Theorem esumpad2 34551

Description: Remove zeroes from an extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumpad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
esumpad.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
esumpad.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)

Assertion

Ref	Expression
esumpad2	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem esumpad2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		esumpad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esumpad.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4		difssd 4087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	esummono 34549	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)
6		esumpad.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
7		unexg 7748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
8	2, 6, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
9		elun 4103	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
10		esumpad.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 0)
11		0e0iccpnf 13512	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
12	10, 11	eqeltrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
13	3, 12	jaodan 972	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
14	9, 13	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
15		ssun1 4127	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵))
17	1, 8, 14, 16	esummono 34549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
18		undif1 4433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
19		esumeq1 34529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵) → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶
21	2	difexd 5300	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
22	4	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22, 3	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
24	21, 6, 23, 10	esumpad 34550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
25	20, 24	eqtr3id 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
26	17, 25	breqtrd 5135	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)
27	5, 26	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶))
28		iccssxr 13483	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
29	23	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
30		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐴 ∖ 𝐵)
31	30	esumcl 34525	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
32	21, 29, 31	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ (0[,]+∞))
33	28, 32	sselid 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ ℝ*)
34	3	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
35		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
36	35	esumcl 34525	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
37	2, 34, 36	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ (0[,]+∞))
38	28, 37	sselid 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*)
39		xrletri3 13205	. . 3 ⊢ ((Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℝ*) → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)))
40	33, 38, 39	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ↔ (Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ∧ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶 ≤ Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶)))
41	27, 40	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝐶 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  0cc0 11125  +∞cpnf 11265  ℝ^*cxr 11267   ≤ cle 11269  [,]cicc 13401  Σ^*cesum 34522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16155  df-sin 16157  df-cos 16158  df-pi 16160  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-rest 17509  df-topn 17510  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-topgen 17530  df-pt 17531  df-prds 17534  df-ordt 17589  df-xrs 17590  df-qtop 17595  df-imas 17596  df-xps 17598  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-ps 18656  df-tsr 18657  df-plusf 18731  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-abv 20974  df-lmod 21045  df-scaf 21046  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-psmet 21576  df-xmet 21577  df-met 21578  df-bl 21579  df-mopn 21580  df-fbas 21581  df-fg 21582  df-cnfld 21585  df-top 23118  df-topon 23135  df-topsp 23157  df-bases 23170  df-cld 23243  df-ntr 23244  df-cls 23245  df-nei 23322  df-lp 23360  df-perf 23361  df-cn 23451  df-cnp 23452  df-haus 23539  df-tx 23787  df-hmeo 23980  df-fil 24071  df-fm 24163  df-flim 24164  df-flf 24165  df-tmd 24297  df-tgp 24298  df-tsms 24352  df-trg 24385  df-xms 24545  df-ms 24546  df-tms 24547  df-nm 24807  df-ngp 24808  df-nrg 24810  df-nlm 24811  df-ii 25104  df-cncf 25105  df-limc 26093  df-dv 26094  df-log 26789  df-esum 34523

This theorem is used by:  omsmeas  34819