Theorem dihglblem2aN 41280

Description: Lemma for isomorphism H of a GLB. (Contributed by NM, 19-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}

Assertion

Ref	Expression
dihglblem2aN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢, ∧   𝑢,𝐵   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑣,𝑢)   𝐻(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢)   ≤ (𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem2aN

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihglblem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
3		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
4		n0 4312	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑆)
6		hllat 39349	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
7	6	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
8		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3944	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		dihglblem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12		dihglblem.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13	11, 12	lhpbase 39985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	13	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
15		dihglblem.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
16	11, 15	latmcl 18381	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
17	7, 10, 14, 16	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
18		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑧 ∧ 𝑊))
19		oveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ∧ 𝑊) = (𝑧 ∧ 𝑊))
20	19	rspceeqv 3608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑧 ∧ 𝑊)) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
21	9, 18, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))
22		ovex 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ V
23		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ (𝑧 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}))
24		eqeq1 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
25	24	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
26	25	elrab 3656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)))
27	23, 26	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑧 ∧ 𝑊) → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ↔ ((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊))))
28	22, 27	spcev 3569	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑆 (𝑧 ∧ 𝑊) = (𝑣 ∧ 𝑊)) → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
29	17, 21, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
30		n0 4312	. . . 4 ⊢ ({𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)})
31	29, 30	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ≠ ∅)
32	5, 31	exlimddv 1935	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ≠ ∅)
33	2, 32	eqnetrd 2992	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3402   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  lecple 17203  glbcglb 18251  meetcmee 18253  Latclat 18372  HLchlt 39336  LHypclh 39971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-lat 18373  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-lhyp 39975

This theorem is referenced by:  dihglblem3N  41282