Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglblem5aN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglblem5aN 37317
Description: A conjunction property of isomorphism H. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglblem5a.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem5a.m = (meet‘𝐾)
dihglblem5a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem5a.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dihglblem5aN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))

Proof of Theorem dihglblem5aN
Dummy variables 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 478 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
2 hllat 35388 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32ad3antrrr 722 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simplr 786 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋𝐵)
5 dihglblem5a.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 dihglblem5a.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
75, 6lhpbase 36023 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
87ad3antlr 723 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑊𝐵)
9 eqid 2803 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10 dihglblem5a.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
115, 9, 10latleeqm1 17398 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 𝑊) = 𝑋))
123, 4, 8, 11syl3anc 1491 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 𝑊) = 𝑋))
131, 12mpbid 224 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 𝑊) = 𝑋)
1413fveq2d 6419 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) = (𝐼𝑋))
15 simpll 784 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 dihglblem5a.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
175, 9, 6, 16dihord 37289 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑊) ↔ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
1815, 4, 8, 17syl3anc 1491 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑊) ↔ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
191, 18mpbird 249 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑊))
20 df-ss 3787 . . . 4 ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑊) ↔ ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)) = (𝐼𝑋))
2119, 20sylib 210 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)) = (𝐼𝑋))
2214, 21eqtr4d 2840 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
23 eqid 2803 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24 eqid 2803 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
25 eqid 2803 . . . 4 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
26 eqid 2803 . . . 4 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
27 eqid 2803 . . . 4 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
28 eqid 2803 . . . 4 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
29 eqid 2803 . . . 4 ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑞) = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑞)
30 eqid 2803 . . . 4 ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = ( ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
315, 10, 6, 16, 9, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30dihglblem5apreN 37316 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
3231anassrs 460 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
3322, 32pm2.61dan 848 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝑋 𝑊)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cin 3772  wss 3773   class class class wbr 4847  cmpt 4926   I cid 5223  cres 5318  cfv 6105  crio 6842  (class class class)co 6882  Basecbs 16188  lecple 16278  occoc 16279  joincjn 17263  meetcmee 17264  Latclat 17364  Atomscatm 35288  HLchlt 35375  LHypclh 36009  LTrncltrn 36126  trLctrl 36183  TEndoctendo 36777  DIsoHcdih 37253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-riotaBAD 34978
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rmo 3101  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-int 4672  df-iun 4716  df-iin 4717  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-om 7304  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-tpos 7594  df-undef 7641  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-map 8101  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11317  df-2 11380  df-3 11381  df-4 11382  df-5 11383  df-6 11384  df-n0 11585  df-z 11671  df-uz 11935  df-fz 12585  df-struct 16190  df-ndx 16191  df-slot 16192  df-base 16194  df-sets 16195  df-ress 16196  df-plusg 16284  df-mulr 16285  df-sca 16287  df-vsca 16288  df-0g 16421  df-proset 17247  df-poset 17265  df-plt 17277  df-lub 17293  df-glb 17294  df-join 17295  df-meet 17296  df-p0 17358  df-p1 17359  df-lat 17365  df-clat 17427  df-mgm 17561  df-sgrp 17603  df-mnd 17614  df-submnd 17655  df-grp 17745  df-minusg 17746  df-sbg 17747  df-subg 17908  df-cntz 18066  df-lsm 18368  df-cmn 18514  df-abl 18515  df-mgp 18810  df-ur 18822  df-ring 18869  df-oppr 18943  df-dvdsr 18961  df-unit 18962  df-invr 18992  df-dvr 19003  df-drng 19071  df-lmod 19187  df-lss 19255  df-lsp 19297  df-lvec 19428  df-oposet 35201  df-ol 35203  df-oml 35204  df-covers 35291  df-ats 35292  df-atl 35323  df-cvlat 35347  df-hlat 35376  df-llines 35523  df-lplanes 35524  df-lvols 35525  df-lines 35526  df-psubsp 35528  df-pmap 35529  df-padd 35821  df-lhyp 36013  df-laut 36014  df-ldil 36129  df-ltrn 36130  df-trl 36184  df-tendo 36780  df-edring 36782  df-disoa 37054  df-dvech 37104  df-dib 37164  df-dic 37198  df-dih 37254
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator