Theorem subrgdvds 20369

Description: If an element divides another in a subring, then it also divides the other in the parent ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgdvds.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrgdvds.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
subrgdvds.3	⊢ 𝐸 = (∥r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subrgdvds	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 ⊆ ∥ )

Proof of Theorem subrgdvds

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgdvds.3	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (∥r‘𝑆)
2	1	reldvdsr 20166	. . 3 ⊢ Rel 𝐸
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → Rel 𝐸)
4		subrgdvds.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
5	4	subrgbas 20364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
6		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	6	subrgss 20356	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
8	5, 7	eqsstrrd 4020	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
9	8	sseld 3980	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
10		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	4, 10	ressmulr 17248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12	11	oveqd 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑧(.r‘𝑆)𝑥))
13	12	eqeq1d 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑧(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑦))
14	13	rexbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑦))
15		ssrexv 4050	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
16	8, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
17	14, 16	sylbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
18	9, 17	anim12d 609	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
19		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
21	19, 1, 20	dvdsr 20168	. . . 4 ⊢ (𝑥𝐸𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑦))
22		subrgdvds.2	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
23	6, 22, 10	dvdsr 20168	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∥ 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
24	18, 21, 23	3imtr4g 295	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥𝐸𝑦 → 𝑥 ∥ 𝑦))
25		df-br 5148	. . 3 ⊢ (𝑥𝐸𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐸)
26		df-br 5148	. . 3 ⊢ (𝑥 ∥ 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∥ )
27	24, 25, 26	3imtr3g 294	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐸 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∥ ))
28	3, 27	relssdv 5786	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 ⊆ ∥ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947  ⟨cop 4633   class class class wbr 5147  Rel wrel 5680  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  ._rcmulr 17194  ∥_rcdsr 20160  SubRingcsubrg 20351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-mulr 17207  df-subg 18997  df-ring 20051  df-dvdsr 20163  df-subrg 20353

This theorem is referenced by:  subrguss  20370