Theorem opprunit 20460

Description: Being a unit is a symmetric property, so it transfers to the opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
opprunit.2	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprunit	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Proof of Theorem opprunit

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprunit.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (oppr‘𝑆) = (oppr‘𝑆)
6		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑆)) = (.r‘(oppr‘𝑆))
7	3, 4, 5, 6	opprmul 20423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑆)𝑦)
8		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9	2, 8, 1, 4	opprmul 20423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
10	7, 9	eqtr2i 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥)
11	10	eqeq1i 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅))
12	11	rexbii 3112	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅))
13	12	anbi2i 634	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅)))
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
15	2, 14, 8	dvdsr 20445	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
16	5, 3	opprbas 20426	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑆))
17		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑆)) = (∥r‘(oppr‘𝑆))
18	16, 17, 6	dvdsr 20445	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅)))
19	13, 15, 18	3bitr4i 306	. . . 4 ⊢ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅))
20	19	anbi2ci 636	. . 3 ⊢ ((𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅)) ↔ (𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅)))
21		opprunit.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑆) = (∥r‘𝑆)
24	21, 22, 14, 1, 23	isunit 20456	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅)))
25		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
26	1, 22	oppr1 20433	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆)
27	25, 26, 23, 5, 17	isunit 20456	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑆) ↔ (𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅)))
28	20, 24, 27	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑆))
29	28	eqriv 2760	1 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  1_rcur 20264  opp_rcoppr 20419  ∥_rcdsr 20437  Unitcui 20438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgp 20218  df-ur 20265  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441

This theorem is referenced by:  opprirred  20505  irredlmul  20511  opprdrng  20849  ply1divalg2  26277  opprqusdrng  33753