Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem selvcl 41693
Description: Closure of the "variable selection" function. (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
selvcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
selvcl.u π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
selvcl.t 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
selvcl.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‡)
selvcl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
selvcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
selvcl.j (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
selvcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
selvcl (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
Proof of Theorem selvcl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selvcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 selvcl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3 selvcl.u . . 3 π‘ˆ = ((𝐼 βˆ– 𝐽) mPoly 𝑅)
4 selvcl.t . . 3 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
5 eqid 2726 . . 3 (algScβ€˜π‘‡) = (algScβ€˜π‘‡)
6 eqid 2726 . . 3 ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) = ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))
7 selvcl.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 selvcl.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
9 selvcl.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
10 selvcl.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10selvval 22016 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))β€˜(((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))))
12 eqid 2726 . . . 4 (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)) = (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))
13 selvcl.e . . . 4 𝐸 = (Baseβ€˜π‘‡)
14 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)))
157, 9ssexd 5317 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ V)
167difexd 5322 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V)
173mplcrng 21918 . . . . . 6 (((𝐼 βˆ– 𝐽) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
1816, 8, 17syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
194mplcrng 21918 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ π‘ˆ ∈ CRing) β†’ 𝑇 ∈ CRing)
2015, 18, 19syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ CRing)
21 ovexd 7439 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 ↑m 𝐼) ∈ V)
22 eqid 2726 . . . . . . 7 ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))) = ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))
23 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))) = (𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))))
24 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))) = (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))
253, 4, 5, 6, 22, 23, 24, 12, 13, 7, 8, 9selvcllemh 41690 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
26 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))))) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))))
2726, 14rhmf 20385 . . . . . 6 (((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) β†’ ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))):(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))))⟢(Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
2825, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))):(Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))))⟢(Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 24, 23, 26, 7, 8, 9, 10selvcllem4 41691 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly (𝑇 β†Ύs ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))))))
3028, 29ffvelcdmd 7080 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))β€˜(((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹)) ∈ (Baseβ€˜(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
3112, 13, 14, 20, 21, 30pwselbas 17442 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))β€˜(((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹)):(𝐸 ↑m 𝐼)⟢𝐸)
32 eqid 2726 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))
333, 4, 5, 13, 32, 7, 8, 9selvcllem5 41692 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯)))) ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))
3431, 33ffvelcdmd 7080 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝐼 evalSub 𝑇)β€˜ran ((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)))β€˜(((algScβ€˜π‘‡) ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∘ 𝐹))β€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar π‘ˆ)β€˜π‘₯), ((algScβ€˜π‘‡)β€˜(((𝐼 βˆ– 𝐽) mVar 𝑅)β€˜π‘₯))))) ∈ 𝐸)
3511, 34eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ (((𝐼 selectVars 𝑅)β€˜π½)β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180   ↑s cpws 17399  CRingccrg 20137   RingHom crh 20369  algSccascl 21743   mVar cmvr 21795   mPoly cmpl 21796   evalSub ces 21971   selectVars cslv 22009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20372  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-assa 21744  df-asp 21745  df-ascl 21746  df-psr 21799  df-mvr 21800  df-mpl 21801  df-evls 21973  df-selv 22013
This theorem is referenced by:  evlselv  41697
  Copyright terms: Public domain W3C validator