Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altgsumbcALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem altgsumbcALT 47732
Description: Alternate proof of altgsumbc 47731, using Pascal's rule (bcpascm1 47730) instead of the binomial theorem (binom 15834). (Contributed by AV, 8-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbcALT (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem altgsumbcALT
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13555 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
2 bcpascm1 47730 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (𝑁C𝑘))
31, 2sylan2 591 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (𝑁C𝑘))
43eqcomd 2732 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) = (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
54oveq2d 7440 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
6 ax-1cn 11216 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 negcl 11510 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℂ → -1 ∈ ℂ)
8 elfznn0 13648 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 expcl 14099 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
107, 8, 9syl2an 594 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
116, 10mpan 688 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
1211adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
13 nnm1nn0 12565 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14 bccl 14339 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 12586 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
1613, 1, 15syl2an 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
17 peano2zm 12657 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
181, 17syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
19 bccl 14339 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 12586 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
2113, 18, 20syl2an 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
2212, 16, 21adddid 11288 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · (((𝑁 − 1)C𝑘) + ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
235, 22eqtrd 2766 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
2423sumeq2dv 15707 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
25 fzfid 13993 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) ∈ Fin)
26 neg1cn 12378 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
2827, 8, 9syl2an 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2928, 16mulcld 11284 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) ∈ ℂ)
30 1z 12644 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
321, 31zsubcld 12723 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
3313, 32, 20syl2an 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
3428, 33mulcld 11284 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
3525, 29, 34fsumadd 15744 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
3630a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
37 0zd 12622 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℤ)
38 nnz 12631 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
39 oveq2 7432 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(𝑗 − 1)))
40 oveq2 7432 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁 − 1)C𝑘) = ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)))
4139, 40oveq12d 7442 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) = ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))))
4236, 37, 38, 29, 41fsumshft 15784 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))))
43 0p1e1 12386 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
4443oveq1i 7434 . . . . . . 7 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1)))
4645sumeq1d 15705 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))))
47 elnnuz 12918 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4847biimpi 215 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4926a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → -1 ∈ ℂ)
50 elfznn 13584 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
51 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
5352adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
5449, 53expcld 14165 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (-1↑(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
55 elfzelz 13555 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
56 elfzel1 13554 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 1 ∈ ℤ)
5755, 56zsubcld 12723 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
58 bccl 14339 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
5958nn0cnd 12586 . . . . . . . . 9 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
6013, 57, 59syl2an 594 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
6154, 60mulcld 11284 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) ∈ ℂ)
62 oveq1 7431 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
6362oveq2d 7440 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑((𝑁 + 1) − 1)))
6462oveq2d 7440 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) = ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)))
6563, 64oveq12d 7442 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑁 + 1) → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1))))
6648, 61, 65fsump1 15760 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)))))
67 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
68 pncan1 11688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
70 nnnn0 12531 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7169, 70eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℕ0)
7271nn0zd 12636 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℤ)
73 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
74 ltm1 12107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
7675, 69breqtrrd 5181 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 1) − 1))
7776olcd 872 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) < 0 ∨ (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 1) − 1)))
78 bcval4 14324 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 1) ∈ ℤ ∧ (((𝑁 + 1) − 1) < 0 ∨ (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 1) − 1))) → ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = 0)
7913, 72, 77, 78syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)) = 0)
8079oveq2d 7440 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · 0))
8127, 71expcld 14165 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑((𝑁 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
8281mul01d 11463 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · 0) = 0)
8380, 82eqtrd 2766 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1))) = 0)
8483oveq2d 7440 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + ((-1↑((𝑁 + 1) − 1)) · ((𝑁 − 1)C((𝑁 + 1) − 1)))) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + 0))
85 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
8685oveq2d 7440 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (-1↑(𝑗 − 1)) = (-1↑(𝑘 − 1)))
8785oveq2d 7440 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1)) = ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))
8886, 87oveq12d 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
8988cbvsumv 15700 . . . . . . . . 9 Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))
9089a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
9190oveq1d 7439 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + 0) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + 0))
92 fzfid 13993 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
9326a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℂ)
94 elfznn 13584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
95 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
9796adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
9893, 97expcld 14165 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
99 elfzelz 13555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
100 elfzel1 13554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
10199, 100zsubcld 12723 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
10213, 101, 19syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
103102nn0cnd 12586 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
10498, 103mulcld 11284 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
10592, 104fsumcl 15737 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
106105addridd 11464 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
10791, 106eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
10866, 84, 1073eqtrd 2770 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))((-1↑(𝑗 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑗 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
10942, 46, 1083eqtrd 2770 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
110 elnn0uz 12919 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
11170, 110sylib 217 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
112 oveq2 7432 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (-1↑𝑘) = (-1↑0))
113 oveq1 7431 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
114113oveq2d 7440 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)) = ((𝑁 − 1)C(0 − 1)))
115112, 114oveq12d 7442 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = ((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))))
116111, 34, 115fsum1p 15757 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
11727exp0d 14159 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (-1↑0) = 1)
118 0z 12621 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
119 zsubcl 12656 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
120118, 30, 119mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (0 − 1) ∈ ℤ
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 1) ∈ ℤ)
122 0re 11266 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
123 ltm1 12107 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
124122, 123mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0 − 1) < 0)
125124orcd 871 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 − 1) < 0 ∨ (𝑁 − 1) < (0 − 1)))
126 bcval4 14324 . . . . . . . . 9 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ ∧ ((0 − 1) < 0 ∨ (𝑁 − 1) < (0 − 1))) → ((𝑁 − 1)C(0 − 1)) = 0)
12713, 121, 125, 126syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C(0 − 1)) = 0)
128117, 127oveq12d 7442 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))) = (1 · 0))
1296a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
130129mul01d 11463 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 0) = 0)
131128, 130eqtrd 2766 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))) = 0)
13243a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + 1) = 1)
133132oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁))
13499zcnd 12719 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
135 npcan1 11689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
136135eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℂ → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
137134, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
138137adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 = ((𝑘 − 1) + 1))
139138oveq2d 7440 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑘 − 1) + 1)))
140 expp1 14088 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1))
14127, 96, 140syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑((𝑘 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1))
142139, 141eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1↑𝑘) = ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1))
143142oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (((-1↑(𝑘 − 1)) · -1) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
14498, 93mulcomd 11285 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1↑(𝑘 − 1)) · -1) = (-1 · (-1↑(𝑘 − 1))))
145144oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((-1↑(𝑘 − 1)) · -1) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = ((-1 · (-1↑(𝑘 − 1))) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
14693, 98, 103mulassd 11287 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1 · (-1↑(𝑘 − 1))) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (-1 · ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
147143, 145, 1463eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (-1 · ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
148133, 147sumeq12rdv 15711 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
14992, 27, 104fsummulc2 15788 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · ((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
150148, 149eqtr4d 2769 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
151131, 150oveq12d 7442 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((-1↑0) · ((𝑁 − 1)C(0 − 1))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (0 + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))))
15227, 105mulcld 11284 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
153152addlidd 11465 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))) = (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
154116, 151, 1533eqtrd 2770 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) = (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
155109, 154oveq12d 7442 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))))
15635, 155eqtrd 2766 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C𝑘)) + ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))))
157105mulm1d 11716 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = -Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))
158157oveq2d 7440 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + -Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))))
159105negidd 11611 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + -Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1)))) = 0)
160158, 159eqtrd 2766 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))) + (-1 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((-1↑(𝑘 − 1)) · ((𝑁 − 1)C(𝑘 − 1))))) = 0)
16124, 156, 1603eqtrd 2770 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) · (𝑁C𝑘)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163   < clt 11298  cmin 11494  -cneg 11495  cn 12264  0cn0 12524  cz 12610  cuz 12874  ...cfz 13538  cexp 14081  Ccbc 14319  Σcsu 15690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator