Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem selvcl 41816
Description: Closure of the "variable selection" function. (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
selvcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
selvcl.u π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
selvcl.t 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
selvcl.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‡)
selvcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
selvcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
selvcl.j (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
selvcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
selvcl (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
Proof of Theorem selvcl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selvcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 selvcl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3 selvcl.u . . 3 π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
4 selvcl.t . . 3 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
5 eqid 2728 . . 3 (algScβ€˜π‘‡) = (algScβ€˜π‘‡)
6 eqid 2728 . . 3 ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) = ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))
7 selvcl.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 selvcl.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
9 selvcl.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
10 selvcl.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10selvval 22061 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))β€˜(((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
12 eqid 2728 . . . 4 (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)) = (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))
13 selvcl.e . . . 4 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‡)
14 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)))
157, 9ssexd 5324 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
167difexd 5331 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
173mplcrng 21963 . . . . . 6 (((𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
1816, 8, 17syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
194mplcrng 21963 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ π‘ˆ ∈ CRing) β†’ 𝑇 ∈ CRing)
2015, 18, 19syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CRing)
21 ovexd 7455 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 ↑m 𝐼) ∈ V)
22 eqid 2728 . . . . . . 7 ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))) = ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))
23 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))) = (𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))))
24 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))) = (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))
253, 4, 5, 6, 22, 23, 24, 12, 13, 7, 8, 9selvcllemh 41813 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
26 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))))) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))))
2726, 14rhmf 20424 . . . . . 6 (((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) β†’ ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))):(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))))⟢(Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
2825, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))):(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))))⟢(Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 24, 23, 26, 7, 8, 9, 10selvcllem4 41814 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))))))
3028, 29ffvelcdmd 7095 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))β€˜(((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹)) ∈ (Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
3112, 13, 14, 20, 21, 30pwselbas 17471 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))β€˜(((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹)):(𝐸 ↑m 𝐼)⟢𝐸)
32 eqid 2728 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))
333, 4, 5, 13, 32, 7, 8, 9selvcllem5 41815 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))) ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))
3431, 33ffvelcdmd 7095 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))β€˜(((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) ∈ 𝐸)
3511, 34eqeltrd 2829 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4529   ↦ cmpt 5231  ran crn 5679   ∘ ccom 5682  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845  Basecbs 17180   β†Ύs cress 17209   ↑s cpws 17428  CRingccrg 20174   RingHom crh 20408  algSccascl 21786   mVar cmvr 21838   mPoly cmpl 21839   evalSub ces 22016   selectVars cslv 22054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-assa 21787  df-asp 21788  df-ascl 21789  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844  df-evls 22018  df-selv 22058
This theorem is referenced by:  evlselv  41820
  Copyright terms: Public domain W3C validator