Theorem opprunit 20313

Description: Being a unit is a symmetric property, so it transfers to the opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
opprunit.2	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprunit	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Proof of Theorem opprunit

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprunit.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (oppr‘𝑆) = (oppr‘𝑆)
6		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑆)) = (.r‘(oppr‘𝑆))
7	3, 4, 5, 6	opprmul 20276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑆)𝑦)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9	2, 8, 1, 4	opprmul 20276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
10	7, 9	eqtr2i 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥)
11	10	eqeq1i 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅))
12	11	rexbii 3083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅))
13	12	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅)))
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
15	2, 14, 8	dvdsr 20298	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
16	5, 3	opprbas 20279	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑆))
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑆)) = (∥r‘(oppr‘𝑆))
18	16, 17, 6	dvdsr 20298	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅)))
19	13, 15, 18	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅))
20	19	anbi2ci 625	. . 3 ⊢ ((𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅)) ↔ (𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅)))
21		opprunit.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
22		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑆) = (∥r‘𝑆)
24	21, 22, 14, 1, 23	isunit 20309	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅)))
25		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
26	1, 22	oppr1 20286	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆)
27	25, 26, 23, 5, 17	isunit 20309	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑆) ↔ (𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅)))
28	20, 24, 27	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑆))
29	28	eqriv 2733	1 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  1_rcur 20116  opp_rcoppr 20272  ∥_rcdsr 20290  Unitcui 20291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294

This theorem is referenced by:  opprirred  20358  irredlmul  20364  opprdrng  20697  ply1divalg2  26100  opprqusdrng  33574