Theorem esumpad2 34037

Description: Remove zeroes from an extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
esumpad.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumpad2	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1912	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		esumpad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumpad.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4		difssd 4147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	esummono 34035	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
6		esumpad.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		unexg 7762	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
8	2, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
9		elun 4163	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
10		esumpad.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)
11		0e0iccpnf 13496	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
12	10, 11	eqeltrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	3, 12	jaodan 959	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14	9, 13	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
15		ssun1 4188	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵))
17	1, 8, 14, 16	esummono 34035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
18		undif1 4482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
19		esumeq1 34015	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶
21	2	difexd 5337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
22	4	sselda 3995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22, 3	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24	21, 6, 23, 10	esumpad 34036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
25	20, 24	eqtr3id 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
26	17, 25	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
27	5, 26	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶))
28		iccssxr 13467	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
29	23	ralrimiva 3144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
30		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∖ 𝐵)
31	30	esumcl 34011	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
32	21, 29, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
33	28, 32	sselid 3993	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ ℝ*)
34	3	ralrimiva 3144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
35		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
36	35	esumcl 34011	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
37	2, 34, 36	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
38	28, 37	sselid 3993	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
39		xrletri3 13193	. . 3 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)))
40	33, 38, 39	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)))
41	27, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  [,]cicc 13387  Σ^*cesum 34008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-ordt 17548  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-plusf 18665  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-abv 20827  df-lmod 20877  df-scaf 20878  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tmd 24096  df-tgp 24097  df-tsms 24151  df-trg 24184  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nrg 24614  df-nlm 24615  df-ii 24917  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-esum 34009

This theorem is referenced by:  omsmeas  34305