Theorem gsummptres2 33033

Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptres2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptres2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptres2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptres2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsummptres2.0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆)) → 𝑌 = 0 )
gsummptres2.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
gsummptres2.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsummptres2.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gsummptres2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem gsummptres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptres2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptres2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gsummptres2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsummptres2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsummptres2.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	5	mptexd 7158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∈ V)
8		funmpt 6519	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌))
10	2	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
12		gsummptres2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
13		gsummptres2.0	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆)) → 𝑌 = 0 )
14	13, 5	suppss2 8130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝑆)
15		suppssfifsupp 9264	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) supp 0 ) ⊆ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
16	7, 9, 11, 12, 14, 15	syl32anc 1380	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
17		disjdif 4419	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ (𝐴 ∖ 𝑆)) = ∅
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝐴 ∖ 𝑆)) = ∅)
19		gsummptres2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐴)
20		undif 4429	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)) = 𝐴)
21	19, 20	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)) = 𝐴)
22	21	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑆 ∪ (𝐴 ∖ 𝑆)))
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 18, 22	gsumsplit2 19841	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌))))
24	13	mpteq2dva 5182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 ))
25	24	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )))
26	4	cmnmndd 19716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27	5	difexd 5267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑆) ∈ V)
28	2	gsumz 18744	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∖ 𝑆) ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )) = 0 )
29	26, 27, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 0 )) = 0 )
30	25, 29	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌)) = 0 )
31	30	oveq2d 7362	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ 𝑆) ↦ 𝑌))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ))
32	6	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑌 ∈ 𝐵)
33		ssralv 3998	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑌 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑌 ∈ 𝐵))
34	19, 32, 33	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝑌 ∈ 𝐵)
35	1, 4, 12, 34	gsummptcl 19879	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵)
36	1, 3, 2	mndrid 18663	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))
37	26, 35, 36	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌))(+g‘𝐺) 0 ) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))
38	23, 31, 37	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   supp csupp 8090  Fincfn 8869   finSupp cfsupp 9245  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18642  CMndccmn 19692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-cntz 19229  df-cmn 19694

This theorem is referenced by:  gsumfs2d  33035  elrgspnlem4  33212  elrgspnsubrunlem1  33214  elrgspnsubrunlem2  33215  elrspunidl  33393  gsummoncoe1fzo  33558  fldextrspunlsp  33687  extdgfialglem2  33706