Theorem dihglblem2aN 41757

Description: Lemma for isomorphism H of a GLB. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}

Assertion

Ref	Expression
dihglblem2aN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢, ∧   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢)   𝐻(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢)   ≤ (𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2aN

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
3		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
4		n0 4294	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆)
6		hllat 39827	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
7	6	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
8		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3923	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		dihglblem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12		dihglblem.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13	11, 12	lhpbase 40462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	13	ad3antlr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
15		dihglblem.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
16	11, 15	latmcl 18401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
17	7, 10, 14, 16	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
18		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑧 ∧ 𝑊))
19		oveq1 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑧 ∧ 𝑊))
20	19	rspceeqv 3588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑧 ∧ 𝑊)) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
21	9, 18, 20	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
22		ovex 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ V
23		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}))
24		eqeq1 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
25	24	rexbidv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
26	25	elrab 3635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
27	23, 26	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))))
28	22, 27	spcev 3549	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
29	17, 21, 28	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
30		n0 4294	. . . 4 ⊢ ({𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
31	29, 30	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ≠ ∅)
32	5, 31	exlimddv 1937	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ≠ ∅)
33	2, 32	eqnetrd 3000	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  lecple 17222  glbcglb 18271  meetcmee 18273  Latclat 18392  HLchlt 39814  LHypclh 40448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-lat 18393  df-atl 39762  df-cvlat 39786  df-hlat 39815  df-lhyp 40452

This theorem is referenced by:  dihglblem3N  41759