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Theorem stoweidlem34 42663
Description: This lemma proves that for all 𝑡 in 𝑇 there is a 𝑗 as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the bottom of page 91 and at the top of page 92): (j-4/3) * ε < f(t) <= (j-1/3) * ε , g(t) < (j+1/3) * ε, and g(t) > (j-4/3) * ε. Here 𝐸 is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem34.1 𝑡𝐹
stoweidlem34.2 𝑗𝜑
stoweidlem34.3 𝑡𝜑
stoweidlem34.4 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
stoweidlem34.5 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
stoweidlem34.6 𝐽 = (𝑡𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
stoweidlem34.7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem34.8 (𝜑𝑇 ∈ V)
stoweidlem34.9 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem34.10 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐹𝑡))
stoweidlem34.11 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸))
stoweidlem34.12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem34.13 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem34.14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑗):𝑇⟶ℝ)
stoweidlem34.15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑗)‘𝑡))
stoweidlem34.16 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
stoweidlem34.17 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
stoweidlem34.18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑗)‘𝑡))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem34 (𝜑 → ∀𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑡,𝐸   𝐷,𝑖   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁,𝑗,𝑡   𝑇,𝑖,𝑗,𝑡   𝜑,𝑖   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑗)   𝐵(𝑡,𝑖,𝑗)   𝐷(𝑡,𝑗)   𝐹(𝑡,𝑖)   𝐽(𝑡,𝑗)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem34
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem34.3 . 2 𝑡𝜑
2 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
3 ovex 7172 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) ∈ V
43rabex 5202 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ∈ V
5 stoweidlem34.6 . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝑡𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
65fvmpt2 6760 . . . . . . . 8 ((𝑡𝑇 ∧ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ∈ V) → (𝐽𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
72, 4, 6sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
8 ssrab2 4010 . . . . . . 7 {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ⊆ (1...𝑁)
97, 8eqsstrdi 3972 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) ⊆ (1...𝑁))
10 elfznn 12935 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
1110ssriv 3922 . . . . . 6 (1...𝑁) ⊆ ℕ
129, 11sstrdi 3930 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) ⊆ ℕ)
13 nnssre 11633 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
1412, 13sstrdi 3930 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) ⊆ ℝ)
15 stoweidlem34.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1615adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ)
17 nnuz 12273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘1)
1816, 17eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
19 eluzfz2 12914 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
21 stoweidlem34.11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸))
22 3re 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 ∈ ℝ
23 3ne0 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 ≠ 0
2422, 23rereccli 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 3) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 3) ∈ ℝ)
26 1red 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
2716nnred 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℝ)
28 1lt3 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 < 3
2922, 28pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3)
30 recgt1i 11530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1))
3130simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (1 / 3) < 1)
3229, 31mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 3) < 1)
3325, 26, 27, 32ltsub2dd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)))
3427, 26resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3527, 25resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
36 stoweidlem34.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3736rpred 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
3837adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
3936rpgt0d 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < 𝐸)
4039adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 < 𝐸)
41 ltmul1 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)) ↔ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
4234, 35, 38, 40, 41syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)) ↔ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
4333, 42mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
4421, 43jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
45 stoweidlem34.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
4645ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
4734, 38remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ)
4835, 38remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
49 lttr 10710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
50 ltle 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
51503adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
5249, 51syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
5346, 47, 48, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝑇) → (((𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
5444, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
55 rabid 3334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
562, 54, 55sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
57 stoweidlem34.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
58 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑁 − (1 / 3)))
5958oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
6059breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
6160rabbidv 3430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑁 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
62 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
63 nn0uz 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘0)
6462, 63eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
65 eluzfz2 12914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
6615, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
67 stoweidlem34.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ V)
68 rabexg 5201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
7057, 61, 66, 69fvmptd3 6772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝑁) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7170adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐷𝑁) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7256, 71eleqtrrd 2896 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑁))
73 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑁
74 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(1...𝑁)
75 nfmpt1 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7657, 75nfcxfr 2956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗𝐷
7776, 73nffv 6659 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝐷𝑁)
7877nfcri 2946 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑡 ∈ (𝐷𝑁)
79 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑁 → (𝐷𝑗) = (𝐷𝑁))
8079eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑁 → (𝑡 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷𝑁)))
8173, 74, 78, 80elrabf 3627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ↔ (𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑁)))
8220, 72, 81sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
8382, 7eleqtrrd 2896 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ (𝐽𝑡))
84 ne0i 4253 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (𝐽𝑡) → (𝐽𝑡) ≠ ∅)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) ≠ ∅)
86 nnwo 12305 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽𝑡) ⊆ ℕ ∧ (𝐽𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑖 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑖𝑘)
87 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝐽𝑡)
88 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑇
89 nfrab1 3340 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗{𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)}
9088, 89nfmpt 5130 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(𝑡𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
915, 90nfcxfr 2956 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐽
92 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑡
9391, 92nffv 6659 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝐽𝑡)
94 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑖𝑘
9593, 94nfralw 3192 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑖𝑘
96 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 𝑖𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘
97 breq1 5036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑘𝑗𝑘))
9897ralbidv 3165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑖𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘))
9987, 93, 95, 96, 98cbvrexfw 3387 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑖 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑖𝑘 ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
10086, 99sylib 221 . . . . . . . . . 10 (((𝐽𝑡) ⊆ ℕ ∧ (𝐽𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
10112, 85, 100syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
102 stoweidlem34.2 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝜑
103 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑡𝑇
104102, 103nfan 1900 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝜑𝑡𝑇)
1057eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ↔ 𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)}))
106105biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
107 rabid 3334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)))
108106, 107sylib 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)))
109108simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
110109adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
111 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
112 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝜑)
113 noel 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ¬ 𝑡 ∈ ∅
114 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = (1 − 1))
115 1m1e0 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1 − 1) = 0
116114, 115eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = 0)
117116fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 = 1 → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = (𝐷‘0))
11822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑡𝑇) → 3 ∈ ℝ)
11923a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑡𝑇) → 3 ≠ 0)
12026, 118, 119redivcld 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 3) ∈ ℝ)
121120renegcld 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑡𝑇) → -(1 / 3) ∈ ℝ)
122121, 38remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) ∈ ℝ)
123 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ∈ ℝ)
124 3pos 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 0 < 3
12522, 124recgt0ii 11539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 < (1 / 3)
126 lt0neg2 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 / 3) ∈ ℝ → (0 < (1 / 3) ↔ -(1 / 3) < 0))
12724, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 < (1 / 3) ↔ -(1 / 3) < 0)
128125, 127mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 -(1 / 3) < 0
129 ltmul1 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((-(1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (-(1 / 3) < 0 ↔ (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸)))
130121, 123, 38, 40, 129syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) < 0 ↔ (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸)))
131128, 130mpbii 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸))
132 mul02lem2 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐸 ∈ ℝ → (0 · 𝐸) = 0)
13338, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 · 𝐸) = 0)
134131, 133breqtrd 5059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < 0)
135 stoweidlem34.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐹𝑡))
136122, 123, 46, 134, 135ltletrd 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < (𝐹𝑡))
137122, 46ltnled 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑡𝑇) → ((-(1 / 3) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
138136, 137mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑡𝑇) → ¬ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸))
139 nan 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 → ¬ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸))) ↔ ((𝜑𝑡𝑇) → ¬ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
140138, 139mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ¬ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
141 rabid 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
142140, 141sylnibr 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
143 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 = 0 → (𝑗 − (1 / 3)) = (0 − (1 / 3)))
144 df-neg 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 -(1 / 3) = (0 − (1 / 3))
145143, 144eqtr4di 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 0 → (𝑗 − (1 / 3)) = -(1 / 3))
146145oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 0 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = (-(1 / 3) · 𝐸))
147146breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 0 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
148147rabbidv 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = 0 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
14915nnnn0d 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
150 elnn0uz 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
151149, 150sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
152 eluzfz1 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑁))
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
154 rabexg 5201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V)
15567, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V)
15657, 148, 153, 155fvmptd3 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐷‘0) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
157142, 156neleqtrrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
1581, 157alrimi 2212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
159 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑡(0...𝑁)
160 nfrab1 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑡{𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}
161159, 160nfmpt 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
16257, 161nfcxfr 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑡𝐷
163 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑡0
164162, 163nffv 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑡(𝐷‘0)
165164eq0f 4258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐷‘0) = ∅ ↔ ∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
166158, 165sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐷‘0) = ∅)
167117, 166sylan9eqr 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑗 = 1) → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = ∅)
168167eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 = 1) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ 𝑡 ∈ ∅))
169113, 168mtbiri 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 = 1) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
170169ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑗 = 1 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
171170con2d 136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) → ¬ 𝑗 = 1))
172112, 111, 171sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑗 = 1)
173 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → 𝜑)
174105, 107syl6bb 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))))
175174simprbda 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
17615, 17eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
177176adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
178 elfzp12 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
180179adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
181175, 180mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)))
182181orcanai 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
183 fzssp1 12949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...((𝑁 − 1) + 1))
18415nncnd 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
185 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
186184, 185npcand 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
187186oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
188183, 187sseqtrid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
189188adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
190 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
191 1z 12004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 ∈ ℤ
192 zaddcl 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 + 1) ∈ ℤ)
193191, 191, 192mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1 + 1) ∈ ℤ
194193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
19515nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
196195adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
197 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
198197adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
199 1zzd 12005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
200 fzsubel 12942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((1 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
201194, 196, 198, 199, 200syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
202190, 201mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
203 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℂ
204203, 203pncan3oi 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 + 1) − 1) = 1
205204oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (1...(𝑁 − 1))
206202, 205eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (1...(𝑁 − 1)))
207189, 206sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
208173, 182, 207syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
209208ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (¬ 𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁)))
2102093adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (¬ 𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁)))
211172, 210mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
212 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝐷𝑖) = (𝐷‘(𝑗 − 1)))
213212eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑡 ∈ (𝐷𝑖) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
214213elrab3 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁) → ((𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)} ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
215211, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ((𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)} ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
216111, 215mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)})
217 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖(1...𝑁)
218 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)
219 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗𝑖
22076, 219nffv 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗(𝐷𝑖)
221220nfcri 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)
222 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → (𝐷𝑗) = (𝐷𝑖))
223222eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → (𝑡 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)))
22474, 217, 218, 221, 223cbvrabw 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} = {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)}
225216, 224eleqtrrdi 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
22673ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝐽𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
227225, 226eleqtrrd 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝐽𝑡))
228 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
229 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
230175, 228, 2293syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑗 ∈ ℝ)
2312303adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
232 peano2rem 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
233 ltm1 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) < 𝑗)
234233adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
235 ltnle 10713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑗 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑗 − 1) < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
236235ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → ((𝑗 − 1) < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
237234, 236mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1))
238231, 232, 237syl2anc2 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1))
239 breq2 5037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑗𝑘𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
240239notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (¬ 𝑗𝑘 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
241240rspcev 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 − 1) ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)) → ∃𝑘 ∈ (𝐽𝑡) ¬ 𝑗𝑘)
242227, 238, 241syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ∃𝑘 ∈ (𝐽𝑡) ¬ 𝑗𝑘)
243 rexnal 3204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑘 ∈ (𝐽𝑡) ¬ 𝑗𝑘 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
244242, 243sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
2452443expia 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) → ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘))
246245con2d 136 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
247246imp 410 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
248110, 247eldifd 3895 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
249248exp31 423 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) → (∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))))
250104, 249reximdai 3273 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘 → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
251101, 250mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
252 df-rex 3115 . . . . . . . 8 (∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
253251, 252sylib 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
254 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ (𝐽𝑡))
255 eldifn 4058 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
256 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑡𝑇)
257 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝜑)
258175adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
259 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
260 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑘 − (1 / 3)))
261260oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸))
262261breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)))
263262rabbidv 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑘 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
264263cbvmptv 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
26557, 264eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
266 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 − (1 / 3)) = ((𝑗 − 1) − (1 / 3)))
267266oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) = (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
268267breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
269268rabbidv 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = (𝑗 − 1) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
270 fzssp1 12949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
271186oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
272270, 271sseqtrid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
273272adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
274 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
275 1zzd 12005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
276195adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
277228adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
278 fzsubel 12942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
279275, 276, 277, 275, 278syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
280274, 279mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
281115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 1) = 0)
282281oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
283280, 282eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
284273, 283sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑁))
28567adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ V)
286 rabexg 5201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
287285, 286syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
288265, 269, 284, 287fvmptd3 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
289288eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}))
290289notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ ¬ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}))
291290biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
292257, 258, 259, 291syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
293 rabid 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
294230adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑗 ∈ ℝ)
295 recn 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ∈ ℂ)
296 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
297 1re 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℝ
298297, 22, 233pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
299 redivcl 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (1 / 3) ∈ ℝ)
300 recn 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 / 3) ∈ ℝ → (1 / 3) ∈ ℂ)
301298, 299, 300mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 / 3) ∈ ℂ
302301a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℝ → (1 / 3) ∈ ℂ)
303295, 296, 302subsub4d 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℝ → ((𝑗 − 1) − (1 / 3)) = (𝑗 − (1 + (1 / 3))))
304 3cn 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 ∈ ℂ
305304, 203, 304, 23divdiri 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
306 3p1e4 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (3 + 1) = 4
307306oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((3 + 1) / 3) = (4 / 3)
308304, 23dividi 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (3 / 3) = 1
309308oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
310305, 307, 3093eqtr3i 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
311310a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℝ → (4 / 3) = (1 + (1 / 3)))
312311oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − (4 / 3)) = (𝑗 − (1 + (1 / 3))))
313303, 312eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℝ → ((𝑗 − 1) − (1 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
314313oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
315294, 314syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
316315breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ((𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
317316anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ((𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))))
318293, 317syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))))
319292, 318mtbid 327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
320 imnan 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡𝑇 → ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) ↔ ¬ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
321319, 320sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑡𝑇 → ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
322256, 321mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
323255, 322sylanr2 682 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
324230adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ ℝ)
325 4re 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℝ
326325a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 4 ∈ ℝ)
32722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 3 ∈ ℝ)
32823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 3 ≠ 0)
329326, 327, 328redivcld 11461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (4 / 3) ∈ ℝ)
330324, 329resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
33137ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ)
332 remulcl 10615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
333332rexrd 10684 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ*)
334330, 331, 333syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ*)
33546rexrd 10684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ*)
336335adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ*)
337 xrltnle 10701 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ*) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
338334, 336, 337syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
339323, 338mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡))
340 simpl 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝜑𝑡𝑇))
341 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
342341eldifad 3896 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
343 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝜑)
344175adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
345 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
346 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 − (1 / 3)) = (𝑗 − (1 / 3)))
347346oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
348347breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
349348rabbidv 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
350 fz1ssfz0 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
351350sseli 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
352351adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
353 rabexg 5201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
354285, 353syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
355265, 349, 352, 354fvmptd3 6772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑗) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
356355eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}))
357356biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
358343, 344, 345, 357syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
359 rabid 3334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
360358, 359sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
361360simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
362340, 254, 342, 361syl21anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
363339, 362jca 515 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
36415ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
365 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡𝑇)
366175adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
367 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑖 ∈ (0...𝑁)
368102, 367nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁))
369 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ
370368, 369nfim 1897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
371 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑖 ∈ (0...𝑁)))
372371anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁))))
373 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → (𝑋𝑗) = (𝑋𝑖))
374373feq1d 6476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑋𝑗):𝑇⟶ℝ ↔ (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ))
375372, 374imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑗):𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)))
376 stoweidlem34.14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑗):𝑇⟶ℝ)
377370, 375, 376chvarfv 2241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
378377ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
379 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
380 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
381 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑡𝑇)
382102, 367, 103nf3an 1902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇)
383 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1
384382, 383nfim 1897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
3853713anbi2d 1438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇)))
386373fveq1d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑋𝑗)‘𝑡) = ((𝑋𝑖)‘𝑡))
387386breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑋𝑗)‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
388385, 387imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
389 stoweidlem34.16 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
390384, 388, 389chvarfv 2241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
391379, 380, 381, 390syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
392 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝜑)
393 0zd 11985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
394 elfzel2 12904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
395394adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
396 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
397396adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
398393, 395, 3973jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
399 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
400 elfzel1 12905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
401400zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
402401adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
403396zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
404403adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
405 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 0 ∈ ℝ)
406 1red 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 1 ∈ ℝ)
407 0le1 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ 1
408407a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 0 ≤ 1)
409 elfzle1 12909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑗)
410175, 409syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 1 ≤ 𝑗)
411405, 406, 230, 408, 410letrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 0 ≤ 𝑗)
412411adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ≤ 𝑗)
413 elfzle1 12909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗𝑖)
414413adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗𝑖)
415399, 402, 404, 412, 414letrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ≤ 𝑖)
416 elfzle2 12910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖𝑁)
417416adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖𝑁)
418415, 417jca 515 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ≤ 𝑖𝑖𝑁))
419 elfz2 12896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑖𝑖𝑁)))
420398, 418, 419sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
421420adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
422 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝜑𝑡𝑇))
423 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝐽𝑡))
424 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
425424eldifad 3896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
426 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁))
427 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝜑𝑡𝑇))
428427simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡𝑇)
429427, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
430401adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
43124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (1 / 3) ∈ ℝ)
432430, 431resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
433 simpl1l 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝜑)
434433, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
435432, 434remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
436403adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
43724a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (1 / 3) ∈ ℝ)
438436, 437resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
43937adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
440438, 439remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
441433, 440sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
442 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
443 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝐽𝑡))
444427, 443, 175syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
445433, 444, 355syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐷𝑗) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
446442, 445eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
447446, 359sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
448447simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
449403adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
450413adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗𝑖)
451430, 449, 431, 450lesub1dd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)))
452433, 438sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
45336rpregt0d 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
454433, 453syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
455 lemul1 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
456432, 452, 454, 455syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
457451, 456mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
458429, 435, 441, 448, 457letrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
459 rabid 3334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
460428, 458, 459sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
461 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁))
462 0zd 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
4633943ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4643963ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
465462, 463, 4643jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
4664183impa 1107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ≤ 𝑖𝑖𝑁))
467465, 466, 419sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
468427, 443, 461, 467syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
469 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑖 − (1 / 3)))
470469oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
471470breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
472471rabbidv 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
473 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
474 rabexg 5201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
47567, 474syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
476475adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
47757, 472, 473, 476fvmptd3 6772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷𝑖) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
478433, 468, 477syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐷𝑖) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
479460, 478eleqtrrd 2896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑖))
480422, 423, 425, 426, 479syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑖))
481102, 367, 221nf3an 1902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖))
482 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)
483481, 482nfim 1897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
484371, 2233anbi23d 1436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖))))
485386breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑋𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
486484, 485imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))))
487 stoweidlem34.17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
488483, 486, 487chvarfv 2241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
489392, 421, 480, 488syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
49036ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
491 stoweidlem34.13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
492491ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 < (1 / 3))
493364, 365, 366, 378, 391, 489, 490, 492stoweidlem11 42640 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
494 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ↔ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)))
495 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑗 → (𝐷𝑙) = (𝐷𝑗))
496 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − 1) = (𝑗 − 1))
497496fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑗 → (𝐷‘(𝑙 − 1)) = (𝐷‘(𝑗 − 1)))
498495, 497difeq12d 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑗 → ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) = ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
499498eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑗 → (𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
500494, 499anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))) ↔ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))))
501500anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑗 → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ↔ ((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))))
502 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − (4 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
503502oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
504503breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑗 → (((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) ↔ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
505501, 504imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = 𝑗 → ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)) ↔ (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
506 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠𝑇𝑡𝑇))
507506anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 𝑡 → ((𝜑𝑠𝑇) ↔ (𝜑𝑡𝑇)))
508 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 𝑡 → (𝐽𝑠) = (𝐽𝑡))
509508eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 𝑡 → (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ↔ 𝑙 ∈ (𝐽𝑡)))
510 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
511509, 510anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))) ↔ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))))
512507, 511anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = 𝑡 → (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ↔ ((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))))
513 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑠) = ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
514513breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = 𝑡 → (((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑠) ↔ ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
515512, 514imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = 𝑡 → ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑠)) ↔ (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
516 stoweidlem34.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡𝐹
517 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑠𝑇
518102, 517nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗(𝜑𝑠𝑇)
519 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗𝑠
52091, 519nffv 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗(𝐽𝑠)
521520nfcri 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑙 ∈ (𝐽𝑠)
522 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗𝑙
52376, 522nffv 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗(𝐷𝑙)
524 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗(𝑙 − 1)
52576, 524nffv 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗(𝐷‘(𝑙 − 1))
526523, 525nfdif 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
527526nfcri 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
528521, 527nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗(𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
529518, 528nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
530 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑡 𝑠𝑇
5311, 530nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑡(𝜑𝑠𝑇)
532 nfmpt1 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑡(𝑡𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
5335, 532nfcxfr 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝐽
534 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑠
535533, 534nffv 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(𝐽𝑠)
536535nfcri 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑡 𝑙 ∈ (𝐽𝑠)
537 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑡𝑙
538162, 537nffv 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡(𝐷𝑙)
539 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑡(𝑙 − 1)
540162, 539nffv 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡(𝐷‘(𝑙 − 1))
541538, 540nfdif 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
542541nfcri 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑡 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
543536, 542nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑡(𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
544531, 543nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
545 stoweidlem34.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
54615ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
54767ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑇 ∈ V)
5483rabex 5202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)} ∈ V
549 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑡𝑗
550162, 549nffv 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑡(𝐷𝑗)
551550nfcri 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑡 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)
552 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑡(1...𝑁)
553551, 552nfrabw 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑡{𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)}
554 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)))
555554rabbidv 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 = 𝑠 → {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)})
556534, 553, 555, 5fvmptf 6770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠𝑇 ∧ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)} ∈ V) → (𝐽𝑠) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)})
557548, 556mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠𝑇 → (𝐽𝑠) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)})
558557eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠𝑇 → (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ↔ 𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)}))
559558biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠𝑇𝑙 ∈ (𝐽𝑠)) → 𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)})
560523nfcri 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗 𝑠 ∈ (𝐷𝑙)
561 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑙 → (𝐷𝑗) = (𝐷𝑙))
562561eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑙 → (𝑠 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑠 ∈ (𝐷𝑙)))
563522, 74, 560, 562elrabf 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)} ↔ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷𝑙)))
564559, 563sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠𝑇𝑙 ∈ (𝐽𝑠)) → (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷𝑙)))
565564simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠𝑇𝑙 ∈ (𝐽𝑠)) → 𝑙 ∈ (1...𝑁))
566565ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑙 ∈ (1...𝑁))
567 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
56845ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
56936ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
570491ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐸 < (1 / 3))
571377ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
572 simp1ll 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 𝜑)
573 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡)
574382, 573nfim 1897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
575386breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → (0 ≤ ((𝑋𝑗)‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
576385, 575imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑗)‘𝑡)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))))
577 stoweidlem34.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑗)‘𝑡))
578574, 576, 577chvarfv 2241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
579572, 578syld3an1 1407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
580 simp1ll 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → 𝜑)
581 nfmpt1 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
582545, 581nfcxfr 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑗𝐵
583582, 219nffv 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗(𝐵𝑖)
584583nfcri 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)
585102, 367, 584nf3an 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖))
586 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡)
587585, 586nfim 1897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
588 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑖))
589588eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑖 → (𝑡 ∈ (𝐵𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)))
590371, 5893anbi23d 1436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑗)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖))))
591386breq2d 5045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑗)‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
592590, 591imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑗)‘𝑡)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))))
593 stoweidlem34.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑗)‘𝑡))
594587, 592, 593chvarfv 2241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
595580, 594syld3an1 1407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
596516, 529, 544, 57, 545, 546, 547, 566, 567, 568, 569, 570, 571, 579, 595stoweidlem26 42655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑠))
597515, 596vtoclg 3518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝑇 → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
598597ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
599598pm2.43i 52 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
600505, 599vtoclg 3518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
601600ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
602601pm2.43i 52 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
603493, 602jca 515 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
604254, 363, 6033jca 1125 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
605604ex 416 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
606104, 605eximd 2215 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
607253, 606mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
608 3anass 1092 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
609608exbii 1849 . . . . . 6 (∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
610607, 609sylib 221 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
611 df-rex 3115 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
612610, 611sylibr 237 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
613 nfcv 2958 . . . . 5 𝑗
61493, 613ssrexf 3982 . . . 4 ((𝐽𝑡) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
61514, 612, 614sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
616615ex 416 . 2 (𝜑 → (𝑡𝑇 → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
6171, 616ralrimi 3183 1 (𝜑 → ∀𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084  wal 1536   = wceq 1538  wex 1781  wnf 1785  wcel 2112  wnfc 2939  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444  cdif 3881  wss 3884  c0 4246   class class class wbr 5033  cmpt 5113  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  cn 11629  3c3 11685  4c4 11686  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  +crp 12381  ...cfz 12889  Σcsu 15037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038
This theorem is referenced by:  stoweidlem60  42689
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