MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprunit 20323
Description: Being a unit is a symmetric property, so it transfers to the opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprunit.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
opprunit.2 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
opprunit π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)

Proof of Theorem opprunit
Dummy variables 𝑦 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprunit.2 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
2 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
31, 2opprbas 20287 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘†)
4 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
5 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (opprβ€˜π‘†) = (opprβ€˜π‘†)
6 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘†)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))
73, 4, 5, 6opprmul 20283 . . . . . . . . 9 (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦)
8 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
92, 8, 1, 4opprmul 20283 . . . . . . . . 9 (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)
107, 9eqtr2i 2757 . . . . . . . 8 (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯)
1110eqeq1i 2733 . . . . . . 7 ((𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
1211rexbii 3091 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
1312anbi2i 621 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
14 eqid 2728 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
152, 14, 8dvdsr 20308 . . . . 5 (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
165, 3opprbas 20287 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘†))
17 eqid 2728 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))
1816, 17, 6dvdsr 20308 . . . . 5 (π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘…) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
1913, 15, 183bitr4i 302 . . . 4 (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ↔ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘…))
2019anbi2ci 623 . . 3 ((π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)) ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘…)))
21 opprunit.1 . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
22 eqid 2728 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
23 eqid 2728 . . . 4 (βˆ₯rβ€˜π‘†) = (βˆ₯rβ€˜π‘†)
2421, 22, 14, 1, 23isunit 20319 . . 3 (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)))
25 eqid 2728 . . . 4 (Unitβ€˜π‘†) = (Unitβ€˜π‘†)
261, 22oppr1 20296 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘†)
2725, 26, 23, 5, 17isunit 20319 . . 3 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘†) ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘…)))
2820, 24, 273bitr4i 302 . 2 (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘†))
2928eqriv 2725 1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  1rcur 20128  opprcoppr 20279  βˆ₯rcdsr 20300  Unitcui 20301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304
This theorem is referenced by:  opprirred  20368  irredlmul  20374  opprdrng  20663  ply1divalg2  26094  opprqusdrng  33229
  Copyright terms: Public domain W3C validator