MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgdvds 20477
Description: If an element divides another in a subring, then it also divides the other in the parent ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgdvds.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
subrgdvds.2 βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
subrgdvds.3 𝐸 = (βˆ₯rβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
subrgdvds (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐸 βŠ† βˆ₯ )

Proof of Theorem subrgdvds
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgdvds.3 . . . 4 𝐸 = (βˆ₯rβ€˜π‘†)
21reldvdsr 20252 . . 3 Rel 𝐸
32a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ Rel 𝐸)
4 subrgdvds.1 . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
54subrgbas 20472 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
6 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
76subrgss 20463 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
85, 7eqsstrrd 4022 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
98sseld 3982 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
10 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
114, 10ressmulr 17257 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
1211oveqd 7429 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = (𝑧(.rβ€˜π‘†)π‘₯))
1312eqeq1d 2733 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦 ↔ (𝑧(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = 𝑦))
1413rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(𝑧(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = 𝑦))
15 ssrexv 4052 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
168, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
1714, 16sylbird 259 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(𝑧(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = 𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
189, 17anim12d 608 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(𝑧(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦)))
19 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
20 eqid 2731 . . . . 5 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
2119, 1, 20dvdsr 20254 . . . 4 (π‘₯𝐸𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(𝑧(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = 𝑦))
22 subrgdvds.2 . . . . 5 βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
236, 22, 10dvdsr 20254 . . . 4 (π‘₯ βˆ₯ 𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(𝑧(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑦))
2418, 21, 233imtr4g 295 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯𝐸𝑦 β†’ π‘₯ βˆ₯ 𝑦))
25 df-br 5150 . . 3 (π‘₯𝐸𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝐸)
26 df-br 5150 . . 3 (π‘₯ βˆ₯ 𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ βˆ₯ )
2724, 25, 263imtr3g 294 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ 𝐸 β†’ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ βˆ₯ ))
283, 27relssdv 5789 1 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐸 βŠ† βˆ₯ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  Rel wrel 5682  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  .rcmulr 17203  βˆ₯rcdsr 20246  SubRingcsubrg 20458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-mulr 17216  df-subg 19040  df-ring 20130  df-dvdsr 20249  df-subrg 20460
This theorem is referenced by:  subrguss  20478
  Copyright terms: Public domain W3C validator