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Theorem nnadju 10236
Description: The cardinal and ordinal sums of finite ordinals are equal. For a shorter proof using ax-rep 5285, see nnadjuALT 10237. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) Avoid ax-rep 5285. (Revised by BTernaryTau, 2-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
nnadju ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem nnadju
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djueq2 9944 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐵))
2 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝐵))
31, 2breq12d 5161 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵)))
43imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵))))
5 djueq2 9944 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝐴𝑥) = (𝐴 ⊔ ∅))
6 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o ∅))
75, 6breq12d 5161 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((𝐴𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 +o ∅)))
8 djueq2 9944 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
9 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝑦))
108, 9breq12d 5161 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦)))
11 djueq2 9944 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
12 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o suc 𝑦))
1311, 12breq12d 5161 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
14 dju0en 10214 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)
15 nna0 8641 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
1614, 15breqtrrd 5176 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 +o ∅))
17 1oex 8515 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
18 djuassen 10217 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 1o ∈ V) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)))
1917, 18mp3an3 1449 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)))
20 enrefg 9023 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ω → 𝐴𝐴)
21 nnord 7895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
22 ordirr 6404 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord 𝑦 → ¬ 𝑦𝑦)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ω → ¬ 𝑦𝑦)
24 dju1en 10210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ω ∧ ¬ 𝑦𝑦) → (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦)
2523, 24mpdan 687 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦)
26 djuen 10208 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐴 ∧ (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦) → (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
2720, 25, 26syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
28 entr 9045 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ∧ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦)) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
2919, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
3029ensymd 9044 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ ((𝐴𝑦) ⊔ 1o))
3117enref 9024 . . . . . . . . . . . 12 1o ≈ 1o
32 djuen 10208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) ∧ 1o ≈ 1o) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o))
3331, 32mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o))
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o)))
35 nnacl 8648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω)
36 nnord 7895 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → Ord (𝐴 +o 𝑦))
37 ordirr 6404 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord (𝐴 +o 𝑦) → ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
39 dju1en 10210 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω ∧ ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦)) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ suc (𝐴 +o 𝑦))
4035, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ suc (𝐴 +o 𝑦))
41 nnasuc 8643 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑦) = suc (𝐴 +o 𝑦))
4240, 41breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
4334, 42jctird 526 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))))
44 entr 9045 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
4543, 44syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
46 entr 9045 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
4730, 45, 46syl6an 684 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
4847expcom 413 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))))
497, 10, 13, 16, 48finds2 7921 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥)))
504, 49vtoclga 3577 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵)))
5150impcom 407 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵))
52 carden2b 10005 . . 3 ((𝐴𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵) → (card‘(𝐴𝐵)) = (card‘(𝐴 +o 𝐵)))
5351, 52syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴𝐵)) = (card‘(𝐴 +o 𝐵)))
54 nnacl 8648 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
55 cardnn 10001 . . 3 ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
5654, 55syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
5753, 56eqtrd 2775 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  c0 4339   class class class wbr 5148  Ord word 6385  suc csuc 6388  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1oc1o 8498   +o coa 8502  cen 8981  cdju 9936  cardccrd 9973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977
This theorem is referenced by:  ficardadju  10238  ackbij1lem5  10261  ackbij1lem9  10265
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