Theorem dihglblem3N 41920

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
dihglblem.i	⊢ 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem.ih	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihglblem3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑣, ∧   𝑥, ≤   𝑥,𝐵,𝑢   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑢,𝑣   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊,𝑢,𝑣   𝑢, ≤ ,𝑣   𝑣,𝐵   𝑢,𝐺,𝑣   𝑢,𝐻,𝑣   𝑢,𝐾,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1150	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihglblem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
3		simp11l 1299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 39989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp12l 1301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		simp3 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝑆)
7	5, 6	sseldd 3938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝐵)
8		simp11r 1300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
9		dihglblem.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		dihglblem.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11	9, 10	lhpbase 40623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
13		dihglblem.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		dihglblem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
15	9, 13, 14	latmle2 18498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
16	4, 7, 12, 15	syl3anc 1391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
17	16	3expia 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑆 → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊))
18		breq1 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → (𝑢 ≤ 𝑊 ↔ (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊))
19	18	biimprcd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊))
20	17, 19	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑆 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊)))
21	20	rexlimdv 3162	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊))
22	21	ss2rabdv 4029	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ⊆ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
23	2, 22	eqsstrid 3975	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ⊆ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
24		dihglblem.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
25	9, 13, 10, 24	dibdmN 41782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐽 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
26	25	3ad2ant1 1147	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → dom 𝐽 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
27	23, 26	sseqtrrd 3974	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ⊆ dom 𝐽)
28		dihglblem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
29	9, 13, 14, 28, 10, 2	dihglblem2aN 41918	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
30	29	3adant3 1146	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ≠ ∅)
31	28, 10, 24	dibglbN 41791	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ⊆ dom 𝐽 ∧ 𝑇 ≠ ∅)) → (𝐽‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
32	1, 27, 30, 31	syl12anc 847	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐽‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
33	9, 13, 14, 28, 10, 2	dihglblem2N 41919	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))
34	33	3adant2r 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))
35	34	fveq2d 6872	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐽‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑇)))
36		simpl1 1206	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
37	23	sselda 3937	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
38		breq1 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ≤ 𝑊 ↔ 𝑥 ≤ 𝑊))
39	38	elrab 3651	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊))
40	37, 39	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊))
41		dihglblem.ih	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
42	9, 13, 10, 41, 24	dihvalb 41862	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘𝑥))
43	36, 40, 42	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘𝑥))
44	43	iineq2dv 4976	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
45	32, 35, 44	3eqtr4rd 2809	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
46		simp1l 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
47		hlclat 39983	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
48	46, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
49		simp2l 1214	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
50	9, 28	clatglbcl 18538	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
51	48, 49, 50	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
52		simp3 1152	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
53	9, 13, 10, 41, 24	dihvalb 41862	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
54	1, 51, 52, 53	syl12anc 847	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
55	34	fveq2d 6872	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐼‘(𝐺‘𝑇)))
56	45, 54, 55	3eqtr2rd 2805	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3087  {crab 3415   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∩ ciin 4951   class class class wbr 5101  dom cdm 5648  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Basecbs 17246  lecple 17294  glbcglb 18343  meetcmee 18345  Latclat 18464  CLatccla 18531  HLchlt 39975  LHypclh 40609  DIsoBcdib 41763  DIsoHcdih 41853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-map 8811  df-proset 18327  df-poset 18346  df-plt 18361  df-lub 18377  df-glb 18378  df-join 18379  df-meet 18380  df-p0 18456  df-p1 18457  df-lat 18465  df-clat 18532  df-oposet 39801  df-ol 39803  df-oml 39804  df-covers 39891  df-ats 39892  df-atl 39923  df-cvlat 39947  df-hlat 39976  df-lhyp 40613  df-laut 40614  df-ldil 40729  df-ltrn 40730  df-trl 40784  df-disoa 41654  df-dib 41764  df-dih 41854

This theorem is referenced by:  dihglblem3aN  41921