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Theorem nnadju 10091
Description: The cardinal and ordinal sums of finite ordinals are equal. For a shorter proof using ax-rep 5240, see nnadjuALT 10092. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) Avoid ax-rep 5240. (Revised by BTernaryTau, 2-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnadju ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem nnadju
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djueq2 9800 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐵))
2 oveq2 7359 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝐵))
31, 2breq12d 5116 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵)))
43imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵))))
5 djueq2 9800 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝐴𝑥) = (𝐴 ⊔ ∅))
6 oveq2 7359 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o ∅))
75, 6breq12d 5116 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝐴𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 +o ∅)))
8 djueq2 9800 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
9 oveq2 7359 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝑦))
108, 9breq12d 5116 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦)))
11 djueq2 9800 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
12 oveq2 7359 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o suc 𝑦))
1311, 12breq12d 5116 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
14 dju0en 10069 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)
15 nna0 8543 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
1614, 15breqtrrd 5131 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 +o ∅))
17 1oex 8414 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
18 djuassen 10072 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 1o ∈ V) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)))
1917, 18mp3an3 1450 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)))
20 enrefg 8882 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ω → 𝐴𝐴)
21 nnord 7802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
22 ordirr 6333 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord 𝑦 → ¬ 𝑦𝑦)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ω → ¬ 𝑦𝑦)
24 dju1en 10065 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ω ∧ ¬ 𝑦𝑦) → (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦)
2523, 24mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦)
26 djuen 10063 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐴 ∧ (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦) → (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
2720, 25, 26syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
28 entr 8904 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ∧ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦)) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
2919, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
3029ensymd 8903 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ ((𝐴𝑦) ⊔ 1o))
3117enref 8883 . . . . . . . . . . . 12 1o ≈ 1o
32 djuen 10063 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) ∧ 1o ≈ 1o) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o))
3331, 32mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o))
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o)))
35 nnacl 8550 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω)
36 nnord 7802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → Ord (𝐴 +o 𝑦))
37 ordirr 6333 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord (𝐴 +o 𝑦) → ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
39 dju1en 10065 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω ∧ ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦)) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ suc (𝐴 +o 𝑦))
4035, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ suc (𝐴 +o 𝑦))
41 nnasuc 8545 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑦) = suc (𝐴 +o 𝑦))
4240, 41breqtrrd 5131 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
4334, 42jctird 527 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))))
44 entr 8904 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
4543, 44syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
46 entr 8904 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
4730, 45, 46syl6an 682 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
4847expcom 414 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))))
497, 10, 13, 16, 48finds2 7829 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥)))
504, 49vtoclga 3532 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵)))
5150impcom 408 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵))
52 carden2b 9861 . . 3 ((𝐴𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵) → (card‘(𝐴𝐵)) = (card‘(𝐴 +o 𝐵)))
5351, 52syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴𝐵)) = (card‘(𝐴 +o 𝐵)))
54 nnacl 8550 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
55 cardnn 9857 . . 3 ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
5654, 55syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
5753, 56eqtrd 2777 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  c0 4280   class class class wbr 5103  Ord word 6314  suc csuc 6317  cfv 6493  (class class class)co 7351  ωcom 7794  1oc1o 8397   +o coa 8401  cen 8838  cdju 9792  cardccrd 9829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-oadd 8408  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-dju 9795  df-card 9833
This theorem is referenced by:  ficardadju  10093  ackbij1lem5  10118  ackbij1lem9  10122
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