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Theorem nnadju 10198
Description: The cardinal and ordinal sums of finite ordinals are equal. For a shorter proof using ax-rep 5285, see nnadjuALT 10199. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) Avoid ax-rep 5285. (Revised by BTernaryTau, 2-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnadju ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βŠ” 𝐡)) = (𝐴 +o 𝐡))
Proof of Theorem nnadju
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djueq2 9907 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝐴 βŠ” π‘₯) = (𝐴 βŠ” 𝐡))
2 oveq2 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝐴 +o π‘₯) = (𝐴 +o 𝐡))
31, 2breq12d 5161 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((𝐴 βŠ” π‘₯) β‰ˆ (𝐴 +o π‘₯) ↔ (𝐴 βŠ” 𝐡) β‰ˆ (𝐴 +o 𝐡)))
43imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ” π‘₯) β‰ˆ (𝐴 +o π‘₯)) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ” 𝐡) β‰ˆ (𝐴 +o 𝐡))))
5 djueq2 9907 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝐴 βŠ” π‘₯) = (𝐴 βŠ” βˆ…))
6 oveq2 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝐴 +o π‘₯) = (𝐴 +o βˆ…))
75, 6breq12d 5161 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝐴 βŠ” π‘₯) β‰ˆ (𝐴 +o π‘₯) ↔ (𝐴 βŠ” βˆ…) β‰ˆ (𝐴 +o βˆ…)))
8 djueq2 9907 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 βŠ” π‘₯) = (𝐴 βŠ” 𝑦))
9 oveq2 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 +o π‘₯) = (𝐴 +o 𝑦))
108, 9breq12d 5161 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐴 βŠ” π‘₯) β‰ˆ (𝐴 +o π‘₯) ↔ (𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦)))
11 djueq2 9907 . . . . . . 7 (π‘₯ = suc 𝑦 β†’ (𝐴 βŠ” π‘₯) = (𝐴 βŠ” suc 𝑦))
12 oveq2 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ = suc 𝑦 β†’ (𝐴 +o π‘₯) = (𝐴 +o suc 𝑦))
1311, 12breq12d 5161 . . . . . 6 (π‘₯ = suc 𝑦 β†’ ((𝐴 βŠ” π‘₯) β‰ˆ (𝐴 +o π‘₯) ↔ (𝐴 βŠ” suc 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦)))
14 dju0en 10176 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ” βˆ…) β‰ˆ 𝐴)
15 nna0 8610 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 +o βˆ…) = 𝐴)
1614, 15breqtrrd 5176 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ” βˆ…) β‰ˆ (𝐴 +o βˆ…))
17 1oex 8482 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
18 djuassen 10179 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 1o ∈ V) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 βŠ” (𝑦 βŠ” 1o)))
1917, 18mp3an3 1449 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 βŠ” (𝑦 βŠ” 1o)))
20 enrefg 8986 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝐴)
21 nnord 7867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ Ord 𝑦)
22 ordirr 6382 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord 𝑦 β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑦)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑦)
24 dju1en 10172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 βŠ” 1o) β‰ˆ suc 𝑦)
2523, 24mpdan 684 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (𝑦 βŠ” 1o) β‰ˆ suc 𝑦)
26 djuen 10170 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 β‰ˆ 𝐴 ∧ (𝑦 βŠ” 1o) β‰ˆ suc 𝑦) β†’ (𝐴 βŠ” (𝑦 βŠ” 1o)) β‰ˆ (𝐴 βŠ” suc 𝑦))
2720, 25, 26syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 βŠ” (𝑦 βŠ” 1o)) β‰ˆ (𝐴 βŠ” suc 𝑦))
28 entr 9008 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 βŠ” (𝑦 βŠ” 1o)) ∧ (𝐴 βŠ” (𝑦 βŠ” 1o)) β‰ˆ (𝐴 βŠ” suc 𝑦)) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 βŠ” suc 𝑦))
2919, 27, 28syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 βŠ” suc 𝑦))
3029ensymd 9007 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 βŠ” suc 𝑦) β‰ˆ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o))
3117enref 8987 . . . . . . . . . . . 12 1o β‰ˆ 1o
32 djuen 10170 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) ∧ 1o β‰ˆ 1o) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o))
3331, 32mpan2 688 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o))
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o)))
35 nnacl 8617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o 𝑦) ∈ Ο‰)
36 nnord 7867 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 +o 𝑦) ∈ Ο‰ β†’ Ord (𝐴 +o 𝑦))
37 ordirr 6382 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord (𝐴 +o 𝑦) β†’ Β¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
39 dju1en 10172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 +o 𝑦) ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦)) β†’ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ suc (𝐴 +o 𝑦))
4035, 38, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ suc (𝐴 +o 𝑦))
41 nnasuc 8612 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o suc 𝑦) = suc (𝐴 +o 𝑦))
4240, 41breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦))
4334, 42jctird 526 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) β†’ (((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦))))
44 entr 9008 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦)) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦))
4543, 44syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦)))
46 entr 9008 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ” suc 𝑦) β‰ˆ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) ∧ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦)) β†’ (𝐴 βŠ” suc 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦))
4730, 45, 46syl6an 681 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) β†’ (𝐴 βŠ” suc 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦)))
4847expcom 413 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) β†’ (𝐴 βŠ” suc 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦))))
497, 10, 13, 16, 48finds2 7895 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ” π‘₯) β‰ˆ (𝐴 +o π‘₯)))
504, 49vtoclga 3566 . . . 4 (𝐡 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ” 𝐡) β‰ˆ (𝐴 +o 𝐡)))
5150impcom 407 . . 3 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 βŠ” 𝐡) β‰ˆ (𝐴 +o 𝐡))
52 carden2b 9968 . . 3 ((𝐴 βŠ” 𝐡) β‰ˆ (𝐴 +o 𝐡) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βŠ” 𝐡)) = (cardβ€˜(𝐴 +o 𝐡)))
5351, 52syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βŠ” 𝐡)) = (cardβ€˜(𝐴 +o 𝐡)))
54 nnacl 8617 . . 3 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o 𝐡) ∈ Ο‰)
55 cardnn 9964 . . 3 ((𝐴 +o 𝐡) ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = (𝐴 +o 𝐡))
5654, 55syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = (𝐴 +o 𝐡))
5753, 56eqtrd 2771 1 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βŠ” 𝐡)) = (𝐴 +o 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  Ord word 6363  suc csuc 6366  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Ο‰com 7859  1oc1o 8465   +o coa 8469   β‰ˆ cen 8942   βŠ” cdju 9899  cardccrd 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940
This theorem is referenced by:  ficardadju  10200  ackbij1lem5  10225  ackbij1lem9  10229
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