Theorem opprunit 20279

Description: Being a unit is a symmetric property, so it transfers to the opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
opprunit.2	⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprunit	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Proof of Theorem opprunit

Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprunit.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (oppr‘𝑅)
2		eqid 2726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
5		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (oppr‘𝑆) = (oppr‘𝑆)
6		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑆)) = (.r‘(oppr‘𝑆))
7	3, 4, 5, 6	opprmul 20239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (𝑥(.r‘𝑆)𝑦)
8		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9	2, 8, 1, 4	opprmul 20239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
10	7, 9	eqtr2i 2755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥)
11	10	eqeq1i 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅))
12	11	rexbii 3088	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅))
13	12	anbi2i 622	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅)))
14		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
15	2, 14, 8	dvdsr 20264	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅)))
16	5, 3	opprbas 20243	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑆))
17		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑆)) = (∥r‘(oppr‘𝑆))
18	16, 17, 6	dvdsr 20264	. . . . 5 ⊢ (𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(.r‘(oppr‘𝑆))𝑥) = (1r‘𝑅)))
19	13, 15, 18	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅))
20	19	anbi2ci 624	. . 3 ⊢ ((𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅)) ↔ (𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅)))
21		opprunit.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
22		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑆) = (∥r‘𝑆)
24	21, 22, 14, 1, 23	isunit 20275	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅)))
25		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
26	1, 22	oppr1 20252	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆)
27	25, 26, 23, 5, 17	isunit 20275	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑆) ↔ (𝑥(∥r‘𝑆)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑅)))
28	20, 24, 27	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑆))
29	28	eqriv 2723	1 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  ._rcmulr 17207  1_rcur 20086  opp_rcoppr 20235  ∥_rcdsr 20256  Unitcui 20257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260

This theorem is referenced by:  opprirred  20324  irredlmul  20330  opprdrng  20619  ply1divalg2  26029  opprqusdrng  33113