Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selvcl 39777
 Description: Closure of the "variable selection" function. (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
selvcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvcl.u 𝑈 = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
selvcl.t 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvcl.e 𝐸 = (Base‘𝑇)
selvcl.i (𝜑𝐼𝑉)
selvcl.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
selvcl.j (𝜑𝐽𝐼)
selvcl.f (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
selvcl (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem selvcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selvcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 selvcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 selvcl.u . . 3 𝑈 = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
4 selvcl.t . . 3 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
5 eqid 2759 . . 3 (algSc‘𝑇) = (algSc‘𝑇)
6 eqid 2759 . . 3 ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))
7 selvcl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
8 selvcl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
9 selvcl.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
10 selvcl.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10selvval 20896 . 2 (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
12 eqid 2759 . . . 4 (𝑇s (𝐸m 𝐼)) = (𝑇s (𝐸m 𝐼))
13 selvcl.e . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑇)
14 eqid 2759 . . . 4 (Base‘(𝑇s (𝐸m 𝐼))) = (Base‘(𝑇s (𝐸m 𝐼)))
157, 9ssexd 5199 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ V)
16 difexg 5202 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐼𝐽) ∈ V)
177, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝐽) ∈ V)
183mplcrng 20800 . . . . . 6 (((𝐼𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ CRing)
1917, 8, 18syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ CRing)
204mplcrng 20800 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ CRing)
2115, 19, 20syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ CRing)
22 ovexd 7192 . . . 4 (𝜑 → (𝐸m 𝐼) ∈ V)
23 eqid 2759 . . . . . . 7 ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) = ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))
24 eqid 2759 . . . . . . 7 (𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) = (𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))
25 eqid 2759 . . . . . . 7 (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) = (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))
263, 4, 5, 6, 23, 24, 25, 12, 13, 7, 8, 9selvval2lemn 39774 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) RingHom (𝑇s (𝐸m 𝐼))))
27 eqid 2759 . . . . . . 7 (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))
2827, 14rhmf 19564 . . . . . 6 (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) RingHom (𝑇s (𝐸m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))⟶(Base‘(𝑇s (𝐸m 𝐼))))
2926, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))⟶(Base‘(𝑇s (𝐸m 𝐼))))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 25, 24, 27, 7, 8, 9, 10selvval2lem4 39775 . . . . 5 (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))))
3129, 30ffvelrnd 6850 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)) ∈ (Base‘(𝑇s (𝐸m 𝐼))))
3212, 13, 14, 21, 22, 31pwselbas 16835 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)):(𝐸m 𝐼)⟶𝐸)
33 eqid 2759 . . . 4 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
343, 4, 5, 13, 33, 7, 8, 9selvval2lem5 39776 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) ∈ (𝐸m 𝐼))
3532, 34ffvelrnd 6850 . 2 (𝜑 → ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ∈ 𝐸)
3611, 35eqeltrd 2853 1 (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ∖ cdif 3858   ⊆ wss 3861  ifcif 4424   ↦ cmpt 5117  ran crn 5530   ∘ ccom 5533  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157   ↑m cmap 8423  Basecbs 16556   ↾s cress 16557   ↑s cpws 16793  CRingccrg 19381   RingHom crh 19550  algSccascl 20632   mVar cmvr 20682   mPoly cmpl 20683   evalSub ces 20848   selectVars cslv 20886 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-of 7412  df-ofr 7413  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-supp 7843  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-pm 8426  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-fsupp 8881  df-sup 8953  df-oi 9021  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-seq 13433  df-hash 13755  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-ip 16656  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-hom 16662  df-cco 16663  df-0g 16788  df-gsum 16789  df-prds 16794  df-pws 16796  df-mre 16930  df-mrc 16931  df-acs 16933  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-mhm 18037  df-submnd 18038  df-grp 18187  df-minusg 18188  df-sbg 18189  df-mulg 18307  df-subg 18358  df-ghm 18438  df-cntz 18529  df-cmn 18990  df-abl 18991  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-srg 19339  df-ring 19382  df-cring 19383  df-rnghom 19553  df-subrg 19616  df-lmod 19719  df-lss 19787  df-lsp 19827  df-assa 20633  df-asp 20634  df-ascl 20635  df-psr 20686  df-mvr 20687  df-mpl 20688  df-evls 20850  df-selv 20890 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator