MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprunit 20279
Description: Being a unit is a symmetric property, so it transfers to the opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprunit.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
opprunit.2 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
opprunit π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)

Proof of Theorem opprunit
Dummy variables 𝑦 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprunit.2 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
2 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
31, 2opprbas 20243 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘†)
4 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
5 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (opprβ€˜π‘†) = (opprβ€˜π‘†)
6 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘†)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))
73, 4, 5, 6opprmul 20239 . . . . . . . . 9 (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦)
8 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
92, 8, 1, 4opprmul 20239 . . . . . . . . 9 (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)
107, 9eqtr2i 2755 . . . . . . . 8 (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯)
1110eqeq1i 2731 . . . . . . 7 ((𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
1211rexbii 3088 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
1312anbi2i 622 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
14 eqid 2726 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
152, 14, 8dvdsr 20264 . . . . 5 (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
165, 3opprbas 20243 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘†))
17 eqid 2726 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))
1816, 17, 6dvdsr 20264 . . . . 5 (π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘…) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
1913, 15, 183bitr4i 303 . . . 4 (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ↔ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘…))
2019anbi2ci 624 . . 3 ((π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)) ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘…)))
21 opprunit.1 . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
22 eqid 2726 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
23 eqid 2726 . . . 4 (βˆ₯rβ€˜π‘†) = (βˆ₯rβ€˜π‘†)
2421, 22, 14, 1, 23isunit 20275 . . 3 (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)))
25 eqid 2726 . . . 4 (Unitβ€˜π‘†) = (Unitβ€˜π‘†)
261, 22oppr1 20252 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘†)
2725, 26, 23, 5, 17isunit 20275 . . 3 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘†) ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘…)))
2820, 24, 273bitr4i 303 . 2 (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘†))
2928eqriv 2723 1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  1rcur 20086  opprcoppr 20235  βˆ₯rcdsr 20256  Unitcui 20257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260
This theorem is referenced by:  opprirred  20324  irredlmul  20330  opprdrng  20619  ply1divalg2  26029  opprqusdrng  33113
  Copyright terms: Public domain W3C validator