Theorem dvdsrspss 33416

Description: In a ring, an element 𝑋 divides 𝑌 iff the ideal generated by 𝑌 is a subset of the ideal generated by 𝑋 (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrspss	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))

Proof of Theorem dvdsrspss

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20363	. . 3 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
5		dvdsrspss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	5	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)))
7	4, 6	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
8		dvdsrspss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		dvdsrspss.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
10	1, 3, 9	elrspsn 21251	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
11	8, 5, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
12		eqcom 2743	. . . 4 ⊢ ((𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
13	12	rexbii 3093	. . 3 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
14	11, 13	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
15	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑅 ∈ Ring)
16	5	snssd 4808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
18	9, 1, 17	rspcl 21246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	8, 16, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
21		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
22	21	snssd 4808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
23	9, 17	rspssp 21250	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
24	15, 20, 22, 23	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
25		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
26		dvdsrspss.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	26	snssd 4808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐵)
28	9, 1	rspssid 21247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑌} ⊆ 𝐵) → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌}))
29	8, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌}))
30		snssg 4782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}) ↔ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌})))
31	30	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
32	26, 29, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
34	25, 33	sseldd 3983	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
35	24, 34	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
36	7, 14, 35	3bitr2d 307	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3950  {csn 4625   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299  Ringcrg 20231  ∥_rcdsr 20355  LIdealclidl 21217  RSpancrsp 21218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-dvdsr 20358  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220

This theorem is referenced by:  rspsnasso  33417