Theorem subrgdvds 20531

Description: If an element divides another in a subring, then it also divides the other in the parent ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgdvds.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrgdvds.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
subrgdvds.3	⊢ 𝐸 = (∥r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subrgdvds	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 ⊆ ∥ )

Proof of Theorem subrgdvds

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgdvds.3	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (∥r‘𝑆)
2	1	reldvdsr 20308	. . 3 ⊢ Rel 𝐸
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → Rel 𝐸)
4		subrgdvds.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
5	4	subrgbas 20526	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
6		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	6	subrgss 20517	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
8	5, 7	eqsstrrd 3971	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
9	8	sseld 3934	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
10		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	4, 10	ressmulr 17239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12	11	oveqd 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑧(.r‘𝑆)𝑥))
13	12	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑧(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑦))
14	13	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑦))
15		ssrexv 4005	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
16	8, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
17	14, 16	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
18	9, 17	anim12d 610	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)))
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
21	19, 1, 20	dvdsr 20310	. . . 4 ⊢ (𝑥𝐸𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑦))
22		subrgdvds.2	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
23	6, 22, 10	dvdsr 20310	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∥ 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦))
24	18, 21, 23	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥𝐸𝑦 → 𝑥 ∥ 𝑦))
25		df-br 5101	. . 3 ⊢ (𝑥𝐸𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐸)
26		df-br 5101	. . 3 ⊢ (𝑥 ∥ 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∥ )
27	24, 25, 26	3imtr3g 295	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐸 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∥ ))
28	3, 27	relssdv 5745	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 ⊆ ∥ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  Rel wrel 5637  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  ._rcmulr 17190  ∥_rcdsr 20302  SubRingcsubrg 20514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-mulr 17203  df-subg 19065  df-ring 20182  df-dvdsr 20305  df-subrg 20515

This theorem is referenced by:  subrguss  20532