MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunmbl 25531
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem iunmbl
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . . 5 𝑘 𝐴 ∈ dom vol
2 nfcsb1v 3914 . . . . . 6 𝑛𝑘 / 𝑛𝐴
32nfel1 2908 . . . . 5 𝑛𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol
4 csbeq1a 3903 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑛𝐴)
54eleq1d 2810 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
61, 3, 5cbvralw 3293 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
7 nfcv 2891 . . . . . . 7 𝑘𝐴
87, 2, 4cbviun 5040 . . . . . 6 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴
9 csbeq1 3892 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
109iundisj 25526 . . . . . 6 𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)
118, 10eqtri 2753 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)
12 difexg 5330 . . . . . . 7 (𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
1312ralimi 3072 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
14 dfiun2g 5034 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V → 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
1513, 14syl 17 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
1611, 15eqtrid 2777 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
176, 16sylbi 216 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
18 eqid 2725 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))
1918rnmpt 5957 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)}
2019unieqi 4921 . . 3 ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)}
2117, 20eqtr4di 2783 . 2 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)))
223, 5rspc 3594 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
2322impcom 406 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
24 fzofi 13980 . . . . . 6 (1..^𝑘) ∈ Fin
25 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑚 𝐴 ∈ dom vol
26 nfcsb1v 3914 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
2726nfel1 2908 . . . . . . . . 9 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol
28 csbeq1a 3903 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
2928eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
3025, 27, 29cbvralw 3293 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
31 fzossnn 13721 . . . . . . . . 9 (1..^𝑘) ⊆ ℕ
32 ssralv 4045 . . . . . . . . 9 ((1..^𝑘) ⊆ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
3430, 33sylbi 216 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
3534adantr 479 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
36 finiunmbl 25522 . . . . . 6 (((1..^𝑘) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol) → 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
3724, 35, 36sylancr 585 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
38 difmbl 25521 . . . . 5 ((𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol) → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ dom vol)
3923, 37, 38syl2anc 582 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ dom vol)
4039fmpttd 7124 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)):ℕ⟶dom vol)
41 csbeq1 3892 . . . . 5 (𝑖 = 𝑚𝑖 / 𝑛𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
4241iundisj2 25527 . . . 4 Disj 𝑖 ∈ ℕ (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴)
43 csbeq1 3892 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
44 oveq2 7427 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (1..^𝑘) = (1..^𝑖))
4544iuneq1d 5024 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴)
4643, 45difeq12d 4119 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴))
47 simpr 483 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
48 nfcsb1v 3914 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
4948nfel1 2908 . . . . . . . . 9 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol
50 csbeq1a 3903 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
5150eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
5249, 51rspc 3594 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
5352impcom 406 . . . . . . 7 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
5453difexd 5332 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
5518, 46, 47, 54fvmptd3 7027 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖) = (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴))
5655disjeq2dv 5119 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ ℕ (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴)))
5742, 56mpbiri 257 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖))
58 eqid 2725 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑦))))
5940, 57, 58voliunlem2 25529 . 2 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) ∈ dom vol)
6021, 59eqeltrd 2825 1 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  csb 3889  cdif 3941  cin 3943  wss 3944   cuni 4909   ciun 4997  Disj wdisj 5114  cmpt 5232  dom cdm 5678  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  1c1 11146  cn 12250  ..^cfzo 13667  vol*covol 25440  volcvol 25441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cc 10465  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13798  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14331  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-clim 15473  df-rlim 15474  df-sum 15674  df-xmet 21294  df-met 21295  df-ovol 25442  df-vol 25443
This theorem is referenced by:  volsup  25534  iunmbl2  25535  vitalilem4  25589  vitalilem5  25590  ismbf3d  25632  itg2gt0  25739  voliune  33981  dmvolsal  45874  voliunsge0lem  46000
  Copyright terms: Public domain W3C validator