Theorem dihglblem5aN 41240

Description: A conjunction property of isomorphism H. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem5a.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem5a.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem5a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem5a.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihglblem5aN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)))

Proof of Theorem dihglblem5aN

Dummy variables 𝑞 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
2		hllat 39310	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		dihglblem5a.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		dihglblem5a.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7	5, 6	lhpbase 39946	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
8	7	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐵)
9		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10		dihglblem5a.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	5, 9, 10	latleeqm1 18464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
12	3, 4, 8, 11	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
13	1, 12	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋)
14	13	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = (𝐼‘𝑋))
15		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		dihglblem5a.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
17	5, 9, 6, 16	dihord 41212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑊) ↔ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
18	15, 4, 8, 17	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑊) ↔ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
19	1, 18	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑊))
20		dfss2 3942	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑊) ↔ ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)) = (𝐼‘𝑋))
21	19, 20	sylib 218	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)) = (𝐼‘𝑋))
22	14, 21	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)))
23		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
25		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
26		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
27		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
28		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
29		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (℩ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(ℎ‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑞) = (℩ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(ℎ‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑞)
30		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
31	5, 10, 6, 16, 9, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30	dihglblem5apreN 41239	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)))
32	31	anassrs 467	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)))
33	22, 32	pm2.61dan 812	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3923   ⊆ wss 3924   class class class wbr 5117   ↦ cmpt 5199   I cid 5545   ↾ cres 5654  ‘cfv 6528  ℩crio 7356  (class class class)co 7400  Basecbs 17215  lecple 17265  occoc 17266  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18428  Atomscatm 39210  HLchlt 39297  LHypclh 39932  LTrncltrn 40049  trLctrl 40106  TEndoctendo 40700  DIsoHcdih 41176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199  ax-riotaBAD 38900

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-iin 4968  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-tpos 8220  df-undef 8267  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-map 8837  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-n0 12495  df-z 12582  df-uz 12846  df-fz 13515  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-0g 17442  df-proset 18293  df-poset 18312  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-p1 18423  df-lat 18429  df-clat 18496  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-cntz 19287  df-lsm 19604  df-cmn 19750  df-abl 19751  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20284  df-dvdsr 20304  df-unit 20305  df-invr 20335  df-dvr 20348  df-drng 20678  df-lmod 20806  df-lss 20876  df-lsp 20916  df-lvec 21048  df-oposet 39123  df-ol 39125  df-oml 39126  df-covers 39213  df-ats 39214  df-atl 39245  df-cvlat 39269  df-hlat 39298  df-llines 39446  df-lplanes 39447  df-lvols 39448  df-lines 39449  df-psubsp 39451  df-pmap 39452  df-padd 39744  df-lhyp 39936  df-laut 39937  df-ldil 40052  df-ltrn 40053  df-trl 40107  df-tendo 40703  df-edring 40705  df-disoa 40977  df-dvech 41027  df-dib 41087  df-dic 41121  df-dih 41177

This theorem is referenced by: (None)