Theorem esumpad2 32024

Description: Remove zeroes from an extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
esumpad.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumpad2	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		esumpad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumpad.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4		difssd 4067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	esummono 32022	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
6		esumpad.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		unexg 7599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
8	2, 6, 7	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
9		elun 4083	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
10		esumpad.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)
11		0e0iccpnf 13191	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
12	10, 11	eqeltrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	3, 12	jaodan 955	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14	9, 13	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
15		ssun1 4106	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵))
17	1, 8, 14, 16	esummono 32022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
18		undif1 4409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
19		esumeq1 32002	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶
21	2	difexd 5253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
22	4	sselda 3921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22, 3	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24	21, 6, 23, 10	esumpad 32023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
25	20, 24	eqtr3id 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
26	17, 25	breqtrd 5100	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
27	5, 26	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶))
28		iccssxr 13162	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
29	23	ralrimiva 3103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
30		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∖ 𝐵)
31	30	esumcl 31998	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
32	21, 29, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
33	28, 32	sselid 3919	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ ℝ*)
34	3	ralrimiva 3103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
35		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
36	35	esumcl 31998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
37	2, 34, 36	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
38	28, 37	sselid 3919	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
39		xrletri3 12888	. . 3 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)))
40	33, 38, 39	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)))
41	27, 40	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  [,]cicc 13082  Σ^*cesum 31995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-ordt 17212  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-ps 18284  df-tsr 18285  df-plusf 18325  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-abv 20077  df-lmod 20125  df-scaf 20126  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-tmd 23223  df-tgp 23224  df-tsms 23278  df-trg 23311  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nrg 23741  df-nlm 23742  df-ii 24040  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-esum 31996

This theorem is referenced by:  omsmeas  32290