Theorem selvcl 22482

Description: Closure of the "variable selection" function. (Contributed by SN, 22-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvcl.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvcl.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvcl.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
selvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvcl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvcl	⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem selvcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		selvcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		selvcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
4		selvcl.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (algSc‘𝑇) = (algSc‘𝑇)
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))
7		selvcl.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
8		selvcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	selvval 22462	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)) = (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))
11		selvcl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑇)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼)))
13	1, 2	mplrcl 22334	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
14	8, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
15	14, 7	ssexd 5291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
16	14	difexd 5298	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
17		selvcl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
18	3, 16, 17	mplcrngd 22364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
19	4, 15, 18	mplcrngd 22364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
20		ovexd 7481	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↑m 𝐼) ∈ V)
21		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) = ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))
22		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) = (𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))
23		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) = (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))
24	3, 4, 5, 6, 21, 22, 23, 10, 11, 14, 17, 7	selvcllemh 22479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
25		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))
26	25, 12	rhmf 20748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))) RingHom (𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))⟶(Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
27	24, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))))⟶(Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 22, 25, 17, 7, 8	selvcllem4 22480	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑇 ↾s ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))))))
29	27, 28	ffvelcdmd 7112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)) ∈ (Base‘(𝑇 ↑s (𝐸 ↑m 𝐼))))
30	10, 11, 12, 19, 20, 29	pwselbas 17692	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)):(𝐸 ↑m 𝐼)⟶𝐸)
31		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
32	3, 4, 5, 11, 31, 14, 17, 7	selvcllem5 22481	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) ∈ (𝐸 ↑m 𝐼))
33	30, 32	ffvelcdmd 7112	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 evalSub 𝑇)‘ran ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)))‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ∈ 𝐸)
34	9, 33	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ifcif 4485   ↦ cmpt 5190  ran crn 5657   ∘ ccom 5660  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ↑_m cmap 8878  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440   ↑_s cpws 17649  CRingccrg 20493   RingHom crh 20732  algSccascl 22193   mVar cmvr 22246   mPoly cmpl 22247   evalSub ces 22414   selectVars cslv 22458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-srg 20446  df-ring 20494  df-cring 20495  df-rhm 20735  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-assa 22194  df-asp 22195  df-ascl 22196  df-psr 22250  df-mvr 22251  df-mpl 22252  df-evls 22416  df-selv 22459

This theorem is used by:  selvply1rhmlem1  34235  selvply1rhmlem4  34238  selvply1rhmlem5  34239  selvply1rhm  34240  evlselv  43821