Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selvcl 42571
Description: Closure of the "variable selection" function. (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
selvcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvcl.u 𝑈 = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
selvcl.t 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvcl.e 𝐸 = (Base‘𝑇)
selvcl.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
selvcl.j (𝜑𝐽𝐼)
selvcl.f (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
selvcl (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem selvcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selvcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 selvcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 selvcl.u . . 3 𝑈 = ((𝐼𝐽) mPoly 𝑅)
4 selvcl.t . . 3 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
5 eqid 2736 . . 3 (algSc‘𝑇) = (algSc‘𝑇)
6 eqid 2736 . . 3 ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))
7 selvcl.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
8 selvcl.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8selvval 22131 . 2 (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
10 eqid 2736 . . . 4 (𝑇s (𝐸m 𝐼)) = (𝑇s (𝐸m 𝐼))
11 selvcl.e . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑇)
12 eqid 2736 . . . 4 (Base‘(𝑇s (𝐸m 𝐼))) = (Base‘(𝑇s (𝐸m 𝐼)))
131, 2mplrcl 22006 . . . . . . 7 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
148, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
1514, 7ssexd 5322 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ V)
1614difexd 5329 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝐽) ∈ V)
17 selvcl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
183, 16, 17mplcrngd 42535 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ CRing)
194, 15, 18mplcrngd 42535 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ CRing)
20 ovexd 7464 . . . 4 (𝜑 → (𝐸m 𝐼) ∈ V)
21 eqid 2736 . . . . . . 7 ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) = ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))
22 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) = (𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))
23 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) = (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))
243, 4, 5, 6, 21, 22, 23, 10, 11, 14, 17, 7selvcllemh 42568 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) RingHom (𝑇s (𝐸m 𝐼))))
25 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))
2625, 12rhmf 20477 . . . . . 6 (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) RingHom (𝑇s (𝐸m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))⟶(Base‘(𝑇s (𝐸m 𝐼))))
2724, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))⟶(Base‘(𝑇s (𝐸m 𝐼))))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 22, 25, 17, 7, 8selvcllem4 42569 . . . . 5 (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))))
2927, 28ffvelcdmd 7103 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)) ∈ (Base‘(𝑇s (𝐸m 𝐼))))
3010, 11, 12, 19, 20, 29pwselbas 17530 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)):(𝐸m 𝐼)⟶𝐸)
31 eqid 2736 . . . 4 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
323, 4, 5, 11, 31, 14, 17, 7selvcllem5 42570 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) ∈ (𝐸m 𝐼))
3330, 32ffvelcdmd 7103 . 2 (𝜑 → ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ∈ 𝐸)
349, 33eqeltrd 2840 1 (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3479  cdif 3947  wss 3950  ifcif 4524  cmpt 5223  ran crn 5684  ccom 5687  wf 6555  cfv 6559  (class class class)co 7429  m cmap 8862  Basecbs 17243  s cress 17270  s cpws 17487  CRingccrg 20227   RingHom crh 20461  algSccascl 21864   mVar cmvr 21917   mPoly cmpl 21918   evalSub ces 22088   selectVars cslv 22124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-supp 8182  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-er 8741  df-map 8864  df-pm 8865  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9398  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-ip 17311  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ds 17315  df-hom 17317  df-cco 17318  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-acs 17628  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-mhm 18792  df-submnd 18793  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-ghm 19227  df-cntz 19331  df-cmn 19796  df-abl 19797  df-mgp 20134  df-rng 20146  df-ur 20175  df-srg 20180  df-ring 20228  df-cring 20229  df-rhm 20464  df-subrng 20538  df-subrg 20562  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-assa 21865  df-asp 21866  df-ascl 21867  df-psr 21921  df-mvr 21922  df-mpl 21923  df-evls 22090  df-selv 22128
This theorem is referenced by:  evlselv  42575
  Copyright terms: Public domain W3C validator