Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fodjrnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0fodjrnlem 44647
Description: Re-index a nonnegative extended sum using an onto function with disjoint range, when the empty set is assigned 0 in the sum (this is true, for example, both for measures and outer measures). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fodjrnlem.k 𝑘𝜑
sge0fodjrnlem.n 𝑛𝜑
sge0fodjrnlem.bd (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
sge0fodjrnlem.c (𝜑𝐶𝑉)
sge0fodjrnlem.f (𝜑𝐹:𝐶onto𝐴)
sge0fodjrnlem.dj (𝜑Disj 𝑛𝐶 (𝐹𝑛))
sge0fodjrnlem.fng ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
sge0fodjrnlem.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0fodjrnlem.b0 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0)
sge0fodjrnlem.z 𝑍 = (𝐹 “ {∅})
Assertion
Ref Expression
sge0fodjrnlem (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑛𝐶𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑘,𝑛   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝐺   𝑘,𝑍,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sge0fodjrnlem
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fodjrnlem.k . . . 4 𝑘𝜑
2 sge0fodjrnlem.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
3 sge0fodjrnlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐶onto𝐴)
4 focdmex 7888 . . . . 5 (𝐶𝑉 → (𝐹:𝐶onto𝐴𝐴 ∈ V))
52, 3, 4sylc 65 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 difssd 4092 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ 𝐴)
7 simpl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → 𝜑)
86sselda 3944 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → 𝑘𝐴)
9 sge0fodjrnlem.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
107, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {∅})) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
11 simpl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅}))) → 𝜑)
12 dfin4 4227 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ {∅}) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅}))
1312eqcomi 2745 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅})) = (𝐴 ∩ {∅})
14 inss2 4189 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}
1513, 14eqsstri 3978 . . . . . . . 8 (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅})) ⊆ {∅}
16 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅})))
1715, 16sselid 3942 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅})) → 𝑘 ∈ {∅})
18 elsni 4603 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {∅} → 𝑘 = ∅)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅})) → 𝑘 = ∅)
2019adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅}))) → 𝑘 = ∅)
21 sge0fodjrnlem.b0 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0)
2211, 20, 21syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ {∅}))) → 𝐵 = 0)
231, 5, 6, 10, 22sge0ss 44643 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
2423eqcomd 2742 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ 𝐵)))
25 sge0fodjrnlem.n . . 3 𝑛𝜑
26 sge0fodjrnlem.bd . . 3 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
272difexd 5286 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑍) ∈ V)
28 eqid 2736 . . . . 5 (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛))
29 fof 6756 . . . . . . 7 (𝐹:𝐶onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
303, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
3130ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) ∈ 𝐴)
32 sge0fodjrnlem.dj . . . . 5 (𝜑Disj 𝑛𝐶 (𝐹𝑛))
33 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
3433neeq1d 3003 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑚) ≠ ∅ ↔ (𝐹𝑛) ≠ ∅))
3534cbvrabv 3417 . . . . 5 {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} = {𝑛𝐶 ∣ (𝐹𝑛) ≠ ∅}
3633cbvmptv 5218 . . . . . . 7 (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) = (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛))
3736rneqi 5892 . . . . . 6 ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) = ran (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛))
3837difeq1i 4078 . . . . 5 (ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) ∖ {∅}) = (ran (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)) ∖ {∅})
3925, 28, 31, 32, 35, 38disjf1o 43400 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)) ↾ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}):{𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}–1-1-onto→(ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) ∖ {∅}))
4030feqmptd 6910 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)))
41 difssd 4092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑍) ⊆ 𝐶)
4241sselda 3944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → 𝑛𝐶)
43 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (𝐶𝑍) → 𝑛𝐶)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → 𝑛𝐶)
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑛) = ∅ → (𝐹𝑛) = ∅)
46 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹𝑛) ∈ V
4746elsn 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑛) ∈ {∅} ↔ (𝐹𝑛) = ∅)
4845, 47sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑛) = ∅ → (𝐹𝑛) ∈ {∅})
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → (𝐹𝑛) ∈ {∅})
5044, 49jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅}))
5150adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅}))
5230ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 Fn 𝐶)
53 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 Fn 𝐶 → (𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}) ↔ (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅})))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}) ↔ (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅})))
5554ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → (𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}) ↔ (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅})))
5651, 55mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → 𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}))
57 sge0fodjrnlem.z . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 = (𝐹 “ {∅})
5856, 57eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → 𝑛𝑍)
59 eldifn 4087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (𝐶𝑍) → ¬ 𝑛𝑍)
6059ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) ∧ (𝐹𝑛) = ∅) → ¬ 𝑛𝑍)
6158, 60pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → ¬ (𝐹𝑛) = ∅)
6261neqned 2950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → (𝐹𝑛) ≠ ∅)
6342, 62jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ≠ ∅))
6434elrab 3645 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} ↔ (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ≠ ∅))
6563, 64sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → 𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅})
6665ex 413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝐶𝑍) → 𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}))
6764simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} → 𝑛𝐶)
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}) → 𝑛𝐶)
6957eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}))
7069biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}))
7170adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}))
7254adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑛 ∈ (𝐹 “ {∅}) ↔ (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅})))
7371, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑛𝐶 ∧ (𝐹𝑛) ∈ {∅}))
7473simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ {∅})
75 elsni 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑛) ∈ {∅} → (𝐹𝑛) = ∅)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ∅)
7776adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ∅)
7864simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} → (𝐹𝑛) ≠ ∅)
7978ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ≠ ∅)
8079neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}) ∧ 𝑛𝑍) → ¬ (𝐹𝑛) = ∅)
8177, 80pm2.65da 815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}) → ¬ 𝑛𝑍)
8268, 81eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}) → 𝑛 ∈ (𝐶𝑍))
8382ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} → 𝑛 ∈ (𝐶𝑍)))
8425, 83ralrimi 3240 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}𝑛 ∈ (𝐶𝑍))
85 dfss3 3932 . . . . . . . . . . 11 ({𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} ⊆ (𝐶𝑍) ↔ ∀𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}𝑛 ∈ (𝐶𝑍))
8684, 85sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} ⊆ (𝐶𝑍))
8786sseld 3943 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} → 𝑛 ∈ (𝐶𝑍)))
8866, 87impbid 211 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ↔ 𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}))
8925, 88alrimi 2206 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛(𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ↔ 𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}))
90 dfcleq 2729 . . . . . . 7 ((𝐶𝑍) = {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅} ↔ ∀𝑛(𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ↔ 𝑛 ∈ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}))
9189, 90sylibr 233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝑍) = {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅})
9240, 91reseq12d 5938 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶𝑍)) = ((𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)) ↾ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}))
9340, 36eqtr4di 2794 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)))
9493eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) = 𝐹)
9594rneqd 5893 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) = ran 𝐹)
96 forn 6759 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐶onto𝐴 → ran 𝐹 = 𝐴)
973, 96syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐴)
9895, 97eqtr2d 2777 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)))
9998difeq1d 4081 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∖ {∅}) = (ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) ∖ {∅}))
10092, 91, 99f1oeq123d 6778 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶𝑍)):(𝐶𝑍)–1-1-onto→(𝐴 ∖ {∅}) ↔ ((𝑛𝐶 ↦ (𝐹𝑛)) ↾ {𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}):{𝑚𝐶 ∣ (𝐹𝑚) ≠ ∅}–1-1-onto→(ran (𝑚𝐶 ↦ (𝐹𝑚)) ∖ {∅})))
10139, 100mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶𝑍)):(𝐶𝑍)–1-1-onto→(𝐴 ∖ {∅}))
102 fvres 6861 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝐶𝑍) → ((𝐹 ↾ (𝐶𝑍))‘𝑛) = (𝐹𝑛))
103102adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → ((𝐹 ↾ (𝐶𝑍))‘𝑛) = (𝐹𝑛))
104 simpl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → 𝜑)
105 sge0fodjrnlem.fng . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
106104, 42, 105syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
107103, 106eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → ((𝐹 ↾ (𝐶𝑍))‘𝑛) = 𝐺)
1081, 25, 26, 27, 101, 107, 10sge0f1o 44613 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ↦ 𝐷)))
109105eqcomd 2742 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐺 = (𝐹𝑛))
110109, 31eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐺𝐴)
111104, 42, 110syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → 𝐺𝐴)
112111ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝐶𝑍) → 𝐺𝐴))
113112imdistani 569 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → (𝜑𝐺𝐴))
114 nfcv 2907 . . . . 5 𝑘𝐺
115 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑘 𝐺𝐴
1161, 115nfan 1902 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝐺𝐴)
117 nfv 1917 . . . . . 6 𝑘 𝐷 ∈ (0[,]+∞)
118116, 117nfim 1899 . . . . 5 𝑘((𝜑𝐺𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
119 eleq1 2825 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐺 → (𝑘𝐴𝐺𝐴))
120119anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐺 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝐺𝐴)))
12126eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐺 → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
122120, 121imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝐺 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))))
123114, 118, 122, 9vtoclgf 3523 . . . 4 (𝐺𝐴 → ((𝜑𝐺𝐴) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞)))
124111, 113, 123sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶𝑍)) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
125 simpl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → 𝜑)
126 eldifi 4086 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) → 𝑛𝐶)
127126adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → 𝑛𝐶)
128125, 127, 110syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → 𝐺𝐴)
129 dfin4 4227 . . . . . . . . 9 (𝑍𝐶) = (𝑍 ∖ (𝑍𝐶))
130 difss 4091 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∖ (𝑍𝐶)) ⊆ 𝑍
131129, 130eqsstri 3978 . . . . . . . 8 (𝑍𝐶) ⊆ 𝑍
132 inss2 4189 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑍) ⊆ 𝑍
133 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) → 𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)))
134 dfin4 4227 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝑍) = (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))
135134eqcomi 2745 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) = (𝐶𝑍)
136133, 135eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) → 𝑛 ∈ (𝐶𝑍))
137132, 136sselid 3942 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) → 𝑛𝑍)
138137, 126elind 4154 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) → 𝑛 ∈ (𝑍𝐶))
139131, 138sselid 3942 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍)) → 𝑛𝑍)
140139adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → 𝑛𝑍)
14176eqcomd 2742 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → ∅ = (𝐹𝑛))
142 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝜑)
14373simpld 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝐶)
144142, 143, 105syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
145141, 144eqtr2d 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐺 = ∅)
146125, 140, 145syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → 𝐺 = ∅)
147125, 146jca 512 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → (𝜑𝐺 = ∅))
148 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑘 𝐺 = ∅
1491, 148nfan 1902 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝐺 = ∅)
150 nfv 1917 . . . . . 6 𝑘 𝐷 = 0
151149, 150nfim 1899 . . . . 5 𝑘((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐷 = 0)
152 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐺 → (𝑘 = ∅ ↔ 𝐺 = ∅))
153152anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐺 → ((𝜑𝑘 = ∅) ↔ (𝜑𝐺 = ∅)))
15426eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐺 → (𝐵 = 0 ↔ 𝐷 = 0))
155153, 154imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝐺 → (((𝜑𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0) ↔ ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐷 = 0)))
156114, 151, 155, 21vtoclgf 3523 . . . 4 (𝐺𝐴 → ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐷 = 0))
157128, 147, 156sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐶 ∖ (𝐶𝑍))) → 𝐷 = 0)
15825, 2, 41, 124, 157sge0ss 44643 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ (𝐶𝑍) ↦ 𝐷)) = (Σ^‘(𝑛𝐶𝐷)))
15924, 108, 1583eqtrd 2780 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑛𝐶𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  Disj wdisj 5070  cmpt 5188  ccnv 5632  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  [,]cicc 13267  Σ^csumge0 44593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-sumge0 44594
This theorem is referenced by:  sge0fodjrn  44648
  Copyright terms: Public domain W3C validator