Theorem dvdsruassoi 32484

Description: If two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are unit multiples, then they are associates, i.e. each divides the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruassoi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
dvdsruassoi.3	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
dvdsruassoi.4	⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruassoi	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))

Proof of Theorem dvdsruassoi

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsruassoi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20189	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
4		dvdsruassoi.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
5	3, 4	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
6		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → (𝑡 · 𝑋) = (𝑉 · 𝑋))
7	6	eqeq1d 2734	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → ((𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑉 · 𝑋) = 𝑌))
8	7	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝑉) → ((𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑉 · 𝑋) = 𝑌))
9		dvdsruassoi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑋) = 𝑌)
10	5, 8, 9	rspcedvd 3614	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
11		dvdsruassoi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
13	2, 12, 1	ringinvcl 20205	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑉) ∈ 𝐵)
14	11, 4, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑉) ∈ 𝐵)
15		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉) → (𝑠 · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌))
16	15	eqeq1d 2734	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋))
17	16	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉)) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋))
18		dvdsruassoi.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		dvdsrspss.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	1, 18, 11, 14, 5, 19	ringassd 20078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · (𝑉 · 𝑋)))
21		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	2, 12, 18, 21	unitlinv 20206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) = (1r‘𝑅))
23	11, 4, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) = (1r‘𝑅))
24	23	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
25	1, 18, 21, 11, 19	ringlidmd 20088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
26	24, 25	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = 𝑋)
27	9	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · (𝑉 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌))
28	20, 26, 27	3eqtr3rd 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋)
29	14, 17, 28	rspcedvd 3614	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)
30		dvdsrspss.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
31	1, 30, 18	dvdsr 20175	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
32	19	biantrurd 533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)))
33	31, 32	bitr4id 289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
34	1, 30, 18	dvdsr 20175	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
35		dvdsrspss.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
36	35	biantrurd 533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
37	34, 36	bitr4id 289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
38	33, 37	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
39	10, 29, 38	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197  1_rcur 20003  Ringcrg 20055  ∥_rcdsr 20167  Unitcui 20168  inv_rcinvr 20200  RSpancrsp 20783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201

This theorem is referenced by:  dvdsruasso  32485  mxidlirred  32583