MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprunit 20091
Description: Being a unit is a symmetric property, so it transfers to the opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprunit.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
opprunit.2 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
opprunit π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)

Proof of Theorem opprunit
Dummy variables 𝑦 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprunit.2 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
2 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
31, 2opprbas 20057 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘†)
4 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
5 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (opprβ€˜π‘†) = (opprβ€˜π‘†)
6 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘†)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))
73, 4, 5, 6opprmul 20053 . . . . . . . . 9 (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦)
8 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
92, 8, 1, 4opprmul 20053 . . . . . . . . 9 (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)
107, 9eqtr2i 2766 . . . . . . . 8 (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯)
1110eqeq1i 2742 . . . . . . 7 ((𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…) ↔ (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
1211rexbii 3098 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…))
1312anbi2i 624 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
14 eqid 2737 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
152, 14, 8dvdsr 20076 . . . . 5 (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
165, 3opprbas 20057 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘†))
17 eqid 2737 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))
1816, 17, 6dvdsr 20076 . . . . 5 (π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘…) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘†))π‘₯) = (1rβ€˜π‘…)))
1913, 15, 183bitr4i 303 . . . 4 (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ↔ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘…))
2019anbi2ci 626 . . 3 ((π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)) ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘…)))
21 opprunit.1 . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
22 eqid 2737 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
23 eqid 2737 . . . 4 (βˆ₯rβ€˜π‘†) = (βˆ₯rβ€˜π‘†)
2421, 22, 14, 1, 23isunit 20087 . . 3 (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)))
25 eqid 2737 . . . 4 (Unitβ€˜π‘†) = (Unitβ€˜π‘†)
261, 22oppr1 20064 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘†)
2725, 26, 23, 5, 17isunit 20087 . . 3 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘†) ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘†))(1rβ€˜π‘…)))
2820, 24, 273bitr4i 303 . 2 (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↔ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘†))
2928eqriv 2734 1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  .rcmulr 17135  1rcur 19914  opprcoppr 20049  βˆ₯rcdsr 20068  Unitcui 20069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-0g 17324  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072
This theorem is referenced by:  opprirred  20132  irredlmul  20138  opprdrng  20214  ply1divalg2  25506
  Copyright terms: Public domain W3C validator