Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdsrspss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsrspss 33017
Description: In a ring, an element 𝑋 divides 𝑌 iff the ideal generated by 𝑌 is a subset of the ideal generated by 𝑋 (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsrspss.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d = (∥r𝑅)
dvdsrspss.x (𝜑𝑋𝐵)
dvdsrspss.y (𝜑𝑌𝐵)
dvdsrspss.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
dvdsrspss (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))

Proof of Theorem dvdsrspss
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsrspss.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvdsrspss.d . . . 4 = (∥r𝑅)
3 eqid 2727 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
41, 2, 3dvdsr 20283 . . 3 (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡(.r𝑅)𝑋) = 𝑌))
5 dvdsrspss.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
65biantrurd 532 . . 3 (𝜑 → (∃𝑡𝐵 (𝑡(.r𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡(.r𝑅)𝑋) = 𝑌)))
74, 6bitr4id 290 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ ∃𝑡𝐵 (𝑡(.r𝑅)𝑋) = 𝑌))
8 dvdsrspss.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 dvdsrspss.k . . . . 5 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
101, 3, 9rspsnel 33010 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡𝐵 𝑌 = (𝑡(.r𝑅)𝑋)))
118, 5, 10syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡𝐵 𝑌 = (𝑡(.r𝑅)𝑋)))
12 eqcom 2734 . . . 4 ((𝑡(.r𝑅)𝑋) = 𝑌𝑌 = (𝑡(.r𝑅)𝑋))
1312rexbii 3089 . . 3 (∃𝑡𝐵 (𝑡(.r𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑡𝐵 𝑌 = (𝑡(.r𝑅)𝑋))
1411, 13bitr4di 289 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡𝐵 (𝑡(.r𝑅)𝑋) = 𝑌))
158adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑅 ∈ Ring)
165snssd 4808 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
17 eqid 2727 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
189, 1, 17rspcl 21113 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
198, 16, 18syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
2019adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
21 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
2221snssd 4808 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
239, 17rspssp 21117 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
2415, 20, 22, 23syl3anc 1369 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
25 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
26 dvdsrspss.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐵)
2726snssd 4808 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐵)
289, 1rspssid 21114 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑌} ⊆ 𝐵) → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌}))
298, 27, 28syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌}))
30 snssg 4783 . . . . . . 7 (𝑌𝐵 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}) ↔ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌})))
3130biimpar 477 . . . . . 6 ((𝑌𝐵 ∧ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
3226, 29, 31syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
3332adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
3425, 33sseldd 3979 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
3524, 34impbida 800 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
367, 14, 353bitr2d 307 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3065  wss 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  .rcmulr 17219  Ringcrg 20157  rcdsr 20275  LIdealclidl 21084  RSpancrsp 21085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-mgp 20059  df-ur 20106  df-ring 20159  df-dvdsr 20278  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-lidl 21086  df-rsp 21087
This theorem is referenced by:  rspsnasso  33018
  Copyright terms: Public domain W3C validator