Theorem dvdsruassoi 33347

Description: If two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are unit multiples, then they are associates, i.e. each divides the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruassoi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
dvdsruassoi.3	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
dvdsruassoi.4	⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruassoi	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))

Proof of Theorem dvdsruassoi

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsruassoi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20295	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
4		dvdsruassoi.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
5	3, 4	sselid 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
6		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → (𝑡 · 𝑋) = (𝑉 · 𝑋))
7	6	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → ((𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑉 · 𝑋) = 𝑌))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝑉) → ((𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑉 · 𝑋) = 𝑌))
9		dvdsruassoi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑋) = 𝑌)
10	5, 8, 9	rspcedvd 3579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
11		dvdsruassoi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
13	2, 12, 1	ringinvcl 20311	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑉) ∈ 𝐵)
14	11, 4, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑉) ∈ 𝐵)
15		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉) → (𝑠 · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌))
16	15	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉)) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋))
18		dvdsruassoi.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		dvdsrspss.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	1, 18, 11, 14, 5, 19	ringassd 20176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · (𝑉 · 𝑋)))
21		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	2, 12, 18, 21	unitlinv 20312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) = (1r‘𝑅))
23	11, 4, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) = (1r‘𝑅))
24	23	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
25	1, 18, 21, 11, 19	ringlidmd 20191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
26	24, 25	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = 𝑋)
27	9	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · (𝑉 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌))
28	20, 26, 27	3eqtr3rd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋)
29	14, 17, 28	rspcedvd 3579	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)
30		dvdsrspss.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
31	1, 30, 18	dvdsr 20281	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
32	19	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)))
33	31, 32	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
34	1, 30, 18	dvdsr 20281	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
35		dvdsrspss.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
36	35	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
37	34, 36	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
38	33, 37	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
39	10, 29, 38	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  1_rcur 20100  Ringcrg 20152  ∥_rcdsr 20273  Unitcui 20274  inv_rcinvr 20306  RSpancrsp 21145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-oppr 20256  df-dvdsr 20276  df-unit 20277  df-invr 20307

This theorem is referenced by:  dvdsruasso  33348  mxidlirred  33435