Theorem nnadju 10127

Description: The cardinal and ordinal sums of finite ordinals are equal. For a shorter proof using ax-rep 5229, see nnadjuALT 10128. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) Avoid ax-rep 5229. (Revised by BTernaryTau, 2-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnadju	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem nnadju

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djueq2 9835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ 𝐵))
2		oveq2 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝐵))
3	1, 2	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵)))
4	3	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵))))
5		djueq2 9835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ ∅))
6		oveq2 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o ∅))
7	5, 6	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 +o ∅)))
8		djueq2 9835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ 𝑦))
9		oveq2 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝑦))
10	8, 9	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦)))
11		djueq2 9835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
12		oveq2 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o suc 𝑦))
13	11, 12	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
14		dju0en 10105	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)
15		nna0 8545	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
16	14, 15	breqtrrd 5130	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 +o ∅))
17		1oex 8421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
18		djuassen 10108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 1o ∈ V) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)))
19	17, 18	mp3an3 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)))
20		enrefg 8932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
21		nnord 7830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
22		ordirr 6338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord 𝑦 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑦)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ¬ 𝑦 ∈ 𝑦)
24		dju1en 10101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑦) → (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦)
25	23, 24	mpdan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦)
26		djuen 10099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦) → (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
27	20, 25, 26	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
28		entr 8954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ∧ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦)) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
29	19, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
30	29	ensymd 8953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o))
31	17	enref 8933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ≈ 1o
32		djuen 10099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) ∧ 1o ≈ 1o) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o))
33	31, 32	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o)))
35		nnacl 8552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω)
36		nnord 7830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → Ord (𝐴 +o 𝑦))
37		ordirr 6338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord (𝐴 +o 𝑦) → ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
39		dju1en 10101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω ∧ ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦)) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ suc (𝐴 +o 𝑦))
40	35, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ suc (𝐴 +o 𝑦))
41		nnasuc 8547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑦) = suc (𝐴 +o 𝑦))
42	40, 41	breqtrrd 5130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
43	34, 42	jctird 526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))))
44		entr 8954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
45	43, 44	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
46		entr 8954	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
47	30, 45, 46	syl6an 684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
48	47	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))))
49	7, 10, 13, 16, 48	finds2 7854	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥)))
50	4, 49	vtoclga 3540	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵)))
51	50	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵))
52		carden2b 9896	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (card‘(𝐴 +o 𝐵)))
53	51, 52	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (card‘(𝐴 +o 𝐵)))
54		nnacl 8552	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
55		cardnn 9892	. . 3 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
56	54, 55	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
57	53, 56	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  Ord word 6319  suc csuc 6322  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ωcom 7822  1_oc1o 8404   +_o coa 8408   ≈ cen 8892   ⊔ cdju 9827  cardccrd 9864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9830  df-card 9868

This theorem is referenced by:  ficardadju  10129  ackbij1lem5  10152  ackbij1lem9  10156