MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crngunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crngunit 19125
Description: Property of being a unit in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
crngunit.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
crngunit.2 1 = (1r𝑅)
crngunit.3 = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
crngunit (𝑅 ∈ CRing → (𝑋𝑈𝑋 1 ))

Proof of Theorem crngunit
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2772 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2772 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 eqid 2772 . . . . . . . . . . 11 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
4 eqid 2772 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
51, 2, 3, 4crngoppr 19090 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑋) = (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
653expa 1098 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑋) = (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
76eqcomd 2778 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑦(.r𝑅)𝑋))
87an32s 639 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑦(.r𝑅)𝑋))
98eqeq1d 2774 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 ↔ (𝑦(.r𝑅)𝑋) = 1 ))
109rexbidva 3235 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑋) = 1 ))
1110pm5.32da 571 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑋) = 1 )))
123, 1opprbas 19092 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
13 eqid 2772 . . . . 5 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
1412, 13, 4dvdsr 19109 . . . 4 (𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 ))
15 crngunit.3 . . . . 5 = (∥r𝑅)
161, 15, 2dvdsr 19109 . . . 4 (𝑋 1 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑋) = 1 ))
1711, 14, 163bitr4g 306 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1𝑋 1 ))
1817anbi2d 619 . 2 (𝑅 ∈ CRing → ((𝑋 1𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ) ↔ (𝑋 1𝑋 1 )))
19 crngunit.1 . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑅)
20 crngunit.2 . . 3 1 = (1r𝑅)
2119, 20, 15, 3, 13isunit 19120 . 2 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋 1𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
22 pm4.24 556 . 2 (𝑋 1 ↔ (𝑋 1𝑋 1 ))
2318, 21, 223bitr4g 306 1 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋𝑈𝑋 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wrex 3083   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  .rcmulr 16412  1rcur 18964  CRingccrg 19011  opprcoppr 19085  rcdsr 19101  Unitcui 19102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-cmn 18658  df-mgp 18953  df-cring 19013  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105
This theorem is referenced by:  dvdsunit  19126  znunit  20402  matunitlindflem2  34278
  Copyright terms: Public domain W3C validator