Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem selvcl 41152
Description: Closure of the "variable selection" function. (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
selvcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
selvcl.u π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
selvcl.t 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
selvcl.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‡)
selvcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
selvcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
selvcl.j (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
selvcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
selvcl (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
Proof of Theorem selvcl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selvcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 selvcl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3 selvcl.u . . 3 π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
4 selvcl.t . . 3 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
5 eqid 2732 . . 3 (algScβ€˜π‘‡) = (algScβ€˜π‘‡)
6 eqid 2732 . . 3 ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) = ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))
7 selvcl.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 selvcl.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
9 selvcl.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
10 selvcl.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10selvval 21672 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))β€˜(((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
12 eqid 2732 . . . 4 (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)) = (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))
13 selvcl.e . . . 4 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‡)
14 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)))
157, 9ssexd 5323 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
167difexd 5328 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
173mplcrng 21571 . . . . . 6 (((𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
1816, 8, 17syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
194mplcrng 21571 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ π‘ˆ ∈ CRing) β†’ 𝑇 ∈ CRing)
2015, 18, 19syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CRing)
21 ovexd 7440 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 ↑m 𝐼) ∈ V)
22 eqid 2732 . . . . . . 7 ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))) = ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))
23 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))) = (𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))))
24 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))) = (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))
253, 4, 5, 6, 22, 23, 24, 12, 13, 7, 8, 9selvcllemh 41149 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
26 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))))) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))))
2726, 14rhmf 20255 . . . . . 6 (((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) β†’ ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))):(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))))⟢(Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
2825, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))):(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))))⟢(Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 24, 23, 26, 7, 8, 9, 10selvcllem4 41150 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))))))
3028, 29ffvelcdmd 7084 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))β€˜(((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹)) ∈ (Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
3112, 13, 14, 20, 21, 30pwselbas 17431 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))β€˜(((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹)):(𝐸 ↑m 𝐼)⟢𝐸)
32 eqid 2732 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))
333, 4, 5, 13, 32, 7, 8, 9selvcllem5 41151 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))) ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))
3431, 33ffvelcdmd 7084 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))β€˜(((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) ∈ 𝐸)
3511, 34eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169   ↑s cpws 17388  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  algSccascl 21398   mVar cmvr 21449   mPoly cmpl 21450   evalSub ces 21624   selectVars cslv 21662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-evls 21626  df-selv 21666
This theorem is referenced by:  evlselv  41156
  Copyright terms: Public domain W3C validator