Theorem gsummptres2 33114

Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptres2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptres2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptres2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptres2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptres2.0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆)) → 𝑌 = 0 )
gsummptres2.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
gsummptres2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptres2.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gsummptres2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem gsummptres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptres2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptres2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsummptres2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptres2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsummptres2.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	5	mptexd 7179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∈ V)
8		funmpt 6536	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))
10	2	fvexi 6854	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
12		gsummptres2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
13		gsummptres2.0	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆)) → 𝑌 = 0 )
14	13, 5	suppss2 8150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝑆)
15		suppssfifsupp 9293	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
16	7, 9, 11, 12, 14, 15	syl32anc 1381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
17		disjdif 4412	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ (𝐴 ∖ 𝑆)) = ∅
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝐴 ∖ 𝑆)) = ∅)
19		gsummptres2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐴)
20		undif 4422	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)) = 𝐴)
21	19, 20	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)) = 𝐴)
22	21	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 18, 22	gsumsplit2 19904	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌))))
24	13	mpteq2dva 5178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 ))
25	24	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )))
26	4	cmnmndd 19779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27	5	difexd 5272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑆) ∈ V)
28	2	gsumz 18804	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∖ 𝑆) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )) = 0 )
29	26, 27, 28	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )) = 0 )
30	25, 29	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌)) = 0 )
31	30	oveq2d 7383	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ))
32	6	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑌 ∈ 𝐵)
33		ssralv 3990	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑌 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑌 ∈ 𝐵))
34	19, 32, 33	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑌 ∈ 𝐵)
35	1, 4, 12, 34	gsummptcl 19942	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵)
36	1, 3, 2	mndrid 18723	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))
37	26, 35, 36	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))
38	23, 31, 37	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  Fun wfun 6492  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   supp csupp 8110  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18702  CMndccmn 19755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-cntz 19292  df-cmn 19757

This theorem is referenced by:  gsumfs2d  33122  elrgspnlem4  33306  elrgspnsubrunlem1  33308  elrgspnsubrunlem2  33309  elrspunidl  33488  ply1coedeg  33649  gsummoncoe1fzo  33657  fldextrspunlsp  33818  extdgfialglem2  33837