Theorem dihglblem2aN 42169

Description: Lemma for isomorphism H of a GLB. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}

Assertion

Ref	Expression
dihglblem2aN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢, ∧   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣, 𝑢)   𝐺(𝑣, 𝑢)   𝐻(𝑣, 𝑢)   𝐾(𝑣, 𝑢)   ≤ (𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2aN

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
3		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
4		n0 4300	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆)
6		hllat 40239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
7	6	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
8		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		dihglblem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12		dihglblem.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13	11, 12	lhpbase 40874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	13	ad3antlr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
15		dihglblem.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
16	11, 15	latmcl 18531	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
17	7, 10, 14, 16	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
18		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑧 ∧ 𝑊))
19		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑧 ∧ 𝑊))
20	19	rspceeqv 3599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑧 ∧ 𝑊)) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
21	9, 18, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
22		ovex 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ V
23		eleq1 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}))
24		eqeq1 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
25	24	rexbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
26	25	elrab 3645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
27	23, 26	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))))
28	22, 27	spcev 3560	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
29	17, 21, 28	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
30		n0 4300	. . . 4 ⊢ ({𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
31	29, 30	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ≠ ∅)
32	5, 31	exlimddv 1968	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ≠ ∅)
33	2, 32	eqnetrd 3022	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  lecple 17352  glbcglb 18401  meetcmee 18403  Latclat 18522  HLchlt 40226  LHypclh 40860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-lub 18435  df-glb 18436  df-join 18437  df-meet 18438  df-lat 18523  df-atl 40174  df-cvlat 40198  df-hlat 40227  df-lhyp 40864

This theorem is used by:  dihglblem3N  42171