Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem3N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihglblem3N 40154
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglblem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihglblem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihglblem.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dihglblem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)}
dihglblem.i 𝐽 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglblem.ih 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dihglblem3N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‡)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑒,𝑣, ∧   π‘₯, ≀   π‘₯,𝐡,𝑒   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆,𝑒,𝑣   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘Š,𝑒,𝑣   𝑒, ≀ ,𝑣   𝑣,𝐡   𝑒,𝐺,𝑣   𝑒,𝐻,𝑣   𝑒,𝐾,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑒)   𝐼(π‘₯,𝑣,𝑒)   𝐽(π‘₯,𝑣,𝑒)
Proof of Theorem dihglblem3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dihglblem.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)}
3 simp11l 1284 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38222 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp12l 1286 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
6 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ 𝑣 ∈ 𝑆)
75, 6sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
8 simp11r 1285 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
9 dihglblem.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
10 dihglblem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
119, 10lhpbase 38857 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
13 dihglblem.l . . . . . . . . . . . 12 ≀ = (leβ€˜πΎ)
14 dihglblem.m . . . . . . . . . . . 12 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
159, 13, 14latmle2 18414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
164, 7, 12, 15syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ (𝑣 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
17163expia 1121 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑆 β†’ (𝑣 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š))
18 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š) β†’ (𝑒 ≀ π‘Š ↔ (𝑣 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š))
1918biimprcd 249 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∧ π‘Š) ≀ π‘Š β†’ (𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š) β†’ 𝑒 ≀ π‘Š))
2017, 19syl6 35 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑣 ∈ 𝑆 β†’ (𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š) β†’ 𝑒 ≀ π‘Š)))
2120rexlimdv 3153 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š) β†’ 𝑒 ≀ π‘Š))
2221ss2rabdv 4072 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 𝑒 = (𝑣 ∧ π‘Š)} βŠ† {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ 𝑒 ≀ π‘Š})
232, 22eqsstrid 4029 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝑇 βŠ† {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ 𝑒 ≀ π‘Š})
24 dihglblem.i . . . . . . 7 𝐽 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
259, 13, 10, 24dibdmN 40016 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ dom 𝐽 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ 𝑒 ≀ π‘Š})
26253ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ dom 𝐽 = {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ 𝑒 ≀ π‘Š})
2723, 26sseqtrrd 4022 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝑇 βŠ† dom 𝐽)
28 dihglblem.g . . . . . 6 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
299, 13, 14, 28, 10, 2dihglblem2aN 40152 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
30293adant3 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
3128, 10, 24dibglbN 40025 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 βŠ† dom 𝐽 ∧ 𝑇 β‰  βˆ…)) β†’ (π½β€˜(πΊβ€˜π‘‡)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (π½β€˜π‘₯))
321, 27, 30, 31syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (π½β€˜(πΊβ€˜π‘‡)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (π½β€˜π‘₯))
339, 13, 14, 28, 10, 2dihglblem2N 40153 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (πΊβ€˜π‘‡))
34333adant2r 1179 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = (πΊβ€˜π‘‡))
3534fveq2d 6892 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (π½β€˜(πΊβ€˜π‘†)) = (π½β€˜(πΊβ€˜π‘‡)))
36 simpl1 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3723sselda 3981 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ 𝑒 ≀ π‘Š})
38 breq1 5150 . . . . . . 7 (𝑒 = π‘₯ β†’ (𝑒 ≀ π‘Š ↔ π‘₯ ≀ π‘Š))
3938elrab 3682 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {𝑒 ∈ 𝐡 ∣ 𝑒 ≀ π‘Š} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
4037, 39sylib 217 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
41 dihglblem.ih . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
429, 13, 10, 41, 24dihvalb 40096 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (π½β€˜π‘₯))
4336, 40, 42syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (π½β€˜π‘₯))
4443iineq2dv 5021 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (π½β€˜π‘₯))
4532, 35, 443eqtr4rd 2783 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯) = (π½β€˜(πΊβ€˜π‘†)))
46 simp1l 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ HL)
47 hlclat 38216 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
4846, 47syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
49 simp2l 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
509, 28clatglbcl 18454 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
5148, 49, 50syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
52 simp3 1138 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š)
539, 13, 10, 41, 24dihvalb 40096 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΊβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = (π½β€˜(πΊβ€˜π‘†)))
541, 51, 52, 53syl12anc 835 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = (π½β€˜(πΊβ€˜π‘†)))
5534fveq2d 6892 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘†)) = (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‡)))
5645, 54, 553eqtr2rd 2779 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (πΊβ€˜π‘†) ≀ π‘Š) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‡)) = ∩ π‘₯ ∈ 𝑇 (πΌβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆ© ciin 4997   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  glbcglb 18259  meetcmee 18261  Latclat 18380  CLatccla 18447  HLchlt 38208  LHypclh 38843  DIsoBcdib 39997  DIsoHcdih 40087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-disoa 39888  df-dib 39998  df-dih 40088
This theorem is referenced by:  dihglblem3aN  40155
  Copyright terms: Public domain W3C validator