Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralxpmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ralxpmap 8461
 Description: Quantification over functions in terms of quantification over values and punctured functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxpmap.j (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ralxpmap (𝐽𝑇 → (∀𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)𝜑 ↔ ∀𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝜓))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑔,𝑦   𝜓,𝑓   𝑓,𝐽,𝑔,𝑦   𝑆,𝑓,𝑔,𝑦   𝑇,𝑓,𝑔,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝜓(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem ralxpmap
StepHypRef Expression
1 vex 3445 . . 3 𝑔 ∈ V
2 snex 5301 . . 3 {⟨𝐽, 𝑦⟩} ∈ V
31, 2unex 7462 . 2 (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) ∈ V
4 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇))
5 elmapex 8428 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) → (𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V))
65adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → (𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V))
7 elmapg 8420 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) ↔ 𝑓:𝑇𝑆))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) ↔ 𝑓:𝑇𝑆))
94, 8mpbid 235 . . . . . 6 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝑓:𝑇𝑆)
10 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝐽𝑇)
119, 10ffvelrnd 6839 . . . . 5 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → (𝑓𝐽) ∈ 𝑆)
12 difss 4062 . . . . . . 7 (𝑇 ∖ {𝐽}) ⊆ 𝑇
13 fssres 6526 . . . . . . 7 ((𝑓:𝑇𝑆 ∧ (𝑇 ∖ {𝐽}) ⊆ 𝑇) → (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})):(𝑇 ∖ {𝐽})⟶𝑆)
149, 12, 13sylancl 589 . . . . . 6 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})):(𝑇 ∖ {𝐽})⟶𝑆)
155simpld 498 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) → 𝑆 ∈ V)
1615adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝑆 ∈ V)
176simprd 499 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝑇 ∈ V)
18 difexg 5199 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V → (𝑇 ∖ {𝐽}) ∈ V)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → (𝑇 ∖ {𝐽}) ∈ V)
2016, 19elmapd 8421 . . . . . 6 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → ((𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})) ↔ (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})):(𝑇 ∖ {𝐽})⟶𝑆))
2114, 20mpbird 260 . . . . 5 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))
229ffnd 6496 . . . . . 6 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝑓 Fn 𝑇)
23 fnsnsplit 6933 . . . . . 6 ((𝑓 Fn 𝑇𝐽𝑇) → 𝑓 = ((𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩}))
2422, 10, 23syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → 𝑓 = ((𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩}))
25 opeq2 4769 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑓𝐽) → ⟨𝐽, 𝑦⟩ = ⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩)
2625sneqd 4540 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑓𝐽) → {⟨𝐽, 𝑦⟩} = {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩})
2726uneq2d 4093 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑓𝐽) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩}))
2827eqeq2d 2809 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑓𝐽) → (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) ↔ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩})))
29 uneq1 4086 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩}) = ((𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩}))
3029eqeq2d 2809 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) → (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩}) ↔ 𝑓 = ((𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩})))
3128, 30rspc2ev 3584 . . . . 5 (((𝑓𝐽) ∈ 𝑆 ∧ (𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})) ∧ 𝑓 = ((𝑓 ↾ (𝑇 ∖ {𝐽})) ∪ {⟨𝐽, (𝑓𝐽)⟩})) → ∃𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}))
3211, 21, 24, 31syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐽𝑇𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)) → ∃𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}))
3332ex 416 . . 3 (𝐽𝑇 → (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) → ∃𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩})))
34 elmapi 8429 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})) → 𝑔:(𝑇 ∖ {𝐽})⟶𝑆)
3534ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → 𝑔:(𝑇 ∖ {𝐽})⟶𝑆)
36 f1osng 6639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽𝑇𝑦 ∈ V) → {⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}–1-1-onto→{𝑦})
37 f1of 6599 . . . . . . . . . . . 12 ({⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}–1-1-onto→{𝑦} → {⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}⟶{𝑦})
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽𝑇𝑦 ∈ V) → {⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}⟶{𝑦})
3938elvd 3448 . . . . . . . . . 10 (𝐽𝑇 → {⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}⟶{𝑦})
4039adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → {⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}⟶{𝑦})
41 incom 4131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∩ {𝐽}) = ({𝐽} ∩ (𝑇 ∖ {𝐽}))
42 disjdif 4382 . . . . . . . . . . 11 ({𝐽} ∩ (𝑇 ∖ {𝐽})) = ∅
4341, 42eqtri 2821 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∩ {𝐽}) = ∅
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∩ {𝐽}) = ∅)
45 fun 6522 . . . . . . . . 9 (((𝑔:(𝑇 ∖ {𝐽})⟶𝑆 ∧ {⟨𝐽, 𝑦⟩}:{𝐽}⟶{𝑦}) ∧ ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∩ {𝐽}) = ∅) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽})⟶(𝑆 ∪ {𝑦}))
4635, 40, 44, 45syl21anc 836 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽})⟶(𝑆 ∪ {𝑦}))
47 uncom 4083 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ (𝑇 ∖ {𝐽}))
48 simpl 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → 𝐽𝑇)
4948snssd 4705 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → {𝐽} ⊆ 𝑇)
50 undif 4391 . . . . . . . . . . 11 ({𝐽} ⊆ 𝑇 ↔ ({𝐽} ∪ (𝑇 ∖ {𝐽})) = 𝑇)
5149, 50sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → ({𝐽} ∪ (𝑇 ∖ {𝐽})) = 𝑇)
5247, 51syl5eq 2845 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽}) = 𝑇)
5352feq2d 6481 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → ((𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽})⟶(𝑆 ∪ {𝑦}) ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):𝑇⟶(𝑆 ∪ {𝑦})))
5446, 53mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):𝑇⟶(𝑆 ∪ {𝑦}))
55 ssidd 3940 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → 𝑆𝑆)
56 snssi 4704 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑆 → {𝑦} ⊆ 𝑆)
5756ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → {𝑦} ⊆ 𝑆)
5855, 57unssd 4116 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑆 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
5954, 58fssd 6510 . . . . . 6 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):𝑇𝑆)
60 elmapex 8428 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})) → (𝑆 ∈ V ∧ (𝑇 ∖ {𝐽}) ∈ V))
6160ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑆 ∈ V ∧ (𝑇 ∖ {𝐽}) ∈ V))
6261simpld 498 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → 𝑆 ∈ V)
63 ssun1 4102 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ {𝐽})
64 undif1 4385 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽}) = (𝑇 ∪ {𝐽})
6561simprd 499 . . . . . . . . . 10 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑇 ∖ {𝐽}) ∈ V)
66 snex 5301 . . . . . . . . . 10 {𝐽} ∈ V
67 unexg 7465 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∖ {𝐽}) ∈ V ∧ {𝐽} ∈ V) → ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽}) ∈ V)
6865, 66, 67sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → ((𝑇 ∖ {𝐽}) ∪ {𝐽}) ∈ V)
6964, 68eqeltrrid 2895 . . . . . . . 8 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑇 ∪ {𝐽}) ∈ V)
70 ssexg 5195 . . . . . . . 8 ((𝑇 ⊆ (𝑇 ∪ {𝐽}) ∧ (𝑇 ∪ {𝐽}) ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
7163, 69, 70sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → 𝑇 ∈ V)
7262, 71elmapd 8421 . . . . . 6 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → ((𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) ∈ (𝑆m 𝑇) ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}):𝑇𝑆))
7359, 72mpbird 260 . . . . 5 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) ∈ (𝑆m 𝑇))
74 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) → (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) ↔ (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) ∈ (𝑆m 𝑇)))
7573, 74syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝐽𝑇 ∧ (𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽})))) → (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) → 𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)))
7675rexlimdvva 3254 . . 3 (𝐽𝑇 → (∃𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) → 𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)))
7733, 76impbid 215 . 2 (𝐽𝑇 → (𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇) ↔ ∃𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩})))
78 ralxpmap.j . . 3 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩}) → (𝜑𝜓))
7978adantl 485 . 2 ((𝐽𝑇𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨𝐽, 𝑦⟩})) → (𝜑𝜓))
803, 77, 79ralxpxfr2d 3588 1 (𝐽𝑇 → (∀𝑓 ∈ (𝑆m 𝑇)𝜑 ↔ ∀𝑦𝑆𝑔 ∈ (𝑆m (𝑇 ∖ {𝐽}))𝜓))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3442   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4246  {csn 4528  ⟨cop 4534   ↾ cres 5525   Fn wfn 6327  ⟶wf 6328  –1-1-onto→wf1o 6331  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ↑m cmap 8407 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-map 8409 This theorem is referenced by:  islindf4  20549
 Copyright terms: Public domain W3C validator