Theorem dihglblem2aN 42129

Description: Lemma for isomorphism H of a GLB. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}

Assertion

Ref	Expression
dihglblem2aN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢, ∧   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣, 𝑢)   𝐺(𝑣, 𝑢)   𝐻(𝑣, 𝑢)   𝐾(𝑣, 𝑢)   ≤ (𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2aN

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
3		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
4		n0 4307	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆)
6		hllat 40199	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
7	6	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
8		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		dihglblem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12		dihglblem.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13	11, 12	lhpbase 40834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	13	ad3antlr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
15		dihglblem.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
16	11, 15	latmcl 18522	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
17	7, 10, 14, 16	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
18		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑧 ∧ 𝑊))
19		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑧 ∧ 𝑊))
20	19	rspceeqv 3606	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑧 ∧ 𝑊)) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
21	9, 18, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
22		ovex 7452	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ V
23		eleq1 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}))
24		eqeq1 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
25	24	rexbidv 3191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
26	25	elrab 3652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
27	23, 26	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))))
28	22, 27	spcev 3567	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
29	17, 21, 28	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
30		n0 4307	. . . 4 ⊢ ({𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
31	29, 30	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ≠ ∅)
32	5, 31	exlimddv 1968	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ≠ ∅)
33	2, 32	eqnetrd 3027	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17295  lecple 17343  glbcglb 18392  meetcmee 18394  Latclat 18513  HLchlt 40186  LHypclh 40820

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-lub 18426  df-glb 18427  df-join 18428  df-meet 18429  df-lat 18514  df-atl 40134  df-cvlat 40158  df-hlat 40187  df-lhyp 40824

This theorem is used by:  dihglblem3N  42131