MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzel1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzel1 12901
Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the lower bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzel1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 12898 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 12236 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  cfv 6338  (class class class)co 7140  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-id 5443  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-fv 6346  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-neg 10860  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886
This theorem is referenced by:  fzdisj  12929  fzrev2i  12967  fzrev3  12968  uznfz  12985  elfzmlbm  13012  bcp1nk  13673  fallfacval3  15357  fzm1ne1  30511  fzmaxdif  39769  jm2.23  39784  monoords  41786  iblspltprt  42472  itgspltprt  42478  stoweidlem34  42533  iundjiun  42956  iccpartgt  43801  altgsumbcALT  44611
  Copyright terms: Public domain W3C validator