Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdsruassoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsruassoi 33379
Description: If two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are unit multiples, then they are associates, i.e. each divides the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsrspss.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d = (∥r𝑅)
dvdsrspss.x (𝜑𝑋𝐵)
dvdsrspss.y (𝜑𝑌𝐵)
dvdsruassoi.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2 · = (.r𝑅)
dvdsruassoi.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
dvdsruassoi.3 (𝜑𝑉𝑈)
dvdsruassoi.4 (𝜑 → (𝑉 · 𝑋) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvdsruassoi (𝜑 → (𝑋 𝑌𝑌 𝑋))

Proof of Theorem dvdsruassoi
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsrspss.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvdsruassoi.1 . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
31, 2unitss 20404 . . . 4 𝑈𝐵
4 dvdsruassoi.3 . . . 4 (𝜑𝑉𝑈)
53, 4sselid 4006 . . 3 (𝜑𝑉𝐵)
6 oveq1 7457 . . . . 5 (𝑡 = 𝑉 → (𝑡 · 𝑋) = (𝑉 · 𝑋))
76eqeq1d 2742 . . . 4 (𝑡 = 𝑉 → ((𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑉 · 𝑋) = 𝑌))
87adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑡 = 𝑉) → ((𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑉 · 𝑋) = 𝑌))
9 dvdsruassoi.4 . . 3 (𝜑 → (𝑉 · 𝑋) = 𝑌)
105, 8, 9rspcedvd 3637 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
11 dvdsruassoi.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 eqid 2740 . . . . 5 (invr𝑅) = (invr𝑅)
132, 12, 1ringinvcl 20420 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑉) ∈ 𝐵)
1411, 4, 13syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ((invr𝑅)‘𝑉) ∈ 𝐵)
15 oveq1 7457 . . . . 5 (𝑠 = ((invr𝑅)‘𝑉) → (𝑠 · 𝑌) = (((invr𝑅)‘𝑉) · 𝑌))
1615eqeq1d 2742 . . . 4 (𝑠 = ((invr𝑅)‘𝑉) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋))
1716adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑠 = ((invr𝑅)‘𝑉)) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋))
18 dvdsruassoi.2 . . . . 5 · = (.r𝑅)
19 dvdsrspss.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
201, 18, 11, 14, 5, 19ringassd 20286 . . . 4 (𝜑 → ((((invr𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = (((invr𝑅)‘𝑉) · (𝑉 · 𝑋)))
21 eqid 2740 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
222, 12, 18, 21unitlinv 20421 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑈) → (((invr𝑅)‘𝑉) · 𝑉) = (1r𝑅))
2311, 4, 22syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑉) · 𝑉) = (1r𝑅))
2423oveq1d 7465 . . . . 5 (𝜑 → ((((invr𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = ((1r𝑅) · 𝑋))
251, 18, 21, 11, 19ringlidmd 20297 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
2624, 25eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → ((((invr𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = 𝑋)
279oveq2d 7466 . . . 4 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑉) · (𝑉 · 𝑋)) = (((invr𝑅)‘𝑉) · 𝑌))
2820, 26, 273eqtr3rd 2789 . . 3 (𝜑 → (((invr𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋)
2914, 17, 28rspcedvd 3637 . 2 (𝜑 → ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)
30 dvdsrspss.d . . . . 5 = (∥r𝑅)
311, 30, 18dvdsr 20390 . . . 4 (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
3219biantrurd 532 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)))
3331, 32bitr4id 290 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
341, 30, 18dvdsr 20390 . . . 4 (𝑌 𝑋 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
35 dvdsrspss.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
3635biantrurd 532 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
3734, 36bitr4id 290 . . 3 (𝜑 → (𝑌 𝑋 ↔ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
3833, 37anbi12d 631 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ (∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
3910, 29, 38mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌𝑌 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wrex 3076   class class class wbr 5166  cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  .rcmulr 17314  1rcur 20210  Ringcrg 20262  rcdsr 20382  Unitcui 20383  invrcinvr 20415  RSpancrsp 21242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-tpos 8269  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20362  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416
This theorem is referenced by:  dvdsruasso  33380  mxidlirred  33467
  Copyright terms: Public domain W3C validator