Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altgsumbcALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem altgsumbcALT 45656
Description: Alternate proof of altgsumbc 45655, using Pascal's rule (bcpascm1 45654) instead of the binomial theorem (binom 15540). (Contributed by AV, 8-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbcALT (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem altgsumbcALT
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13254 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
2 bcpascm1 45654 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (𝑁C𝑘))
31, 2sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (𝑁C𝑘))
43eqcomd 2744 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) = (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
54oveq2d 7293 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
6 ax-1cn 10927 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 negcl 11219 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℂ → -1 ∈ ℂ)
8 elfznn0 13347 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 expcl 13798 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
107, 8, 9syl2an 596 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
116, 10mpan 687 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
1211adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
13 nnm1nn0 12272 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14 bccl 14034 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 12293 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
1613, 1, 15syl2an 596 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
17 peano2zm 12361 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
181, 17syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
19 bccl 14034 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 12293 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
2113, 18, 20syl2an 596 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
2212, 16, 21adddid 10997 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
235, 22eqtrd 2778 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
2423sumeq2dv 15413 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
25 fzfid 13691 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) ∈ Fin)
26 neg1cn 12085 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
2827, 8, 9syl2an 596 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2928, 16mulcld 10993 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) ∈ ℂ)
30 1z 12348 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
321, 31zsubcld 12429 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
3313, 32, 20syl2an 596 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
3428, 33mulcld 10993 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
3525, 29, 34fsumadd 15450 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
3630a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
37 0zd 12329 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℤ)
38 nnz 12340 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
39 oveq2 7285 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(𝑗 − 1)))
40 oveq2 7285 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁 − 1)C𝑘) = ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)))
4139, 40oveq12d 7295 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) = ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))))
4236, 37, 38, 29, 41fsumshft 15490 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))))
43 0p1e1 12093 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
4443oveq1i 7287 . . . . . . 7 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1)))
4645sumeq1d 15411 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))))
47 elnnuz 12620 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4847biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4926a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → -1 ∈ ℂ)
50 elfznn 13283 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
51 nnm1nn0 12272 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
5449, 53expcld 13862 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
55 elfzelz 13254 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
56 elfzel1 13253 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 1 ∈ ℤ)
5755, 56zsubcld 12429 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
58 bccl 14034 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
5958nn0cnd 12293 . . . . . . . . 9 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
6013, 57, 59syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
6154, 60mulcld 10993 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) ∈ ℂ)
62 oveq1 7284 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
6362oveq2d 7293 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑((𝑁 + 1) − 1)))
6462oveq2d 7293 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) = ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)))
6563, 64oveq12d 7295 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑁 + 1) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
6648, 61, 65fsump1 15466 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)))))
67 nncn 11979 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
68 pncan1 11397 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
70 nnnn0 12238 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7169, 70eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
7271nn0zd 12422 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℤ)
73 nnre 11978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
74 ltm1 11815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
7675, 69breqtrrd 5104 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 1) − 1))
7776olcd 871 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) < 0 ∨ (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 1) − 1)))
78 bcval4 14019 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝑁 + 1) − 1) < 0 ∨ (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 1) − 1))) → ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = 0)
7913, 72, 77, 78syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = 0)
8079oveq2d 7293 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · 0))
8127, 71expcld 13862 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑((𝑁 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
8281mul01d 11172 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · 0) = 0)
8380, 82eqtrd 2778 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = 0)
8483oveq2d 7293 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + 0))
85 oveq1 7284 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
8685oveq2d 7293 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(𝑘 − 1)))
8785oveq2d 7293 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) = ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))
8886, 87oveq12d 7295 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
8988cbvsumv 15406 . . . . . . . . 9 Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))
9089a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
9190oveq1d 7292 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + 0) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + 0))
92 fzfid 13691 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
9326a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℂ)
94 elfznn 13283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
95 nnm1nn0 12272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
9796adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
9893, 97expcld 13862 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
99 elfzelz 13254 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
100 elfzel1 13253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
10199, 100zsubcld 12429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
10213, 101, 19syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
103102nn0cnd 12293 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
10498, 103mulcld 10993 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
10592, 104fsumcl 15443 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
106105addid1d 11173 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
10791, 106eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
10866, 84, 1073eqtrd 2782 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
10942, 46, 1083eqtrd 2782 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
110 elnn0uz 12621 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
11170, 110sylib 217 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
112 oveq2 7285 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = (-1↑0))
113 oveq1 7284 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
114113oveq2d 7293 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) = ((𝑁 − 1)C(0 − 1)))
115112, 114oveq12d 7295 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = ((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))))
116111, 34, 115fsum1p 15463 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
11727exp0d 13856 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑0) = 1)
118 0z 12328 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
119 zsubcl 12360 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
120118, 30, 119mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (0 − 1) ∈ ℤ
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 1) ∈ ℤ)
122 0re 10975 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
123 ltm1 11815 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
124122, 123mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 1) < 0)
125124orcd 870 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 1) < 0 ∨ (𝑁 − 1) < (0 − 1)))
126 bcval4 14019 . . . . . . . . 9 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ ∧ ((0 − 1) < 0 ∨ (𝑁 − 1) < (0 − 1))) → ((𝑁 − 1)C(0 − 1)) = 0)
12713, 121, 125, 126syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C(0 − 1)) = 0)
128117, 127oveq12d 7295 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))) = (1 · 0))
1296a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
130129mul01d 11172 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 0) = 0)
131128, 130eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))) = 0)
13243a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + 1) = 1)
133132oveq1d 7292 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁))
13499zcnd 12425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
135 npcan1 11398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
136135eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℂ → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
137134, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
138137adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
139138oveq2d 7293 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑘 − 1) + 1)))
140 expp1 13787 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1))
14127, 96, 140syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1))
142139, 141eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑𝑘) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1))
143142oveq1d 7292 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (((-1↑(𝑘 − 1)) · -1) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
14498, 93mulcomd 10994 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑘 − 1))))
145144oveq1d 7292 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((-1↑(𝑘 − 1)) · -1) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = ((-1 · (-1↑(𝑘 − 1))) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
14693, 98, 103mulassd 10996 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1 · (-1↑(𝑘 − 1))) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (-1 · ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
147143, 145, 1463eqtrd 2782 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (-1 · ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
148133, 147sumeq12rdv 15417 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
14992, 27, 104fsummulc2 15494 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
150148, 149eqtr4d 2781 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
151131, 150oveq12d 7295 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (0 + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))))
15227, 105mulcld 10993 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
153152addid2d 11174 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))) = (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
154116, 151, 1533eqtrd 2782 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
155109, 154oveq12d 7295 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))))
15635, 155eqtrd 2778 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))))
157105mulm1d 11425 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = -Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
158157oveq2d 7293 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + -Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
159105negidd 11320 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + -Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = 0)
160158, 159eqtrd 2778 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))) = 0)
16124, 156, 1603eqtrd 2782 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5076  cfv 6435  (class class class)co 7277  cc 10867  cr 10868  0cc0 10869  1c1 10870   + caddc 10872   · cmul 10874   < clt 11007  cmin 11203  -cneg 11204  cn 11971  0cn0 12231  cz 12317  cuz 12580  ...cfz 13237  cexp 13780  Ccbc 14014  Σcsu 15395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-inf2 9397  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946  ax-pre-sup 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-isom 6444  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-sup 9199  df-oi 9267  df-card 9695  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-rp 12729  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-sum 15396
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator