Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem2aN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihglblem2aN 40468
Description: Lemma for isomorphism H of a GLB. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglblem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihglblem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihglblem.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dihglblem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)}
Assertion
Ref Expression
dihglblem2aN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒, ∧   𝑒,𝐡   𝑒,𝑆,𝑣   𝑒,π‘Š,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑣)   𝑇(𝑣,𝑒)   𝐺(𝑣,𝑒)   𝐻(𝑣,𝑒)   𝐾(𝑣,𝑒)   ≀ (𝑣,𝑒)
Proof of Theorem dihglblem2aN
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihglblem.t . . 3 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)}
21a1i 11 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)})
3 simprr 770 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
4 n0 4347 . . . 4 (𝑆 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑆)
53, 4sylib 217 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ 𝑆)
6 hllat 38537 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
76ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
8 simplrl 774 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
9 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
108, 9sseldd 3984 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
11 dihglblem.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
12 dihglblem.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
1311, 12lhpbase 39173 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
1413ad3antlr 728 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
15 dihglblem.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
1611, 15latmcl 18398 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
177, 10, 14, 16syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
18 eqidd 2732 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∧ π‘Š) = (𝑧 ∧ π‘Š))
19 oveq1 7419 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑧 β†’ (𝑣 ∧ π‘Š) = (𝑧 ∧ π‘Š))
2019rspceeqv 3634 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ∧ π‘Š) = (𝑧 ∧ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ π‘Š) = (𝑣 ∧ π‘Š))
219, 18, 20syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ π‘Š) = (𝑣 ∧ π‘Š))
22 ovex 7445 . . . . . 6 (𝑧 ∧ π‘Š) ∈ V
23 eleq1 2820 . . . . . . 7 (𝑀 = (𝑧 ∧ π‘Š) β†’ (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)} ↔ (𝑧 ∧ π‘Š) ∈ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)}))
24 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑧 ∧ π‘Š) β†’ (𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š) ↔ (𝑧 ∧ π‘Š) = (𝑣 ∧ π‘Š)))
2524rexbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑧 ∧ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ π‘Š) = (𝑣 ∧ π‘Š)))
2625elrab 3684 . . . . . . 7 ((𝑧 ∧ π‘Š) ∈ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)} ↔ ((𝑧 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ π‘Š) = (𝑣 ∧ π‘Š)))
2723, 26bitrdi 286 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑧 ∧ π‘Š) β†’ (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)} ↔ ((𝑧 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ π‘Š) = (𝑣 ∧ π‘Š))))
2822, 27spcev 3597 . . . . 5 (((𝑧 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ π‘Š) = (𝑣 ∧ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)})
2917, 21, 28syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)})
30 n0 4347 . . . 4 ({𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)})
3129, 30sylibr 233 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)} β‰  βˆ…)
325, 31exlimddv 1937 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)} β‰  βˆ…)
332, 32eqnetrd 3007 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  glbcglb 18268  meetcmee 18270  Latclat 18389  HLchlt 38524  LHypclh 39159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-lat 18390  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-lhyp 39163
This theorem is referenced by:  dihglblem3N  40470
  Copyright terms: Public domain W3C validator