Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0ss 46432
Description: Change the index set to a subset in a sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0ss.kph 𝑘𝜑
sge0ss.b (𝜑𝐵𝑉)
sge0ss.a (𝜑𝐴𝐵)
sge0ss.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0ss.c0 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
sge0ss (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0ss
StepHypRef Expression
1 sge0ss.kph . . . 4 𝑘𝜑
2 sge0ss.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
3 sge0ss.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
4 ssexg 5322 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
52, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
63difexd 5330 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ V)
7 disjdif 4471 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
9 sge0ss.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10 sge0ss.c0 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
11 0e0iccpnf 13500 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]+∞)
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
1310, 12eqeltrd 2840 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
141, 5, 6, 8, 9, 13sge0splitmpt 46431 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))))
1514eqcomd 2742 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶)))
161, 10mpteq2da 5239 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0))
1716fveq2d 6909 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0)))
181, 6sge0z 46395 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 0)) = 0)
1917, 18eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶)) = 0)
2019oveq2d 7448 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 0))
21 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
221, 9, 21fmptdf 7136 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
235, 22sge0xrcl 46405 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ*)
24 xaddrid 13284 . . . 4 ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ* → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
26 eqidd 2737 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)))
2720, 25, 263eqtrrd 2781 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↦ 𝐶))))
28 undif 4481 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
292, 28sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵)
3029eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)))
3130mpteq1d 5236 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶))
3231fveq2d 6909 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) ↦ 𝐶)))
3315, 27, 323eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = (Σ^‘(𝑘𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wnf 1782  wcel 2107  Vcvv 3479  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  +∞cpnf 11293  *cxr 11295   +𝑒 cxad 13153  [,]cicc 13391  Σ^csumge0 46382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-sumge0 46383
This theorem is referenced by:  sge0fodjrnlem  46436  meadjiunlem  46485  ovnhoilem1  46621  ovnsubadd2lem  46665
  Copyright terms: Public domain W3C validator