Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem3N 41278
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l = (le‘𝐾)
dihglblem.m = (meet‘𝐾)
dihglblem.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
dihglblem.i 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem.ih 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihglblem3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑣,   𝑥,   𝑥,𝐵,𝑢   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑢,𝑣   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊,𝑢,𝑣   𝑢, ,𝑣   𝑣,𝐵   𝑢,𝐺,𝑣   𝑢,𝐻,𝑣   𝑢,𝐾,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dihglblem.t . . . . . 6 𝑇 = {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)}
3 simp11l 1283 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 39346 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp12l 1285 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑆𝐵)
6 simp3 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑣𝑆)
75, 6sseldd 3996 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑣𝐵)
8 simp11r 1284 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑊𝐻)
9 dihglblem.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 dihglblem.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
119, 10lhpbase 39981 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → 𝑊𝐵)
13 dihglblem.l . . . . . . . . . . . 12 = (le‘𝐾)
14 dihglblem.m . . . . . . . . . . . 12 = (meet‘𝐾)
159, 13, 14latmle2 18523 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑣𝐵𝑊𝐵) → (𝑣 𝑊) 𝑊)
164, 7, 12, 15syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵𝑣𝑆) → (𝑣 𝑊) 𝑊)
17163expia 1120 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑣𝑆 → (𝑣 𝑊) 𝑊))
18 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 𝑊) → (𝑢 𝑊 ↔ (𝑣 𝑊) 𝑊))
1918biimprcd 250 . . . . . . . . 9 ((𝑣 𝑊) 𝑊 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊))
2017, 19syl6 35 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (𝑣𝑆 → (𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊)))
2120rexlimdv 3151 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑢𝐵) → (∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊) → 𝑢 𝑊))
2221ss2rabdv 4086 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → {𝑢𝐵 ∣ ∃𝑣𝑆 𝑢 = (𝑣 𝑊)} ⊆ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
232, 22eqsstrid 4044 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ⊆ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
24 dihglblem.i . . . . . . 7 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
259, 13, 10, 24dibdmN 41140 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → dom 𝐽 = {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
26253ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → dom 𝐽 = {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
2723, 26sseqtrrd 4037 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ⊆ dom 𝐽)
28 dihglblem.g . . . . . 6 𝐺 = (glb‘𝐾)
299, 13, 14, 28, 10, 2dihglblem2aN 41276 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
30293adant3 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑇 ≠ ∅)
3128, 10, 24dibglbN 41149 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇 ⊆ dom 𝐽𝑇 ≠ ∅)) → (𝐽‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
321, 27, 30, 31syl12anc 837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐽‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
339, 13, 14, 28, 10, 2dihglblem2N 41277 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
34333adant2r 1178 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) = (𝐺𝑇))
3534fveq2d 6911 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐽‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑇)))
36 simpl1 1190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3723sselda 3995 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ {𝑢𝐵𝑢 𝑊})
38 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 𝑊𝑥 𝑊))
3938elrab 3695 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑢𝐵𝑢 𝑊} ↔ (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
4037, 39sylib 218 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
41 dihglblem.ih . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
429, 13, 10, 41, 24dihvalb 41220 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵𝑥 𝑊)) → (𝐼𝑥) = (𝐽𝑥))
4336, 40, 42syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐼𝑥) = (𝐽𝑥))
4443iineq2dv 5022 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) = 𝑥𝑇 (𝐽𝑥))
4532, 35, 443eqtr4rd 2786 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑥𝑇 (𝐼𝑥) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
46 simp1l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
47 hlclat 39340 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
4846, 47syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
49 simp2l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → 𝑆𝐵)
509, 28clatglbcl 18563 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
5148, 49, 50syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
52 simp3 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐺𝑆) 𝑊)
539, 13, 10, 41, 24dihvalb 41220 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
541, 51, 52, 53syl12anc 837 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐽‘(𝐺𝑆)))
5534fveq2d 6911 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑆)) = (𝐼‘(𝐺𝑇)))
5645, 54, 553eqtr2rd 2782 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺𝑆) 𝑊) → (𝐼‘(𝐺𝑇)) = 𝑥𝑇 (𝐼𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  c0 4339   ciin 4997   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  glbcglb 18368  meetcmee 18370  Latclat 18489  CLatccla 18556  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DIsoBcdib 41121  DIsoHcdih 41211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-disoa 41012  df-dib 41122  df-dih 41212
This theorem is referenced by:  dihglblem3aN  41279
  Copyright terms: Public domain W3C validator