Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fodjrnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0fodjrnlem 45583
Description: Re-index a nonnegative extended sum using an onto function with disjoint range, when the empty set is assigned 0 in the sum (this is true, for example, both for measures and outer measures). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fodjrnlem.k 𝑘𝜑
sge0fodjrnlem.n 𝑛𝜑
sge0fodjrnlem.bd (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
sge0fodjrnlem.c (𝜑𝐶𝑉)
sge0fodjrnlem.f (𝜑𝐹:𝐶onto𝐴)
sge0fodjrnlem.dj (𝜑Disj 𝑛𝐶 (𝐹𝑛))
sge0fodjrnlem.fng ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
sge0fodjrnlem.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0fodjrnlem.b0 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0)
sge0fodjrnlem.z 𝑍 = (𝐹 “ {∅})
Assertion
Ref Expression
sge0fodjrnlem (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑛𝐶𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑘,𝑛   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝐺   𝑘,𝑍,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sge0fodjrnlem
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fodjrnlem.k . . . 4 𝑘𝜑
2 sge0fodjrnlem.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
3 sge0fodjrnlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐶onto𝐴)
4 focdmex 7935 . . . . 5 (𝐶𝑉 → (𝐹:𝐶onto𝐴𝐴 ∈ V))
52, 3, 4sylc 65 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 difssd 4124 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴)
7 simpl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → 𝜑)
86sselda 3974 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → 𝑘𝐴)
9 sge0fodjrnlem.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
107, 8, 9syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11 simpl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅}))) → 𝜑)
12 dfin4 4259 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ {∅}) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅}))
1312eqcomi 2733 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅})) = (𝐴 ∩ {∅})
14 inss2 4221 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}
1513, 14eqsstri 4008 . . . . . . . 8 (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅})) ⊆ {∅}
16 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅})))
1715, 16sselid 3972 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ {∅})
18 elsni 4637 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {∅} → 𝑘 = ∅)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅})) → 𝑘 = ∅)
2019adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅}))) → 𝑘 = ∅)
21 sge0fodjrnlem.b0 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0)
2211, 20, 21syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅}))) → 𝐵 = 0)
231, 5, 6, 10, 22sge0ss 45579 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
2423eqcomd 2730 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ 𝐵)))
25 sge0fodjrnlem.n . . 3 𝑛𝜑
26 sge0fodjrnlem.bd . . 3 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
272difexd 5319 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑍) ∈ V)
28 eqid 2724 . . . . 5 (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛))
29 fof 6795 . . . . . . 7 (𝐹:𝐶onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
303, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
3130ffvelcdmda 7076 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) ∈ 𝐴)
32 sge0fodjrnlem.dj . . . . 5 (𝜑Disj 𝑛𝐶 (𝐹𝑛))
33 fveq2 6881 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
3433neeq1d 2992 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑚) ≠ ∅ ↔ (𝐹𝑛) ≠ ∅))
3534cbvrabv 3434 . . . . 5 {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} = {𝑛𝐶 ∣ (𝐹𝑛) ≠ ∅}
3633cbvmptv 5251 . . . . . . 7 (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) = (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛))
3736rneqi 5926 . . . . . 6 ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) = ran (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛))
3837difeq1i 4110 . . . . 5 (ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) ∖ {∅}) = (ran (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)) ∖ {∅})
3925, 28, 31, 32, 35, 38disjf1o 44341 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)) ↾ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}):{𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}–1-1-onto→(ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) ∖ {∅}))
4030feqmptd 6950 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)))
41 difssd 4124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑍) ⊆ 𝐶)
4241sselda 3974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → 𝑛𝐶)
43 eldifi 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (𝐶𝑍) → 𝑛𝐶)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → 𝑛𝐶)
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑛) = ∅ → (𝐹𝑛) = ∅)
46 fvex 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹𝑛) ∈ V
4746elsn 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑛) ∈ {∅} ↔ (𝐹𝑛) = ∅)
4845, 47sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑛) = ∅ → (𝐹𝑛) ∈ {∅})
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → (𝐹𝑛) ∈ {∅})
5044, 49jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅}))
5150adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅}))
5230ffnd 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 Fn 𝐶)
53 elpreima 7049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 Fn 𝐶 → (𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}) ↔ (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅})))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}) ↔ (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅})))
5554ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → (𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}) ↔ (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅})))
5651, 55mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → 𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}))
57 sge0fodjrnlem.z . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 = (𝐹 “ {∅})
5856, 57eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → 𝑛𝑍)
59 eldifn 4119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (𝐶𝑍) → ¬ 𝑛𝑍)
6059ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → ¬ 𝑛𝑍)
6158, 60pm2.65da 814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → ¬ (𝐹𝑛) = ∅)
6261neqned 2939 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → (𝐹𝑛) ≠ ∅)
6342, 62jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ≠ ∅))
6434elrab 3675 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} ↔ (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ≠ ∅))
6563, 64sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → 𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅})
6665ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝐶𝑍) → 𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}))
6764simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} → 𝑛𝐶)
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}) → 𝑛𝐶)
6957eleq2i 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}))
7069biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}))
7254adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}) ↔ (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅})))
7371, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅}))
7473simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ {∅})
75 elsni 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑛) ∈ {∅} → (𝐹𝑛) = ∅)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ∅)
7776adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ∅)
7864simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} → (𝐹𝑛) ≠ ∅)
7978ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ≠ ∅)
8079neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}) ∧ 𝑛𝑍) → ¬ (𝐹𝑛) = ∅)
8177, 80pm2.65da 814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}) → ¬ 𝑛𝑍)
8268, 81eldifd 3951 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}) → 𝑛 ∈ (𝐶𝑍))
8382ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} → 𝑛 ∈ (𝐶𝑍)))
8425, 83ralrimi 3246 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}𝑛 ∈ (𝐶𝑍))
85 dfss3 3962 . . . . . . . . . . 11 ({𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} ⊆ (𝐶𝑍) ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}𝑛 ∈ (𝐶𝑍))
8684, 85sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} ⊆ (𝐶𝑍))
8786sseld 3973 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} → 𝑛 ∈ (𝐶𝑍)))
8866, 87impbid 211 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ↔ 𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}))
8925, 88alrimi 2198 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛(𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ↔ 𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}))
90 dfcleq 2717 . . . . . . 7 ((𝐶𝑍) = {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} ↔ ∀𝑛(𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ↔ 𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}))
9189, 90sylibr 233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝑍) = {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅})
9240, 91reseq12d 5972 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶𝑍)) = ((𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)) ↾ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}))
9340, 36eqtr4di 2782 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)))
9493eqcomd 2730 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) = 𝐹)
9594rneqd 5927 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) = ran 𝐹)
96 forn 6798 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐶onto𝐴 → ran 𝐹 = 𝐴)
973, 96syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐴)
9895, 97eqtr2d 2765 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)))
9998difeq1d 4113 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ {∅}) = (ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) ∖ {∅}))
10092, 91, 99f1oeq123d 6817 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶𝑍)):(𝐶𝑍)–1-1-onto→(𝐴 ∖ {∅}) ↔ ((𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)) ↾ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}):{𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}–1-1-onto→(ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) ∖ {∅})))
10139, 100mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶𝑍)):(𝐶𝑍)–1-1-onto→(𝐴 ∖ {∅}))
102 fvres 6900 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝐶𝑍) → ((𝐹 ↾ (𝐶𝑍))‘𝑛) = (𝐹𝑛))
103102adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → ((𝐹 ↾ (𝐶𝑍))‘𝑛) = (𝐹𝑛))
104 simpl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → 𝜑)
105 sge0fodjrnlem.fng . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
106104, 42, 105syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
107103, 106eqtrd 2764 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → ((𝐹 ↾ (𝐶𝑍))‘𝑛) = 𝐺)
1081, 25, 26, 27, 101, 107, 10sge0f1o 45549 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ↦ 𝐷)))
109105eqcomd 2730 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐺 = (𝐹𝑛))
110109, 31eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐺𝐴)
111104, 42, 110syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → 𝐺𝐴)
112111ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝐶𝑍) → 𝐺𝐴))
113112imdistani 568 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → (𝜑𝐺𝐴))
114 nfcv 2895 . . . . 5 𝑘𝐺
115 nfv 1909 . . . . . . 7 𝑘 𝐺𝐴
1161, 115nfan 1894 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝐺𝐴)
117 nfv 1909 . . . . . 6 𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
118116, 117nfim 1891 . . . . 5 𝑘((𝜑𝐺𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
119 eleq1 2813 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐺 → (𝑘𝐴𝐺𝐴))
120119anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐺 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝐺𝐴)))
12126eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐺 → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
122120, 121imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝐺 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
123114, 118, 122, 9vtoclgf 3550 . . . 4 (𝐺𝐴 → ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
124111, 113, 123sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
125 simpl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → 𝜑)
126 eldifi 4118 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) → 𝑛𝐶)
127126adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → 𝑛𝐶)
128125, 127, 110syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → 𝐺𝐴)
129 dfin4 4259 . . . . . . . . 9 (𝑍𝐶) = (𝑍 ∖ (𝑍𝐶))
130 difss 4123 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∖ (𝑍𝐶)) ⊆ 𝑍
131129, 130eqsstri 4008 . . . . . . . 8 (𝑍𝐶) ⊆ 𝑍
132 inss2 4221 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑍) ⊆ 𝑍
133 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) → 𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)))
134 dfin4 4259 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝑍) = (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))
135134eqcomi 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) = (𝐶𝑍)
136133, 135eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) → 𝑛 ∈ (𝐶𝑍))
137132, 136sselid 3972 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) → 𝑛𝑍)
138137, 126elind 4186 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) → 𝑛 ∈ (𝑍𝐶))
139131, 138sselid 3972 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) → 𝑛𝑍)
140139adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → 𝑛𝑍)
14176eqcomd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → ∅ = (𝐹𝑛))
142 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝜑)
14373simpld 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝐶)
144142, 143, 105syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
145141, 144eqtr2d 2765 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐺 = ∅)
146125, 140, 145syl2anc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → 𝐺 = ∅)
147125, 146jca 511 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → (𝜑𝐺 = ∅))
148 nfv 1909 . . . . . . 7 𝑘 𝐺 = ∅
1491, 148nfan 1894 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝐺 = ∅)
150 nfv 1909 . . . . . 6 𝑘 𝐷 = 0
151149, 150nfim 1891 . . . . 5 𝑘((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐷 = 0)
152 eqeq1 2728 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐺 → (𝑘 = ∅ ↔ 𝐺 = ∅))
153152anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐺 → ((𝜑𝑘 = ∅) ↔ (𝜑𝐺 = ∅)))
15426eqeq1d 2726 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐺 → (𝐵 = 0 ↔ 𝐷 = 0))
155153, 154imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝐺 → (((𝜑𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0) ↔ ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐷 = 0)))
156114, 151, 155, 21vtoclgf 3550 . . . 4 (𝐺𝐴 → ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐷 = 0))
157128, 147, 156sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → 𝐷 = 0)
15825, 2, 41, 124, 157sge0ss 45579 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑛𝐶𝐷)))
15924, 108, 1583eqtrd 2768 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑛𝐶𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wal 1531   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466  cdif 3937  cin 3939  wss 3940  c0 4314  {csn 4620  Disj wdisj 5103  cmpt 5221  ccnv 5665  ran crn 5667  cres 5668  cima 5669   Fn wfn 6528  wf 6529  ontowfo 6531  1-1-ontowf1o 6532  cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11105  +∞cpnf 11241  [,]cicc 13323  Σ^csumge0 45529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-sumge0 45530
This theorem is referenced by:  sge0fodjrn  45584
  Copyright terms: Public domain W3C validator