MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgdvds 19063
Description: If an element divides another in a subring, then it also divides the other in the parent ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgdvds.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
subrgdvds.2 = (∥r𝑅)
subrgdvds.3 𝐸 = (∥r𝑆)
Assertion
Ref Expression
subrgdvds (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 )

Proof of Theorem subrgdvds
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgdvds.3 . . . 4 𝐸 = (∥r𝑆)
21reldvdsr 18911 . . 3 Rel 𝐸
32a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → Rel 𝐸)
4 subrgdvds.1 . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
54subrgbas 19058 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
6 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
76subrgss 19050 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
85, 7eqsstr3d 3800 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
98sseld 3760 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
10 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
114, 10ressmulr 16278 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1211oveqd 6859 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑧(.r𝑅)𝑥) = (𝑧(.r𝑆)𝑥))
1312eqeq1d 2767 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦))
1413rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦))
15 ssrexv 3827 . . . . . . 7 ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
168, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
1714, 16sylbird 251 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
189, 17anim12d 602 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)))
19 eqid 2765 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20 eqid 2765 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2119, 1, 20dvdsr 18913 . . . 4 (𝑥𝐸𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦))
22 subrgdvds.2 . . . . 5 = (∥r𝑅)
236, 22, 10dvdsr 18913 . . . 4 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
2418, 21, 233imtr4g 287 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥𝐸𝑦𝑥 𝑦))
25 df-br 4810 . . 3 (𝑥𝐸𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐸)
26 df-br 4810 . . 3 (𝑥 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ )
2724, 25, 263imtr3g 286 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐸 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ))
283, 27relssdv 5381 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  wss 3732  cop 4340   class class class wbr 4809  Rel wrel 5282  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  s cress 16131  .rcmulr 16215  rcdsr 18905  SubRingcsubrg 19045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-mulr 16228  df-subg 17855  df-ring 18816  df-dvdsr 18908  df-subrg 19047
This theorem is referenced by:  subrguss  19064
  Copyright terms: Public domain W3C validator