Theorem nnadju 10212

Description: The cardinal and ordinal sums of finite ordinals are equal. For a shorter proof using ax-rep 5249, see nnadjuALT 10213. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) Avoid ax-rep 5249. (Revised by BTernaryTau, 2-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnadju	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem nnadju

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djueq2 9920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ 𝐵))
2		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝐵))
3	1, 2	breq12d 5132	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵)))
4	3	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵))))
5		djueq2 9920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ ∅))
6		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o ∅))
7	5, 6	breq12d 5132	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 +o ∅)))
8		djueq2 9920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ 𝑦))
9		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝑦))
10	8, 9	breq12d 5132	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦)))
11		djueq2 9920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
12		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o suc 𝑦))
13	11, 12	breq12d 5132	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
14		dju0en 10190	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)
15		nna0 8616	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
16	14, 15	breqtrrd 5147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 +o ∅))
17		1oex 8490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
18		djuassen 10193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 1o ∈ V) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)))
19	17, 18	mp3an3 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)))
20		enrefg 8998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
21		nnord 7869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
22		ordirr 6370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord 𝑦 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑦)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ¬ 𝑦 ∈ 𝑦)
24		dju1en 10186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑦) → (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦)
25	23, 24	mpdan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦)
26		djuen 10184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦) → (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
27	20, 25, 26	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
28		entr 9020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ∧ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦)) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
29	19, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
30	29	ensymd 9019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o))
31	17	enref 8999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ≈ 1o
32		djuen 10184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) ∧ 1o ≈ 1o) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o))
33	31, 32	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o)))
35		nnacl 8623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω)
36		nnord 7869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → Ord (𝐴 +o 𝑦))
37		ordirr 6370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord (𝐴 +o 𝑦) → ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
39		dju1en 10186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω ∧ ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦)) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ suc (𝐴 +o 𝑦))
40	35, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ suc (𝐴 +o 𝑦))
41		nnasuc 8618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑦) = suc (𝐴 +o 𝑦))
42	40, 41	breqtrrd 5147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
43	34, 42	jctird 526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))))
44		entr 9020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
45	43, 44	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
46		entr 9020	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
47	30, 45, 46	syl6an 684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
48	47	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))))
49	7, 10, 13, 16, 48	finds2 7894	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥)))
50	4, 49	vtoclga 3556	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵)))
51	50	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵))
52		carden2b 9981	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (card‘(𝐴 +o 𝐵)))
53	51, 52	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (card‘(𝐴 +o 𝐵)))
54		nnacl 8623	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
55		cardnn 9977	. . 3 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
56	54, 55	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
57	53, 56	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  Ord word 6351  suc csuc 6354  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ωcom 7861  1_oc1o 8473   +_o coa 8477   ≈ cen 8956   ⊔ cdju 9912  cardccrd 9949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953

This theorem is referenced by:  ficardadju  10214  ackbij1lem5  10237  ackbij1lem9  10241