Theorem opprunit 20587

Description: Being a unit is a symmetric property, so it transfers to the opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
opprunit.2	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprunit	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Proof of Theorem opprunit

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprunit.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (oppr‘𝑆) = (oppr‘𝑆)
6		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑆)) = (.r‘(oppr‘𝑆))
7	3, 4, 5, 6	opprmul 20550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑆)𝑦)
8		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9	2, 8, 1, 4	opprmul 20550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
10	7, 9	eqtr2i 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥)
11	10	eqeq1i 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅))
12	11	rexbii 3110	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅))
13	12	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅)))
14		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
15	2, 14, 8	dvdsr 20572	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
16	5, 3	opprbas 20553	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑆))
17		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑆)) = (∥r‘(oppr‘𝑆))
18	16, 17, 6	dvdsr 20572	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅)))
19	13, 15, 18	3bitr4i 306	. . . 4 ⊢ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅))
20	19	anbi2ci 637	. . 3 ⊢ ((𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅)) ↔ (𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅)))
21		opprunit.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
22		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑆) = (∥r‘𝑆)
24	21, 22, 14, 1, 23	isunit 20583	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅)))
25		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
26	1, 22	oppr1 20560	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆)
27	25, 26, 23, 5, 17	isunit 20583	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑆) ↔ (𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅)))
28	20, 24, 27	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑆))
29	28	eqriv 2758	1 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  1_rcur 20387  opp_rcoppr 20546  ∥_rcdsr 20564  Unitcui 20565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-0g 17592  df-mgp 20341  df-ur 20388  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568

This theorem is used by:  opprirred  20632  irredlmul  20638  opprdrng  21001  ply1divalg2  26437  opprqusdrng  33999