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Theorem nnadju 10192
Description: The cardinal and ordinal sums of finite ordinals are equal. For a shorter proof using ax-rep 5286, see nnadjuALT 10193. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) Avoid ax-rep 5286. (Revised by BTernaryTau, 2-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnadju ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βŠ” 𝐡)) = (𝐴 +o 𝐡))
Proof of Theorem nnadju
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djueq2 9901 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝐴 βŠ” π‘₯) = (𝐴 βŠ” 𝐡))
2 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (𝐴 +o π‘₯) = (𝐴 +o 𝐡))
31, 2breq12d 5162 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((𝐴 βŠ” π‘₯) β‰ˆ (𝐴 +o π‘₯) ↔ (𝐴 βŠ” 𝐡) β‰ˆ (𝐴 +o 𝐡)))
43imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ” π‘₯) β‰ˆ (𝐴 +o π‘₯)) ↔ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ” 𝐡) β‰ˆ (𝐴 +o 𝐡))))
5 djueq2 9901 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝐴 βŠ” π‘₯) = (𝐴 βŠ” βˆ…))
6 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝐴 +o π‘₯) = (𝐴 +o βˆ…))
75, 6breq12d 5162 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝐴 βŠ” π‘₯) β‰ˆ (𝐴 +o π‘₯) ↔ (𝐴 βŠ” βˆ…) β‰ˆ (𝐴 +o βˆ…)))
8 djueq2 9901 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 βŠ” π‘₯) = (𝐴 βŠ” 𝑦))
9 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 +o π‘₯) = (𝐴 +o 𝑦))
108, 9breq12d 5162 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐴 βŠ” π‘₯) β‰ˆ (𝐴 +o π‘₯) ↔ (𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦)))
11 djueq2 9901 . . . . . . 7 (π‘₯ = suc 𝑦 β†’ (𝐴 βŠ” π‘₯) = (𝐴 βŠ” suc 𝑦))
12 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘₯ = suc 𝑦 β†’ (𝐴 +o π‘₯) = (𝐴 +o suc 𝑦))
1311, 12breq12d 5162 . . . . . 6 (π‘₯ = suc 𝑦 β†’ ((𝐴 βŠ” π‘₯) β‰ˆ (𝐴 +o π‘₯) ↔ (𝐴 βŠ” suc 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦)))
14 dju0en 10170 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ” βˆ…) β‰ˆ 𝐴)
15 nna0 8604 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 +o βˆ…) = 𝐴)
1614, 15breqtrrd 5177 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ” βˆ…) β‰ˆ (𝐴 +o βˆ…))
17 1oex 8476 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
18 djuassen 10173 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰ ∧ 1o ∈ V) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 βŠ” (𝑦 βŠ” 1o)))
1917, 18mp3an3 1451 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 βŠ” (𝑦 βŠ” 1o)))
20 enrefg 8980 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝐴)
21 nnord 7863 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ Ord 𝑦)
22 ordirr 6383 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord 𝑦 β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑦)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑦)
24 dju1en 10166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Ο‰ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 βŠ” 1o) β‰ˆ suc 𝑦)
2523, 24mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (𝑦 βŠ” 1o) β‰ˆ suc 𝑦)
26 djuen 10164 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 β‰ˆ 𝐴 ∧ (𝑦 βŠ” 1o) β‰ˆ suc 𝑦) β†’ (𝐴 βŠ” (𝑦 βŠ” 1o)) β‰ˆ (𝐴 βŠ” suc 𝑦))
2720, 25, 26syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 βŠ” (𝑦 βŠ” 1o)) β‰ˆ (𝐴 βŠ” suc 𝑦))
28 entr 9002 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 βŠ” (𝑦 βŠ” 1o)) ∧ (𝐴 βŠ” (𝑦 βŠ” 1o)) β‰ˆ (𝐴 βŠ” suc 𝑦)) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 βŠ” suc 𝑦))
2919, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 βŠ” suc 𝑦))
3029ensymd 9001 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 βŠ” suc 𝑦) β‰ˆ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o))
3117enref 8981 . . . . . . . . . . . 12 1o β‰ˆ 1o
32 djuen 10164 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) ∧ 1o β‰ˆ 1o) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o))
3331, 32mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o))
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o)))
35 nnacl 8611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o 𝑦) ∈ Ο‰)
36 nnord 7863 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 +o 𝑦) ∈ Ο‰ β†’ Ord (𝐴 +o 𝑦))
37 ordirr 6383 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord (𝐴 +o 𝑦) β†’ Β¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ Β¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
39 dju1en 10166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 +o 𝑦) ∈ Ο‰ ∧ Β¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦)) β†’ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ suc (𝐴 +o 𝑦))
4035, 38, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ suc (𝐴 +o 𝑦))
41 nnasuc 8606 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o suc 𝑦) = suc (𝐴 +o 𝑦))
4240, 41breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦))
4334, 42jctird 528 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) β†’ (((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦))))
44 entr 9002 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦)) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦))
4543, 44syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦)))
46 entr 9002 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ” suc 𝑦) β‰ˆ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) ∧ ((𝐴 βŠ” 𝑦) βŠ” 1o) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦)) β†’ (𝐴 βŠ” suc 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦))
4730, 45, 46syl6an 683 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) β†’ (𝐴 βŠ” suc 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦)))
4847expcom 415 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ ((𝐴 βŠ” 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o 𝑦) β†’ (𝐴 βŠ” suc 𝑦) β‰ˆ (𝐴 +o suc 𝑦))))
497, 10, 13, 16, 48finds2 7891 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ” π‘₯) β‰ˆ (𝐴 +o π‘₯)))
504, 49vtoclga 3566 . . . 4 (𝐡 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (𝐴 βŠ” 𝐡) β‰ˆ (𝐴 +o 𝐡)))
5150impcom 409 . . 3 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 βŠ” 𝐡) β‰ˆ (𝐴 +o 𝐡))
52 carden2b 9962 . . 3 ((𝐴 βŠ” 𝐡) β‰ˆ (𝐴 +o 𝐡) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βŠ” 𝐡)) = (cardβ€˜(𝐴 +o 𝐡)))
5351, 52syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βŠ” 𝐡)) = (cardβ€˜(𝐴 +o 𝐡)))
54 nnacl 8611 . . 3 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (𝐴 +o 𝐡) ∈ Ο‰)
55 cardnn 9958 . . 3 ((𝐴 +o 𝐡) ∈ Ο‰ β†’ (cardβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = (𝐴 +o 𝐡))
5654, 55syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 +o 𝐡)) = (𝐴 +o 𝐡))
5753, 56eqtrd 2773 1 ((𝐴 ∈ Ο‰ ∧ 𝐡 ∈ Ο‰) β†’ (cardβ€˜(𝐴 βŠ” 𝐡)) = (𝐴 +o 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  Ord word 6364  suc csuc 6367  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855  1oc1o 8459   +o coa 8463   β‰ˆ cen 8936   βŠ” cdju 9893  cardccrd 9930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934
This theorem is referenced by:  ficardadju  10194  ackbij1lem5  10219  ackbij1lem9  10223
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