Theorem dihglblem3N 41314

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
dihglblem.i	⊢ 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem.ih	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihglblem3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑣, ∧   𝑥, ≤   𝑥,𝐵,𝑢   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑢,𝑣   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊,𝑢,𝑣   𝑢, ≤ ,𝑣   𝑣,𝐵   𝑢,𝐺,𝑣   𝑢,𝐻,𝑣   𝑢,𝐾,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihglblem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
3		simp11l 1285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 39382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp12l 1287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝑆)
7	5, 6	sseldd 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝐵)
8		simp11r 1286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
9		dihglblem.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		dihglblem.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11	9, 10	lhpbase 40017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
13		dihglblem.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		dihglblem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
15	9, 13, 14	latmle2 18475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
16	4, 7, 12, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
17	16	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑆 → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊))
18		breq1 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → (𝑢 ≤ 𝑊 ↔ (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊))
19	18	biimprcd 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊))
20	17, 19	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑆 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊)))
21	20	rexlimdv 3139	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊))
22	21	ss2rabdv 4051	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ⊆ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
23	2, 22	eqsstrid 3997	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ⊆ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
24		dihglblem.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
25	9, 13, 10, 24	dibdmN 41176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐽 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → dom 𝐽 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
27	23, 26	sseqtrrd 3996	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ⊆ dom 𝐽)
28		dihglblem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
29	9, 13, 14, 28, 10, 2	dihglblem2aN 41312	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
30	29	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ≠ ∅)
31	28, 10, 24	dibglbN 41185	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ⊆ dom 𝐽 ∧ 𝑇 ≠ ∅)) → (𝐽‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
32	1, 27, 30, 31	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐽‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
33	9, 13, 14, 28, 10, 2	dihglblem2N 41313	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))
34	33	3adant2r 1180	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))
35	34	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐽‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑇)))
36		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
37	23	sselda 3958	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
38		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ≤ 𝑊 ↔ 𝑥 ≤ 𝑊))
39	38	elrab 3671	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊))
40	37, 39	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊))
41		dihglblem.ih	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
42	9, 13, 10, 41, 24	dihvalb 41256	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘𝑥))
43	36, 40, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘𝑥))
44	43	iineq2dv 4993	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
45	32, 35, 44	3eqtr4rd 2781	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
46		simp1l 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
47		hlclat 39376	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
48	46, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
49		simp2l 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
50	9, 28	clatglbcl 18515	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
51	48, 49, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
52		simp3 1138	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
53	9, 13, 10, 41, 24	dihvalb 41256	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
54	1, 51, 52, 53	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
55	34	fveq2d 6880	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐼‘(𝐺‘𝑇)))
56	45, 54, 55	3eqtr2rd 2777	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  {crab 3415   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ∩ ciin 4968   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  lecple 17278  glbcglb 18322  meetcmee 18324  Latclat 18441  CLatccla 18508  HLchlt 39368  LHypclh 40003  DIsoBcdib 41157  DIsoHcdih 41247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8842  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178  df-disoa 41048  df-dib 41158  df-dih 41248

This theorem is referenced by:  dihglblem3aN  41315