Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem3N 38313
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l = (le‘𝐾)
dihglblem.m = (meet‘𝐾)
dihglblem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
dihglblem.i 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem.ih 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihglblem3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑣,   𝑥,   𝑥,𝐵,𝑢   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑢,𝑣   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊,𝑢,𝑣   𝑢, ,𝑣   𝑣,𝐵   𝑢,𝐺,𝑣   𝑢,𝐻,𝑣   𝑢,𝐾,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dihglblem.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
3 simp11l 1276 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 36382 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp12l 1278 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑆𝐵)
6 simp3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑣𝑆)
75, 6sseldd 3967 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑣𝐵)
8 simp11r 1277 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑊𝐻)
9 dihglblem.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 dihglblem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
119, 10lhpbase 37016 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑊𝐵)
13 dihglblem.l . . . . . . . . . . . 12 = (le‘𝐾)
14 dihglblem.m . . . . . . . . . . . 12 = (meet‘𝐾)
159, 13, 14latmle2 17677 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑣𝐵𝑊𝐵) → (𝑣 𝑊) 𝑊)
164, 7, 12, 15syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → (𝑣 𝑊) 𝑊)
17163expia 1113 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑣𝑆 → (𝑣 𝑊) 𝑊))
18 breq1 5061 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 𝑊) → (𝑢 𝑊 ↔ (𝑣 𝑊) 𝑊))
1918biimprcd 251 . . . . . . . . 9 ((𝑣 𝑊) 𝑊 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊))
2017, 19syl6 35 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑣𝑆 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊)))
2120rexlimdv 3283 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊))
2221ss2rabdv 4051 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ⊆ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
232, 22eqsstrid 4014 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ⊆ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
24 dihglblem.i . . . . . . 7 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
259, 13, 10, 24dibdmN 38175 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐽 = {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
26253ad2ant1 1125 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → dom 𝐽 = {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
2723, 26sseqtrrd 4007 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ⊆ dom 𝐽)
28 dihglblem.g . . . . . 6 𝐺 = (glb‘𝐾)
299, 13, 14, 28, 10, 2dihglblem2aN 38311 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
30293adant3 1124 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ≠ ∅)
3128, 10, 24dibglbN 38184 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ⊆ dom 𝐽𝑇 ≠ ∅)) → (𝐽‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
321, 27, 30, 31syl12anc 832 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐽‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
339, 13, 14, 28, 10, 2dihglblem2N 38312 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
34333adant2r 1171 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
3534fveq2d 6668 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐽‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑇)))
36 simpl1 1183 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3723sselda 3966 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
38 breq1 5061 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 𝑊𝑥 𝑊))
3938elrab 3679 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑢𝐵𝑢 𝑊} ↔ (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
4037, 39sylib 219 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
41 dihglblem.ih . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
429, 13, 10, 41, 24dihvalb 38255 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵𝑥 𝑊)) → (𝐼𝑥) = (𝐽𝑥))
4336, 40, 42syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐼𝑥) = (𝐽𝑥))
4443iineq2dv 4936 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
4532, 35, 443eqtr4rd 2867 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
46 simp1l 1189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
47 hlclat 36376 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
4846, 47syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
49 simp2l 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
509, 28clatglbcl 17714 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
5148, 49, 50syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
52 simp3 1130 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊)
539, 13, 10, 41, 24dihvalb 38255 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
541, 51, 52, 53syl12anc 832 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
5534fveq2d 6668 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐼‘(𝐺𝑇)))
5645, 54, 553eqtr2rd 2863 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  wrex 3139  {crab 3142  wss 3935  c0 4290   ciin 4913   class class class wbr 5058  dom cdm 5549  cfv 6349  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  lecple 16562  glbcglb 17543  meetcmee 17545  Latclat 17645  CLatccla 17707  HLchlt 36368  LHypclh 37002  DIsoBcdib 38156  DIsoHcdih 38246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8398  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36194  df-ol 36196  df-oml 36197  df-covers 36284  df-ats 36285  df-atl 36316  df-cvlat 36340  df-hlat 36369  df-lhyp 37006  df-laut 37007  df-ldil 37122  df-ltrn 37123  df-trl 37177  df-disoa 38047  df-dib 38157  df-dih 38247
This theorem is referenced by:  dihglblem3aN  38314
  Copyright terms: Public domain W3C validator