Theorem dvdsrspss 33344

Description: In a ring, an element 𝑋 divides 𝑌 iff the ideal generated by 𝑌 is a subset of the ideal generated by 𝑋 (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrspss	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))

Proof of Theorem dvdsrspss

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20275	. . 3 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
5		dvdsrspss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	5	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)))
7	4, 6	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
8		dvdsrspss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		dvdsrspss.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
10	1, 3, 9	elrspsn 21172	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
11	8, 5, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
12		eqcom 2738	. . . 4 ⊢ ((𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
13	12	rexbii 3079	. . 3 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
14	11, 13	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
15	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑅 ∈ Ring)
16	5	snssd 4756	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
17		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
18	9, 1, 17	rspcl 21167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	8, 16, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
21		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
22	21	snssd 4756	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
23	9, 17	rspssp 21171	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
24	15, 20, 22, 23	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
25		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
26		dvdsrspss.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	26	snssd 4756	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐵)
28	9, 1	rspssid 21168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑌} ⊆ 𝐵) → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌}))
29	8, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌}))
30		snssg 4731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}) ↔ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌})))
31	30	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
32	26, 29, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
34	25, 33	sseldd 3930	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
35	24, 34	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
36	7, 14, 35	3bitr2d 307	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  {csn 4571   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  ._rcmulr 17157  Ringcrg 20146  ∥_rcdsr 20267  LIdealclidl 21138  RSpancrsp 21139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-dvdsr 20270  df-subrg 20480  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-lidl 21140  df-rsp 21141

This theorem is referenced by:  rspsnasso  33345