MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dju0en Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dju0en 10217
Description: Cardinal addition with cardinal zero (the empty set). Part (a1) of proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dju0en (𝐴𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem dju0en
StepHypRef Expression
1 0ex 5306 . . 3 ∅ ∈ V
2 in0 4394 . . 3 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
3 endjudisj 10210 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V ∧ (𝐴 ∩ ∅) = ∅) → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
41, 2, 3mp3an23 1454 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
5 un0 4393 . 2 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
64, 5breqtrdi 5183 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cun 3948  cin 3949  c0 4332   class class class wbr 5142  cen 8983  cdju 9939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dju 9942
This theorem is referenced by:  djulepw  10234  nnadju  10239
  Copyright terms: Public domain W3C validator