stoweidlem34 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stoweidlem34 45989

Description: This lemma proves that for all 𝑡 in 𝑇 there is a 𝑗 as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the bottom of page 91 and at the top of page 92): (j-4/3) * ε < f(t) <= (j-1/3) * ε , g(t) < (j+1/3) * ε, and g(t) > (j-4/3) * ε. Here 𝐸 is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stoweidlem34.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem34.2	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
stoweidlem34.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem34.4	⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
stoweidlem34.5	⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
stoweidlem34.6	⊢ 𝐽 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
stoweidlem34.7	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem34.8	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
stoweidlem34.9	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem34.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐹‘𝑡))
stoweidlem34.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸))
stoweidlem34.12	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
stoweidlem34.13	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem34.14	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑗):𝑇⟶ℝ)
stoweidlem34.15	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑗)‘𝑡))
stoweidlem34.16	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
stoweidlem34.17	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
stoweidlem34.18	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑗)‘𝑡))

**Assertion**
Ref	Expression
stoweidlem34	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))

Distinct variable groups: 𝑖,𝑗,𝑡,𝐸 𝐷,𝑖 𝑖,𝐽 𝑖,𝑁,𝑗,𝑡 𝑇,𝑖,𝑗,𝑡 𝜑,𝑖 𝑗,𝐹 𝑗,𝑋,𝑡 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑡,𝑗) 𝐵(𝑡,𝑖,𝑗) 𝐷(𝑡,𝑗) 𝐹(𝑡,𝑖) 𝐽(𝑡,𝑗) 𝑋(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem34 Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem34.3	. 2 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
3		ovex 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
4	3	rabex 5344	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ∈ V
5		stoweidlem34.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
6	5	fvmpt2 7026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ∈ V) → (𝐽‘𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
7	2, 4, 6	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
8		ssrab2 4089	. . . . . . 7 ⊢ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ⊆ (1...𝑁)
9	7, 8	eqsstrdi 4049	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) ⊆ (1...𝑁))
10		elfznn 13589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
11	10	ssriv 3998	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
12	9, 11	sstrdi 4007	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) ⊆ ℕ)
13		nnssre 12267	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
14	12, 13	sstrdi 4007	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) ⊆ ℝ)
15		stoweidlem34.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ)
17		nnuz 12918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
18	16, 17	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
19		eluzfz2 13568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
21		stoweidlem34.11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸))
22		3re 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ∈ ℝ
23		3ne0 12369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ≠ 0
24	22, 23	rereccli 12029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 / 3) ∈ ℝ)
26		1red 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
27	16	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		1lt3 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 < 3
29	22, 28	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3)
30		recgt1i 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1))
31	30	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (1 / 3) < 1)
32	29, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 / 3) < 1)
33	25, 26, 27, 32	ltsub2dd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)))
34	27, 26	resubcld 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
35	27, 25	resubcld 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑁 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
36		stoweidlem34.12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
37	36	rpred 13074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
39	36	rpgt0d 13077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 < 𝐸)
41		ltmul1 12114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)) ↔ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
42	34, 35, 38, 40, 41	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)) ↔ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
43	33, 42	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
44	21, 43	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
45		stoweidlem34.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
46	45	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
47	34, 38	remulcld 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ)
48	35, 38	remulcld 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
49		lttr 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
50		ltle 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
51	50	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
52	49, 51	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
53	46, 47, 48, 52	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
54	44, 53	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
55		rabid 3454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
56	2, 54, 55	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
57		stoweidlem34.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
58		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑁 − (1 / 3)))
59	58	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
60	59	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
61	60	rabbidv 3440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
62		nnnn0 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
63		nn0uz 12917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
64	62, 63	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
65		eluzfz2 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
66	15, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
67		stoweidlem34.8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
68		rabexg 5342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
70	57, 61, 66, 69	fvmptd3 7038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐷‘𝑁) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
72	56, 71	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑁))
73		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗𝑁
74		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗(1...𝑁)
75		nfmpt1 5255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
76	57, 75	nfcxfr 2900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
77	76, 73	nffv 6916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐷‘𝑁)
78	77	nfcri 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑁)
79		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘𝑁))
80	79	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑁)))
81	73, 74, 78, 80	elrabf 3690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ↔ (𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑁)))
82	20, 72, 81	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
83	82, 7	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ (𝐽‘𝑡))
84		ne0i 4346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐽‘𝑡) → (𝐽‘𝑡) ≠ ∅)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) ≠ ∅)
86		nnwo 12952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽‘𝑡) ⊆ ℕ ∧ (𝐽‘𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑖 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑖 ≤ 𝑘)
87		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐽‘𝑡)
88		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗𝑇
89		nfrab1 3453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)}
90	88, 89	nfmpt 5254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
91	5, 90	nfcxfr 2900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗𝐽
92		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗𝑡
93	91, 92	nffv 6916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐽‘𝑡)
94		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ≤ 𝑘
95	93, 94	nfralw 3308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑖 ≤ 𝑘
96		nfv 1911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘
97		breq1 5150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ≤ 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
98	97	ralbidv 3175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑖 ≤ 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘))
99	87, 93, 95, 96, 98	cbvrexfw 3302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑖 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑖 ≤ 𝑘 ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
100	86, 99	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑡) ⊆ ℕ ∧ (𝐽‘𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
101	12, 85, 100	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
102		stoweidlem34.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
103		nfv 1911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑡 ∈ 𝑇
104	102, 103	nfan 1896	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)
105	7	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ↔ 𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)}))
106	105	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
107		rabid 3454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)))
108	106, 107	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)))
109	108	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
111		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
112		simp1l 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝜑)
113		noel 4343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ¬ 𝑡 ∈ ∅
114		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = (1 − 1))
115		1m1e0 12335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (1 − 1) = 0
116	114, 115	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = 0)
117	116	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = (𝐷‘0))
118	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 3 ∈ ℝ)
119	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 3 ≠ 0)
120	26, 118, 119	redivcld 12092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 / 3) ∈ ℝ)
121	120	renegcld 11687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → -(1 / 3) ∈ ℝ)
122	121, 38	remulcld 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) ∈ ℝ)
123		0red 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ∈ ℝ)
124		3pos 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ 0 < 3
125	22, 124	recgt0ii 12171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 0 < (1 / 3)
126		lt0neg2 11767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℝ → (0 < (1 / 3) ↔ -(1 / 3) < 0))
127	24, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (0 < (1 / 3) ↔ -(1 / 3) < 0)
128	125, 127	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ -(1 / 3) < 0
129		ltmul1 12114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((-(1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (-(1 / 3) < 0 ↔ (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸)))
130	121, 123, 38, 40, 129	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) < 0 ↔ (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸)))
131	128, 130	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸))
132		mul02lem2 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ → (0 · 𝐸) = 0)
133	38, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 · 𝐸) = 0)
134	131, 133	breqtrd 5173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < 0)
135		stoweidlem34.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐹‘𝑡))
136	122, 123, 46, 134, 135	ltletrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡))
137	122, 46	ltnled 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((-(1 / 3) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
138	136, 137	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸))
139		nan 830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 → ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
140	138, 139	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
141		rabid 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
142	140, 141	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
143		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 − (1 / 3)) = (0 − (1 / 3)))
144		df-neg 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ -(1 / 3) = (0 − (1 / 3))
145	143, 144	eqtr4di 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 − (1 / 3)) = -(1 / 3))
146	145	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = (-(1 / 3) · 𝐸))
147	146	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
148	147	rabbidv 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 = 0 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
149	15	nnnn0d 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
150		elnn0uz 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
151	149, 150	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
152		eluzfz1 13567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑁))
153	151, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
154		rabexg 5342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V)
155	67, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V)
156	57, 148, 153, 155	fvmptd3 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
157	142, 156	neleqtrrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
158	1, 157	alrimi 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
159		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ Ⅎ𝑡(0...𝑁)
160		nfrab1 3453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}
161	159, 160	nfmpt 5254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
162	57, 161	nfcxfr 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ Ⅎ𝑡𝐷
163		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ Ⅎ𝑡0
164	162, 163	nffv 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘0)
165	164	eq0f 4352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐷‘0) = ∅ ↔ ∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
166	158, 165	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) = ∅)
167	117, 166	sylan9eqr 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = ∅)
168	167	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ 𝑡 ∈ ∅))
169	113, 168	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
170	169	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑗 = 1 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
171	170	con2d 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) → ¬ 𝑗 = 1))
172	112, 111, 171	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑗 = 1)
173		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → 𝜑)
174	105, 107	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))))
175	174	simprbda 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
176	15, 17	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
177	176	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
178		elfzp12 13639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
179	177, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
180	179	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
181	175, 180	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)))
182	181	orcanai 1004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
183		fzssp1 13603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...((𝑁 − 1) + 1))
184	15	nncnd 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
185		1cnd 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
186	184, 185	npcand 11621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
187	186	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
188	183, 187	sseqtrid 4047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
189	188	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
190		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
191		1z 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 ∈ ℤ
192		zaddcl 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 + 1) ∈ ℤ)
193	191, 191, 192	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (1 + 1) ∈ ℤ
194	193	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
195	15	nnzd 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
196	195	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
197		elfzelz 13560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
198	197	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
199		1zzd 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
200		fzsubel 13596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((1 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
201	194, 196, 198, 199, 200	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
202	190, 201	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
203		ax-1cn 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℂ
204	203, 203	pncan3oi 11521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 + 1) − 1) = 1
205	204	oveq1i 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (1...(𝑁 − 1))
206	202, 205	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (1...(𝑁 − 1)))
207	189, 206	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
208	173, 182, 207	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
209	208	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (¬ 𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁)))
210	209	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (¬ 𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁)))
211	172, 210	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
212		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝐷‘𝑖) = (𝐷‘(𝑗 − 1)))
213	212	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
214	213	elrab3 3695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁) → ((𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)} ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
215	211, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ((𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)} ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
216	111, 215	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)})
217		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑖(1...𝑁)
218		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)
219		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗𝑖
220	76, 219	nffv 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐷‘𝑖)
221	220	nfcri 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)
222		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘𝑖))
223	222	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)))
224	74, 217, 218, 221, 223	cbvrabw 3470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} = {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)}
225	216, 224	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
226	7	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝐽‘𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
227	225, 226	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝐽‘𝑡))
228		elfzelz 13560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
229		zre 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
230	175, 228, 229	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑗 ∈ ℝ)
231	230	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
232		peano2rem 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
233		ltm1 12106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) < 𝑗)
234	233	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
235		ltnle 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑗 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑗 − 1) < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
236	235	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → ((𝑗 − 1) < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
237	234, 236	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1))
238	231, 232, 237	syl2anc2 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1))
239		breq2 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑗 ≤ 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
240	239	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (¬ 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
241	240	rspcev 3621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑗 − 1) ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)) → ∃𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡) ¬ 𝑗 ≤ 𝑘)
242	227, 238, 241	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ∃𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡) ¬ 𝑗 ≤ 𝑘)
243		rexnal 3097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡) ¬ 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
244	242, 243	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
245	244	3expia 1120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) → ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘))
246	245	con2d 134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
247	246	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
248	110, 247	eldifd 3973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
249	248	exp31 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) → (∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))))
250	104, 249	reximdai 3258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘 → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
251	101, 250	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
252		df-rex 3068	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
253	251, 252	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
254		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡))
255		eldifn 4141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
256		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑡 ∈ 𝑇)
257		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝜑)
258	175	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
259		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
260		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑘 − (1 / 3)))
261	260	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸))
262	261	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)))
263	262	rabbidv 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
264	263	cbvmptv 5260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
265	57, 264	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
266		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 − (1 / 3)) = ((𝑗 − 1) − (1 / 3)))
267	266	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) = (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
268	267	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
269	268	rabbidv 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
270		fzssp1 13603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
271	186	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
272	270, 271	sseqtrid 4047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
273	272	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
274		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
275		1zzd 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
276	195	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
277	228	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
278		fzsubel 13596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
279	275, 276, 277, 275, 278	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
280	274, 279	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
281	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 1) = 0)
282	281	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
283	280, 282	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
284	273, 283	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑁))
285	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ V)
286		rabexg 5342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
287	285, 286	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
288	265, 269, 284, 287	fvmptd3 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
289	288	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}))
290	289	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}))
291	290	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
292	257, 258, 259, 291	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
293		rabid 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
294	230	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑗 ∈ ℝ)
295		recn 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ∈ ℂ)
296		1cnd 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
297		1re 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℝ
298	297, 22, 23	3pm3.2i 1338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
299		redivcl 11983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (1 / 3) ∈ ℝ)
300		recn 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℝ → (1 / 3) ∈ ℂ)
301	298, 299, 300	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
302	301	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (1 / 3) ∈ ℂ)
303	295, 296, 302	subsub4d 11648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → ((𝑗 − 1) − (1 / 3)) = (𝑗 − (1 + (1 / 3))))
304		3cn 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 3 ∈ ℂ
305	304, 203, 304, 23	divdiri 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
306		3p1e4 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (3 + 1) = 4
307	306	oveq1i 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((3 + 1) / 3) = (4 / 3)
308	304, 23	dividi 11997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (3 / 3) = 1
309	308	oveq1i 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
310	305, 307, 309	3eqtr3i 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
311	310	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (4 / 3) = (1 + (1 / 3)))
312	311	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − (4 / 3)) = (𝑗 − (1 + (1 / 3))))
313	303, 312	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → ((𝑗 − 1) − (1 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
314	313	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
315	294, 314	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
316	315	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ((𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
317	316	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))))
318	293, 317	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))))
319	292, 318	mtbid 324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
320		imnan 399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) ↔ ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
321	319, 320	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
322	256, 321	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
323	255, 322	sylanr2 683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
324	230	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ ℝ)
325		4re 12347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℝ
326	325	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 4 ∈ ℝ)
327	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 3 ∈ ℝ)
328	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 3 ≠ 0)
329	326, 327, 328	redivcld 12092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (4 / 3) ∈ ℝ)
330	324, 329	resubcld 11688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
331	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ)
332		remulcl 11237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
333	332	rexrd 11308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ^*)
334	330, 331, 333	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ^*)
335	46	rexrd 11308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ^*)
336	335	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ^*)
337		xrltnle 11325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ^*) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
338	334, 336, 337	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
339	323, 338	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡))
340		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
341		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
342	341	eldifad 3974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
343		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝜑)
344	175	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
345		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
346		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 − (1 / 3)) = (𝑗 − (1 / 3)))
347	346	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
348	347	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
349	348	rabbidv 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
350		fz1ssfz0 13659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
351	350	sseli 3990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
352	351	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
353		rabexg 5342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
354	285, 353	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
355	265, 349, 352, 354	fvmptd3 7038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
356	355	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}))
357	356	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
358	343, 344, 345, 357	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
359		rabid 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
360	358, 359	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
361	360	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
362	340, 254, 342, 361	syl21anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
363	339, 362	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
364	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
365		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ 𝑇)
366	175	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
367		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ (0...𝑁)
368	102, 367	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁))
369		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ
370	368, 369	nfim 1893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
371		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑖 ∈ (0...𝑁)))
372	371	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁))))
373		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑋‘𝑗) = (𝑋‘𝑖))
374	373	feq1d 6720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑋‘𝑗):𝑇⟶ℝ ↔ (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
375	372, 374	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑗):𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)))
376		stoweidlem34.14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑗):𝑇⟶ℝ)
377	370, 375, 376	chvarfv 2237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
378	377	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
379		simplll 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
380		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
381		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
382	102, 367, 103	nf3an 1898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)
383		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1
384	382, 383	nfim 1893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
385	371	3anbi2d 1440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)))
386	373	fveq1d 6908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) = ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
387	386	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
388	385, 387	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
389		stoweidlem34.16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
390	384, 388, 389	chvarfv 2237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
391	379, 380, 381, 390	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
392		simplll 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝜑)
393		0zd 12622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
394		elfzel2 13558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
395	394	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
396		elfzelz 13560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
397	396	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
398		0red 11261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
399		elfzel1 13559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
400	399	zred 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
401	400	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
402	396	zred 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
403	402	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
404		0red 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 0 ∈ ℝ)
405		1red 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 1 ∈ ℝ)
406		0le1 11783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ 1
407	406	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 0 ≤ 1)
408		elfzle1 13563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑗)
409	175, 408	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 1 ≤ 𝑗)
410	404, 405, 230, 407, 409	letrd 11415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 0 ≤ 𝑗)
411	410	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ≤ 𝑗)
412		elfzle1 13563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ≤ 𝑖)
413	412	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑖)
414	398, 401, 403, 411, 413	letrd 11415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ≤ 𝑖)
415		elfzle2 13564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ≤ 𝑁)
416	415	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ≤ 𝑁)
417	393, 395, 397, 414, 416	elfzd 13551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
418	417	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
419		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
420		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡))
421		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
422	421	eldifad 3974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
423		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁))
424		simpl1 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
425	424	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
426	424, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
427	400	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
428	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (1 / 3) ∈ ℝ)
429	427, 428	resubcld 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
430		simpl1l 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝜑)
431	430, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
432	429, 431	remulcld 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
433	402	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
434	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (1 / 3) ∈ ℝ)
435	433, 434	resubcld 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
436	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
437	435, 436	remulcld 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
438	430, 437	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
439		simpl3 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
440		simpl2 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡))
441	424, 440, 175	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
442	430, 441, 355	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
443	439, 442	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
444	443, 359	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
445	444	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
446	402	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
447	412	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑖)
448	427, 446, 428, 447	lesub1dd 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)))
449	430, 435	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
450	36	rpregt0d 13080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
451	430, 450	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
452		lemul1 12116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
453	429, 449, 451, 452	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
454	448, 453	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
455	426, 432, 438, 445, 454	letrd 11415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
456		rabid 3454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
457	425, 455, 456	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
458		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁))
459		0zd 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
460	394	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
461	396	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
462	459, 460, 461	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
463	414, 416	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))
464	463	3impa 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))
465		elfz2 13550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)))
466	462, 464, 465	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
467	424, 440, 458, 466	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
468		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑖 − (1 / 3)))
469	468	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
470	469	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
471	470	rabbidv 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
472		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
473		rabexg 5342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
474	67, 473	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
475	474	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
476	57, 471, 472, 475	fvmptd3 7038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑖) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
477	430, 467, 476	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐷‘𝑖) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
478	457, 477	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖))
479	419, 420, 422, 423, 478	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖))
480	102, 367, 221	nf3an 1898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖))
481		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)
482	480, 481	nfim 1893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
483	371, 223	3anbi23d 1438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖))))
484	386	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑋‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
485	483, 484	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))))
486		stoweidlem34.17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
487	482, 485, 486	chvarfv 2237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
488	392, 418, 479, 487	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
489	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
490		stoweidlem34.13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
491	490	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 < (1 / 3))
492	364, 365, 366, 378, 391, 488, 489, 491	stoweidlem11 45966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
493		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ↔ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)))
494		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐷‘𝑙) = (𝐷‘𝑗))
495		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − 1) = (𝑗 − 1))
496	495	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐷‘(𝑙 − 1)) = (𝐷‘(𝑗 − 1)))
497	494, 496	difeq12d 4136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) = ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
498	497	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
499	493, 498	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))) ↔ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))))
500	499	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))))
501		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − (4 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
502	501	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
503	502	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) ↔ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
504	500, 503	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
505		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑡 ∈ 𝑇))
506	505	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ↔ (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)))
507		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝐽‘𝑠) = (𝐽‘𝑡))
508	507	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ↔ 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡)))
509		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
510	508, 509	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))) ↔ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))))
511	506, 510	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))))
512		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑠) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
513	512	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑠) ↔ ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
514	511, 513	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑠)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
515		stoweidlem34.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
516		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑠 ∈ 𝑇
517	102, 516	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)
518		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗𝑠
519	91, 518	nffv 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐽‘𝑠)
520	519	nfcri 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)
521		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
522	76, 521	nffv 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐷‘𝑙)
523		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑙 − 1)
524	76, 523	nffv 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐷‘(𝑙 − 1))
525	522, 524	nfdif 4138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
526	525	nfcri 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
527	520, 526	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
528	517, 527	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
529		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ 𝑇
530	1, 529	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)
531		nfmpt1 5255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
532	5, 531	nfcxfr 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡𝐽
533		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
534	532, 533	nffv 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐽‘𝑠)
535	534	nfcri 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)
536		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡𝑙
537	162, 536	nffv 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘𝑙)
538		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑙 − 1)
539	162, 538	nffv 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘(𝑙 − 1))
540	537, 539	nfdif 4138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑡((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
541	540	nfcri 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
542	535, 541	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
543	530, 542	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
544		stoweidlem34.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
545	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
546	67	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑇 ∈ V)
547	3	rabex 5344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)} ∈ V
548		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑡𝑗
549	162, 548	nffv 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘𝑗)
550	549	nfcri 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)
551		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑡(1...𝑁)
552	550, 551	nfrabw 3472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)}
553		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)))
554	553	rabbidv 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)})
555	533, 552, 554, 5	fvmptf 7036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)} ∈ V) → (𝐽‘𝑠) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)})
556	547, 555	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 → (𝐽‘𝑠) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)})
557	556	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 → (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ↔ 𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)}))
558	557	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)) → 𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)})
559	522	nfcri 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑙)
560		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘𝑙))
561	560	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑙)))
562	521, 74, 559, 561	elrabf 3690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)} ↔ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑙)))
563	558, 562	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)) → (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑙)))
564	563	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)) → 𝑙 ∈ (1...𝑁))
565	564	ad2ant2lr 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑙 ∈ (1...𝑁))
566		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
567	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
568	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
569	490	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐸 < (1 / 3))
570	377	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
571		simp1ll 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝜑)
572		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)
573	382, 572	nfim 1893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
574	386	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (0 ≤ ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))
575	385, 574	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑗)‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))))
576		stoweidlem34.15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑗)‘𝑡))
577	573, 575, 576	chvarfv 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
578	571, 577	syld3an1 1409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
579		simp1ll 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → 𝜑)
580		nfmpt1 5255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
581	544, 580	nfcxfr 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
582	581, 219	nffv 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵‘𝑖)
583	582	nfcri 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)
584	102, 367, 583	nf3an 1898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖))
585		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)
586	584, 585	nfim 1893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
587		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
588	587	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)))
589	371, 588	3anbi23d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖))))
590	386	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))
591	589, 590	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑗)‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))))
592		stoweidlem34.18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑗)‘𝑡))
593	586, 591, 592	chvarfv 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
594	579, 593	syld3an1 1409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
595	515, 528, 543, 57, 544, 545, 546, 565, 566, 567, 568, 569, 570, 578, 594	stoweidlem26 45981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑠))
596	514, 595	vtoclg 3553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
597	596	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
598	597	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
599	504, 598	vtoclg 3553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
600	599	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
601	600	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
602	492, 601	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
603	254, 363, 602	3jca 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
604	603	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
605	104, 604	eximd 2213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
606	253, 605	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
607		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
608	607	exbii 1844	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
609	606, 608	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
610		df-rex 3068	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
611	609, 610	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
612		nfcv 2902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗ℝ
613	93, 612	ssrexf 4061	. . . 4 ⊢ ((𝐽‘𝑡) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
614	14, 611, 613	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
615	614	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
616	1, 615	ralrimi 3254	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 ∀wal 1534 = wceq 1536 ∃wex 1775 Ⅎwnf 1779 ∈ wcel 2105 Ⅎwnfc 2887 ≠ wne 2937 ∀wral 3058 ∃wrex 3067 {crab 3432 Vcvv 3477 ∖ cdif 3959 ⊆ wss 3962 ∅c0 4338 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ⟶wf 6558 ‘cfv 6562 (class class class)co 7430 ℂcc 11150 ℝcr 11151 0cc0 11152 1c1 11153 + caddc 11155 · cmul 11157 ℝ^*cxr 11291 < clt 11292 ≤ cle 11293 − cmin 11489 -cneg 11490 / cdiv 11917 ℕcn 12263 3c3 12319 4c4 12320 ℕ₀cn0 12523 ℤcz 12610 ℤ_≥cuz 12875 ℝ⁺crp 13031 ...cfz 13543 Σcsu 15718

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1791 ax-4 1805 ax-5 1907 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2138 ax-11 2154 ax-12 2174 ax-ext 2705 ax-rep 5284 ax-sep 5301 ax-nul 5311 ax-pow 5370 ax-pr 5437 ax-un 7753 ax-inf2 9678 ax-cnex 11208 ax-resscn 11209 ax-1cn 11210 ax-icn 11211 ax-addcl 11212 ax-addrcl 11213 ax-mulcl 11214 ax-mulrcl 11215 ax-mulcom 11216 ax-addass 11217 ax-mulass 11218 ax-distr 11219 ax-i2m1 11220 ax-1ne0 11221 ax-1rid 11222 ax-rnegex 11223 ax-rrecex 11224 ax-cnre 11225 ax-pre-lttri 11226 ax-pre-lttrn 11227 ax-pre-ltadd 11228 ax-pre-mulgt0 11229 ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1539 df-fal 1549 df-ex 1776 df-nf 1780 df-sb 2062 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2726 df-clel 2813 df-nfc 2889 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3433 df-v 3479 df-sbc 3791 df-csb 3908 df-dif 3965 df-un 3967 df-in 3969 df-ss 3979 df-pss 3982 df-nul 4339 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4912 df-int 4951 df-iun 4997 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5582 df-eprel 5588 df-po 5596 df-so 5597 df-fr 5640 df-se 5641 df-we 5642 df-xp 5694 df-rel 5695 df-cnv 5696 df-co 5697 df-dm 5698 df-rn 5699 df-res 5700 df-ima 5701 df-pred 6322 df-ord 6388 df-on 6389 df-lim 6390 df-suc 6391 df-iota 6515 df-fun 6564 df-fn 6565 df-f 6566 df-f1 6567 df-fo 6568 df-f1o 6569 df-fv 6570 df-isom 6571 df-riota 7387 df-ov 7433 df-oprab 7434 df-mpo 7435 df-om 7887 df-1st 8012 df-2nd 8013 df-frecs 8304 df-wrecs 8335 df-recs 8409 df-rdg 8448 df-1o 8504 df-er 8743 df-en 8984 df-dom 8985 df-sdom 8986 df-fin 8987 df-sup 9479 df-oi 9547 df-card 9976 df-pnf 11294 df-mnf 11295 df-xr 11296 df-ltxr 11297 df-le 11298 df-sub 11491 df-neg 11492 df-div 11918 df-nn 12264 df-2 12326 df-3 12327 df-4 12328 df-n0 12524 df-z 12611 df-uz 12876 df-rp 13032 df-ico 13389 df-fz 13544 df-fzo 13691 df-seq 14039 df-exp 14099 df-hash 14366 df-cj 15134 df-re 15135 df-im 15136 df-sqrt 15270 df-abs 15271 df-clim 15520 df-sum 15719

This theorem is referenced by: stoweidlem60 46015

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