Theorem dvdsrspss 32997

Description: In a ring, an element 𝑋 divides 𝑌 iff the ideal generated by 𝑌 is a subset of the ideal generated by 𝑋 (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrspss	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))

Proof of Theorem dvdsrspss

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20264	. . 3 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
5		dvdsrspss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	5	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)))
7	4, 6	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
8		dvdsrspss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		dvdsrspss.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
10	1, 3, 9	rspsnel 32990	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
11	8, 5, 10	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
12		eqcom 2733	. . . 4 ⊢ ((𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
13	12	rexbii 3088	. . 3 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
14	11, 13	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
15	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑅 ∈ Ring)
16	5	snssd 4807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
17		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
18	9, 1, 17	rspcl 21094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	8, 16, 18	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
21		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
22	21	snssd 4807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
23	9, 17	rspssp 21098	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
24	15, 20, 22, 23	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
25		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
26		dvdsrspss.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	26	snssd 4807	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐵)
28	9, 1	rspssid 21095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑌} ⊆ 𝐵) → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌}))
29	8, 27, 28	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌}))
30		snssg 4782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}) ↔ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌})))
31	30	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
32	26, 29, 31	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
34	25, 33	sseldd 3978	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
35	24, 34	impbida 798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
36	7, 14, 35	3bitr2d 307	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  ._rcmulr 17207  Ringcrg 20138  ∥_rcdsr 20256  LIdealclidl 21065  RSpancrsp 21066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-dvdsr 20259  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068

This theorem is referenced by:  rspsnasso  32998