Theorem selvcl 42524

Description: Closure of the "variable selection" function. (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvcl.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvcl.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvcl.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
selvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvcl	⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem selvcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		selvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		selvcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
4		selvcl.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ (algSc‘𝑇) = (algSc‘𝑇)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))
7		selvcl.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
8		selvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	selvval 22138	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)) = (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))
11		selvcl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
12		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)))
13	1, 2	mplrcl 22013	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
14	8, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
15	14, 7	ssexd 5325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
16	14	difexd 5332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
17		selvcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
18	3, 16, 17	mplcrngd 42488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
19	4, 15, 18	mplcrngd 42488	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
20		ovexd 7460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↑m 𝐼) ∈ V)
21		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) = ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))
22		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) = (𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))
23		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) = (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))
24	3, 4, 5, 6, 21, 22, 23, 10, 11, 14, 17, 7	selvcllemh 42521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
25		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))
26	25, 12	rhmf 20487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))⟶(Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
27	24, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))⟶(Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 22, 25, 17, 7, 8	selvcllem4 42522	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))))
29	27, 28	ffvelcdmd 7099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)) ∈ (Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
30	10, 11, 12, 19, 20, 29	pwselbas 17525	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)):(𝐸 ↑m 𝐼)⟶𝐸)
31		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
32	3, 4, 5, 11, 31, 14, 17, 7	selvcllem5 42523	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))
33	30, 32	ffvelcdmd 7099	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ∈ 𝐸)
34	9, 33	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1535   ∈ wcel 2104  Vcvv 3477   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ifcif 4530   ↦ cmpt 5232  ran crn 5684   ∘ ccom 5687  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7425   ↑_m cmap 8859  Basecbs 17234   ↾_s cress 17263   ↑_s cpws 17482  CRingccrg 20237   RingHom crh 20471  algSccascl 21871   mVar cmvr 21924   mPoly cmpl 21925   evalSub ces 22095   selectVars cslv 22131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-supp 8179  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-2o 8500  df-er 8738  df-map 8861  df-pm 8862  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12605  df-dec 12725  df-uz 12870  df-fz 13538  df-fzo 13682  df-seq 14029  df-hash 14356  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-hom 17311  df-cco 17312  df-0g 17477  df-gsum 17478  df-prds 17483  df-pws 17485  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-acs 17623  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18794  df-submnd 18795  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-mulg 19084  df-subg 19139  df-ghm 19229  df-cntz 19333  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20156  df-ur 20185  df-srg 20190  df-ring 20238  df-cring 20239  df-rhm 20474  df-subrng 20548  df-subrg 20573  df-lmod 20858  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-assa 21872  df-asp 21873  df-ascl 21874  df-psr 21928  df-mvr 21929  df-mpl 21930  df-evls 22097  df-selv 22135

This theorem is referenced by:  evlselv  42528