Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem3N 37316
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l = (le‘𝐾)
dihglblem.m = (meet‘𝐾)
dihglblem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
dihglblem.i 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem.ih 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihglblem3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑣,   𝑥,   𝑥,𝐵,𝑢   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑢,𝑣   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊,𝑢,𝑣   𝑢, ,𝑣   𝑣,𝐵   𝑢,𝐺,𝑣   𝑢,𝐻,𝑣   𝑢,𝐾,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1167 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dihglblem.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
3 simp11l 1384 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 35385 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp12l 1386 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑆𝐵)
6 simp3 1169 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑣𝑆)
75, 6sseldd 3799 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑣𝐵)
8 simp11r 1385 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑊𝐻)
9 dihglblem.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 dihglblem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
119, 10lhpbase 36019 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑊𝐵)
13 dihglblem.l . . . . . . . . . . . 12 = (le‘𝐾)
14 dihglblem.m . . . . . . . . . . . 12 = (meet‘𝐾)
159, 13, 14latmle2 17392 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑣𝐵𝑊𝐵) → (𝑣 𝑊) 𝑊)
164, 7, 12, 15syl3anc 1491 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → (𝑣 𝑊) 𝑊)
17163expia 1151 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑣𝑆 → (𝑣 𝑊) 𝑊))
18 breq1 4846 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 𝑊) → (𝑢 𝑊 ↔ (𝑣 𝑊) 𝑊))
1918biimprcd 242 . . . . . . . . 9 ((𝑣 𝑊) 𝑊 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊))
2017, 19syl6 35 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑣𝑆 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊)))
2120rexlimdv 3211 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊))
2221ss2rabdv 3879 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ⊆ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
232, 22syl5eqss 3845 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ⊆ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
24 dihglblem.i . . . . . . 7 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
259, 13, 10, 24dibdmN 37178 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐽 = {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
26253ad2ant1 1164 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → dom 𝐽 = {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
2723, 26sseqtr4d 3838 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ⊆ dom 𝐽)
28 dihglblem.g . . . . . 6 𝐺 = (glb‘𝐾)
299, 13, 14, 28, 10, 2dihglblem2aN 37314 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
30293adant3 1163 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ≠ ∅)
3128, 10, 24dibglbN 37187 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ⊆ dom 𝐽𝑇 ≠ ∅)) → (𝐽‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
321, 27, 30, 31syl12anc 866 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐽‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
339, 13, 14, 28, 10, 2dihglblem2N 37315 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
34333adant2r 1228 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
3534fveq2d 6415 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐽‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑇)))
36 simpl1 1243 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3723sselda 3798 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
38 breq1 4846 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 𝑊𝑥 𝑊))
3938elrab 3556 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑢𝐵𝑢 𝑊} ↔ (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
4037, 39sylib 210 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
41 dihglblem.ih . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
429, 13, 10, 41, 24dihvalb 37258 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵𝑥 𝑊)) → (𝐼𝑥) = (𝐽𝑥))
4336, 40, 42syl2anc 580 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐼𝑥) = (𝐽𝑥))
4443iineq2dv 4733 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
4532, 35, 443eqtr4rd 2844 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
46 simp1l 1255 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
47 hlclat 35379 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
4846, 47syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
49 simp2l 1257 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
509, 28clatglbcl 17429 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
5148, 49, 50syl2anc 580 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
52 simp3 1169 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊)
539, 13, 10, 41, 24dihvalb 37258 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
541, 51, 52, 53syl12anc 866 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
5534fveq2d 6415 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐼‘(𝐺𝑇)))
5645, 54, 553eqtr2rd 2840 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wrex 3090  {crab 3093  wss 3769  c0 4115   ciin 4711   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  lecple 16274  glbcglb 17258  meetcmee 17260  Latclat 17360  CLatccla 17422  HLchlt 35371  LHypclh 36005  DIsoBcdib 37159  DIsoHcdih 37249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-map 8097  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-p1 17355  df-lat 17361  df-clat 17423  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-lhyp 36009  df-laut 36010  df-ldil 36125  df-ltrn 36126  df-trl 36180  df-disoa 37050  df-dib 37160  df-dih 37250
This theorem is referenced by:  dihglblem3aN  37317
  Copyright terms: Public domain W3C validator