Theorem nnadju 10177

Description: The cardinal and ordinal sums of finite ordinals are equal. For a shorter proof using ax-rep 5238, see nnadjuALT 10178. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.) Avoid ax-rep 5238. (Revised by BTernaryTau, 2-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnadju	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem nnadju

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djueq2 9888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ 𝐵))
2		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝐵))
3	1, 2	breq12d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵)))
4	3	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵))))
5		djueq2 9888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ ∅))
6		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o ∅))
7	5, 6	breq12d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 +o ∅)))
8		djueq2 9888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ 𝑦))
9		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o 𝑦))
10	8, 9	breq12d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦)))
11		djueq2 9888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 ⊔ 𝑥) = (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
12		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝐴 +o 𝑥) = (𝐴 +o suc 𝑦))
13	11, 12	breq12d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥) ↔ (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
14		dju0en 10155	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ 𝐴)
15		nna0 8586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
16	14, 15	breqtrrd 5139	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ ∅) ≈ (𝐴 +o ∅))
17		1oex 8459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
18		djuassen 10158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 1o ∈ V) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)))
19	17, 18	mp3an3 1479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)))
20		enrefg 8977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
21		nnord 7866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ω → Ord 𝑦)
22		ordirr 6378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord 𝑦 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑦)
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ¬ 𝑦 ∈ 𝑦)
24		dju1en 10151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑦) → (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦)
25	23, 24	mpdan 699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦)
26		djuen 10149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ (𝑦 ⊔ 1o) ≈ suc 𝑦) → (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
27	20, 25, 26	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
28		entr 8999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ∧ (𝐴 ⊔ (𝑦 ⊔ 1o)) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦)) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
29	19, 27, 28	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 ⊔ suc 𝑦))
30	29	ensymd 8998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o))
31	17	enref 8978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ≈ 1o
32		djuen 10149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) ∧ 1o ≈ 1o) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o))
33	31, 32	mpan2 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o)))
35		nnacl 8593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝑦) ∈ ω)
36		nnord 7866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω → Ord (𝐴 +o 𝑦))
37		ordirr 6378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord (𝐴 +o 𝑦) → ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
38	35, 36, 37	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦))
39		dju1en 10151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 +o 𝑦) ∈ ω ∧ ¬ (𝐴 +o 𝑦) ∈ (𝐴 +o 𝑦)) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ suc (𝐴 +o 𝑦))
40	35, 38, 39	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ suc (𝐴 +o 𝑦))
41		nnasuc 8588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑦) = suc (𝐴 +o 𝑦))
42	40, 41	breqtrrd 5139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
43	34, 42	jctird 535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))))
44		entr 8999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 +o 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
45	43, 44	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
46		entr 8999	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ∧ ((𝐴 ⊔ 𝑦) ⊔ 1o) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))
47	30, 45, 46	syl6an 696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦)))
48	47	expcom 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ⊔ 𝑦) ≈ (𝐴 +o 𝑦) → (𝐴 ⊔ suc 𝑦) ≈ (𝐴 +o suc 𝑦))))
49	7, 10, 13, 16, 48	finds2 7891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝑥) ≈ (𝐴 +o 𝑥)))
50	4, 49	vtoclga 3541	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵)))
51	50	impcom 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵))
52		carden2b 9949	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐴 +o 𝐵) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (card‘(𝐴 +o 𝐵)))
53	51, 52	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (card‘(𝐴 +o 𝐵)))
54		nnacl 8593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ω)
55		cardnn 9945	. . 3 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) ∈ ω → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
56	54, 55	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +o 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))
57	53, 56	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 ⊔ 𝐵)) = (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  Ord word 6359  suc csuc 6362  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7858  1_oc1o 8442   +_o coa 8446   ≈ cen 8936   ⊔ cdju 9880  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921

This theorem is referenced by:  ficardadju  10179  ackbij1lem5  10202  ackbij1lem9  10206