Theorem dihglblem3N 39758

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
dihglblem.i	⊢ 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem.ih	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihglblem3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑣, ∧   𝑥, ≤   𝑥,𝐵,𝑢   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑢,𝑣   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊,𝑢,𝑣   𝑢, ≤ ,𝑣   𝑣,𝐵   𝑢,𝐺,𝑣   𝑢,𝐻,𝑣   𝑢,𝐾,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihglblem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
3		simp11l 1284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 37826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp12l 1286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝑆)
7	5, 6	sseldd 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝐵)
8		simp11r 1285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
9		dihglblem.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		dihglblem.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11	9, 10	lhpbase 38461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
13		dihglblem.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		dihglblem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
15	9, 13, 14	latmle2 18354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
16	4, 7, 12, 15	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
17	16	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑆 → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊))
18		breq1 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → (𝑢 ≤ 𝑊 ↔ (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊))
19	18	biimprcd 249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊))
20	17, 19	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑆 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊)))
21	20	rexlimdv 3150	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊))
22	21	ss2rabdv 4033	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ⊆ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
23	2, 22	eqsstrid 3992	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ⊆ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
24		dihglblem.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
25	9, 13, 10, 24	dibdmN 39620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐽 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → dom 𝐽 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
27	23, 26	sseqtrrd 3985	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ⊆ dom 𝐽)
28		dihglblem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
29	9, 13, 14, 28, 10, 2	dihglblem2aN 39756	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
30	29	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ≠ ∅)
31	28, 10, 24	dibglbN 39629	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ⊆ dom 𝐽 ∧ 𝑇 ≠ ∅)) → (𝐽‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
32	1, 27, 30, 31	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐽‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
33	9, 13, 14, 28, 10, 2	dihglblem2N 39757	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))
34	33	3adant2r 1179	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))
35	34	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐽‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑇)))
36		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
37	23	sselda 3944	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
38		breq1 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ≤ 𝑊 ↔ 𝑥 ≤ 𝑊))
39	38	elrab 3645	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊))
40	37, 39	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊))
41		dihglblem.ih	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
42	9, 13, 10, 41, 24	dihvalb 39700	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘𝑥))
43	36, 40, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘𝑥))
44	43	iineq2dv 4979	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
45	32, 35, 44	3eqtr4rd 2787	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
46		simp1l 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
47		hlclat 37820	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
48	46, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
49		simp2l 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
50	9, 28	clatglbcl 18394	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
51	48, 49, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
52		simp3 1138	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
53	9, 13, 10, 41, 24	dihvalb 39700	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
54	1, 51, 52, 53	syl12anc 835	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
55	34	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐼‘(𝐺‘𝑇)))
56	45, 54, 55	3eqtr2rd 2783	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073  {crab 3407   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  ∩ ciin 4955   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  glbcglb 18199  meetcmee 18201  Latclat 18320  CLatccla 18387  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DIsoBcdib 39601  DIsoHcdih 39691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8767  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-disoa 39492  df-dib 39602  df-dih 39692

This theorem is referenced by:  dihglblem3aN  39759