Theorem crngunit 20395

Description: Property of being a unit in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
crngunit.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
crngunit.3	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngunit	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∥ 1 ))

Proof of Theorem crngunit

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
5	1, 2, 3, 4	crngoppr 20355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
6	5	3expa 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
7	6	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
8	7	an32s 652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
9	8	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 ))
10	9	rexbidva 3175	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 ))
11	10	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 )))
12	3, 1	opprbas 20358	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
13		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
14	12, 13, 4	dvdsr 20379	. . . 4 ⊢ (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ))
15		crngunit.3	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
16	1, 15, 2	dvdsr 20379	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 1 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 ))
17	11, 14, 16	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ 𝑋 ∥ 1 ))
18	17	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋 ∥ 1 )))
19		crngunit.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
20		crngunit.2	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
21	19, 20, 15, 3, 13	isunit 20390	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
22		pm4.24 563	. 2 ⊢ (𝑋 ∥ 1 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋 ∥ 1 ))
23	18, 21, 22	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∥ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  1_rcur 20199  CRingccrg 20252  opp_rcoppr 20350  ∥_rcdsr 20371  Unitcui 20372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375

This theorem is referenced by:  dvdsunit  20396  znunit  21600  rprmndvdsr1  33532  rprmndvdsru  33537  rprmirredlem  33538  matunitlindflem2  37604  unitscyglem5  42181