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))))
28		undif 4422	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
29	2, 28	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
30	29	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)))
31	30	mpteq1d 5175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶))
32	31	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶)))
33	15, 27, 32	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   +_𝑒 cxad 13061  [,]cicc 13301  Σ^{^}csumge0 46790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-sumge0 46791

This theorem is referenced by:  sge0fodjrnlem  46844  meadjiunlem  46893  ovnhoilem1  47029  ovnsubadd2lem  47073