Theorem dvdsrspss 33139

Description: In a ring, an element 𝑋 divides 𝑌 iff the ideal generated by 𝑌 is a subset of the ideal generated by 𝑋 (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrspss	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))

Proof of Theorem dvdsrspss

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20305	. . 3 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
5		dvdsrspss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	5	biantrurd 531	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)))
7	4, 6	bitr4id 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
8		dvdsrspss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		dvdsrspss.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
10	1, 3, 9	rspsnel 33131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
11	8, 5, 10	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
12		eqcom 2732	. . . 4 ⊢ ((𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
13	12	rexbii 3084	. . 3 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 𝑌 = (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
14	11, 13	bitr4di 288	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
15	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑅 ∈ Ring)
16	5	snssd 4808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
17		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
18	9, 1, 17	rspcl 21135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	8, 16, 18	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
20	19	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
21		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
22	21	snssd 4808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
23	9, 17	rspssp 21139	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
24	15, 20, 22, 23	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
25		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
26		dvdsrspss.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	26	snssd 4808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝐵)
28	9, 1	rspssid 21136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑌} ⊆ 𝐵) → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌}))
29	8, 27, 28	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌}))
30		snssg 4783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}) ↔ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌})))
31	30	biimpar 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ {𝑌} ⊆ (𝐾‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
32	26, 29, 31	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
33	32	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
34	25, 33	sseldd 3973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
35	24, 34	impbida 799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
36	7, 14, 35	3bitr2d 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3939  {csn 4624   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233  Ringcrg 20177  ∥_rcdsr 20297  LIdealclidl 21106  RSpancrsp 21107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-dvdsr 20300  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109

This theorem is referenced by:  rspsnasso  33140