Theorem crngunit 20601

Description: Property of being a unit in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
crngunit.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
crngunit.3	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngunit	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∥ 1 ))

Proof of Theorem crngunit

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
5	1, 2, 3, 4	crngoppr 20564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
6	5	3expa 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
7	6	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
8	7	an32s 665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
9	8	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 ))
10	9	rexbidva 3185	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 ))
11	10	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 )))
12	3, 1	opprbas 20566	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
13		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
14	12, 13, 4	dvdsr 20585	. . . 4 ⊢ (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ))
15		crngunit.3	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
16	1, 15, 2	dvdsr 20585	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 1 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 ))
17	11, 14, 16	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ 𝑋 ∥ 1 ))
18	17	anbi2d 642	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋 ∥ 1 )))
19		crngunit.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
20		crngunit.2	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
21	19, 20, 15, 3, 13	isunit 20596	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
22		pm4.24 574	. 2 ⊢ (𝑋 ∥ 1 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋 ∥ 1 ))
23	18, 21, 22	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∥ 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  1_rcur 20400  CRingccrg 20453  opp_rcoppr 20559  ∥_rcdsr 20577  Unitcui 20578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-cmn 19989  df-mgp 20354  df-cring 20455  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581

This theorem is used by:  dvdsunit  20602  znunit  21862  matunitlindflem2  22988  rprmndvdsr1  34049  rprmndvdsru  34054  rprmirredlem  34055  unitscyglem5  43229