Theorem iunmbl 25506

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl	⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem iunmbl

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ dom vol
2		nfcsb1v 3898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴
3	2	nfel1 2915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
4		csbeq1a 3888	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴)
5	4	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
6	1, 3, 5	cbvralw 3286	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
7		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8	7, 2, 4	cbviun 5012	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴
9		csbeq1 3877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
10	9	iundisj 25501	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
11	8, 10	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
12		difexg 5299	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
13	12	ralimi 3073	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
14		dfiun2g 5006	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V → ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
16	11, 15	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
17	6, 16	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
18		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	rnmpt 5937	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}
20	19	unieqi 4895	. . 3 ⊢ ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}
21	17, 20	eqtr4di 2788	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
22	3, 5	rspc 3589	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
23	22	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
24		fzofi 13992	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑘) ∈ Fin
25		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐴 ∈ dom vol
26		nfcsb1v 3898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
27	26	nfel1 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
28		csbeq1a 3888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
29	28	eleq1d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
30	25, 27, 29	cbvralw 3286	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
31		fzossnn 13728	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^𝑘) ⊆ ℕ
32		ssralv 4027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1..^𝑘) ⊆ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
34	30, 33	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
36		finiunmbl 25497	. . . . . 6 ⊢ (((1..^𝑘) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol) → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
37	24, 35, 36	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
38		difmbl 25496	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol ∧ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ dom vol)
39	23, 37, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ dom vol)
40	39	fmpttd 7105	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)):ℕ⟶dom vol)
41		csbeq1 3877	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
42	41	iundisj2 25502	. . . 4 ⊢ Disj 𝑖 ∈ ℕ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
43		csbeq1 3877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
44		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (1..^𝑘) = (1..^𝑖))
45	44	iuneq1d 4995	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
46	43, 45	difeq12d 4102	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
47		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
48		nfcsb1v 3898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
49	48	nfel1 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
50		csbeq1a 3888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
51	50	eleq1d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
52	49, 51	rspc 3589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
53	52	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
54	53	difexd 5301	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
55	18, 46, 47, 54	fvmptd3 7009	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
56	55	disjeq2dv 5091	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ ℕ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
57	42, 56	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖))
58		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑦))))
59	40, 57, 58	voliunlem2 25504	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ dom vol)
60	21, 59	eqeltrd 2834	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2713  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459  ⦋csb 3874   ∖ cdif 3923   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∪ cuni 4883  ∪ ciun 4967  Disj wdisj 5086   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654  ran crn 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  1c1 11130  ℕcn 12240  ..^cfzo 13671  vol*covol 25415  volcvol 25416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xadd 13129  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-xmet 21308  df-met 21309  df-ovol 25417  df-vol 25418

This theorem is referenced by:  volsup  25509  iunmbl2  25510  vitalilem4  25564  vitalilem5  25565  ismbf3d  25607  itg2gt0  25713  voliune  34260  dmvolsal  46375  voliunsge0lem  46501