Theorem gsummptres2 33614

Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptres2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptres2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptres2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptres2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptres2.0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆)) → 𝑌 = 0 )
gsummptres2.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
gsummptres2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptres2.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gsummptres2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem gsummptres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptres2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptres2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsummptres2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptres2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsummptres2.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	5	mptexd 7230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∈ V)
8		funmpt 6578	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))
10	2	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
12		gsummptres2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
13		gsummptres2.0	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆)) → 𝑌 = 0 )
14	13, 5	suppss2 8217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝑆)
15		suppssfifsupp 9372	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
16	7, 9, 11, 12, 14, 15	syl32anc 1405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
17		disjdif 4426	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ (𝐴 ∖ 𝑆)) = ∅
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝐴 ∖ 𝑆)) = ∅)
19		gsummptres2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐴)
20		undif 4438	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)) = 𝐴)
21	19, 20	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)) = 𝐴)
22	21	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 18, 22	gsumsplit2 20143	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌))))
24	13	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 ))
25	24	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )))
26	4	cmnmndd 20018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27	5	difexd 5293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑆) ∈ V)
28	2	gsumz 19032	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∖ 𝑆) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )) = 0 )
29	26, 27, 28	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )) = 0 )
30	25, 29	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌)) = 0 )
31	30	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ))
32	6	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑌 ∈ 𝐵)
33		ssralv 4000	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑌 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑌 ∈ 𝐵))
34	19, 32, 33	sylc 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑌 ∈ 𝐵)
35	1, 4, 12, 34	gsummptcl 20181	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵)
36	1, 3, 2	mndrid 18945	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))
37	26, 35, 36	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))
38	23, 31, 37	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923  CMndccmn 19994

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-cntz 19531  df-cmn 19996

This theorem is used by:  gsumfs2d  33622  elrgspnlem4  33806  elrgspnsubrunlem1  33808  elrgspnsubrunlem2  33809  elrspunidl  33978  ply1coedeg  34121  gsummoncoe1fzo  34129  fldextrspunlsp  34306  extdgfialglem2  34325