Theorem selvcl 43030

Description: Closure of the "variable selection" function. (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvcl.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvcl.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvcl.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
selvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvcl	⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem selvcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		selvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		selvcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
4		selvcl.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (algSc‘𝑇) = (algSc‘𝑇)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))
7		selvcl.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
8		selvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	selvval 22111	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)) = (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))
11		selvcl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)))
13	1, 2	mplrcl 21982	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
14	8, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
15	14, 7	ssexd 5261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
16	14	difexd 5268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
17		selvcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
18	3, 16, 17	mplcrngd 43004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
19	4, 15, 18	mplcrngd 43004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
20		ovexd 7395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↑m 𝐼) ∈ V)
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) = ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) = (𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) = (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))
24	3, 4, 5, 6, 21, 22, 23, 10, 11, 14, 17, 7	selvcllemh 43027	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))
26	25, 12	rhmf 20455	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))⟶(Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
27	24, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))⟶(Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 22, 25, 17, 7, 8	selvcllem4 43028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))))
29	27, 28	ffvelcdmd 7031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)) ∈ (Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
30	10, 11, 12, 19, 20, 29	pwselbas 17443	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)):(𝐸 ↑m 𝐼)⟶𝐸)
31		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
32	3, 4, 5, 11, 31, 14, 17, 7	selvcllem5 43029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))
33	30, 32	ffvelcdmd 7031	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ∈ 𝐸)
34	9, 33	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191   ↑_s cpws 17400  CRingccrg 20206   RingHom crh 20440  algSccascl 21842   mVar cmvr 21895   mPoly cmpl 21896   evalSub ces 22060   selectVars cslv 22104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-assa 21843  df-asp 21844  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-evls 22062  df-selv 22108

This theorem is referenced by:  evlselv  43034