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Theorem stoweidlem34 43963
Description: This lemma proves that for all 𝑡 in 𝑇 there is a 𝑗 as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the bottom of page 91 and at the top of page 92): (j-4/3) * ε < f(t) <= (j-1/3) * ε , g(t) < (j+1/3) * ε, and g(t) > (j-4/3) * ε. Here 𝐸 is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem34.1 𝑡𝐹
stoweidlem34.2 𝑗𝜑
stoweidlem34.3 𝑡𝜑
stoweidlem34.4 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
stoweidlem34.5 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
stoweidlem34.6 𝐽 = (𝑡𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
stoweidlem34.7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem34.8 (𝜑𝑇 ∈ V)
stoweidlem34.9 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem34.10 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐹𝑡))
stoweidlem34.11 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸))
stoweidlem34.12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem34.13 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem34.14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑗):𝑇⟶ℝ)
stoweidlem34.15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑗)‘𝑡))
stoweidlem34.16 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
stoweidlem34.17 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
stoweidlem34.18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑗)‘𝑡))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem34 (𝜑 → ∀𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑡,𝐸   𝐷,𝑖   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁,𝑗,𝑡   𝑇,𝑖,𝑗,𝑡   𝜑,𝑖   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑗)   𝐵(𝑡,𝑖,𝑗)   𝐷(𝑡,𝑗)   𝐹(𝑡,𝑖)   𝐽(𝑡,𝑗)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem34
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem34.3 . 2 𝑡𝜑
2 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
3 ovex 7374 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) ∈ V
43rabex 5280 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ∈ V
5 stoweidlem34.6 . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝑡𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
65fvmpt2 6946 . . . . . . . 8 ((𝑡𝑇 ∧ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ∈ V) → (𝐽𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
72, 4, 6sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
8 ssrab2 4028 . . . . . . 7 {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ⊆ (1...𝑁)
97, 8eqsstrdi 3989 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) ⊆ (1...𝑁))
10 elfznn 13390 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
1110ssriv 3939 . . . . . 6 (1...𝑁) ⊆ ℕ
129, 11sstrdi 3947 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) ⊆ ℕ)
13 nnssre 12082 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
1412, 13sstrdi 3947 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) ⊆ ℝ)
15 stoweidlem34.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ)
17 nnuz 12726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘1)
1816, 17eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
19 eluzfz2 13369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
21 stoweidlem34.11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸))
22 3re 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 ∈ ℝ
23 3ne0 12184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 ≠ 0
2422, 23rereccli 11845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 3) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 3) ∈ ℝ)
26 1red 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
2716nnred 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℝ)
28 1lt3 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 < 3
2922, 28pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3)
30 recgt1i 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1))
3130simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (1 / 3) < 1)
3229, 31mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 3) < 1)
3325, 26, 27, 32ltsub2dd 11693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)))
3427, 26resubcld 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3527, 25resubcld 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
36 stoweidlem34.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3736rpred 12877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
3936rpgt0d 12880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < 𝐸)
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 < 𝐸)
41 ltmul1 11930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)) ↔ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
4234, 35, 38, 40, 41syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)) ↔ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
4333, 42mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
4421, 43jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
45 stoweidlem34.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
4645ffvelcdmda 7021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
4734, 38remulcld 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ)
4835, 38remulcld 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
49 lttr 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
50 ltle 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
51503adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
5249, 51syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
5346, 47, 48, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝑇) → (((𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
5444, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
55 rabid 3424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
562, 54, 55sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
57 stoweidlem34.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
58 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑁 − (1 / 3)))
5958oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
6059breq2d 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
6160rabbidv 3412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑁 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
62 nnnn0 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
63 nn0uz 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘0)
6462, 63eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
65 eluzfz2 13369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
6615, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
67 stoweidlem34.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ V)
68 rabexg 5279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
7057, 61, 66, 69fvmptd3 6958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝑁) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7170adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐷𝑁) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7256, 71eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑁))
73 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑁
74 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(1...𝑁)
75 nfmpt1 5204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7657, 75nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗𝐷
7776, 73nffv 6839 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝐷𝑁)
7877nfcri 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑡 ∈ (𝐷𝑁)
79 fveq2 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑁 → (𝐷𝑗) = (𝐷𝑁))
8079eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑁 → (𝑡 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷𝑁)))
8173, 74, 78, 80elrabf 3633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ↔ (𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑁)))
8220, 72, 81sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
8382, 7eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ (𝐽𝑡))
84 ne0i 4285 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (𝐽𝑡) → (𝐽𝑡) ≠ ∅)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) ≠ ∅)
86 nnwo 12758 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽𝑡) ⊆ ℕ ∧ (𝐽𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑖 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑖𝑘)
87 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝐽𝑡)
88 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑇
89 nfrab1 3423 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗{𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)}
9088, 89nfmpt 5203 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(𝑡𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
915, 90nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐽
92 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑡
9391, 92nffv 6839 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝐽𝑡)
94 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑖𝑘
9593, 94nfralw 3291 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑖𝑘
96 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑖𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘
97 breq1 5099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑘𝑗𝑘))
9897ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑖𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘))
9987, 93, 95, 96, 98cbvrexfw 3285 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑖 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑖𝑘 ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
10086, 99sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝐽𝑡) ⊆ ℕ ∧ (𝐽𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
10112, 85, 100syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
102 stoweidlem34.2 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝜑
103 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑡𝑇
104102, 103nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝜑𝑡𝑇)
1057eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ↔ 𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)}))
106105biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
107 rabid 3424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)))
108106, 107sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)))
109108simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
111 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
112 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝜑)
113 noel 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ¬ 𝑡 ∈ ∅
114 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = (1 − 1))
115 1m1e0 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1 − 1) = 0
116114, 115eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = 0)
117116fveq2d 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 = 1 → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = (𝐷‘0))
11822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑡𝑇) → 3 ∈ ℝ)
11923a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑡𝑇) → 3 ≠ 0)
12026, 118, 119redivcld 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 3) ∈ ℝ)
121120renegcld 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑡𝑇) → -(1 / 3) ∈ ℝ)
122121, 38remulcld 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) ∈ ℝ)
123 0red 11083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ∈ ℝ)
124 3pos 12183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 0 < 3
12522, 124recgt0ii 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 < (1 / 3)
126 lt0neg2 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 / 3) ∈ ℝ → (0 < (1 / 3) ↔ -(1 / 3) < 0))
12724, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 < (1 / 3) ↔ -(1 / 3) < 0)
128125, 127mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 -(1 / 3) < 0
129 ltmul1 11930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((-(1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (-(1 / 3) < 0 ↔ (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸)))
130121, 123, 38, 40, 129syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) < 0 ↔ (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸)))
131128, 130mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸))
132 mul02lem2 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐸 ∈ ℝ → (0 · 𝐸) = 0)
13338, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 · 𝐸) = 0)
134131, 133breqtrd 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < 0)
135 stoweidlem34.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐹𝑡))
136122, 123, 46, 134, 135ltletrd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < (𝐹𝑡))
137122, 46ltnled 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑡𝑇) → ((-(1 / 3) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
138136, 137mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑡𝑇) → ¬ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸))
139 nan 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 → ¬ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸))) ↔ ((𝜑𝑡𝑇) → ¬ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
140138, 139mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ¬ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
141 rabid 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
142140, 141sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
143 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 = 0 → (𝑗 − (1 / 3)) = (0 − (1 / 3)))
144 df-neg 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 -(1 / 3) = (0 − (1 / 3))
145143, 144eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 0 → (𝑗 − (1 / 3)) = -(1 / 3))
146145oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 0 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = (-(1 / 3) · 𝐸))
147146breq2d 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 0 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
148147rabbidv 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = 0 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
14915nnnn0d 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
150 elnn0uz 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
151149, 150sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
152 eluzfz1 13368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑁))
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
154 rabexg 5279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V)
15567, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V)
15657, 148, 153, 155fvmptd3 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐷‘0) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
157142, 156neleqtrrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
1581, 157alrimi 2206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
159 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑡(0...𝑁)
160 nfrab1 3423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑡{𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}
161159, 160nfmpt 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
16257, 161nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑡𝐷
163 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑡0
164162, 163nffv 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑡(𝐷‘0)
165164eq0f 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐷‘0) = ∅ ↔ ∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
166158, 165sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐷‘0) = ∅)
167117, 166sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑗 = 1) → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = ∅)
168167eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 = 1) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ 𝑡 ∈ ∅))
169113, 168mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 = 1) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
170169ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑗 = 1 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
171170con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) → ¬ 𝑗 = 1))
172112, 111, 171sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑗 = 1)
173 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → 𝜑)
174105, 107bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))))
175174simprbda 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
17615, 17eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
177176adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
178 elfzp12 13440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
180179adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
181175, 180mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)))
182181orcanai 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
183 fzssp1 13404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...((𝑁 − 1) + 1))
18415nncnd 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
185 1cnd 11075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
186184, 185npcand 11441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
187186oveq2d 7357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
188183, 187sseqtrid 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
189188adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
190 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
191 1z 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 ∈ ℤ
192 zaddcl 12465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 + 1) ∈ ℤ)
193191, 191, 192mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1 + 1) ∈ ℤ
194193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
19515nnzd 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
196195adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
197 elfzelz 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
198197adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
199 1zzd 12456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
200 fzsubel 13397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((1 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
201194, 196, 198, 199, 200syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
202190, 201mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
203 ax-1cn 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℂ
204203, 203pncan3oi 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 + 1) − 1) = 1
205204oveq1i 7351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (1...(𝑁 − 1))
206202, 205eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (1...(𝑁 − 1)))
207189, 206sseldd 3936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
208173, 182, 207syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
209208ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (¬ 𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁)))
2102093adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (¬ 𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁)))
211172, 210mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
212 fveq2 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝐷𝑖) = (𝐷‘(𝑗 − 1)))
213212eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑡 ∈ (𝐷𝑖) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
214213elrab3 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁) → ((𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)} ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
215211, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ((𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)} ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
216111, 215mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)})
217 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖(1...𝑁)
218 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)
219 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗𝑖
22076, 219nffv 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗(𝐷𝑖)
221220nfcri 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)
222 fveq2 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → (𝐷𝑗) = (𝐷𝑖))
223222eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → (𝑡 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)))
22474, 217, 218, 221, 223cbvrabw 3436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} = {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)}
225216, 224eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
22673ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝐽𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
227225, 226eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝐽𝑡))
228 elfzelz 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
229 zre 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
230175, 228, 2293syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑗 ∈ ℝ)
2312303adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
232 peano2rem 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
233 ltm1 11922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) < 𝑗)
234233adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
235 ltnle 11159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑗 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑗 − 1) < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
236235ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → ((𝑗 − 1) < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
237234, 236mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1))
238231, 232, 237syl2anc2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1))
239 breq2 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑗𝑘𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
240239notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (¬ 𝑗𝑘 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
241240rspcev 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 − 1) ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)) → ∃𝑘 ∈ (𝐽𝑡) ¬ 𝑗𝑘)
242227, 238, 241syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ∃𝑘 ∈ (𝐽𝑡) ¬ 𝑗𝑘)
243 rexnal 3100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑘 ∈ (𝐽𝑡) ¬ 𝑗𝑘 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
244242, 243sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
2452443expia 1121 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) → ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘))
246245con2d 134 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
247246imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
248110, 247eldifd 3912 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
249248exp31 421 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) → (∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))))
250104, 249reximdai 3241 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘 → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
251101, 250mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
252 df-rex 3072 . . . . . . . 8 (∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
253251, 252sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
254 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ (𝐽𝑡))
255 eldifn 4078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
256 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑡𝑇)
257 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝜑)
258175adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
259 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
260 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑘 − (1 / 3)))
261260oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸))
262261breq2d 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)))
263262rabbidv 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑘 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
264263cbvmptv 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
26557, 264eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
266 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 − (1 / 3)) = ((𝑗 − 1) − (1 / 3)))
267266oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) = (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
268267breq2d 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
269268rabbidv 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = (𝑗 − 1) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
270 fzssp1 13404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
271186oveq2d 7357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
272270, 271sseqtrid 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
273272adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
274 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
275 1zzd 12456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
276195adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
277228adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
278 fzsubel 13397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
279275, 276, 277, 275, 278syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
280274, 279mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
281115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 1) = 0)
282281oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
283280, 282eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
284273, 283sseldd 3936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑁))
28567adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ V)
286 rabexg 5279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
287285, 286syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
288265, 269, 284, 287fvmptd3 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
289288eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}))
290289notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ ¬ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}))
291290biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
292257, 258, 259, 291syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
293 rabid 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
294230adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑗 ∈ ℝ)
295 recn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ∈ ℂ)
296 1cnd 11075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
297 1re 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℝ
298297, 22, 233pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
299 redivcl 11799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (1 / 3) ∈ ℝ)
300 recn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 / 3) ∈ ℝ → (1 / 3) ∈ ℂ)
301298, 299, 300mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 / 3) ∈ ℂ
302301a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℝ → (1 / 3) ∈ ℂ)
303295, 296, 302subsub4d 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℝ → ((𝑗 − 1) − (1 / 3)) = (𝑗 − (1 + (1 / 3))))
304 3cn 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 ∈ ℂ
305304, 203, 304, 23divdiri 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
306 3p1e4 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (3 + 1) = 4
307306oveq1i 7351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((3 + 1) / 3) = (4 / 3)
308304, 23dividi 11813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (3 / 3) = 1
309308oveq1i 7351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
310305, 307, 3093eqtr3i 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
311310a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℝ → (4 / 3) = (1 + (1 / 3)))
312311oveq2d 7357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − (4 / 3)) = (𝑗 − (1 + (1 / 3))))
313303, 312eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℝ → ((𝑗 − 1) − (1 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
314313oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
315294, 314syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
316315breq2d 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ((𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
317316anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ((𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))))
318293, 317bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))))
319292, 318mtbid 324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
320 imnan 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡𝑇 → ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) ↔ ¬ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
321319, 320sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑡𝑇 → ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
322256, 321mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
323255, 322sylanr2 681 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
324230adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ ℝ)
325 4re 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℝ
326325a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 4 ∈ ℝ)
32722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 3 ∈ ℝ)
32823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 3 ≠ 0)
329326, 327, 328redivcld 11908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (4 / 3) ∈ ℝ)
330324, 329resubcld 11508 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
33137ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ)
332 remulcl 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
333332rexrd 11130 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ*)
334330, 331, 333syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ*)
33546rexrd 11130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ*)
336335adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ*)
337 xrltnle 11147 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ*) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
338334, 336, 337syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
339323, 338mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡))
340 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝜑𝑡𝑇))
341 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
342341eldifad 3913 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
343 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝜑)
344175adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
345 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
346 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 − (1 / 3)) = (𝑗 − (1 / 3)))
347346oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
348347breq2d 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
349348rabbidv 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑗 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
350 fz1ssfz0 13457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
351350sseli 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
352351adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
353 rabexg 5279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
354285, 353syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
355265, 349, 352, 354fvmptd3 6958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑗) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
356355eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}))
357356biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
358343, 344, 345, 357syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
359 rabid 3424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
360358, 359sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
361360simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
362340, 254, 342, 361syl21anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
363339, 362jca 513 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
36415ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
365 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡𝑇)
366175adantrr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
367 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑖 ∈ (0...𝑁)
368102, 367nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁))
369 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ
370368, 369nfim 1899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
371 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑖 ∈ (0...𝑁)))
372371anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁))))
373 fveq2 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → (𝑋𝑗) = (𝑋𝑖))
374373feq1d 6640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑋𝑗):𝑇⟶ℝ ↔ (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ))
375372, 374imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑗):𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)))
376 stoweidlem34.14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑗):𝑇⟶ℝ)
377370, 375, 376chvarfv 2233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
378377ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
379 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
380 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
381 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑡𝑇)
382102, 367, 103nf3an 1904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇)
383 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1
384382, 383nfim 1899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
3853713anbi2d 1441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇)))
386373fveq1d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑋𝑗)‘𝑡) = ((𝑋𝑖)‘𝑡))
387386breq1d 5106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑋𝑗)‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
388385, 387imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
389 stoweidlem34.16 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
390384, 388, 389chvarfv 2233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
391379, 380, 381, 390syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
392 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝜑)
393 0zd 12436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
394 elfzel2 13359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
395394adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
396 elfzelz 13361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
397396adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
398 0red 11083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
399 elfzel1 13360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
400399zred 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
401400adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
402396zred 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
403402adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
404 0red 11083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 0 ∈ ℝ)
405 1red 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 1 ∈ ℝ)
406 0le1 11603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≤ 1
407406a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 0 ≤ 1)
408 elfzle1 13364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑗)
409175, 408syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 1 ≤ 𝑗)
410404, 405, 230, 407, 409letrd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 0 ≤ 𝑗)
411410adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ≤ 𝑗)
412 elfzle1 13364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗𝑖)
413412adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗𝑖)
414398, 401, 403, 411, 413letrd 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ≤ 𝑖)
415 elfzle2 13365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖𝑁)
416415adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖𝑁)
417393, 395, 397, 414, 416elfzd 13352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
418417adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
419 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝜑𝑡𝑇))
420 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝐽𝑡))
421 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
422421eldifad 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
423 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁))
424 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝜑𝑡𝑇))
425424simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡𝑇)
426424, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
427400adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
42824a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (1 / 3) ∈ ℝ)
429427, 428resubcld 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
430 simpl1l 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝜑)
431430, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
432429, 431remulcld 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
433402adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
43424a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (1 / 3) ∈ ℝ)
435433, 434resubcld 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
43637adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
437435, 436remulcld 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
438430, 437sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
439 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
440 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝐽𝑡))
441424, 440, 175syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
442430, 441, 355syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐷𝑗) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
443439, 442eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
444443, 359sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
445444simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
446402adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
447412adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗𝑖)
448427, 446, 428, 447lesub1dd 11696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)))
449430, 435sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
45036rpregt0d 12883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
451430, 450syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
452 lemul1 11932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
453429, 449, 451, 452syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
454448, 453mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
455426, 432, 438, 445, 454letrd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
456 rabid 3424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
457425, 455, 456sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
458 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁))
459 0zd 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
4603943ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4613963ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
462459, 460, 4613jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
463414, 416jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ≤ 𝑖𝑖𝑁))
4644633impa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ≤ 𝑖𝑖𝑁))
465 elfz2 13351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑖𝑖𝑁)))
466462, 464, 465sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
467424, 440, 458, 466syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
468 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑖 − (1 / 3)))
469468oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
470469breq2d 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
471470rabbidv 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
472 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
473 rabexg 5279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
47467, 473syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
475474adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
47657, 471, 472, 475fvmptd3 6958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷𝑖) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
477430, 467, 476syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐷𝑖) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
478457, 477eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑖))
479419, 420, 422, 423, 478syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑖))
480102, 367, 221nf3an 1904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖))
481 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)
482480, 481nfim 1899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
483371, 2233anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖))))
484386breq1d 5106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑋𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
485483, 484imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))))
486 stoweidlem34.17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
487482, 485, 486chvarfv 2233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
488392, 418, 479, 487syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
48936ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
490 stoweidlem34.13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
491490ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 < (1 / 3))
492364, 365, 366, 378, 391, 488, 489, 491stoweidlem11 43940 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
493 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ↔ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)))
494 fveq2 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑗 → (𝐷𝑙) = (𝐷𝑗))
495 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − 1) = (𝑗 − 1))
496495fveq2d 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑗 → (𝐷‘(𝑙 − 1)) = (𝐷‘(𝑗 − 1)))
497494, 496difeq12d 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑗 → ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) = ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
498497eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑗 → (𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
499493, 498anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))) ↔ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))))
500499anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑗 → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ↔ ((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))))
501 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − (4 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
502501oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
503502breq1d 5106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑗 → (((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) ↔ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
504500, 503imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = 𝑗 → ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)) ↔ (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
505 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠𝑇𝑡𝑇))
506505anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 𝑡 → ((𝜑𝑠𝑇) ↔ (𝜑𝑡𝑇)))
507 fveq2 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 𝑡 → (𝐽𝑠) = (𝐽𝑡))
508507eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 𝑡 → (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ↔ 𝑙 ∈ (𝐽𝑡)))
509 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
510508, 509anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))) ↔ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))))
511506, 510anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = 𝑡 → (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ↔ ((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))))
512 fveq2 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑠) = ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
513512breq2d 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = 𝑡 → (((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑠) ↔ ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
514511, 513imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = 𝑡 → ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑠)) ↔ (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
515 stoweidlem34.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡𝐹
516 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑠𝑇
517102, 516nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗(𝜑𝑠𝑇)
518 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗𝑠
51991, 518nffv 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗(𝐽𝑠)
520519nfcri 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑙 ∈ (𝐽𝑠)
521 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗𝑙
52276, 521nffv 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗(𝐷𝑙)
523 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗(𝑙 − 1)
52476, 523nffv 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗(𝐷‘(𝑙 − 1))
525522, 524nfdif 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
526525nfcri 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
527520, 526nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗(𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
528517, 527nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
529 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑡 𝑠𝑇
5301, 529nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑡(𝜑𝑠𝑇)
531 nfmpt1 5204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑡(𝑡𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
5325, 531nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝐽
533 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑠
534532, 533nffv 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(𝐽𝑠)
535534nfcri 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑡 𝑙 ∈ (𝐽𝑠)
536 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑡𝑙
537162, 536nffv 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡(𝐷𝑙)
538 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑡(𝑙 − 1)
539162, 538nffv 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡(𝐷‘(𝑙 − 1))
540537, 539nfdif 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
541540nfcri 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑡 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
542535, 541nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑡(𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
543530, 542nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
544 stoweidlem34.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
54515ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
54667ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑇 ∈ V)
5473rabex 5280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)} ∈ V
548 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑡𝑗
549162, 548nffv 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑡(𝐷𝑗)
550549nfcri 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑡 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)
551 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑡(1...𝑁)
552550, 551nfrabw 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑡{𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)}
553 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)))
554553rabbidv 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 = 𝑠 → {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)})
555533, 552, 554, 5fvmptf 6956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠𝑇 ∧ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)} ∈ V) → (𝐽𝑠) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)})
556547, 555mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠𝑇 → (𝐽𝑠) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)})
557556eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠𝑇 → (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ↔ 𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)}))
558557biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠𝑇𝑙 ∈ (𝐽𝑠)) → 𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)})
559522nfcri 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗 𝑠 ∈ (𝐷𝑙)
560 fveq2 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑙 → (𝐷𝑗) = (𝐷𝑙))
561560eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑙 → (𝑠 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑠 ∈ (𝐷𝑙)))
562521, 74, 559, 561elrabf 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)} ↔ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷𝑙)))
563558, 562sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠𝑇𝑙 ∈ (𝐽𝑠)) → (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷𝑙)))
564563simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠𝑇𝑙 ∈ (𝐽𝑠)) → 𝑙 ∈ (1...𝑁))
565564ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑙 ∈ (1...𝑁))
566 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
56745ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
56836ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
569490ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐸 < (1 / 3))
570377ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
571 simp1ll 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 𝜑)
572 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡)
573382, 572nfim 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
574386breq2d 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → (0 ≤ ((𝑋𝑗)‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
575385, 574imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑗)‘𝑡)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))))
576 stoweidlem34.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑗)‘𝑡))
577573, 575, 576chvarfv 2233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
578571, 577syld3an1 1410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
579 simp1ll 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → 𝜑)
580 nfmpt1 5204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
581544, 580nfcxfr 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑗𝐵
582581, 219nffv 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗(𝐵𝑖)
583582nfcri 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)
584102, 367, 583nf3an 1904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖))
585 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡)
586584, 585nfim 1899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
587 fveq2 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑖))
588587eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑖 → (𝑡 ∈ (𝐵𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)))
589371, 5883anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑗)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖))))
590386breq2d 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑗)‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
591589, 590imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑗)‘𝑡)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))))
592 stoweidlem34.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑗)‘𝑡))
593586, 591, 592chvarfv 2233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
594579, 593syld3an1 1410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
595515, 528, 543, 57, 544, 545, 546, 565, 566, 567, 568, 569, 570, 578, 594stoweidlem26 43955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑠))
596514, 595vtoclg 3517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝑇 → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
597596ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
598597pm2.43i 52 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
599504, 598vtoclg 3517 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
600599ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
601600pm2.43i 52 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
602492, 601jca 513 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
603254, 363, 6023jca 1128 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
604603ex 414 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
605104, 604eximd 2209 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
606253, 605mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
607 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
608607exbii 1850 . . . . . 6 (∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
609606, 608sylib 217 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
610 df-rex 3072 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
611609, 610sylibr 233 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
612 nfcv 2905 . . . . 5 𝑗
61393, 612ssrexf 3999 . . . 4 ((𝐽𝑡) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
61414, 611, 613sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
615614ex 414 . 2 (𝜑 → (𝑡𝑇 → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
6161, 615ralrimi 3237 1 (𝜑 → ∀𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 845  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wex 1781  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2885  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3404  Vcvv 3442  cdif 3898  wss 3901  c0 4273   class class class wbr 5096  cmpt 5179  wf 6479  cfv 6483  (class class class)co 7341  cc 10974  cr 10975  0cc0 10976  1c1 10977   + caddc 10979   · cmul 10981  *cxr 11113   < clt 11114  cle 11115  cmin 11310  -cneg 11311   / cdiv 11737  cn 12078  3c3 12134  4c4 12135  0cn0 12338  cz 12424  cuz 12687  +crp 12835  ...cfz 13344  Σcsu 15496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-sup 9303  df-oi 9371  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-rp 12836  df-ico 13190  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-seq 13827  df-exp 13888  df-hash 14150  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497
This theorem is referenced by:  stoweidlem60  43989
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