Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  altgsumbcALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem altgsumbcALT 47114
Description: Alternate proof of altgsumbc 47113, using Pascal's rule (bcpascm1 47112) instead of the binomial theorem (binom 15778). (Contributed by AV, 8-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
altgsumbcALT (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)) = 0)
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem altgsumbcALT
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13503 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
2 bcpascm1 47112 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜) + ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = (๐‘C๐‘˜))
31, 2sylan2 593 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜) + ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = (๐‘C๐‘˜))
43eqcomd 2738 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) = (((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜) + ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))
54oveq2d 7427 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜) + ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
6 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
7 negcl 11462 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
8 elfznn0 13596 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9 expcl 14047 . . . . . . . 8 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
107, 8, 9syl2an 596 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
116, 10mpan 688 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1211adantl 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
13 nnm1nn0 12515 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
14 bccl 14284 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
1514nn0cnd 12536 . . . . . 6 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1613, 1, 15syl2an 596 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
17 peano2zm 12607 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
181, 17syl 17 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
19 bccl 14284 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
2019nn0cnd 12536 . . . . . 6 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2113, 18, 20syl2an 596 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2212, 16, 21adddid 11240 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜) + ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))) = (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
235, 22eqtrd 2772 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)) = (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
2423sumeq2dv 15651 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
25 fzfid 13940 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0...๐‘) โˆˆ Fin)
26 neg1cn 12328 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
2726a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
2827, 8, 9syl2an 596 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2928, 16mulcld 11236 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
30 1z 12594 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค
3130a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
321, 31zsubcld 12673 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
3313, 32, 20syl2an 596 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3428, 33mulcld 11236 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
3525, 29, 34fsumadd 15688 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
3630a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
37 0zd 12572 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
38 nnz 12581 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
39 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = (-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)))
40 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜) = ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1)))
4139, 40oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜)) = ((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))))
4236, 37, 38, 29, 41fsumshft 15728 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))))
43 0p1e1 12336 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
4443oveq1i 7421 . . . . . . 7 ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) = (1...(๐‘ + 1))
4544a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) = (1...(๐‘ + 1)))
4645sumeq1d 15649 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))))
47 elnnuz 12868 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
4847biimpi 215 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
4926a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
50 elfznn 13532 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
51 nnm1nn0 12515 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5449, 53expcld 14113 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
55 elfzelz 13503 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
56 elfzel1 13502 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
5755, 56zsubcld 12673 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
58 bccl 14284 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
5958nn0cnd 12536 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
6013, 57, 59syl2an 596 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
6154, 60mulcld 11236 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
62 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘— = (๐‘ + 1) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) = ((๐‘ + 1) โˆ’ 1))
6362oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘— = (๐‘ + 1) โ†’ (-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) = (-1โ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ 1)))
6462oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘— = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1)))
6563, 64oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘ + 1) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) = ((-1โ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))))
6648, 61, 65fsump1 15704 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) + ((-1โ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1)))))
67 nncn 12222 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
68 pncan1 11640 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
70 nnnn0 12481 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
7169, 70eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7271nn0zd 12586 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
73 nnre 12221 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
74 ltm1 12058 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) < ๐‘)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) < ๐‘)
7675, 69breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) < ((๐‘ + 1) โˆ’ 1))
7776olcd 872 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ 1) < 0 โˆจ (๐‘ โˆ’ 1) < ((๐‘ + 1) โˆ’ 1)))
78 bcval4 14269 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ + 1) โˆ’ 1) < 0 โˆจ (๐‘ โˆ’ 1) < ((๐‘ + 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) = 0)
7913, 72, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) = 0)
8079oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))) = ((-1โ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) ยท 0))
8127, 71expcld 14113 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
8281mul01d 11415 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) ยท 0) = 0)
8380, 82eqtrd 2772 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1))) = 0)
8483oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) + ((-1โ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C((๐‘ + 1) โˆ’ 1)))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) + 0))
85 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) = (๐‘˜ โˆ’ 1))
8685oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) = (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))
8785oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))
8886, 87oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) = ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))
8988cbvsumv 15644 . . . . . . . . 9 ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))
9089a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))
9190oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) + 0) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) + 0))
92 fzfid 13940 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
9326a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
94 elfznn 13532 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
95 nnm1nn0 12515 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
9796adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
9893, 97expcld 14113 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
99 elfzelz 13503 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
100 elfzel1 13502 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
10199, 100zsubcld 12673 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
10213, 101, 19syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
103102nn0cnd 12536 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
10498, 103mulcld 11236 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
10592, 104fsumcl 15681 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
106105addridd 11416 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) + 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))
10791, 106eqtrd 2772 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) + 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))
10866, 84, 1073eqtrd 2776 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))((-1โ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘— โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))
10942, 46, 1083eqtrd 2776 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))
110 elnn0uz 12869 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
11170, 110sylib 217 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
112 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 0 โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = (-1โ†‘0))
113 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) = (0 โˆ’ 1))
114113oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ 1)C(0 โˆ’ 1)))
115112, 114oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = ((-1โ†‘0) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(0 โˆ’ 1))))
116111, 34, 115fsum1p 15701 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = (((-1โ†‘0) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(0 โˆ’ 1))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
11727exp0d 14107 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (-1โ†‘0) = 1)
118 0z 12571 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„ค
119 zsubcl 12606 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
120118, 30, 119mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค
121120a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
122 0re 11218 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
123 ltm1 12058 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆˆ โ„ โ†’ (0 โˆ’ 1) < 0)
124122, 123mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 โˆ’ 1) < 0)
125124orcd 871 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((0 โˆ’ 1) < 0 โˆจ (๐‘ โˆ’ 1) < (0 โˆ’ 1)))
126 bcval4 14269 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((0 โˆ’ 1) < 0 โˆจ (๐‘ โˆ’ 1) < (0 โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(0 โˆ’ 1)) = 0)
12713, 121, 125, 126syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C(0 โˆ’ 1)) = 0)
128117, 127oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘0) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(0 โˆ’ 1))) = (1 ยท 0))
1296a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
130129mul01d 11415 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท 0) = 0)
131128, 130eqtrd 2772 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘0) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(0 โˆ’ 1))) = 0)
13243a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 + 1) = 1)
133132oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((0 + 1)...๐‘) = (1...๐‘))
13499zcnd 12669 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
135 npcan1 11641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘˜)
136135eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘˜ = ((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1))
137134, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ = ((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1))
138137adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ = ((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1))
139138oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = (-1โ†‘((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1)))
140 expp1 14036 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1)) = ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท -1))
14127, 96, 140syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1)) = ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท -1))
142139, 141eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) = ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท -1))
143142oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = (((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท -1) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))
14498, 93mulcomd 11237 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท -1) = (-1 ยท (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
145144oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท -1) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = ((-1 ยท (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))
14693, 98, 103mulassd 11239 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((-1 ยท (-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = (-1 ยท ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
147143, 145, 1463eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = (-1 ยท ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
148133, 147sumeq12rdv 15655 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-1 ยท ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
14992, 27, 104fsummulc2 15732 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (-1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-1 ยท ((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
150148, 149eqtr4d 2775 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = (-1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
151131, 150oveq12d 7429 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((-1โ†‘0) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(0 โˆ’ 1))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))) = (0 + (-1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))))
15227, 105mulcld 11236 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (-1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„‚)
153152addlidd 11417 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0 + (-1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))) = (-1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
154116, 151, 1533eqtrd 2776 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = (-1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
155109, 154oveq12d 7429 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) + (-1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))))
15635, 155eqtrd 2772 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C๐‘˜)) + ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) + (-1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))))
157105mulm1d 11668 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (-1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))) = -ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))
158157oveq2d 7427 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) + (-1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) + -ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
159105negidd 11563 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) + -ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1)))) = 0)
160158, 159eqtrd 2772 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))) + (-1 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((-1โ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐‘ โˆ’ 1)C(๐‘˜ โˆ’ 1))))) = 0)
16124, 156, 1603eqtrd 2776 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘C๐‘˜)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ...cfz 13486  โ†‘cexp 14029  Ccbc 14264  ฮฃcsu 15634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator