Theorem nnadju 10201

Description: The cardinal and ordinal sums of finite ordinals are equal. For a shorter proof using ax-rep 5232, see nnadjuALT 10202. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) Avoid ax-rep 5232. (Revised by BTernaryTau, 2-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnadju	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem nnadju

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djueq2 9912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ 𝐵))
2		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝐵))
3	1, 2	breq12d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵)))
4	3	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵))))
5		djueq2 9912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ ∅))
6		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o ∅))
7	5, 6	breq12d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 +o ∅)))
8		djueq2 9912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ 𝑦))
9		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝑦))
10	8, 9	breq12d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦)))
11		djueq2 9912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
12		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o suc 𝑦))
13	11, 12	breq12d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
14		dju0en 10179	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)
15		nna0 8593	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
16	14, 15	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 +o ∅))
17		1oex 8466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
18		djuassen 10182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 1o ∈ V) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)))
19	17, 18	mp3an3 1479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)))
20		enrefg 8991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
21		nnord 7871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
22		ordirr 6375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord 𝑦 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑦)
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ¬ 𝑦 ∈ 𝑦)
24		dju1en 10175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑦) → (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦)
25	23, 24	mpdan 700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦)
26		djuen 10173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦) → (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
27	20, 25, 26	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
28		entr 9013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ∧ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦)) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
29	19, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
30	29	ensymd 9012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o))
31	17	enref 8992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ≈ 1o
32		djuen 10173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) ∧ 1o ≈ 1o) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o))
33	31, 32	mpan2 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o)))
35		nnacl 8600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω)
36		nnord 7871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → Ord (𝐴 +o 𝑦))
37		ordirr 6375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord (𝐴 +o 𝑦) → ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
38	35, 36, 37	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
39		dju1en 10175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω ∧ ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦)) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ suc (𝐴 +o 𝑦))
40	35, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ suc (𝐴 +o 𝑦))
41		nnasuc 8595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑦) = suc (𝐴 +o 𝑦))
42	40, 41	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
43	34, 42	jctird 536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))))
44		entr 9013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
45	43, 44	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
46		entr 9013	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
47	30, 45, 46	syl6an 697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
48	47	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))))
49	7, 10, 13, 16, 48	finds2 7896	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥)))
50	4, 49	vtoclga 3536	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵)))
51	50	impcom 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵))
52		carden2b 9973	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (card‘(𝐴 +o 𝐵)))
53	51, 52	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (card‘(𝐴 +o 𝐵)))
54		nnacl 8600	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
55		cardnn 9969	. . 3 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
56	54, 55	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
57	53, 56	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  Ord word 6356  suc csuc 6359  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ωcom 7863  1_oc1o 8449   +_o coa 8453   ≈ cen 8950   ⊔ cdju 9904  cardccrd 9941

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9907  df-card 9945

This theorem is used by:  ficardadju  10203  ackbij1lem5  10226  ackbij1lem9  10230