Theorem iunmbl 25454

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl	⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem iunmbl

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ dom vol
2		nfcsb1v 3886	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴
3	2	nfel1 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
4		csbeq1a 3876	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴)
5	4	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
6	1, 3, 5	cbvralw 3280	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
7		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8	7, 2, 4	cbviun 5000	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴
9		csbeq1 3865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
10	9	iundisj 25449	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
11	8, 10	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
12		difexg 5284	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
13	12	ralimi 3066	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
14		dfiun2g 4994	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V → ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
16	11, 15	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
17	6, 16	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
18		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	rnmpt 5921	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}
20	19	unieqi 4883	. . 3 ⊢ ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}
21	17, 20	eqtr4di 2782	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
22	3, 5	rspc 3576	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
23	22	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
24		fzofi 13939	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑘) ∈ Fin
25		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐴 ∈ dom vol
26		nfcsb1v 3886	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
27	26	nfel1 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
28		csbeq1a 3876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
29	28	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
30	25, 27, 29	cbvralw 3280	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
31		fzossnn 13672	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^𝑘) ⊆ ℕ
32		ssralv 4015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1..^𝑘) ⊆ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
34	30, 33	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
36		finiunmbl 25445	. . . . . 6 ⊢ (((1..^𝑘) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol) → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
37	24, 35, 36	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
38		difmbl 25444	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol ∧ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ dom vol)
39	23, 37, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ dom vol)
40	39	fmpttd 7087	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)):ℕ⟶dom vol)
41		csbeq1 3865	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
42	41	iundisj2 25450	. . . 4 ⊢ Disj 𝑖 ∈ ℕ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
43		csbeq1 3865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
44		oveq2 7395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (1..^𝑘) = (1..^𝑖))
45	44	iuneq1d 4983	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
46	43, 45	difeq12d 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
47		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
48		nfcsb1v 3886	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
49	48	nfel1 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
50		csbeq1a 3876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
51	50	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
52	49, 51	rspc 3576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
53	52	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
54	53	difexd 5286	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
55	18, 46, 47, 54	fvmptd3 6991	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
56	55	disjeq2dv 5079	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ ℕ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
57	42, 56	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖))
58		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑦))))
59	40, 57, 58	voliunlem2 25452	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ dom vol)
60	21, 59	eqeltrd 2828	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447  ⦋csb 3862   ∖ cdif 3911   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871  ∪ ciun 4955  Disj wdisj 5074   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  1c1 11069  ℕcn 12186  ..^cfzo 13615  vol*covol 25363  volcvol 25364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xadd 13073  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-xmet 21257  df-met 21258  df-ovol 25365  df-vol 25366

This theorem is referenced by:  volsup  25457  iunmbl2  25458  vitalilem4  25512  vitalilem5  25513  ismbf3d  25555  itg2gt0  25661  voliune  34219  dmvolsal  46344  voliunsge0lem  46470