Theorem crngunit 20331

Description: Property of being a unit in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
crngunit.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
crngunit.3	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngunit	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∥ 1 ))

Proof of Theorem crngunit

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
5	1, 2, 3, 4	crngoppr 20291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
6	5	3expa 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
7	6	eqcomd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
8	7	an32s 650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
9	8	eqeq1d 2730	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 ))
10	9	rexbidva 3174	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 ))
11	10	pm5.32da 577	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 )))
12	3, 1	opprbas 20294	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
13		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
14	12, 13, 4	dvdsr 20315	. . . 4 ⊢ (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ))
15		crngunit.3	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
16	1, 15, 2	dvdsr 20315	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 1 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 ))
17	11, 14, 16	3bitr4g 313	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ 𝑋 ∥ 1 ))
18	17	anbi2d 628	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋 ∥ 1 )))
19		crngunit.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
20		crngunit.2	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
21	19, 20, 15, 3, 13	isunit 20326	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
22		pm4.24 562	. 2 ⊢ (𝑋 ∥ 1 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋 ∥ 1 ))
23	18, 21, 22	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∥ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  ._rcmulr 17243  1_rcur 20135  CRingccrg 20188  opp_rcoppr 20286  ∥_rcdsr 20307  Unitcui 20308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-cmn 19751  df-mgp 20089  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311

This theorem is referenced by:  dvdsunit  20332  znunit  21511  rprmndvdsr1  33274  rprmirredlem  33277  matunitlindflem2  37131