Theorem sge0ss 41139

Description: Change the index set to a subset in a sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ss.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0ss.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
sge0ss.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sge0ss.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0ss.c0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
sge0ss	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0ss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ss.kph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0ss.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		sge0ss.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ssexg 4938	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6		difexg 4942	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V)
8		disjdif 4182	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
10		sge0ss.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
11		sge0ss.c0	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
12		0e0iccpnf 12483	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
14	11, 13	eqeltrd 2850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
15	1, 5, 7, 9, 10, 14	sge0splitmpt 41138	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))))
16	15	eqcomd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶)))
17	1, 11	mpteq2da 4877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
18	17	fveq2d 6334	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)))
19	1, 7	sge0z 41102	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)) = 0)
20	18, 19	eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶)) = 0)
21	20	oveq2d 6807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 0))
22		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
23	1, 10, 22	fmptdf 6527	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
24	5, 23	sge0xrcl 41112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ*)
25		xaddid1 12270	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ* → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
27		eqidd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
28	21, 26, 27	3eqtrrd 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))))
29		undif 4191	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
30	2, 29	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
31	30	eqcomd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)))
32	31	mpteq1d 4872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶))
33	32	fveq2d 6334	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶)))
34	16, 28, 33	3eqtr4d 2815	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631  Ⅎwnf 1856   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720   ∪ cun 3721   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6029  (class class class)co 6791  0cc0 10136  +∞cpnf 10271  ℝ^*cxr 10273   +_𝑒 cxad 12142  [,]cicc 12376  Σ^{^}csumge0 41089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-xadd 12145  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618  df-sumge0 41090

This theorem is referenced by:  sge0fodjrnlem  41143  meadjiunlem  41192  ovnhoilem1  41328  ovnsubadd2lem  41372