Theorem dihglblem5aN 41631

Description: A conjunction property of isomorphism H. (Contributed by NM, 21-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglblem5a.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglblem5a.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihglblem5a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglblem5a.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihglblem5aN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)))

Proof of Theorem dihglblem5aN

Dummy variables 𝑞 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋(le‘𝐾)𝑊)
2		hllat 39702	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		dihglblem5a.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		dihglblem5a.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7	5, 6	lhpbase 40337	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
8	7	ad3antlr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → 𝑊 ∈ 𝐵)
9		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10		dihglblem5a.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	5, 9, 10	latleeqm1 18395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
12	3, 4, 8, 11	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋(le‘𝐾)𝑊 ↔ (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋))
13	1, 12	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝑋 ∧ 𝑊) = 𝑋)
14	13	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = (𝐼‘𝑋))
15		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		dihglblem5a.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
17	5, 9, 6, 16	dihord 41603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑊) ↔ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
18	15, 4, 8, 17	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑊) ↔ 𝑋(le‘𝐾)𝑊))
19	1, 18	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑊))
20		dfss2 3920	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ⊆ (𝐼‘𝑊) ↔ ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)) = (𝐼‘𝑋))
21	19, 20	sylib 218	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)) = (𝐼‘𝑋))
22	14, 21	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)))
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
25		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
26		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
27		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
28		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
29		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (℩ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(ℎ‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑞) = (℩ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(ℎ‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑞)
30		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (ℎ ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
31	5, 10, 6, 16, 9, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30	dihglblem5apreN 41630	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)))
32	31	anassrs 467	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)))
33	22, 32	pm2.61dan 813	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑊)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   I cid 5519   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  ℩crio 7317  (class class class)co 7361  Basecbs 17141  lecple 17189  occoc 17190  joincjn 18239  meetcmee 18240  Latclat 18359  Atomscatm 39602  HLchlt 39689  LHypclh 40323  LTrncltrn 40440  trLctrl 40497  TEndoctendo 41091  DIsoHcdih 41567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-riotaBAD 39292

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8171  df-undef 8218  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-fz 13429  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-0g 17366  df-proset 18222  df-poset 18241  df-plt 18256  df-lub 18272  df-glb 18273  df-join 18274  df-meet 18275  df-p0 18351  df-p1 18352  df-lat 18360  df-clat 18427  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-subg 19058  df-cntz 19251  df-lsm 19570  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20278  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20669  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-lsp 20928  df-lvec 21060  df-oposet 39515  df-ol 39517  df-oml 39518  df-covers 39605  df-ats 39606  df-atl 39637  df-cvlat 39661  df-hlat 39690  df-llines 39837  df-lplanes 39838  df-lvols 39839  df-lines 39840  df-psubsp 39842  df-pmap 39843  df-padd 40135  df-lhyp 40327  df-laut 40328  df-ldil 40443  df-ltrn 40444  df-trl 40498  df-tendo 41094  df-edring 41096  df-disoa 41368  df-dvech 41418  df-dib 41478  df-dic 41512  df-dih 41568

This theorem is referenced by: (None)