Theorem dihglblem3N 39236

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
dihglblem.i	⊢ 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem.ih	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihglblem3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑣, ∧   𝑥, ≤   𝑥,𝐵,𝑢   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑢,𝑣   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊,𝑢,𝑣   𝑢, ≤ ,𝑣   𝑣,𝐵   𝑢,𝐺,𝑣   𝑢,𝐻,𝑣   𝑢,𝐾,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihglblem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
3		simp11l 1282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 37305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp12l 1284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		simp3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝑆)
7	5, 6	sseldd 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝐵)
8		simp11r 1283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
9		dihglblem.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		dihglblem.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11	9, 10	lhpbase 37939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
13		dihglblem.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		dihglblem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
15	9, 13, 14	latmle2 18098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
16	4, 7, 12, 15	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
17	16	3expia 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑆 → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊))
18		breq1 5073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → (𝑢 ≤ 𝑊 ↔ (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊))
19	18	biimprcd 249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊))
20	17, 19	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑆 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊)))
21	20	rexlimdv 3211	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊))
22	21	ss2rabdv 4005	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ⊆ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
23	2, 22	eqsstrid 3965	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ⊆ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
24		dihglblem.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
25	9, 13, 10, 24	dibdmN 39098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐽 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
26	25	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → dom 𝐽 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
27	23, 26	sseqtrrd 3958	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ⊆ dom 𝐽)
28		dihglblem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
29	9, 13, 14, 28, 10, 2	dihglblem2aN 39234	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
30	29	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ≠ ∅)
31	28, 10, 24	dibglbN 39107	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ⊆ dom 𝐽 ∧ 𝑇 ≠ ∅)) → (𝐽‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
32	1, 27, 30, 31	syl12anc 833	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐽‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
33	9, 13, 14, 28, 10, 2	dihglblem2N 39235	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))
34	33	3adant2r 1177	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))
35	34	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐽‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑇)))
36		simpl1 1189	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
37	23	sselda 3917	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
38		breq1 5073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ≤ 𝑊 ↔ 𝑥 ≤ 𝑊))
39	38	elrab 3617	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊))
40	37, 39	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊))
41		dihglblem.ih	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
42	9, 13, 10, 41, 24	dihvalb 39178	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘𝑥))
43	36, 40, 42	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘𝑥))
44	43	iineq2dv 4946	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
45	32, 35, 44	3eqtr4rd 2789	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
46		simp1l 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
47		hlclat 37299	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
48	46, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
49		simp2l 1197	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
50	9, 28	clatglbcl 18138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
51	48, 49, 50	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
52		simp3 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
53	9, 13, 10, 41, 24	dihvalb 39178	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
54	1, 51, 52, 53	syl12anc 833	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
55	34	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐼‘(𝐺‘𝑇)))
56	45, 54, 55	3eqtr2rd 2785	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lecple 16895  glbcglb 17943  meetcmee 17945  Latclat 18064  CLatccla 18131  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DIsoBcdib 39079  DIsoHcdih 39169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-disoa 38970  df-dib 39080  df-dih 39170

This theorem is referenced by:  dihglblem3aN  39237