Theorem dvdsruassoi 33474

Description: If two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are unit multiples, then they are associates, i.e. each divides the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruassoi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
dvdsruassoi.3	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
dvdsruassoi.4	⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruassoi	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))

Proof of Theorem dvdsruassoi

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsruassoi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20354	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
4		dvdsruassoi.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
5	3, 4	sselid 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
6		oveq1 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → (𝑡 · 𝑋) = (𝑉 · 𝑋))
7	6	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → ((𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑉 · 𝑋) = 𝑌))
8	7	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝑉) → ((𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑉 · 𝑋) = 𝑌))
9		dvdsruassoi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑋) = 𝑌)
10	5, 8, 9	rspcedvd 3569	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
11		dvdsruassoi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
13	2, 12, 1	ringinvcl 20370	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑉) ∈ 𝐵)
14	11, 4, 13	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑉) ∈ 𝐵)
15		oveq1 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉) → (𝑠 · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌))
16	15	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋))
17	16	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉)) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋))
18		dvdsruassoi.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		dvdsrspss.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	1, 18, 11, 14, 5, 19	ringassd 20236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · (𝑉 · 𝑋)))
21		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	2, 12, 18, 21	unitlinv 20371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) = (1r‘𝑅))
23	11, 4, 22	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) = (1r‘𝑅))
24	23	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
25	1, 18, 21, 11, 19	ringlidmd 20251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
26	24, 25	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = 𝑋)
27	9	oveq2d 7379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · (𝑉 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌))
28	20, 26, 27	3eqtr3rd 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋)
29	14, 17, 28	rspcedvd 3569	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)
30		dvdsrspss.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
31	1, 30, 18	dvdsr 20340	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
32	19	biantrurd 537	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)))
33	31, 32	bitr4id 291	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
34	1, 30, 18	dvdsr 20340	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
35		dvdsrspss.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
36	35	biantrurd 537	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
37	34, 36	bitr4id 291	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
38	33, 37	anbi12d 638	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
39	10, 29, 38	mpbir2and 719	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  ∥_rcdsr 20332  Unitcui 20333  inv_rcinvr 20365  RSpancrsp 21207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366

This theorem is referenced by:  dvdsruasso  33475  mxidlirred  33562