Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgdvds 19545
 Description: If an element divides another in a subring, then it also divides the other in the parent ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgdvds.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
subrgdvds.2 = (∥r𝑅)
subrgdvds.3 𝐸 = (∥r𝑆)
Assertion
Ref Expression
subrgdvds (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 )

Proof of Theorem subrgdvds
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgdvds.3 . . . 4 𝐸 = (∥r𝑆)
21reldvdsr 19393 . . 3 Rel 𝐸
32a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → Rel 𝐸)
4 subrgdvds.1 . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
54subrgbas 19540 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
6 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
76subrgss 19532 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
85, 7eqsstrrd 3954 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
98sseld 3914 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
10 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
114, 10ressmulr 16619 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1211oveqd 7152 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑧(.r𝑅)𝑥) = (𝑧(.r𝑆)𝑥))
1312eqeq1d 2800 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦))
1413rexbidv 3256 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦))
15 ssrexv 3982 . . . . . . 7 ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
168, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
1714, 16sylbird 263 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
189, 17anim12d 611 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)))
19 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20 eqid 2798 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2119, 1, 20dvdsr 19395 . . . 4 (𝑥𝐸𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦))
22 subrgdvds.2 . . . . 5 = (∥r𝑅)
236, 22, 10dvdsr 19395 . . . 4 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
2418, 21, 233imtr4g 299 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥𝐸𝑦𝑥 𝑦))
25 df-br 5031 . . 3 (𝑥𝐸𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐸)
26 df-br 5031 . . 3 (𝑥 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ )
2724, 25, 263imtr3g 298 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐸 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ))
283, 27relssdv 5625 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030  Rel wrel 5524  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16477   ↾s cress 16478  .rcmulr 16560  ∥rcdsr 19387  SubRingcsubrg 19527 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-mulr 16573  df-subg 18271  df-ring 19295  df-dvdsr 19390  df-subrg 19529 This theorem is referenced by:  subrguss  19546
 Copyright terms: Public domain W3C validator