Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem3N 40629
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l = (le‘𝐾)
dihglblem.m = (meet‘𝐾)
dihglblem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
dihglblem.i 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem.ih 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihglblem3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑣,   𝑥,   𝑥,𝐵,𝑢   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑢,𝑣   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊,𝑢,𝑣   𝑢, ,𝑣   𝑣,𝐵   𝑢,𝐺,𝑣   𝑢,𝐻,𝑣   𝑢,𝐾,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dihglblem.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
3 simp11l 1283 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38697 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp12l 1285 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑆𝐵)
6 simp3 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑣𝑆)
75, 6sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑣𝐵)
8 simp11r 1284 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑊𝐻)
9 dihglblem.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 dihglblem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
119, 10lhpbase 39332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑊𝐵)
13 dihglblem.l . . . . . . . . . . . 12 = (le‘𝐾)
14 dihglblem.m . . . . . . . . . . . 12 = (meet‘𝐾)
159, 13, 14latmle2 18428 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑣𝐵𝑊𝐵) → (𝑣 𝑊) 𝑊)
164, 7, 12, 15syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → (𝑣 𝑊) 𝑊)
17163expia 1120 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑣𝑆 → (𝑣 𝑊) 𝑊))
18 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 𝑊) → (𝑢 𝑊 ↔ (𝑣 𝑊) 𝑊))
1918biimprcd 249 . . . . . . . . 9 ((𝑣 𝑊) 𝑊 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊))
2017, 19syl6 35 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑣𝑆 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊)))
2120rexlimdv 3152 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊))
2221ss2rabdv 4073 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ⊆ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
232, 22eqsstrid 4030 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ⊆ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
24 dihglblem.i . . . . . . 7 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
259, 13, 10, 24dibdmN 40491 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐽 = {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
26253ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → dom 𝐽 = {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
2723, 26sseqtrrd 4023 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ⊆ dom 𝐽)
28 dihglblem.g . . . . . 6 𝐺 = (glb‘𝐾)
299, 13, 14, 28, 10, 2dihglblem2aN 40627 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
30293adant3 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ≠ ∅)
3128, 10, 24dibglbN 40500 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ⊆ dom 𝐽𝑇 ≠ ∅)) → (𝐽‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
321, 27, 30, 31syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐽‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
339, 13, 14, 28, 10, 2dihglblem2N 40628 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
34333adant2r 1178 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
3534fveq2d 6895 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐽‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑇)))
36 simpl1 1190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3723sselda 3982 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
38 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 𝑊𝑥 𝑊))
3938elrab 3683 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑢𝐵𝑢 𝑊} ↔ (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
4037, 39sylib 217 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
41 dihglblem.ih . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
429, 13, 10, 41, 24dihvalb 40571 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵𝑥 𝑊)) → (𝐼𝑥) = (𝐽𝑥))
4336, 40, 42syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐼𝑥) = (𝐽𝑥))
4443iineq2dv 5022 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
4532, 35, 443eqtr4rd 2782 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
46 simp1l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
47 hlclat 38691 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
4846, 47syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
49 simp2l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
509, 28clatglbcl 18468 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
5148, 49, 50syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
52 simp3 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊)
539, 13, 10, 41, 24dihvalb 40571 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
541, 51, 52, 53syl12anc 834 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
5534fveq2d 6895 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐼‘(𝐺𝑇)))
5645, 54, 553eqtr2rd 2778 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wrex 3069  {crab 3431  wss 3948  c0 4322   ciin 4998   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  lecple 17211  glbcglb 18273  meetcmee 18275  Latclat 18394  CLatccla 18461  HLchlt 38683  LHypclh 39318  DIsoBcdib 40472  DIsoHcdih 40562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8828  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38509  df-ol 38511  df-oml 38512  df-covers 38599  df-ats 38600  df-atl 38631  df-cvlat 38655  df-hlat 38684  df-lhyp 39322  df-laut 39323  df-ldil 39438  df-ltrn 39439  df-trl 39493  df-disoa 40363  df-dib 40473  df-dih 40563
This theorem is referenced by:  dihglblem3aN  40630
  Copyright terms: Public domain W3C validator