Theorem iunmbl 25883

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl	⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem iunmbl

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1946	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ dom vol
2		nfcsb1v 3871	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴
3	2	nfel1 2938	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
4		csbeq1a 3861	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴)
5	4	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
6	1, 3, 5	cbvralw 3304	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
7		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8	7, 2, 4	cbviun 4992	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴
9		csbeq1 3850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
10	9	iundisj 25878	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
11	8, 10	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
12		difexg 5291	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
13	12	ralimi 3099	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
14		dfiun2g 4987	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V → ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
15	13, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
16	11, 15	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
17	6, 16	sylbi 220	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
18		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	rnmpt 5940	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}
20	19	unieqi 4878	. . 3 ⊢ ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}
21	17, 20	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
22	3, 5	rspc 3564	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
23	22	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
24		fzofi 14124	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑘) ∈ Fin
25		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐴 ∈ dom vol
26		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
27	26	nfel1 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
28		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
29	28	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
30	25, 27, 29	cbvralw 3304	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
31		fzossnn 13853	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^𝑘) ⊆ ℕ
32		ssralv 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1..^𝑘) ⊆ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
34	30, 33	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
35	34	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
36		finiunmbl 25874	. . . . . 6 ⊢ (((1..^𝑘) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol) → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
37	24, 35, 36	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
38		difmbl 25873	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol ∧ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ dom vol)
39	23, 37, 38	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ dom vol)
40	39	fmpttd 7120	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)):ℕ⟶dom vol)
41		csbeq1 3850	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
42	41	iundisj2 25879	. . . 4 ⊢ Disj 𝑖 ∈ ℕ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
43		csbeq1 3850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
44		oveq2 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (1..^𝑘) = (1..^𝑖))
45	44	iuneq1d 4978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
46	43, 45	difeq12d 4063	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
47		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
48		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
49	48	nfel1 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
50		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
51	50	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
52	49, 51	rspc 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
53	52	impcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
54	53	difexd 5293	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
55	18, 46, 47, 54	fvmptd3 7022	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
56	55	disjeq2dv 5074	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ ℕ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
57	42, 56	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖))
58		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑦))))
59	40, 57, 58	voliunlem2 25881	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ dom vol)
60	21, 59	eqeltrd 2860	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ⦋csb 3847   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950  Disj wdisj 5069   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5651  ran crn 5652  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Fincfn 8981  1c1 11208  ℕcn 12342  ..^cfzo 13795  vol*covol 25792  volcvol 25793

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cc 10520  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xadd 13249  df-ioo 13487  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-xmet 21680  df-met 21681  df-ovol 25794  df-vol 25795

This theorem is used by:  volsup  25886  iunmbl2  25887  vitalilem4  25941  vitalilem5  25942  ismbf3d  25984  itg2gt0  26090  voliune  34912  dmvolsal  47492  voliunsge0lem  47618