stoweidlem34 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stoweidlem34 42339

Description: This lemma proves that for all 𝑡 in 𝑇 there is a 𝑗 as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the bottom of page 91 and at the top of page 92): (j-4/3) * ε < f(t) <= (j-1/3) * ε , g(t) < (j+1/3) * ε, and g(t) > (j-4/3) * ε. Here 𝐸 is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stoweidlem34.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem34.2	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
stoweidlem34.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem34.4	⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
stoweidlem34.5	⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
stoweidlem34.6	⊢ 𝐽 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
stoweidlem34.7	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem34.8	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
stoweidlem34.9	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem34.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐹‘𝑡))
stoweidlem34.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸))
stoweidlem34.12	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
stoweidlem34.13	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem34.14	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑗):𝑇⟶ℝ)
stoweidlem34.15	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑗)‘𝑡))
stoweidlem34.16	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
stoweidlem34.17	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
stoweidlem34.18	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑗)‘𝑡))

**Assertion**
Ref	Expression
stoweidlem34	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))

Distinct variable groups: 𝑖,𝑗,𝑡,𝐸 𝐷,𝑖 𝑖,𝐽 𝑖,𝑁,𝑗,𝑡 𝑇,𝑖,𝑗,𝑡 𝜑,𝑖 𝑗,𝐹 𝑗,𝑋,𝑡 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑡,𝑗) 𝐵(𝑡,𝑖,𝑗) 𝐷(𝑡,𝑗) 𝐹(𝑡,𝑖) 𝐽(𝑡,𝑗) 𝑋(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem34 Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem34.3	. 2 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
2		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
3		ovex 7189	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
4	3	rabex 5235	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ∈ V
5		stoweidlem34.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
6	5	fvmpt2 6779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ∈ V) → (𝐽‘𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
7	2, 4, 6	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
8		ssrab2 4056	. . . . . . 7 ⊢ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ⊆ (1...𝑁)
9	7, 8	eqsstrdi 4021	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) ⊆ (1...𝑁))
10		elfznn 12937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
11	10	ssriv 3971	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
12	9, 11	sstrdi 3979	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) ⊆ ℕ)
13		nnssre 11642	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
14	12, 13	sstrdi 3979	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) ⊆ ℝ)
15		stoweidlem34.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ)
17		nnuz 12282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
18	16, 17	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
19		eluzfz2 12916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
21		stoweidlem34.11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸))
22		3re 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ∈ ℝ
23		3ne0 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ≠ 0
24	22, 23	rereccli 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 / 3) ∈ ℝ)
26		1red 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
27	16	nnred 11653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		1lt3 11811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 < 3
29	22, 28	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3)
30		recgt1i 11537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1))
31	30	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (1 / 3) < 1)
32	29, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 / 3) < 1)
33	25, 26, 27, 32	ltsub2dd 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)))
34	27, 26	resubcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
35	27, 25	resubcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑁 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
36		stoweidlem34.12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
37	36	rpred 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
38	37	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
39	36	rpgt0d 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
40	39	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 < 𝐸)
41		ltmul1 11490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)) ↔ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
42	34, 35, 38, 40, 41	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)) ↔ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
43	33, 42	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
44	21, 43	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
45		stoweidlem34.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
46	45	ffvelrnda 6851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
47	34, 38	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ)
48	35, 38	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
49		lttr 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
50		ltle 10729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
51	50	3adant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
52	49, 51	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
53	46, 47, 48, 52	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
54	44, 53	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
55		rabid 3378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
56	2, 54, 55	sylanbrc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
57		stoweidlem34.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
58		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑁 − (1 / 3)))
59	58	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
60	59	breq2d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
61	60	rabbidv 3480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
62		nnnn0 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
63		nn0uz 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
64	62, 63	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
65		eluzfz2 12916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
66	15, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
67		stoweidlem34.8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
68		rabexg 5234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
70	57, 61, 66, 69	fvmptd3 6791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
71	70	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐷‘𝑁) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
72	56, 71	eleqtrrd 2916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑁))
73		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗𝑁
74		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗(1...𝑁)
75		nfmpt1 5164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
76	57, 75	nfcxfr 2975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
77	76, 73	nffv 6680	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐷‘𝑁)
78	77	nfcri 2971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑁)
79		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘𝑁))
80	79	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑁)))
81	73, 74, 78, 80	elrabf 3676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ↔ (𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑁)))
82	20, 72, 81	sylanbrc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
83	82, 7	eleqtrrd 2916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ (𝐽‘𝑡))
84		ne0i 4300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐽‘𝑡) → (𝐽‘𝑡) ≠ ∅)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) ≠ ∅)
86		nnwo 12314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽‘𝑡) ⊆ ℕ ∧ (𝐽‘𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑖 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑖 ≤ 𝑘)
87		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐽‘𝑡)
88		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗𝑇
89		nfrab1 3384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)}
90	88, 89	nfmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
91	5, 90	nfcxfr 2975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗𝐽
92		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗𝑡
93	91, 92	nffv 6680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐽‘𝑡)
94		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ≤ 𝑘
95	93, 94	nfralw 3225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑖 ≤ 𝑘
96		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘
97		breq1 5069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ≤ 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
98	97	ralbidv 3197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑖 ≤ 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘))
99	87, 93, 95, 96, 98	cbvrexfw 3438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑖 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑖 ≤ 𝑘 ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
100	86, 99	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑡) ⊆ ℕ ∧ (𝐽‘𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
101	12, 85, 100	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
102		stoweidlem34.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
103		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑡 ∈ 𝑇
104	102, 103	nfan 1900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)
105	7	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ↔ 𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)}))
106	105	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
107		rabid 3378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)))
108	106, 107	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)))
109	108	simprd 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
110	109	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
111		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
112		simp1l 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝜑)
113		noel 4296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ¬ 𝑡 ∈ ∅
114		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = (1 − 1))
115		1m1e0 11710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (1 − 1) = 0
116	114, 115	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = 0)
117	116	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = (𝐷‘0))
118	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 3 ∈ ℝ)
119	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 3 ≠ 0)
120	26, 118, 119	redivcld 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 / 3) ∈ ℝ)
121	120	renegcld 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → -(1 / 3) ∈ ℝ)
122	121, 38	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) ∈ ℝ)
123		0red 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ∈ ℝ)
124		3pos 11743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ 0 < 3
125	22, 124	recgt0ii 11546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 0 < (1 / 3)
126		lt0neg2 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℝ → (0 < (1 / 3) ↔ -(1 / 3) < 0))
127	24, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (0 < (1 / 3) ↔ -(1 / 3) < 0)
128	125, 127	mpbi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ -(1 / 3) < 0
129		ltmul1 11490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((-(1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (-(1 / 3) < 0 ↔ (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸)))
130	121, 123, 38, 40, 129	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) < 0 ↔ (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸)))
131	128, 130	mpbii 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸))
132		mul02lem2 10817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ → (0 · 𝐸) = 0)
133	38, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 · 𝐸) = 0)
134	131, 133	breqtrd 5092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < 0)
135		stoweidlem34.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐹‘𝑡))
136	122, 123, 46, 134, 135	ltletrd 10800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡))
137	122, 46	ltnled 10787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((-(1 / 3) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
138	136, 137	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸))
139		nan 827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 → ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
140	138, 139	mpbir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
141		rabid 3378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
142	140, 141	sylnibr 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
143		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 − (1 / 3)) = (0 − (1 / 3)))
144		df-neg 10873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ -(1 / 3) = (0 − (1 / 3))
145	143, 144	syl6eqr 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 − (1 / 3)) = -(1 / 3))
146	145	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = (-(1 / 3) · 𝐸))
147	146	breq2d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
148	147	rabbidv 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑗 = 0 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
149	15	nnnn0d 11956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
150		elnn0uz 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
151	149, 150	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
152		eluzfz1 12915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑁))
153	151, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
154		rabexg 5234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V)
155	67, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V)
156	57, 148, 153, 155	fvmptd3 6791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
157	142, 156	neleqtrrd 2935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
158	1, 157	alrimi 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
159		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ Ⅎ𝑡(0...𝑁)
160		nfrab1 3384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}
161	159, 160	nfmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
162	57, 161	nfcxfr 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ Ⅎ𝑡𝐷
163		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ Ⅎ𝑡0
164	162, 163	nffv 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘0)
165	164	eq0f 4305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐷‘0) = ∅ ↔ ∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
166	158, 165	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) = ∅)
167	117, 166	sylan9eqr 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = ∅)
168	167	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ 𝑡 ∈ ∅))
169	113, 168	mtbiri 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
170	169	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑗 = 1 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
171	170	con2d 136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) → ¬ 𝑗 = 1))
172	112, 111, 171	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑗 = 1)
173		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → 𝜑)
174	105, 107	syl6bb 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))))
175	174	simprbda 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
176	15, 17	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
177	176	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
178		elfzp12 12987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
179	177, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
180	179	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
181	175, 180	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)))
182	181	orcanai 999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
183		fzssp1 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...((𝑁 − 1) + 1))
184	15	nncnd 11654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
185		1cnd 10636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
186	184, 185	npcand 11001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
187	186	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
188	183, 187	sseqtrid 4019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
189	188	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
190		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
191		1z 12013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 ∈ ℤ
192		zaddcl 12023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 + 1) ∈ ℤ)
193	191, 191, 192	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (1 + 1) ∈ ℤ
194	193	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
195	15	nnzd 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
196	195	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
197		elfzelz 12909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
198	197	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
199		1zzd 12014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
200		fzsubel 12944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((1 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
201	194, 196, 198, 199, 200	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
202	190, 201	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
203		ax-1cn 10595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℂ
204	203, 203	pncan3oi 10902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 + 1) − 1) = 1
205	204	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (1...(𝑁 − 1))
206	202, 205	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (1...(𝑁 − 1)))
207	189, 206	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
208	173, 182, 207	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
209	208	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (¬ 𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁)))
210	209	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (¬ 𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁)))
211	172, 210	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
212		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝐷‘𝑖) = (𝐷‘(𝑗 − 1)))
213	212	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
214	213	elrab3 3681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁) → ((𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)} ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
215	211, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ((𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)} ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
216	111, 215	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)})
217		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑖(1...𝑁)
218		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)
219		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗𝑖
220	76, 219	nffv 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐷‘𝑖)
221	220	nfcri 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)
222		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘𝑖))
223	222	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)))
224	74, 217, 218, 221, 223	cbvrabw 3489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} = {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)}
225	216, 224	eleqtrrdi 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
226	7	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝐽‘𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
227	225, 226	eleqtrrd 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝐽‘𝑡))
228		elfzelz 12909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
229		zre 11986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
230	175, 228, 229	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑗 ∈ ℝ)
231	230	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
232		peano2rem 10953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
233		ltm1 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) < 𝑗)
234	233	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
235		ltnle 10720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑗 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑗 − 1) < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
236	235	ancoms 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → ((𝑗 − 1) < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
237	234, 236	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1))
238	231, 232, 237	syl2anc2 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1))
239		breq2 5070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑗 ≤ 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
240	239	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (¬ 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
241	240	rspcev 3623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑗 − 1) ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)) → ∃𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡) ¬ 𝑗 ≤ 𝑘)
242	227, 238, 241	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ∃𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡) ¬ 𝑗 ≤ 𝑘)
243		rexnal 3238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡) ¬ 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
244	242, 243	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
245	244	3expia 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) → ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘))
246	245	con2d 136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
247	246	imp 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
248	110, 247	eldifd 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
249	248	exp31 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) → (∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))))
250	104, 249	reximdai 3311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘 → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
251	101, 250	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
252		df-rex 3144	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
253	251, 252	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
254		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡))
255		eldifn 4104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
256		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑡 ∈ 𝑇)
257		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝜑)
258	175	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
259		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
260		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑘 − (1 / 3)))
261	260	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸))
262	261	breq2d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)))
263	262	rabbidv 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
264	263	cbvmptv 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
265	57, 264	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
266		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 − (1 / 3)) = ((𝑗 − 1) − (1 / 3)))
267	266	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) = (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
268	267	breq2d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
269	268	rabbidv 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
270		fzssp1 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
271	186	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
272	270, 271	sseqtrid 4019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
273	272	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
274		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
275		1zzd 12014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
276	195	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
277	228	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
278		fzsubel 12944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
279	275, 276, 277, 275, 278	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
280	274, 279	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
281	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 1) = 0)
282	281	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
283	280, 282	eleqtrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
284	273, 283	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑁))
285	67	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ V)
286		rabexg 5234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
287	285, 286	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
288	265, 269, 284, 287	fvmptd3 6791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
289	288	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}))
290	289	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}))
291	290	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
292	257, 258, 259, 291	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
293		rabid 3378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
294	230	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑗 ∈ ℝ)
295		recn 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ∈ ℂ)
296		1cnd 10636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
297		1re 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℝ
298	297, 22, 23	3pm3.2i 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
299		redivcl 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (1 / 3) ∈ ℝ)
300		recn 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℝ → (1 / 3) ∈ ℂ)
301	298, 299, 300	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
302	301	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (1 / 3) ∈ ℂ)
303	295, 296, 302	subsub4d 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → ((𝑗 − 1) − (1 / 3)) = (𝑗 − (1 + (1 / 3))))
304		3cn 11719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 3 ∈ ℂ
305	304, 203, 304, 23	divdiri 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
306		3p1e4 11783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (3 + 1) = 4
307	306	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((3 + 1) / 3) = (4 / 3)
308	304, 23	dividi 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (3 / 3) = 1
309	308	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
310	305, 307, 309	3eqtr3i 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
311	310	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (4 / 3) = (1 + (1 / 3)))
312	311	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − (4 / 3)) = (𝑗 − (1 + (1 / 3))))
313	303, 312	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → ((𝑗 − 1) − (1 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
314	313	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
315	294, 314	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
316	315	breq2d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ((𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
317	316	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))))
318	293, 317	syl5bb 285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))))
319	292, 318	mtbid 326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
320		imnan 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) ↔ ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
321	319, 320	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
322	256, 321	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
323	255, 322	sylanr2 681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
324	230	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ ℝ)
325		4re 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℝ
326	325	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 4 ∈ ℝ)
327	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 3 ∈ ℝ)
328	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 3 ≠ 0)
329	326, 327, 328	redivcld 11468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (4 / 3) ∈ ℝ)
330	324, 329	resubcld 11068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
331	37	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ)
332		remulcl 10622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
333	332	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ^*)
334	330, 331, 333	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ^*)
335	46	rexrd 10691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ^*)
336	335	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ^*)
337		xrltnle 10708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ^*) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
338	334, 336, 337	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
339	323, 338	mpbird 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡))
340		simpl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
341		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
342	341	eldifad 3948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
343		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝜑)
344	175	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
345		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
346		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 − (1 / 3)) = (𝑗 − (1 / 3)))
347	346	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
348	347	breq2d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
349	348	rabbidv 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
350		fz1ssfz0 13004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
351	350	sseli 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
352	351	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
353		rabexg 5234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
354	285, 353	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
355	265, 349, 352, 354	fvmptd3 6791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
356	355	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}))
357	356	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
358	343, 344, 345, 357	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
359		rabid 3378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
360	358, 359	sylib 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
361	360	simprd 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
362	340, 254, 342, 361	syl21anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
363	339, 362	jca 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
364	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
365		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ 𝑇)
366	175	adantrr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
367		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ (0...𝑁)
368	102, 367	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁))
369		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ
370	368, 369	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
371		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑖 ∈ (0...𝑁)))
372	371	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁))))
373		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑋‘𝑗) = (𝑋‘𝑖))
374	373	feq1d 6499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑋‘𝑗):𝑇⟶ℝ ↔ (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
375	372, 374	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑗):𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)))
376		stoweidlem34.14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑗):𝑇⟶ℝ)
377	370, 375, 376	chvarfv 2242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
378	377	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
379		simplll 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
380		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
381		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
382	102, 367, 103	nf3an 1902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)
383		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1
384	382, 383	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
385	371	3anbi2d 1437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)))
386	373	fveq1d 6672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) = ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
387	386	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
388	385, 387	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
389		stoweidlem34.16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
390	384, 388, 389	chvarfv 2242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
391	379, 380, 381, 390	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
392		simplll 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝜑)
393		0zd 11994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
394		elfzel2 12907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
395	394	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
396		elfzelz 12909	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
397	396	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
398	393, 395, 397	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
399		0red 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
400		elfzel1 12908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
401	400	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
402	401	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
403	396	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
404	403	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
405		0red 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 0 ∈ ℝ)
406		1red 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 1 ∈ ℝ)
407		0le1 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ 1
408	407	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 0 ≤ 1)
409		elfzle1 12911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑗)
410	175, 409	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 1 ≤ 𝑗)
411	405, 406, 230, 408, 410	letrd 10797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 0 ≤ 𝑗)
412	411	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ≤ 𝑗)
413		elfzle1 12911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ≤ 𝑖)
414	413	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑖)
415	399, 402, 404, 412, 414	letrd 10797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ≤ 𝑖)
416		elfzle2 12912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ≤ 𝑁)
417	416	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ≤ 𝑁)
418	415, 417	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))
419		elfz2 12900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)))
420	398, 418, 419	sylanbrc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
421	420	adantlrr 719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
422		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
423		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡))
424		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
425	424	eldifad 3948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
426		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁))
427		simpl1 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
428	427	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
429	427, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
430	401	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
431	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (1 / 3) ∈ ℝ)
432	430, 431	resubcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
433		simpl1l 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝜑)
434	433, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
435	432, 434	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
436	403	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
437	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (1 / 3) ∈ ℝ)
438	436, 437	resubcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
439	37	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
440	438, 439	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
441	433, 440	sylancom 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
442		simpl3 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
443		simpl2 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡))
444	427, 443, 175	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
445	433, 444, 355	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
446	442, 445	eleqtrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
447	446, 359	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
448	447	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
449	403	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
450	413	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑖)
451	430, 449, 431, 450	lesub1dd 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)))
452	433, 438	sylancom 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
453	36	rpregt0d 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
454	433, 453	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
455		lemul1 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
456	432, 452, 454, 455	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
457	451, 456	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
458	429, 435, 441, 448, 457	letrd 10797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
459		rabid 3378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
460	428, 458, 459	sylanbrc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
461		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁))
462		0zd 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
463	394	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
464	396	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
465	462, 463, 464	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
466	418	3impa 1106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))
467	465, 466, 419	sylanbrc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
468	427, 443, 461, 467	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
469		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑖 − (1 / 3)))
470	469	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
471	470	breq2d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
472	471	rabbidv 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
473		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
474		rabexg 5234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
475	67, 474	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
476	475	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
477	57, 472, 473, 476	fvmptd3 6791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑖) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
478	433, 468, 477	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐷‘𝑖) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
479	460, 478	eleqtrrd 2916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖))
480	422, 423, 425, 426, 479	syl31anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖))
481	102, 367, 221	nf3an 1902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖))
482		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)
483	481, 482	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
484	371, 223	3anbi23d 1435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖))))
485	386	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑋‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
486	484, 485	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))))
487		stoweidlem34.17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
488	483, 486, 487	chvarfv 2242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
489	392, 421, 480, 488	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
490	36	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
491		stoweidlem34.13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
492	491	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 < (1 / 3))
493	364, 365, 366, 378, 391, 489, 490, 492	stoweidlem11 42316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
494		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ↔ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)))
495		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐷‘𝑙) = (𝐷‘𝑗))
496		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − 1) = (𝑗 − 1))
497	496	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐷‘(𝑙 − 1)) = (𝐷‘(𝑗 − 1)))
498	495, 497	difeq12d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) = ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
499	498	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
500	494, 499	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))) ↔ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))))
501	500	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))))
502		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − (4 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
503	502	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
504	503	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) ↔ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
505	501, 504	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
506		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑡 ∈ 𝑇))
507	506	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ↔ (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)))
508		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝐽‘𝑠) = (𝐽‘𝑡))
509	508	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ↔ 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡)))
510		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
511	509, 510	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))) ↔ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))))
512	507, 511	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))))
513		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑠) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
514	513	breq2d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑠) ↔ ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
515	512, 514	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑠)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
516		stoweidlem34.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
517		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑠 ∈ 𝑇
518	102, 517	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)
519		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗𝑠
520	91, 519	nffv 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐽‘𝑠)
521	520	nfcri 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)
522		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
523	76, 522	nffv 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐷‘𝑙)
524		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑙 − 1)
525	76, 524	nffv 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐷‘(𝑙 − 1))
526	523, 525	nfdif 4102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
527	526	nfcri 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
528	521, 527	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
529	518, 528	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
530		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ 𝑇
531	1, 530	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)
532		nfmpt1 5164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
533	5, 532	nfcxfr 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡𝐽
534		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
535	533, 534	nffv 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐽‘𝑠)
536	535	nfcri 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)
537		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡𝑙
538	162, 537	nffv 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘𝑙)
539		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑙 − 1)
540	162, 539	nffv 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘(𝑙 − 1))
541	538, 540	nfdif 4102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑡((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
542	541	nfcri 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
543	536, 542	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
544	531, 543	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
545		stoweidlem34.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
546	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
547	67	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑇 ∈ V)
548	3	rabex 5235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)} ∈ V
549		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑡𝑗
550	162, 549	nffv 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘𝑗)
551	550	nfcri 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)
552		nfcv 2977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑡(1...𝑁)
553	551, 552	nfrabw 3385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)}
554		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)))
555	554	rabbidv 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)})
556	534, 553, 555, 5	fvmptf 6789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)} ∈ V) → (𝐽‘𝑠) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)})
557	548, 556	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 → (𝐽‘𝑠) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)})
558	557	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 → (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ↔ 𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)}))
559	558	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)) → 𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)})
560	523	nfcri 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑙)
561		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘𝑙))
562	561	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑙)))
563	522, 74, 560, 562	elrabf 3676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)} ↔ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑙)))
564	559, 563	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)) → (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑙)))
565	564	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)) → 𝑙 ∈ (1...𝑁))
566	565	ad2ant2lr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑙 ∈ (1...𝑁))
567		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
568	45	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
569	36	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
570	491	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐸 < (1 / 3))
571	377	ad4ant14 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
572		simp1ll 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝜑)
573		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)
574	382, 573	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
575	386	breq2d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (0 ≤ ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))
576	385, 575	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑗)‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))))
577		stoweidlem34.15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑗)‘𝑡))
578	574, 576, 577	chvarfv 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
579	572, 578	syld3an1 1406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
580		simp1ll 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → 𝜑)
581		nfmpt1 5164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
582	545, 581	nfcxfr 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
583	582, 219	nffv 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵‘𝑖)
584	583	nfcri 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)
585	102, 367, 584	nf3an 1902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖))
586		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)
587	585, 586	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
588		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
589	588	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)))
590	371, 589	3anbi23d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖))))
591	386	breq2d 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))
592	590, 591	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑗)‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))))
593		stoweidlem34.18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑗)‘𝑡))
594	587, 592, 593	chvarfv 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
595	580, 594	syld3an1 1406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
596	516, 529, 544, 57, 545, 546, 547, 566, 567, 568, 569, 570, 571, 579, 595	stoweidlem26 42331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑠))
597	515, 596	vtoclg 3567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
598	597	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
599	598	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
600	505, 599	vtoclg 3567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
601	600	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
602	601	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
603	493, 602	jca 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
604	254, 363, 603	3jca 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
605	604	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
606	104, 605	eximd 2216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
607	253, 606	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
608		3anass 1091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
609	608	exbii 1848	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
610	607, 609	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
611		df-rex 3144	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
612	610, 611	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
613		nfcv 2977	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗ℝ
614	93, 613	ssrexf 4031	. . . 4 ⊢ ((𝐽‘𝑡) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
615	14, 612, 614	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
616	615	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
617	1, 616	ralrimi 3216	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∨ wo 843 ∧ w3a 1083 ∀wal 1535 = wceq 1537 ∃wex 1780 Ⅎwnf 1784 ∈ wcel 2114 Ⅎwnfc 2961 ≠ wne 3016 ∀wral 3138 ∃wrex 3139 {crab 3142 Vcvv 3494 ∖ cdif 3933 ⊆ wss 3936 ∅c0 4291 class class class wbr 5066 ↦ cmpt 5146 ⟶wf 6351 ‘cfv 6355 (class class class)co 7156 ℂcc 10535 ℝcr 10536 0cc0 10537 1c1 10538 + caddc 10540 · cmul 10542 ℝ^*cxr 10674 < clt 10675 ≤ cle 10676 − cmin 10870 -cneg 10871 / cdiv 11297 ℕcn 11638 3c3 11694 4c4 11695 ℕ₀cn0 11898 ℤcz 11982 ℤ_≥cuz 12244 ℝ⁺crp 12390 ...cfz 12893 Σcsu 15042

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-rep 5190 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-inf2 9104 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614 ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-int 4877 df-iun 4921 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-se 5515 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-isom 6364 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-om 7581 df-1st 7689 df-2nd 7690 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-1o 8102 df-oadd 8106 df-er 8289 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-fin 8513 df-sup 8906 df-oi 8974 df-card 9368 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-div 11298 df-nn 11639 df-2 11701 df-3 11702 df-4 11703 df-n0 11899 df-z 11983 df-uz 12245 df-rp 12391 df-ico 12745 df-fz 12894 df-fzo 13035 df-seq 13371 df-exp 13431 df-hash 13692 df-cj 14458 df-re 14459 df-im 14460 df-sqrt 14594 df-abs 14595 df-clim 14845 df-sum 15043

This theorem is referenced by: stoweidlem60 42365

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