Theorem crngunit 19406

Description: Property of being a unit in a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
crngunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
crngunit.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
crngunit.3	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngunit	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∥ 1 ))

Proof of Theorem crngunit

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
4		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
5	1, 2, 3, 4	crngoppr 19371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
6	5	3expa 1114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
7	6	eqcomd 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
8	7	an32s 650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
9	8	eqeq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 ))
10	9	rexbidva 3296	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 ))
11	10	pm5.32da 581	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 )))
12	3, 1	opprbas 19373	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
13		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
14	12, 13, 4	dvdsr 19390	. . . 4 ⊢ (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 1 ))
15		crngunit.3	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
16	1, 15, 2	dvdsr 19390	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 1 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑋) = 1 ))
17	11, 14, 16	3bitr4g 316	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ↔ 𝑋 ∥ 1 ))
18	17	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → ((𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ) ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋 ∥ 1 )))
19		crngunit.1	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
20		crngunit.2	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
21	19, 20, 15, 3, 13	isunit 19401	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 ))
22		pm4.24 566	. 2 ⊢ (𝑋 ∥ 1 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋 ∥ 1 ))
23	18, 21, 22	3bitr4g 316	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∥ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  ._rcmulr 16560  1_rcur 19245  CRingccrg 19292  opp_rcoppr 19366  ∥_rcdsr 19382  Unitcui 19383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-cmn 18902  df-mgp 19234  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386

This theorem is referenced by:  dvdsunit  19407  znunit  20704  matunitlindflem2  34883