MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralxpmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ralxpmap 8894
Description: Quantification over functions in terms of quantification over values and punctured functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxpmap.j (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ralxpmap (𝐽𝑇 → (∀𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)𝜑 ↔ ∀𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝜓))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑔,𝑦   𝜓,𝑓   𝑓,𝐽,𝑔,𝑦   𝑆,𝑓,𝑔,𝑦   𝑇,𝑓,𝑔,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝜓(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem ralxpmap
StepHypRef Expression
1 vex 3477 . . 3 𝑔 ∈ V
2 snex 5431 . . 3 {⟨𝐽, 𝑦⟩} ∈ V
31, 2unex 7737 . 2 (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) ∈ V
4 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇))
5 elmapex 8846 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) → (𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V))
65adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → (𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V))
7 elmapg 8837 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) ↔ 𝑓:𝑇𝑆))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) ↔ 𝑓:𝑇𝑆))
94, 8mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝑓:𝑇𝑆)
10 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝐽𝑇)
119, 10ffvelcdmd 7087 . . . . 5 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → (𝑓𝐽) ∈ 𝑆)
12 difss 4131 . . . . . . 7 (𝑇 ∖ {𝐽}) ⊆ 𝑇
13 fssres 6757 . . . . . . 7 ((𝑓:𝑇𝑆 ∧ (𝑇 ∖ {𝐽}) ⊆ 𝑇) → (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})):(𝑇 ∖ {𝐽})⟶𝑆)
149, 12, 13sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})):(𝑇 ∖ {𝐽})⟶𝑆)
155simpld 494 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) → 𝑆 ∈ V)
1615adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝑆 ∈ V)
176simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝑇 ∈ V)
1817difexd 5329 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → (𝑇 ∖ {𝐽}) ∈ V)
1916, 18elmapd 8838 . . . . . 6 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → ((𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})) ↔ (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})):(𝑇 ∖ {𝐽})⟶𝑆))
2014, 19mpbird 257 . . . . 5 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))
219ffnd 6718 . . . . . 6 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝑓 Fn 𝑇)
22 fnsnsplit 7184 . . . . . 6 ((𝑓 Fn 𝑇𝐽𝑇) → 𝑓 = ((𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩}))
2321, 10, 22syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝑓 = ((𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩}))
24 opeq2 4874 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑓𝐽) → ⟨𝐽, 𝑦⟩ = ⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩)
2524sneqd 4640 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑓𝐽) → {⟨𝐽, 𝑦⟩} = {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩})
2625uneq2d 4163 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑓𝐽) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩}))
2726eqeq2d 2742 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑓𝐽) → (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) ↔ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩})))
28 uneq1 4156 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩}) = ((𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩}))
2928eqeq2d 2742 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) → (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩}) ↔ 𝑓 = ((𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩})))
3027, 29rspc2ev 3624 . . . . 5 (((𝑓𝐽) ∈ 𝑆 ∧ (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})) ∧ 𝑓 = ((𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩})) → ∃𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}))
3111, 20, 23, 30syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → ∃𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}))
3231ex 412 . . 3 (𝐽𝑇 → (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) → ∃𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩})))
33 elmapi 8847 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})) → 𝑔:(𝑇 ∖ {𝐽})⟶𝑆)
3433ad2antll 726 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → 𝑔:(𝑇 ∖ {𝐽})⟶𝑆)
35 f1osng 6874 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽𝑇𝑦 ∈ V) → {⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}–1-1-onto→{𝑦})
36 f1of 6833 . . . . . . . . . . . 12 ({⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}–1-1-onto→{𝑦} → {⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}⟶{𝑦})
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽𝑇𝑦 ∈ V) → {⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}⟶{𝑦})
3837elvd 3480 . . . . . . . . . 10 (𝐽𝑇 → {⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}⟶{𝑦})
3938adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → {⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}⟶{𝑦})
40 disjdifr 4472 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∩ {𝐽}) = ∅
4140a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∩ {𝐽}) = ∅)
42 fun 6753 . . . . . . . . 9 (((𝑔:(𝑇 ∖ {𝐽})⟶𝑆 ∧ {⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}⟶{𝑦}) ∧ ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∩ {𝐽}) = ∅) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽})⟶(𝑆 ∪ {𝑦}))
4334, 39, 41, 42syl21anc 835 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽})⟶(𝑆 ∪ {𝑦}))
44 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → 𝐽𝑇)
4544snssd 4812 . . . . . . . . . 10 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → {𝐽} ⊆ 𝑇)
46 undifr 4482 . . . . . . . . . 10 ({𝐽} ⊆ 𝑇 ↔ ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽}) = 𝑇)
4745, 46sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽}) = 𝑇)
4847feq2d 6703 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → ((𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽})⟶(𝑆 ∪ {𝑦}) ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):𝑇⟶(𝑆 ∪ {𝑦})))
4943, 48mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):𝑇⟶(𝑆 ∪ {𝑦}))
50 ssidd 4005 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → 𝑆𝑆)
51 snssi 4811 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑆 → {𝑦} ⊆ 𝑆)
5251ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → {𝑦} ⊆ 𝑆)
5350, 52unssd 4186 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑆 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
5449, 53fssd 6735 . . . . . 6 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):𝑇𝑆)
55 elmapex 8846 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})) → (𝑆 ∈ V ∧ (𝑇 ∖ {𝐽}) ∈ V))
5655ad2antll 726 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑆 ∈ V ∧ (𝑇 ∖ {𝐽}) ∈ V))
5756simpld 494 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → 𝑆 ∈ V)
58 ssun1 4172 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ {𝐽})
59 undif1 4475 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽}) = (𝑇 ∪ {𝐽})
6056simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑇 ∖ {𝐽}) ∈ V)
61 snex 5431 . . . . . . . . . 10 {𝐽} ∈ V
62 unexg 7740 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∖ {𝐽}) ∈ V ∧ {𝐽} ∈ V) → ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽}) ∈ V)
6360, 61, 62sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽}) ∈ V)
6459, 63eqeltrrid 2837 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑇 ∪ {𝐽}) ∈ V)
65 ssexg 5323 . . . . . . . 8 ((𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ {𝐽}) ∧ (𝑇 ∪ {𝐽}) ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
6658, 64, 65sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → 𝑇 ∈ V)
6757, 66elmapd 8838 . . . . . 6 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → ((𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) ∈ (𝑆m 𝑇) ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):𝑇𝑆))
6854, 67mpbird 257 . . . . 5 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) ∈ (𝑆m 𝑇))
69 eleq1 2820 . . . . 5 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) → (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) ∈ (𝑆m 𝑇)))
7068, 69syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) → 𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)))
7170rexlimdvva 3210 . . 3 (𝐽𝑇 → (∃𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) → 𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)))
7232, 71impbid 211 . 2 (𝐽𝑇 → (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) ↔ ∃𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩})))
73 ralxpmap.j . . 3 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) → (𝜑𝜓))
7473adantl 481 . 2 ((𝐽𝑇𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩})) → (𝜑𝜓))
753, 72, 74ralxpxfr2d 3634 1 (𝐽𝑇 → (∀𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)𝜑 ↔ ∀𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  {csn 4628  cop 4634  cres 5678   Fn wfn 6538  wf 6539  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8826
This theorem is referenced by:  islindf4  21613
  Copyright terms: Public domain W3C validator