Theorem dvdsruassoi 33369

Description: If two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are unit multiples, then they are associates, i.e. each divides the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruassoi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
dvdsruassoi.3	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
dvdsruassoi.4	⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑋) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruassoi	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))

Proof of Theorem dvdsruassoi

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsruassoi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3	1, 2	unitss 20397	. . . 4 ⊢ 𝑈 ⊆ 𝐵
4		dvdsruassoi.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
5	3, 4	sselid 4000	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
6		oveq1 7452	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → (𝑡 · 𝑋) = (𝑉 · 𝑋))
7	6	eqeq1d 2736	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑉 → ((𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑉 · 𝑋) = 𝑌))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝑉) → ((𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑉 · 𝑋) = 𝑌))
9		dvdsruassoi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 · 𝑋) = 𝑌)
10	5, 8, 9	rspcedvd 3633	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
11		dvdsruassoi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
13	2, 12, 1	ringinvcl 20413	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑉) ∈ 𝐵)
14	11, 4, 13	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑉) ∈ 𝐵)
15		oveq1 7452	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉) → (𝑠 · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌))
16	15	eqeq1d 2736	. . . 4 ⊢ (𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = ((invr‘𝑅)‘𝑉)) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋))
18		dvdsruassoi.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		dvdsrspss.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	1, 18, 11, 14, 5, 19	ringassd 20279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · (𝑉 · 𝑋)))
21		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	2, 12, 18, 21	unitlinv 20414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) = (1r‘𝑅))
23	11, 4, 22	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) = (1r‘𝑅))
24	23	oveq1d 7460	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
25	1, 18, 21, 11, 19	ringlidmd 20290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
26	24, 25	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑉) · 𝑋) = 𝑋)
27	9	oveq2d 7461	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · (𝑉 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌))
28	20, 26, 27	3eqtr3rd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑉) · 𝑌) = 𝑋)
29	14, 17, 28	rspcedvd 3633	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)
30		dvdsrspss.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
31	1, 30, 18	dvdsr 20383	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
32	19	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)))
33	31, 32	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
34	1, 30, 18	dvdsr 20383	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
35		dvdsrspss.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
36	35	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
37	34, 36	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
38	33, 37	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
39	10, 29, 38	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  ∃wrex 3072   class class class wbr 5169  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  ._rcmulr 17307  1_rcur 20203  Ringcrg 20255  ∥_rcdsr 20375  Unitcui 20376  inv_rcinvr 20408  RSpancrsp 21235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-0g 17496  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409

This theorem is referenced by:  dvdsruasso  33370  mxidlirred  33457