Theorem gsummptres2 32475

Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptres2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptres2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptres2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptres2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptres2.0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆)) → 𝑌 = 0 )
gsummptres2.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
gsummptres2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptres2.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gsummptres2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem gsummptres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptres2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptres2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsummptres2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptres2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsummptres2.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	5	mptexd 7227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∈ V)
8		funmpt 6585	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))
10	2	fvexi 6904	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
12		gsummptres2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
13		gsummptres2.0	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆)) → 𝑌 = 0 )
14	13, 5	suppss2 8187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝑆)
15		suppssfifsupp 9380	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
16	7, 9, 11, 12, 14, 15	syl32anc 1376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
17		disjdif 4470	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ (𝐴 ∖ 𝑆)) = ∅
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝐴 ∖ 𝑆)) = ∅)
19		gsummptres2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐴)
20		undif 4480	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)) = 𝐴)
21	19, 20	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)) = 𝐴)
22	21	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 18, 22	gsumsplit2 19838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌))))
24	13	mpteq2dva 5247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 ))
25	24	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )))
26	4	cmnmndd 19713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27	5	difexd 5328	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑆) ∈ V)
28	2	gsumz 18753	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∖ 𝑆) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )) = 0 )
29	26, 27, 28	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )) = 0 )
30	25, 29	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌)) = 0 )
31	30	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ))
32	6	ralrimiva 3144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑌 ∈ 𝐵)
33		ssralv 4049	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑌 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑌 ∈ 𝐵))
34	19, 32, 33	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑌 ∈ 𝐵)
35	1, 4, 12, 34	gsummptcl 19876	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵)
36	1, 3, 2	mndrid 18680	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))
37	26, 35, 36	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))
38	23, 31, 37	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  Fun wfun 6536  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   supp csupp 8148  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  0_gc0g 17389   Σ_g cgsu 17390  Mndcmnd 18659  CMndccmn 19689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-cntz 19222  df-cmn 19691

This theorem is referenced by:  elrspunidl  32820  gsummoncoe1fzo  32943