Theorem dju0en 9862

Description: Cardinal addition with cardinal zero (the empty set). Part (a1) of proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju0en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem dju0en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5226	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		in0 4322	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
3		endjudisj 9855	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V ∧ (𝐴 ∩ ∅) = ∅) → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
4	1, 2, 3	mp3an23 1451	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 ∪ ∅))
5		un0 4321	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
6	4, 5	breqtrdi 5111	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   ≈ cen 8688   ⊔ cdju 9587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dju 9590

This theorem is referenced by:  djulepw  9879  nnadju  9884