MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunmbl 24161
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem iunmbl
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . . . 5 𝑘 𝐴 ∈ dom vol
2 nfcsb1v 3855 . . . . . 6 𝑛𝑘 / 𝑛𝐴
32nfel1 2974 . . . . 5 𝑛𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol
4 csbeq1a 3845 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑛𝐴)
54eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
61, 3, 5cbvralw 3390 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
7 nfcv 2958 . . . . . . 7 𝑘𝐴
87, 2, 4cbviun 4926 . . . . . 6 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴
9 csbeq1 3834 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
109iundisj 24156 . . . . . 6 𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)
118, 10eqtri 2824 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)
12 difexg 5198 . . . . . . 7 (𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
1312ralimi 3131 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
14 dfiun2g 4920 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V → 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
1513, 14syl 17 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
1611, 15syl5eq 2848 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
176, 16sylbi 220 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
18 eqid 2801 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))
1918rnmpt 5795 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)}
2019unieqi 4816 . . 3 ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)}
2117, 20eqtr4di 2854 . 2 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)))
223, 5rspc 3562 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
2322impcom 411 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
24 fzofi 13341 . . . . . 6 (1..^𝑘) ∈ Fin
25 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑚 𝐴 ∈ dom vol
26 nfcsb1v 3855 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
2726nfel1 2974 . . . . . . . . 9 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol
28 csbeq1a 3845 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
2928eleq1d 2877 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
3025, 27, 29cbvralw 3390 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
31 fzossnn 13085 . . . . . . . . 9 (1..^𝑘) ⊆ ℕ
32 ssralv 3984 . . . . . . . . 9 ((1..^𝑘) ⊆ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
3430, 33sylbi 220 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
3534adantr 484 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
36 finiunmbl 24152 . . . . . 6 (((1..^𝑘) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol) → 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
3724, 35, 36sylancr 590 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
38 difmbl 24151 . . . . 5 ((𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol) → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ dom vol)
3923, 37, 38syl2anc 587 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ dom vol)
4039fmpttd 6860 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)):ℕ⟶dom vol)
41 csbeq1 3834 . . . . 5 (𝑖 = 𝑚𝑖 / 𝑛𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
4241iundisj2 24157 . . . 4 Disj 𝑖 ∈ ℕ (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴)
43 csbeq1 3834 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
44 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → (1..^𝑘) = (1..^𝑖))
4544iuneq1d 4911 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴)
4643, 45difeq12d 4054 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴))
47 simpr 488 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
48 nfcsb1v 3855 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
4948nfel1 2974 . . . . . . . . 9 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol
50 csbeq1a 3845 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
5150eleq1d 2877 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
5249, 51rspc 3562 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
5352impcom 411 . . . . . . 7 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
54 difexg 5198 . . . . . . 7 (𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
5553, 54syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
5618, 46, 47, 55fvmptd3 6772 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖) = (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴))
5756disjeq2dv 5003 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ ℕ (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴)))
5842, 57mpbiri 261 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖))
59 eqid 2801 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑦))))
6040, 58, 59voliunlem2 24159 . 2 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) ∈ dom vol)
6121, 60eqeltrd 2893 1 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  {cab 2779  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  csb 3831  cdif 3881  cin 3883  wss 3884   cuni 4803   ciun 4884  Disj wdisj 4998  cmpt 5113  dom cdm 5523  ran crn 5524  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  1c1 10531  cn 11629  ..^cfzo 13032  vol*covol 24070  volcvol 24071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-xmet 20088  df-met 20089  df-ovol 24072  df-vol 24073
This theorem is referenced by:  volsup  24164  iunmbl2  24165  vitalilem4  24219  vitalilem5  24220  ismbf3d  24262  itg2gt0  24368  voliune  31602  dmvolsal  42983  voliunsge0lem  43108
  Copyright terms: Public domain W3C validator