Theorem esumpad2 34240

Description: Remove zeroes from an extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
esumpad.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumpad2	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		esumpad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumpad.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4		difssd 4091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	esummono 34238	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
6		esumpad.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		unexg 7700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
8	2, 6, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
9		elun 4107	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
10		esumpad.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)
11		0e0iccpnf 13389	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
12	10, 11	eqeltrdi 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	3, 12	jaodan 960	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14	9, 13	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
15		ssun1 4132	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵))
17	1, 8, 14, 16	esummono 34238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
18		undif1 4430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
19		esumeq1 34218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶
21	2	difexd 5280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
22	4	sselda 3935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22, 3	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24	21, 6, 23, 10	esumpad 34239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
25	20, 24	eqtr3id 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
26	17, 25	breqtrd 5126	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
27	5, 26	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶))
28		iccssxr 13360	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
29	23	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
30		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∖ 𝐵)
31	30	esumcl 34214	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
32	21, 29, 31	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
33	28, 32	sselid 3933	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ ℝ*)
34	3	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
35		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
36	35	esumcl 34214	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
37	2, 34, 36	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
38	28, 37	sselid 3933	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
39		xrletri3 13082	. . 3 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)))
40	33, 38, 39	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)))
41	27, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  0cc0 11040  +∞cpnf 11177  ℝ^*cxr 11179   ≤ cle 11181  [,]cicc 13278  Σ^*cesum 34211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119  ax-mulf 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-fac 14211  df-bc 14240  df-hash 14268  df-shft 15004  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-limsup 15408  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-ef 16004  df-sin 16006  df-cos 16007  df-pi 16009  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-prds 17381  df-ordt 17436  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-xps 17445  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-ps 18503  df-tsr 18504  df-plusf 18578  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19070  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-subrng 20496  df-subrg 20520  df-abv 20759  df-lmod 20830  df-scaf 20831  df-sra 21142  df-rgmod 21143  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-lp 23097  df-perf 23098  df-cn 23188  df-cnp 23189  df-haus 23276  df-tx 23523  df-hmeo 23716  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-tmd 24033  df-tgp 24034  df-tsms 24088  df-trg 24121  df-xms 24281  df-ms 24282  df-tms 24283  df-nm 24543  df-ngp 24544  df-nrg 24546  df-nlm 24547  df-ii 24843  df-cncf 24844  df-limc 25840  df-dv 25841  df-log 26538  df-esum 34212

This theorem is referenced by:  omsmeas  34507