Theorem selvcl 22328

Description: Closure of the "variable selection" function. (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvcl.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvcl.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvcl.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
selvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvcl	⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem selvcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		selvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		selvcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
4		selvcl.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
5		eqid 2766	. . 3 ⊢ (algSc‘𝑇) = (algSc‘𝑇)
6		eqid 2766	. . 3 ⊢ ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))
7		selvcl.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
8		selvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	selvval 22308	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
10		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)) = (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))
11		selvcl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
12		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)))
13	1, 2	mplrcl 22180	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
14	8, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
15	14, 7	ssexd 5300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
16	14	difexd 5307	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
17		selvcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
18	3, 16, 17	mplcrngd 22210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
19	4, 15, 18	mplcrngd 22210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
20		ovexd 7458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↑m 𝐼) ∈ V)
21		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) = ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))
22		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) = (𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))
23		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) = (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))
24	3, 4, 5, 6, 21, 22, 23, 10, 11, 14, 17, 7	selvcllemh 22325	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
25		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))
26	25, 12	rhmf 20600	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))⟶(Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
27	24, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))⟶(Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 22, 25, 17, 7, 8	selvcllem4 22326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))))
29	27, 28	ffvelcdmd 7087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)) ∈ (Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
30	10, 11, 12, 19, 20, 29	pwselbas 17567	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)):(𝐸 ↑m 𝐼)⟶𝐸)
31		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
32	3, 4, 5, 11, 31, 14, 17, 7	selvcllem5 22327	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))
33	30, 32	ffvelcdmd 7087	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ∈ 𝐸)
34	9, 33	eqeltrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  ifcif 4492   ↦ cmpt 5197  ran crn 5667   ∘ ccom 5670  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315   ↑_s cpws 17524  CRingccrg 20347   RingHom crh 20584  algSccascl 22039   mVar cmvr 22092   mPoly cmpl 22093   evalSub ces 22260   selectVars cslv 22304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-srg 20300  df-ring 20348  df-cring 20349  df-rhm 20587  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-assa 22040  df-asp 22041  df-ascl 22042  df-psr 22096  df-mvr 22097  df-mpl 22098  df-evls 22262  df-selv 22305

This theorem is used by:  selvply1rhmlem1  33941  selvply1rhmlem4  33944  selvply1rhmlem5  33945  selvply1rhm  33946  evlselv  43362