Theorem iunmbl 25612

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl	⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem iunmbl

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ dom vol
2		nfcsb1v 3876	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴
3	2	nfel1 2940	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
4		csbeq1a 3866	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴)
5	4	eleq1d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
6	1, 3, 5	cbvralw 3304	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
7		nfcv 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8	7, 2, 4	cbviun 4992	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴
9		csbeq1 3855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
10	9	iundisj 25607	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
11	8, 10	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
12		difexg 5285	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
13	12	ralimi 3099	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
14		dfiun2g 4987	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V → ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
16	11, 15	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
17	6, 16	sylbi 219	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
18		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	rnmpt 5933	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}
20	19	unieqi 4877	. . 3 ⊢ ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}
21	17, 20	eqtr4di 2815	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
22	3, 5	rspc 3569	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
23	22	impcom 411	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
24		fzofi 13987	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑘) ∈ Fin
25		nfv 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐴 ∈ dom vol
26		nfcsb1v 3876	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
27	26	nfel1 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
28		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
29	28	eleq1d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
30	25, 27, 29	cbvralw 3304	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
31		fzossnn 13717	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^𝑘) ⊆ ℕ
32		ssralv 4005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1..^𝑘) ⊆ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
34	30, 33	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
35	34	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
36		finiunmbl 25603	. . . . . 6 ⊢ (((1..^𝑘) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol) → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
37	24, 35, 36	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
38		difmbl 25602	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol ∧ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ dom vol)
39	23, 37, 38	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ dom vol)
40	39	fmpttd 7096	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)):ℕ⟶dom vol)
41		csbeq1 3855	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
42	41	iundisj2 25608	. . . 4 ⊢ Disj 𝑖 ∈ ℕ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
43		csbeq1 3855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
44		oveq2 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (1..^𝑘) = (1..^𝑖))
45	44	iuneq1d 4977	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
46	43, 45	difeq12d 4081	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
47		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
48		nfcsb1v 3876	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
49	48	nfel1 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
50		csbeq1a 3866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
51	50	eleq1d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
52	49, 51	rspc 3569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
53	52	impcom 411	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
54	53	difexd 5287	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
55	18, 46, 47, 54	fvmptd3 6999	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
56	55	disjeq2dv 5072	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ ℕ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
57	42, 56	mpbiri 260	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖))
58		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑦))))
59	40, 57, 58	voliunlem2 25610	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ dom vol)
60	21, 59	eqeltrd 2862	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {cab 2740  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3454  ⦋csb 3852   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4865  ∪ ciun 4949  Disj wdisj 5067   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5647  ran crn 5648  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  1c1 11074  ℕcn 12210  ..^cfzo 13659  vol*covol 25521  volcvol 25522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cc 10392  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xadd 13115  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-xmet 21414  df-met 21415  df-ovol 25523  df-vol 25524

This theorem is referenced by:  volsup  25615  iunmbl2  25616  vitalilem4  25670  vitalilem5  25671  ismbf3d  25713  itg2gt0  25819  voliune  34523  dmvolsal  46917  voliunsge0lem  47043