Theorem elfzel1 13439

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the lower bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13436	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 12756	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  fzdisj  13467  fzrev2i  13505  fzrev3  13506  uznfz  13526  elfzmlbm  13554  bcp1nk  14240  fallfacval3  15935  fzm1ne1  32868  fzmaxdif  43233  jm2.23  43248  monoords  45555  iblspltprt  46227  itgspltprt  46233  stoweidlem34  46288  iundjiun  46714  iccpartgt  47683  altgsumbcALT  48609