Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpad2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumpad2 33353
Description: Remove zeroes from an extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpad.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumpad.2 (𝜑𝐵𝑊)
esumpad.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 = 0)
Assertion
Ref Expression
esumpad2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad2
StepHypRef Expression
1 nfv 1916 . . . 4 𝑘𝜑
2 esumpad.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
3 esumpad.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4 difssd 4132 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
51, 2, 3, 4esummono 33351 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶)
6 esumpad.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑊)
7 unexg 7739 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
82, 6, 7syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
9 elun 4148 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
10 esumpad.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 = 0)
11 0e0iccpnf 13441 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]+∞)
1210, 11eqeltrdi 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
133, 12jaodan 955 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
149, 13sylan2b 593 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
15 ssun1 4172 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐴𝐵))
171, 8, 14, 16esummono 33351 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
18 undif1 4475 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵)
19 esumeq1 33331 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵) → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 Σ*𝑘 ∈ ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶
212difexd 5329 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
224sselda 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑘𝐴)
2322, 3syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
2421, 6, 23, 10esumpad 33352 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
2520, 24eqtr3id 2785 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
2617, 25breqtrd 5174 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)
275, 26jca 511 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶))
28 iccssxr 13412 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2923ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
30 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑘(𝐴𝐵)
3130esumcl 33327 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3221, 29, 31syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3328, 32sselid 3980 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℝ*)
343ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
35 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑘𝐴
3635esumcl 33327 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
372, 34, 36syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3828, 37sselid 3980 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
39 xrletri3 13138 . . 3 ((Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘𝐴𝐶 ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)))
4033, 38, 39syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶)))
4127, 40mpbird 257 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ*𝑘𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  Vcvv 3473  cdif 3945  cun 3946  wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  0cc0 11113  +∞cpnf 11250  *cxr 11252  cle 11254  [,]cicc 13332  Σ*cesum 33324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-ordt 17452  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-plusf 18565  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-abv 20569  df-lmod 20617  df-scaf 20618  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-tmd 23797  df-tgp 23798  df-tsms 23852  df-trg 23885  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-nm 24312  df-ngp 24313  df-nrg 24315  df-nlm 24316  df-ii 24618  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-esum 33325
This theorem is referenced by:  omsmeas  33621
  Copyright terms: Public domain W3C validator