Theorem dihglblem3N 41252

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 20-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dihglblem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglblem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem.t	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
dihglblem.i	⊢ 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihglblem.ih	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihglblem3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑣, ∧   𝑥, ≤   𝑥,𝐵,𝑢   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑢,𝑣   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊,𝑢,𝑣   𝑢, ≤ ,𝑣   𝑣,𝐵   𝑢,𝐺,𝑣   𝑢,𝐻,𝑣   𝑢,𝐾,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem dihglblem3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihglblem.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)}
3		simp11l 1284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 39320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp12l 1286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝑆)
7	5, 6	sseldd 4009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑣 ∈ 𝐵)
8		simp11r 1285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐻)
9		dihglblem.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		dihglblem.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11	9, 10	lhpbase 39955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ 𝐵)
13		dihglblem.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		dihglblem.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
15	9, 13, 14	latmle2 18535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
16	4, 7, 12, 15	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
17	16	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑆 → (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊))
18		breq1 5169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → (𝑢 ≤ 𝑊 ↔ (𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊))
19	18	biimprcd 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∧ 𝑊) ≤ 𝑊 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊))
20	17, 19	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑣 ∈ 𝑆 → (𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊)))
21	20	rexlimdv 3159	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊) → 𝑢 ≤ 𝑊))
22	21	ss2rabdv 4099	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑆 𝑢 = (𝑣 ∧ 𝑊)} ⊆ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
23	2, 22	eqsstrid 4057	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ⊆ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
24		dihglblem.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
25	9, 13, 10, 24	dibdmN 41114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐽 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → dom 𝐽 = {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
27	23, 26	sseqtrrd 4050	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ⊆ dom 𝐽)
28		dihglblem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
29	9, 13, 14, 28, 10, 2	dihglblem2aN 41250	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑇 ≠ ∅)
30	29	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑇 ≠ ∅)
31	28, 10, 24	dibglbN 41123	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑇 ⊆ dom 𝐽 ∧ 𝑇 ≠ ∅)) → (𝐽‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
32	1, 27, 30, 31	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐽‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
33	9, 13, 14, 28, 10, 2	dihglblem2N 41251	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))
34	33	3adant2r 1179	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) = (𝐺‘𝑇))
35	34	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐽‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑇)))
36		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
37	23	sselda 4008	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊})
38		breq1 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 ≤ 𝑊 ↔ 𝑥 ≤ 𝑊))
39	38	elrab 3708	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑢 ∈ 𝐵 ∣ 𝑢 ≤ 𝑊} ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊))
40	37, 39	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊))
41		dihglblem.ih	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
42	9, 13, 10, 41, 24	dihvalb 41194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘𝑥))
43	36, 40, 42	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘𝑥))
44	43	iineq2dv 5040	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐽‘𝑥))
45	32, 35, 44	3eqtr4rd 2791	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
46		simp1l 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
47		hlclat 39314	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
48	46, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝐾 ∈ CLat)
49		simp2l 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
50	9, 28	clatglbcl 18575	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
51	48, 49, 50	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)
52		simp3 1138	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)
53	9, 13, 10, 41, 24	dihvalb 41194	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
54	1, 51, 52, 53	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐽‘(𝐺‘𝑆)))
55	34	fveq2d 6924	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐼‘(𝐺‘𝑇)))
56	45, 54, 55	3eqtr2rd 2787	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝐺‘𝑆) ≤ 𝑊) → (𝐼‘(𝐺‘𝑇)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑇 (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  {crab 3443   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∩ ciin 5016   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  glbcglb 18380  meetcmee 18382  Latclat 18501  CLatccla 18568  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DIsoBcdib 41095  DIsoHcdih 41185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-disoa 40986  df-dib 41096  df-dih 41186

This theorem is referenced by:  dihglblem3aN  41253