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Theorem stoweidlem34 40731
Description: This lemma proves that for all 𝑡 in 𝑇 there is a 𝑗 as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the bottom of page 91 and at the top of page 92): (j-4/3) * ε < f(t) <= (j-1/3) * ε , g(t) < (j+1/3) * ε, and g(t) > (j-4/3) * ε. Here 𝐸 is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem34.1 𝑡𝐹
stoweidlem34.2 𝑗𝜑
stoweidlem34.3 𝑡𝜑
stoweidlem34.4 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
stoweidlem34.5 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
stoweidlem34.6 𝐽 = (𝑡𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
stoweidlem34.7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem34.8 (𝜑𝑇 ∈ V)
stoweidlem34.9 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem34.10 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐹𝑡))
stoweidlem34.11 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸))
stoweidlem34.12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem34.13 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem34.14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑗):𝑇⟶ℝ)
stoweidlem34.15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑗)‘𝑡))
stoweidlem34.16 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
stoweidlem34.17 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
stoweidlem34.18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑗)‘𝑡))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem34 (𝜑 → ∀𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑡,𝐸   𝐷,𝑖   𝑖,𝐽   𝑖,𝑁,𝑗,𝑡   𝑇,𝑖,𝑗,𝑡   𝜑,𝑖   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑗)   𝐵(𝑡,𝑖,𝑗)   𝐷(𝑡,𝑗)   𝐹(𝑡,𝑖)   𝐽(𝑡,𝑗)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem34
Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem34.3 . 2 𝑡𝜑
2 simpr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
3 ovex 6909 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) ∈ V
43rabex 5014 . . . . . . . 8 {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ∈ V
5 stoweidlem34.6 . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝑡𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
65fvmpt2 6515 . . . . . . . 8 ((𝑡𝑇 ∧ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ∈ V) → (𝐽𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
72, 4, 6sylancl 576 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
8 ssrab2 3891 . . . . . . 7 {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ⊆ (1...𝑁)
97, 8syl6eqss 3859 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) ⊆ (1...𝑁))
10 elfznn 12596 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
1110ssriv 3809 . . . . . 6 (1...𝑁) ⊆ ℕ
129, 11syl6ss 3817 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) ⊆ ℕ)
13 nnssre 11312 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
1412, 13syl6ss 3817 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) ⊆ ℝ)
15 stoweidlem34.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1615adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ)
17 nnuz 11944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘1)
1816, 17syl6eleq 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
19 eluzfz2 12575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
21 stoweidlem34.11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸))
22 3re 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 ∈ ℝ
23 3ne0 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 ≠ 0
2422, 23rereccli 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 3) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 3) ∈ ℝ)
26 1red 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
2716nnred 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℝ)
28 1lt3 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 < 3
2922, 28pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3)
30 recgt1i 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1))
3130simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (1 / 3) < 1)
3229, 31mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 3) < 1)
3325, 26, 27, 32ltsub2dd 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)))
3427, 26resubcld 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3527, 25resubcld 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
36 stoweidlem34.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3736rpred 12089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
3837adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
3936rpgt0d 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < 𝐸)
4039adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 < 𝐸)
41 ltmul1 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)) ↔ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
4234, 35, 38, 40, 41syl112anc 1486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)) ↔ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
4333, 42mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
4421, 43jca 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
45 stoweidlem34.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
4645ffvelrnda 6584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
4734, 38remulcld 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ)
4835, 38remulcld 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
49 lttr 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
50 ltle 10414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
51503adant2 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
5249, 51syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
5346, 47, 48, 52syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝑇) → (((𝐹𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
5444, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
55 rabid 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
562, 54, 55sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
57 nnnn0 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
58 nn0uz 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘0)
5957, 58syl6eleq 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
60 eluzfz2 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
6115, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
62 stoweidlem34.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ V)
63 rabexg 5013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
65 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑁 − (1 / 3)))
6665oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
6766breq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
6867rabbidv 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑁 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
69 stoweidlem34.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7068, 69fvmptg 6504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (0...𝑁) ∧ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V) → (𝐷𝑁) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7161, 64, 70syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝑁) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7271adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐷𝑁) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7356, 72eleqtrrd 2895 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑁))
74 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑁
75 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(1...𝑁)
76 nfmpt1 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7769, 76nfcxfr 2953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗𝐷
7877, 74nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝐷𝑁)
7978nfcri 2949 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑡 ∈ (𝐷𝑁)
80 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑁 → (𝐷𝑗) = (𝐷𝑁))
8180eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑁 → (𝑡 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷𝑁)))
8274, 75, 79, 81elrabf 3562 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ↔ (𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑁)))
8320, 73, 82sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
8483, 7eleqtrrd 2895 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ (𝐽𝑡))
85 ne0i 4129 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (𝐽𝑡) → (𝐽𝑡) ≠ ∅)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐽𝑡) ≠ ∅)
87 nnwo 11975 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽𝑡) ⊆ ℕ ∧ (𝐽𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑖 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑖𝑘)
88 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝐽𝑡)
89 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑇
90 nfrab1 3318 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗{𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)}
9189, 90nfmpt 4947 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(𝑡𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
925, 91nfcxfr 2953 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐽
93 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑡
9492, 93nffv 6421 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝐽𝑡)
95 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑖𝑘
9694, 95nfral 3140 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑖𝑘
97 nfv 2005 . . . . . . . . . . . 12 𝑖𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘
98 breq1 4854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑘𝑗𝑘))
9998ralbidv 3181 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑖𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘))
10088, 94, 96, 97, 99cbvrexf 3362 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑖 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑖𝑘 ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
10187, 100sylib 209 . . . . . . . . . 10 (((𝐽𝑡) ⊆ ℕ ∧ (𝐽𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
10212, 86, 101syl2anc 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
103 stoweidlem34.2 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝜑
104 nfv 2005 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑡𝑇
105103, 104nfan 1990 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝜑𝑡𝑇)
1067eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ↔ 𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)}))
107106biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
108 rabid 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)))
109107, 108sylib 209 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)))
110109simprd 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
111110adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
112 simp3 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
113 simp1l 1247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝜑)
114 noel 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ¬ 𝑡 ∈ ∅
115 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = (1 − 1))
116 1m1e0 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1 − 1) = 0
117115, 116syl6eq 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = 0)
118117fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 = 1 → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = (𝐷‘0))
11922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑡𝑇) → 3 ∈ ℝ)
12023a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑡𝑇) → 3 ≠ 0)
12126, 119, 120redivcld 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 3) ∈ ℝ)
122121renegcld 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑡𝑇) → -(1 / 3) ∈ ℝ)
123122, 38remulcld 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) ∈ ℝ)
124 0red 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ∈ ℝ)
125 3pos 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 0 < 3
12622, 125recgt0ii 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 < (1 / 3)
127 lt0neg2 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 / 3) ∈ ℝ → (0 < (1 / 3) ↔ -(1 / 3) < 0))
12824, 127ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 < (1 / 3) ↔ -(1 / 3) < 0)
129126, 128mpbi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 -(1 / 3) < 0
130 ltmul1 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((-(1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (-(1 / 3) < 0 ↔ (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸)))
131122, 124, 38, 40, 130syl112anc 1486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) < 0 ↔ (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸)))
132129, 131mpbii 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸))
133 mul02lem2 10501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐸 ∈ ℝ → (0 · 𝐸) = 0)
13438, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 · 𝐸) = 0)
135132, 134breqtrd 4877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < 0)
136 stoweidlem34.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐹𝑡))
137123, 124, 46, 135, 136ltletrd 10485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑡𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < (𝐹𝑡))
138123, 46ltnled 10472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑡𝑇) → ((-(1 / 3) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
139137, 138mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑡𝑇) → ¬ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸))
140 nan 850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 → ¬ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸))) ↔ ((𝜑𝑡𝑇) → ¬ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
141139, 140mpbir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ¬ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
142 rabid 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
143141, 142sylnibr 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
14415nnnn0d 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
145 elnn0uz 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
146144, 145sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
147 eluzfz1 12574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑁))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
149 rabexg 5013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V)
15062, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V)
151 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 = 0 → (𝑗 − (1 / 3)) = (0 − (1 / 3)))
152 df-neg 10557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 -(1 / 3) = (0 − (1 / 3))
153151, 152syl6eqr 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑗 = 0 → (𝑗 − (1 / 3)) = -(1 / 3))
154153oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑗 = 0 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = (-(1 / 3) · 𝐸))
155154breq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑗 = 0 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
156155rabbidv 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑗 = 0 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
157156, 69fvmptg 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V) → (𝐷‘0) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
158148, 150, 157syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝐷‘0) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
159143, 158neleqtrrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
1601, 159alrimi 2250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
161 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑡(0...𝑁)
162 nfrab1 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑡{𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}
163161, 162nfmpt 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
16469, 163nfcxfr 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑡𝐷
165 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑡0
166164, 165nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑡(𝐷‘0)
167166eq0f 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐷‘0) = ∅ ↔ ∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
168160, 167sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐷‘0) = ∅)
169118, 168sylan9eqr 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑗 = 1) → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = ∅)
170169eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 = 1) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ 𝑡 ∈ ∅))
171114, 170mtbiri 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 = 1) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
172171ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑗 = 1 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
173172con2d 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) → ¬ 𝑗 = 1))
174113, 112, 173sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑗 = 1)
175 simplll 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → 𝜑)
176106, 108syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))))
177176simprbda 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
17815, 17syl6eleq 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
179178adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
180 elfzp12 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
182181adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
183177, 182mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)))
184183orcanai 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
185 fzssp1 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...((𝑁 − 1) + 1))
18615nncnd 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
187 1cnd 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
188186, 187npcand 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
189188oveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
190185, 189syl5sseq 3857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
191190adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
192 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
193 1z 11676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 ∈ ℤ
194 zaddcl 11686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 + 1) ∈ ℤ)
195193, 193, 194mp2an 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1 + 1) ∈ ℤ
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
19715nnzd 11750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
198197adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
199 elfzelz 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
200199adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
201 1zzd 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
202 fzsubel 12603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((1 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
203196, 198, 200, 201, 202syl22anc 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
204192, 203mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
205 ax-1cn 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℂ
206205, 205pncan3oi 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 + 1) − 1) = 1
207206oveq1i 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (1...(𝑁 − 1))
208204, 207syl6eleq 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (1...(𝑁 − 1)))
209191, 208sseldd 3806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
210175, 184, 209syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
211210ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (¬ 𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁)))
2122113adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (¬ 𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁)))
213174, 212mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
214 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝐷𝑖) = (𝐷‘(𝑗 − 1)))
215214eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑡 ∈ (𝐷𝑖) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
216215elrab3 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁) → ((𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)} ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
217213, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ((𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)} ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
218112, 217mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)})
219 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖(1...𝑁)
220 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)
221 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗𝑖
22277, 221nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗(𝐷𝑖)
223222nfcri 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)
224 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → (𝐷𝑗) = (𝐷𝑖))
225224eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → (𝑡 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)))
22675, 219, 220, 223, 225cbvrab 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} = {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)}
227218, 226syl6eleqr 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
22873ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝐽𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
229227, 228eleqtrrd 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝐽𝑡))
230 elfzelz 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
231 zre 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
232177, 230, 2313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 𝑗 ∈ ℝ)
2332323adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
234 peano2rem 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
235233, 234jccir 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ))
236 ltm1 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) < 𝑗)
237236adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
238 ltnle 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑗 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑗 − 1) < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
239238ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → ((𝑗 − 1) < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
240237, 239mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1))
241235, 240syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1))
242 breq2 4855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑗𝑘𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
243242notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (¬ 𝑗𝑘 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
244243rspcev 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 − 1) ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)) → ∃𝑘 ∈ (𝐽𝑡) ¬ 𝑗𝑘)
245229, 241, 244syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ∃𝑘 ∈ (𝐽𝑡) ¬ 𝑗𝑘)
246 rexnal 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑘 ∈ (𝐽𝑡) ¬ 𝑗𝑘 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
247245, 246sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘)
2482473expia 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) → ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘))
249248con2d 131 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → (∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
250249imp 395 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
251111, 250eldifd 3787 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
252251exp31 408 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) → (∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))))
253105, 252reximdai 3206 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽𝑡)𝑗𝑘 → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
254102, 253mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
255 df-rex 3109 . . . . . . . 8 (∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
256254, 255sylib 209 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
257 simprl 778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ (𝐽𝑡))
258 eldifn 3939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
259 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑡𝑇)
260 simpll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝜑)
261177adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
262 simprr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
263 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑘 − (1 / 3)))
264263oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸))
265264breq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)))
266265rabbidv 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 𝑘 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
267266cbvmptv 4951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
26869, 267eqtri 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
269268a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)}))
270 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 − (1 / 3)) = ((𝑗 − 1) − (1 / 3)))
271270oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) = (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
272271breq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
273272rabbidv 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = (𝑗 − 1) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
274273adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
275 fzssp1 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
276188oveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
277275, 276syl5sseq 3857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
278277adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
279 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
280 1zzd 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
281197adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
282230adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
283 fzsubel 12603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
284280, 281, 282, 280, 283syl22anc 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
285279, 284mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
286116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 1) = 0)
287286oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
288285, 287eleqtrd 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
289278, 288sseldd 3806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑁))
29062adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ V)
291 rabexg 5013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
292290, 291syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
293269, 274, 289, 292fvmptd 6512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
294293eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}))
295294notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ ¬ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}))
296295biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
297260, 261, 262, 296syl21anc 857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
298 rabid 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
299232adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑗 ∈ ℝ)
300 recn 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ∈ ℂ)
301 1cnd 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
302 1re 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℝ
303302, 22, 233pm3.2i 1431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
304 redivcl 11032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (1 / 3) ∈ ℝ)
305 recn 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 / 3) ∈ ℝ → (1 / 3) ∈ ℂ)
306303, 304, 305mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1 / 3) ∈ ℂ
307306a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℝ → (1 / 3) ∈ ℂ)
308300, 301, 307subsub4d 10711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℝ → ((𝑗 − 1) − (1 / 3)) = (𝑗 − (1 + (1 / 3))))
309 3cn 11382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 ∈ ℂ
310309, 205, 309, 23divdiri 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
311 3p1e4 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (3 + 1) = 4
312311oveq1i 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((3 + 1) / 3) = (4 / 3)
313309, 23dividi 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (3 / 3) = 1
314313oveq1i 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
315310, 312, 3143eqtr3i 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
316315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℝ → (4 / 3) = (1 + (1 / 3)))
317316oveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − (4 / 3)) = (𝑗 − (1 + (1 / 3))))
318308, 317eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℝ → ((𝑗 − 1) − (1 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
319318oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
320299, 319syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
321320breq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ((𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
322321anbi2d 616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ((𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))))
323298, 322syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))))
324297, 323mtbid 315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
325 imnan 388 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡𝑇 → ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) ↔ ¬ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
326324, 325sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑡𝑇 → ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
327259, 326mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
328258, 327sylanr2 665 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
329232adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ ℝ)
330 4re 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℝ
331330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 4 ∈ ℝ)
33222a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 3 ∈ ℝ)
33323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 3 ≠ 0)
334331, 332, 333redivcld 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (4 / 3) ∈ ℝ)
335329, 334resubcld 10746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
33637ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ)
337 remulcl 10309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
338337rexrd 10377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ*)
339335, 336, 338syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ*)
34046rexrd 10377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ*)
341340adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ*)
342 xrltnle 10393 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ*) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
343339, 341, 342syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ↔ ¬ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
344328, 343mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡))
345 simpl 470 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝜑𝑡𝑇))
346 simprr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
347346eldifad 3788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
348 simplll 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝜑)
349177adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
350 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
351 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 − (1 / 3)) = (𝑗 − (1 / 3)))
352351oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
353352breq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
354353rabbidv 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑗 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
355354adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
356 fz1ssfz0 12662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
357356sseli 3801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
358357adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
359 rabexg 5013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
360290, 359syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
361269, 355, 358, 360fvmptd 6512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑗) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
362361eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}))
363362biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
364348, 349, 350, 363syl21anc 857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
365 rabid 3311 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
366364, 365sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
367366simprd 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
368345, 257, 347, 367syl21anc 857 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
369344, 368jca 503 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
37015ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
371 simplr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡𝑇)
372177adantrr 699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
373 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑖 ∈ (0...𝑁)
374103, 373nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁))
375 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ
376374, 375nfim 1987 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
377 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑖 ∈ (0...𝑁)))
378377anbi2d 616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁))))
379 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → (𝑋𝑗) = (𝑋𝑖))
380379feq1d 6244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑋𝑗):𝑇⟶ℝ ↔ (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ))
381378, 380imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑗):𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)))
382 stoweidlem34.14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑗):𝑇⟶ℝ)
383376, 381, 382chvar 2438 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
384383ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
385 simplll 782 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
386 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
387 simpllr 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑡𝑇)
388103, 373, 104nf3an 1993 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇)
389 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1
390388, 389nfim 1987 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
3913773anbi2d 1558 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇)))
392379fveq1d 6413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑋𝑗)‘𝑡) = ((𝑋𝑖)‘𝑡))
393392breq1d 4861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑋𝑗)‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
394391, 393imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
395 stoweidlem34.16 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
396390, 394, 395chvar 2438 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
397385, 386, 387, 396syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
398 simplll 782 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝜑)
399 0zd 11658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
400 elfzel2 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
401400adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
402 elfzelz 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
403402adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
404399, 401, 4033jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
405 0red 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
406 elfzel1 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
407406zred 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
408407adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
409402zred 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
410409adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
411 0red 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 0 ∈ ℝ)
412 1red 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 1 ∈ ℝ)
413 0le1 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ≤ 1
414413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 0 ≤ 1)
415 elfzle1 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑗)
416177, 415syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 1 ≤ 𝑗)
417411, 412, 232, 414, 416letrd 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) → 0 ≤ 𝑗)
418417adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ≤ 𝑗)
419 elfzle1 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗𝑖)
420419adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗𝑖)
421405, 408, 410, 418, 420letrd 10482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ≤ 𝑖)
422 elfzle2 12571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖𝑁)
423422adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖𝑁)
424421, 423jca 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ≤ 𝑖𝑖𝑁))
425 elfz2 12559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑖𝑖𝑁)))
426404, 424, 425sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
427426adantlrr 703 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
428 simpll 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝜑𝑡𝑇))
429 simplrl 786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝐽𝑡))
430 simplrr 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
431430eldifad 3788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
432 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁))
433 simpl1 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝜑𝑡𝑇))
434433simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡𝑇)
435433, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
436407adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
43724a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (1 / 3) ∈ ℝ)
438436, 437resubcld 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
439 simpl1l 1286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝜑)
440439, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
441438, 440remulcld 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
442409adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
44324a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (1 / 3) ∈ ℝ)
444442, 443resubcld 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
44537adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
446444, 445remulcld 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
447439, 446sylancom 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
448 simpl3 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑗))
449 simpl2 1237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝐽𝑡))
450433, 449, 177syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
451439, 450, 361syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐷𝑗) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
452448, 451eleqtrd 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
453452, 365sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
454453simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
455409adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
456419adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗𝑖)
457436, 455, 437, 456lesub1dd 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)))
458439, 444sylancom 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
45936rpregt0d 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
460439, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
461 lemul1 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
462438, 458, 460, 461syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
463457, 462mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
464435, 441, 447, 454, 463letrd 10482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
465 rabid 3311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡𝑇 ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
466434, 464, 465sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
467 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁))
468 0zd 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
4694003ad2ant3 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4704023ad2ant3 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
471468, 469, 4703jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
4724243impa 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ≤ 𝑖𝑖𝑁))
473471, 472, 425sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
474433, 449, 467, 473syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
475 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
476 rabexg 5013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 ∈ V → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
47762, 476syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
478477adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
479 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑖 − (1 / 3)))
480479oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
481480breq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
482481rabbidv 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 → {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
483482, 69fvmptg 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V) → (𝐷𝑖) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
484475, 478, 483syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷𝑖) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
485439, 474, 484syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐷𝑖) = {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
486466, 485eleqtrrd 2895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑖))
487428, 429, 431, 432, 486syl31anc 1485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷𝑖))
488103, 373, 223nf3an 1993 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖))
489 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)
490488, 489nfim 1987 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
491377, 2253anbi23d 1556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖))))
492392breq1d 4861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 → (((𝑋𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
493491, 492imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))))
494 stoweidlem34.17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)) → ((𝑋𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
495490, 493, 494chvar 2438 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷𝑖)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
496398, 427, 487, 495syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
49736ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
498 stoweidlem34.13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
499498ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 < (1 / 3))
500370, 371, 372, 384, 397, 496, 497, 499stoweidlem11 40708 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
501 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ↔ 𝑗 ∈ (𝐽𝑡)))
502 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑗 → (𝐷𝑙) = (𝐷𝑗))
503 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − 1) = (𝑗 − 1))
504503fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑗 → (𝐷‘(𝑙 − 1)) = (𝐷‘(𝑗 − 1)))
505502, 504difeq12d 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑗 → ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) = ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
506505eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑗 → (𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
507501, 506anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))) ↔ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))))
508507anbi2d 616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑗 → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ↔ ((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))))
509 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − (4 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
510509oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
511510breq1d 4861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑗 → (((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) ↔ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
512508, 511imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = 𝑗 → ((((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)) ↔ (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
513 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠𝑇𝑡𝑇))
514513anbi2d 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 𝑡 → ((𝜑𝑠𝑇) ↔ (𝜑𝑡𝑇)))
515 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 𝑡 → (𝐽𝑠) = (𝐽𝑡))
516515eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 𝑡 → (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ↔ 𝑙 ∈ (𝐽𝑡)))
517 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
518516, 517anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))) ↔ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))))
519514, 518anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = 𝑡 → (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ↔ ((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))))
520 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑠) = ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
521520breq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = 𝑡 → (((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑠) ↔ ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
522519, 521imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = 𝑡 → ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑠)) ↔ (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
523 stoweidlem34.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡𝐹
524 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑠𝑇
525103, 524nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗(𝜑𝑠𝑇)
526 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗𝑠
52792, 526nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗(𝐽𝑠)
528527nfcri 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑙 ∈ (𝐽𝑠)
529 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗𝑙
53077, 529nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗(𝐷𝑙)
531 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗(𝑙 − 1)
53277, 531nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗(𝐷‘(𝑙 − 1))
533530, 532nfdif 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
534533nfcri 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
535528, 534nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗(𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
536525, 535nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
537 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑡 𝑠𝑇
5381, 537nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑡(𝜑𝑠𝑇)
539 nfmpt1 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑡(𝑡𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)})
5405, 539nfcxfr 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝐽
541 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡𝑠
542540, 541nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡(𝐽𝑠)
543542nfcri 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑡 𝑙 ∈ (𝐽𝑠)
544 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑡𝑙
545164, 544nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡(𝐷𝑙)
546 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑡(𝑙 − 1)
547164, 546nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑡(𝐷‘(𝑙 − 1))
548545, 547nfdif 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑡((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
549548nfcri 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑡 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
550543, 549nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑡(𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
551538, 550nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
552 stoweidlem34.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
55315ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
55462ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑇 ∈ V)
5553rabex 5014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)} ∈ V
556 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑡𝑗
557164, 556nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑡(𝐷𝑗)
558557nfcri 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑡 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)
559 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑡(1...𝑁)
560558, 559nfrab 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑡{𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)}
561 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)))
562561rabbidv 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 = 𝑠 → {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷𝑗)} = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)})
563541, 560, 562, 5fvmptf 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠𝑇 ∧ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)} ∈ V) → (𝐽𝑠) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)})
564555, 563mpan2 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠𝑇 → (𝐽𝑠) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)})
565564eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠𝑇 → (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ↔ 𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)}))
566565biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠𝑇𝑙 ∈ (𝐽𝑠)) → 𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)})
567530nfcri 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗 𝑠 ∈ (𝐷𝑙)
568 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑙 → (𝐷𝑗) = (𝐷𝑙))
569568eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑙 → (𝑠 ∈ (𝐷𝑗) ↔ 𝑠 ∈ (𝐷𝑙)))
570529, 75, 567, 569elrabf 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷𝑗)} ↔ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷𝑙)))
571566, 570sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠𝑇𝑙 ∈ (𝐽𝑠)) → (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷𝑙)))
572571simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠𝑇𝑙 ∈ (𝐽𝑠)) → 𝑙 ∈ (1...𝑁))
573572ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑙 ∈ (1...𝑁))
574 simprr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
57545ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
57636ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
577498ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐸 < (1 / 3))
578383ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
579 simp1ll 1310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 𝜑)
580 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡)
581388, 580nfim 1987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
582392breq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → (0 ≤ ((𝑋𝑗)‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
583391, 582imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑗)‘𝑡)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))))
584 stoweidlem34.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑗)‘𝑡))
585581, 583, 584chvar 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
586579, 585syld3an1 1522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑋𝑖)‘𝑡))
587 simp1ll 1310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → 𝜑)
588 nfmpt1 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
589552, 588nfcxfr 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑗𝐵
590589, 221nffv 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑗(𝐵𝑖)
591590nfcri 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑗 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)
592103, 373, 591nf3an 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗(𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖))
593 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑗(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡)
594592, 593nfim 1987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑗((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
595 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑖))
596595eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑖 → (𝑡 ∈ (𝐵𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)))
597377, 5963anbi23d 1556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑗)) ↔ (𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖))))
598392breq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑗)‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
599597, 598imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑗)‘𝑡)) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))))
600 stoweidlem34.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑗)‘𝑡))
601594, 599, 600chvar 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
602587, 601syld3an1 1522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋𝑖)‘𝑡))
603523, 536, 551, 69, 552, 553, 554, 573, 574, 575, 576, 577, 578, 586, 602stoweidlem26 40723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑠))
604522, 603vtoclg 3466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝑇 → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
605604ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
606605pm2.43i 52 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
607512, 606vtoclg 3466 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
608607ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
609608pm2.43i 52 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
610500, 609jca 503 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
611257, 369, 6103jca 1151 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
612611ex 399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
613105, 612eximd 2253 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
614256, 613mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
615 3anass 1109 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ (𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
616615exbii 1933 . . . . . 6 (∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
617614, 616sylib 209 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
618 df-rex 3109 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
619617, 618sylibr 225 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
620 nfcv 2955 . . . . 5 𝑗
62194, 620ssrexf 3869 . . . 4 ((𝐽𝑡) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐽𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
62214, 619, 621sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
623622ex 399 . 2 (𝜑 → (𝑡𝑇 → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
6241, 623ralrimi 3152 1 (𝜑 → ∀𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3a 1100  wal 1635   = wceq 1637  wex 1859  wnf 1863  wcel 2157  wnfc 2942  wne 2985  wral 3103  wrex 3104  {crab 3107  Vcvv 3398  cdif 3773  wss 3776  c0 4123   class class class wbr 4851  cmpt 4930  wf 6100  cfv 6104  (class class class)co 6877  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  *cxr 10361   < clt 10362  cle 10363  cmin 10554  -cneg 10555   / cdiv 10972  cn 11308  3c3 11360  4c4 11361  0cn0 11562  cz 11646  cuz 11907  +crp 12049  ...cfz 12552  Σcsu 14642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-rp 12050  df-ico 12402  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-seq 13028  df-exp 13087  df-hash 13341  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-clim 14445  df-sum 14643
This theorem is referenced by:  stoweidlem60  40757
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