Theorem gsummptres2 33313

Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptres2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptres2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptres2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptres2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptres2.0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆)) → 𝑌 = 0 )
gsummptres2.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
gsummptres2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptres2.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gsummptres2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem gsummptres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptres2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptres2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsummptres2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptres2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsummptres2.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	5	mptexd 7223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∈ V)
8		funmpt 6575	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))
10	2	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
12		gsummptres2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
13		gsummptres2.0	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆)) → 𝑌 = 0 )
14	13, 5	suppss2 8195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝑆)
15		suppssfifsupp 9339	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
16	7, 9, 11, 12, 14, 15	syl32anc 1403	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
17		disjdif 4438	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ (𝐴 ∖ 𝑆)) = ∅
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝐴 ∖ 𝑆)) = ∅)
19		gsummptres2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐴)
20		undif 4448	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)) = 𝐴)
21	19, 20	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)) = 𝐴)
22	21	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 18, 22	gsumsplit2 19998	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌))))
24	13	mpteq2dva 5208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 ))
25	24	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )))
26	4	cmnmndd 19873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27	5	difexd 5302	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑆) ∈ V)
28	2	gsumz 18894	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∖ 𝑆) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )) = 0 )
29	26, 27, 28	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )) = 0 )
30	25, 29	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌)) = 0 )
31	30	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ))
32	6	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑌 ∈ 𝐵)
33		ssralv 4014	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑌 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑌 ∈ 𝐵))
34	19, 32, 33	sylc 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑌 ∈ 𝐵)
35	1, 4, 12, 34	gsummptcl 20036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵)
36	1, 3, 2	mndrid 18812	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))
37	26, 35, 36	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))
38	23, 31, 37	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   supp csupp 8155  Fincfn 8942   finSupp cfsupp 9320  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  Mndcmnd 18791  CMndccmn 19849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-cntz 19386  df-cmn 19851

This theorem is referenced by:  gsumfs2d  33321  elrgspnlem4  33505  elrgspnsubrunlem1  33507  elrgspnsubrunlem2  33508  elrspunidl  33679  ply1coedeg  33823  gsummoncoe1fzo  33831  fldextrspunlsp  34008  extdgfialglem2  34027