Theorem sge0ss 46855

Description: Change the index set to a subset in a sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ss.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0ss.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
sge0ss.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sge0ss.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0ss.c0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
sge0ss	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0ss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ss.kph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0ss.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		sge0ss.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		ssexg 5251	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
6	3	difexd 5259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝐴) ∈ V)
7		disjdif 4400	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐴)) = ∅)
9		sge0ss.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
10		sge0ss.c0	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 0)
11		0e0iccpnf 13403	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
13	10, 12	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14	1, 5, 6, 8, 9, 13	sge0splitmpt 46854	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))))
15	14	eqcomd 2745	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶)))
16	1, 10	mpteq2da 5164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0))
17	16	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)))
18	1, 6	sge0z 46818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 0)) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶)) = 0)
20	19	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 0))
21		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
22	1, 9, 21	fmptdf 7058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
23	5, 22	sge0xrcl 46828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ*)
24		xaddrid 13184	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ* → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
25	23, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 0) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
26		eqidd 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))
27	20, 25, 26	3eqtrrd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↦ 𝐶))))
28		undif 4410	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
29	2, 28	sylib 219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐵)
30	29	eqcomd 2745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)))
31	30	mpteq1d 5162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶))
32	31	fveq2d 6831	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↦ 𝐶)))
33	15, 27, 32	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   +_𝑒 cxad 13052  [,]cicc 13292  Σ^{^}csumge0 46805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-sumge0 46806

This theorem is referenced by:  sge0fodjrnlem  46859  meadjiunlem  46908  ovnhoilem1  47044  ovnsubadd2lem  47088