Theorem esumpad2 32992

Description: Remove zeroes from an extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
esumpad.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumpad2	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1918	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		esumpad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumpad.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4		difssd 4131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	esummono 32990	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
6		esumpad.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		unexg 7731	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
8	2, 6, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
9		elun 4147	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
10		esumpad.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)
11		0e0iccpnf 13432	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
12	10, 11	eqeltrdi 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	3, 12	jaodan 957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14	9, 13	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
15		ssun1 4171	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵))
17	1, 8, 14, 16	esummono 32990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
18		undif1 4474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
19		esumeq1 32970	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶
21	2	difexd 5328	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
22	4	sselda 3981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22, 3	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24	21, 6, 23, 10	esumpad 32991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
25	20, 24	eqtr3id 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
26	17, 25	breqtrd 5173	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
27	5, 26	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶))
28		iccssxr 13403	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
29	23	ralrimiva 3147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
30		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∖ 𝐵)
31	30	esumcl 32966	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
32	21, 29, 31	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
33	28, 32	sselid 3979	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ ℝ*)
34	3	ralrimiva 3147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
35		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
36	35	esumcl 32966	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
37	2, 34, 36	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
38	28, 37	sselid 3979	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
39		xrletri3 13129	. . 3 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)))
40	33, 38, 39	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)))
41	27, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245  [,]cicc 13323  Σ^*cesum 32963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-ordt 17443  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-ps 18515  df-tsr 18516  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-subrg 20349  df-abv 20413  df-lmod 20461  df-scaf 20462  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-tmd 23558  df-tgp 23559  df-tsms 23613  df-trg 23646  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-nm 24073  df-ngp 24074  df-nrg 24076  df-nlm 24077  df-ii 24375  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366  df-log 26047  df-esum 32964

This theorem is referenced by:  omsmeas  33260