Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem3N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihglblem3N 40692
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglblem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihglblem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihglblem.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dihglblem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)}
dihglblem.i 𝐽 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem.ih 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dihglblem3N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‡)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑒,𝑣, ∧   π‘₯, ≀   π‘₯,𝐡,𝑒   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆,𝑒,𝑣   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘Š,𝑒,𝑣   𝑒, ≀ ,𝑣   𝑣,𝐡   𝑒,𝐺,𝑣   𝑒,𝐻,𝑣   𝑒,𝐾,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑒)   𝐼(π‘₯,𝑣,𝑒)   𝐽(π‘₯,𝑣,𝑒)
Proof of Theorem dihglblem3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dihglblem.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)}
3 simp11l 1282 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38760 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp12l 1284 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
6 simp3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ 𝑣 ∈ 𝑆)
75, 6sseldd 3979 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
8 simp11r 1283 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
9 dihglblem.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
10 dihglblem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
119, 10lhpbase 39395 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
13 dihglblem.l . . . . . . . . . . . 12 ≀ = (leβ€˜πΎ)
14 dihglblem.m . . . . . . . . . . . 12 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
159, 13, 14latmle2 18442 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
164, 7, 12, 15syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ (𝑣 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
17163expia 1119 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑆 β†’ (𝑣 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š))
18 breq1 5145 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š) β†’ (𝑒 ≀ π‘Š ↔ (𝑣 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š))
1918biimprcd 249 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š β†’ (𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š) β†’ 𝑒 ≀ π‘Š))
2017, 19syl6 35 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑆 β†’ (𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š) β†’ 𝑒 ≀ π‘Š)))
2120rexlimdv 3148 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š) β†’ 𝑒 ≀ π‘Š))
2221ss2rabdv 4069 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)} βŠ† {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ 𝑒 ≀ π‘Š})
232, 22eqsstrid 4026 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝑇 βŠ† {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ 𝑒 ≀ π‘Š})
24 dihglblem.i . . . . . . 7 𝐽 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
259, 13, 10, 24dibdmN 40554 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ dom 𝐽 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ 𝑒 ≀ π‘Š})
26253ad2ant1 1131 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ dom 𝐽 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ 𝑒 ≀ π‘Š})
2723, 26sseqtrrd 4019 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝑇 βŠ† dom 𝐽)
28 dihglblem.g . . . . . 6 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
299, 13, 14, 28, 10, 2dihglblem2aN 40690 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
30293adant3 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
3128, 10, 24dibglbN 40563 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† dom 𝐽 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ (π½β€˜(πΊβ€˜π‘‡)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (π½β€˜π‘₯))
321, 27, 30, 31syl12anc 836 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (π½β€˜(πΊβ€˜π‘‡)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (π½β€˜π‘₯))
339, 13, 14, 28, 10, 2dihglblem2N 40691 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (πΊβ€˜π‘‡))
34333adant2r 1177 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (πΊβ€˜π‘‡))
3534fveq2d 6895 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (π½β€˜(πΊβ€˜π‘†)) = (π½β€˜(πΊβ€˜π‘‡)))
36 simpl1 1189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3723sselda 3978 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ 𝑒 ≀ π‘Š})
38 breq1 5145 . . . . . . 7 (𝑒 = π‘₯ β†’ (𝑒 ≀ π‘Š ↔ π‘₯ ≀ π‘Š))
3938elrab 3680 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ 𝑒 ≀ π‘Š} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
4037, 39sylib 217 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
41 dihglblem.ih . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
429, 13, 10, 41, 24dihvalb 40634 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (π½β€˜π‘₯))
4336, 40, 42syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (π½β€˜π‘₯))
4443iineq2dv 5016 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (π½β€˜π‘₯))
4532, 35, 443eqtr4rd 2778 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) = (π½β€˜(πΊβ€˜π‘†)))
46 simp1l 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ HL)
47 hlclat 38754 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
4846, 47syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
49 simp2l 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
509, 28clatglbcl 18482 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
5148, 49, 50syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
52 simp3 1136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š)
539, 13, 10, 41, 24dihvalb 40634 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = (π½β€˜(πΊβ€˜π‘†)))
541, 51, 52, 53syl12anc 836 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = (π½β€˜(πΊβ€˜π‘†)))
5534fveq2d 6895 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‡)))
5645, 54, 553eqtr2rd 2774 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‡)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆƒwrex 3065  {crab 3427   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  βˆ© ciin 4992   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  glbcglb 18287  meetcmee 18289  Latclat 18408  CLatccla 18475  HLchlt 38746  LHypclh 39381  DIsoBcdib 40535  DIsoHcdih 40625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8836  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556  df-disoa 40426  df-dib 40536  df-dih 40626
This theorem is referenced by:  dihglblem3aN  40693
  Copyright terms: Public domain W3C validator