Theorem dvdsruassoi 33424

Description: If two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are unit multiples, then they are associates, i.e. each divides the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruassoi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
dvdsruassoi.3	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
dvdsruassoi.4	⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruassoi	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))

Proof of Theorem dvdsruassoi

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsruassoi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20402	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
4		dvdsruassoi.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
5	3, 4	sselid 3996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
6		oveq1 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → (𝑡 · 𝑋) = (𝑉 · 𝑋))
7	6	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → ((𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑉 · 𝑋) = 𝑌))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝑉) → ((𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑉 · 𝑋) = 𝑌))
9		dvdsruassoi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑋) = 𝑌)
10	5, 8, 9	rspcedvd 3627	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
11		dvdsruassoi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
13	2, 12, 1	ringinvcl 20418	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑉) ∈ 𝐵)
14	11, 4, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑉) ∈ 𝐵)
15		oveq1 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉) → (𝑠 · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌))
16	15	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉)) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋))
18		dvdsruassoi.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		dvdsrspss.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	1, 18, 11, 14, 5, 19	ringassd 20284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · (𝑉 · 𝑋)))
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	2, 12, 18, 21	unitlinv 20419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) = (1r‘𝑅))
23	11, 4, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) = (1r‘𝑅))
24	23	oveq1d 7453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
25	1, 18, 21, 11, 19	ringlidmd 20295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
26	24, 25	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = 𝑋)
27	9	oveq2d 7454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · (𝑉 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌))
28	20, 26, 27	3eqtr3rd 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋)
29	14, 17, 28	rspcedvd 3627	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)
30		dvdsrspss.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
31	1, 30, 18	dvdsr 20388	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
32	19	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)))
33	31, 32	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
34	1, 30, 18	dvdsr 20388	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
35		dvdsrspss.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
36	35	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
37	34, 36	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
38	33, 37	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
39	10, 29, 38	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  ._rcmulr 17308  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  ∥_rcdsr 20380  Unitcui 20381  inv_rcinvr 20413  RSpancrsp 21244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-2nd 8023  df-tpos 8259  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-0g 17497  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414

This theorem is referenced by:  dvdsruasso  33425  mxidlirred  33512