Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altgsumbcALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem altgsumbcALT 43899
Description: Alternate proof of altgsumbc 43898, using Pascal's rule (bcpascm1 43897) instead of the binomial theorem (binom 15018). (Contributed by AV, 8-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbcALT (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem altgsumbcALT
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12758 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
2 bcpascm1 43897 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (𝑁C𝑘))
31, 2sylan2 592 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (𝑁C𝑘))
43eqcomd 2801 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) = (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
54oveq2d 7032 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
6 ax-1cn 10441 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 negcl 10733 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℂ → -1 ∈ ℂ)
8 elfznn0 12850 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 expcl 13297 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
107, 8, 9syl2an 595 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
116, 10mpan 686 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
1211adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
13 nnm1nn0 11786 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14 bccl 13532 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 11805 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
1613, 1, 15syl2an 595 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
17 peano2zm 11874 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
181, 17syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
19 bccl 13532 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 11805 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
2113, 18, 20syl2an 595 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
2212, 16, 21adddid 10511 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
235, 22eqtrd 2831 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
2423sumeq2dv 14893 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
25 fzfid 13191 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) ∈ Fin)
26 neg1cn 11599 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
2827, 8, 9syl2an 595 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2928, 16mulcld 10507 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) ∈ ℂ)
30 1z 11861 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
321, 31zsubcld 11941 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
3313, 32, 20syl2an 595 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
3428, 33mulcld 10507 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
3525, 29, 34fsumadd 14929 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
3630a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
37 0zd 11841 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℤ)
38 nnz 11853 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
39 oveq2 7024 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(𝑗 − 1)))
40 oveq2 7024 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁 − 1)C𝑘) = ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)))
4139, 40oveq12d 7034 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) = ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))))
4236, 37, 38, 29, 41fsumshft 14968 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))))
43 0p1e1 11607 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
4443oveq1i 7026 . . . . . . 7 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1)))
4645sumeq1d 14891 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))))
47 elnnuz 12131 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4847biimpi 217 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4926a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → -1 ∈ ℂ)
50 elfznn 12786 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
51 nnm1nn0 11786 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
5449, 53expcld 13360 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
55 elfzelz 12758 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
56 elfzel1 12757 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 1 ∈ ℤ)
5755, 56zsubcld 11941 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
58 bccl 13532 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
5958nn0cnd 11805 . . . . . . . . 9 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
6013, 57, 59syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
6154, 60mulcld 10507 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) ∈ ℂ)
62 oveq1 7023 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
6362oveq2d 7032 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑((𝑁 + 1) − 1)))
6462oveq2d 7032 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) = ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)))
6563, 64oveq12d 7034 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑁 + 1) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
6648, 61, 65fsump1 14944 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)))))
67 nncn 11494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
68 pncan1 10912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
70 nnnn0 11752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7169, 70eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
7271nn0zd 11934 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℤ)
73 nnre 11493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
74 ltm1 11330 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
7675, 69breqtrrd 4990 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 1) − 1))
7776olcd 871 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) < 0 ∨ (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 1) − 1)))
78 bcval4 13517 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝑁 + 1) − 1) < 0 ∨ (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 1) − 1))) → ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = 0)
7913, 72, 77, 78syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = 0)
8079oveq2d 7032 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · 0))
8127, 71expcld 13360 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑((𝑁 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
8281mul01d 10686 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · 0) = 0)
8380, 82eqtrd 2831 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = 0)
8483oveq2d 7032 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + 0))
85 oveq1 7023 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
8685oveq2d 7032 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(𝑘 − 1)))
8785oveq2d 7032 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) = ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))
8886, 87oveq12d 7034 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
8988cbvsumv 14886 . . . . . . . . 9 Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))
9089a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
9190oveq1d 7031 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + 0) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + 0))
92 fzfid 13191 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
9326a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℂ)
94 elfznn 12786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
95 nnm1nn0 11786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
9796adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
9893, 97expcld 13360 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
99 elfzelz 12758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
100 elfzel1 12757 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
10199, 100zsubcld 11941 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
10213, 101, 19syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
103102nn0cnd 11805 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
10498, 103mulcld 10507 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
10592, 104fsumcl 14923 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
106105addid1d 10687 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
10791, 106eqtrd 2831 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
10866, 84, 1073eqtrd 2835 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
10942, 46, 1083eqtrd 2835 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
110 elnn0uz 12132 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
11170, 110sylib 219 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
112 oveq2 7024 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = (-1↑0))
113 oveq1 7023 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
114113oveq2d 7032 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) = ((𝑁 − 1)C(0 − 1)))
115112, 114oveq12d 7034 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = ((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))))
116111, 34, 115fsum1p 14941 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
11727exp0d 13354 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑0) = 1)
118 0z 11840 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
119 zsubcl 11873 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
120118, 30, 119mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (0 − 1) ∈ ℤ
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 1) ∈ ℤ)
122 0re 10489 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
123 ltm1 11330 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
124122, 123mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 1) < 0)
125124orcd 870 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 1) < 0 ∨ (𝑁 − 1) < (0 − 1)))
126 bcval4 13517 . . . . . . . . 9 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ ∧ ((0 − 1) < 0 ∨ (𝑁 − 1) < (0 − 1))) → ((𝑁 − 1)C(0 − 1)) = 0)
12713, 121, 125, 126syl3anc 1364 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C(0 − 1)) = 0)
128117, 127oveq12d 7034 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))) = (1 · 0))
1296a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
130129mul01d 10686 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 0) = 0)
131128, 130eqtrd 2831 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))) = 0)
13243a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + 1) = 1)
133132oveq1d 7031 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁))
13499zcnd 11937 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
135 npcan1 10913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
136135eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℂ → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
137134, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
138137adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
139138oveq2d 7032 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑘 − 1) + 1)))
140 expp1 13286 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1))
14127, 96, 140syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1))
142139, 141eqtrd 2831 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑𝑘) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1))
143142oveq1d 7031 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (((-1↑(𝑘 − 1)) · -1) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
14498, 93mulcomd 10508 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑘 − 1))))
145144oveq1d 7031 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((-1↑(𝑘 − 1)) · -1) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = ((-1 · (-1↑(𝑘 − 1))) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
14693, 98, 103mulassd 10510 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1 · (-1↑(𝑘 − 1))) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (-1 · ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
147143, 145, 1463eqtrd 2835 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (-1 · ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
148133, 147sumeq12rdv 14897 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
14992, 27, 104fsummulc2 14972 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
150148, 149eqtr4d 2834 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
151131, 150oveq12d 7034 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (0 + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))))
15227, 105mulcld 10507 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
153152addid2d 10688 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))) = (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
154116, 151, 1533eqtrd 2835 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
155109, 154oveq12d 7034 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))))
15635, 155eqtrd 2831 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))))
157105mulm1d 10940 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = -Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
158157oveq2d 7032 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + -Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
159105negidd 10835 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + -Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = 0)
160158, 159eqtrd 2831 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))) = 0)
16124, 156, 1603eqtrd 2835 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 842   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521  cmin 10717  -cneg 10718  cn 11486  0cn0 11745  cz 11829  cuz 12093  ...cfz 12742  cexp 13279  Ccbc 13512  Σcsu 14876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator