MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1nk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1nk 13883
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 and 𝐾 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bcp1nk (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bcp1nk
StepHypRef Expression
1 elfzel1 13111 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ∈ ℤ)
2 elfzel2 13110 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzelz 13112 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 1zzd 12208 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
5 fzaddel 13146 . . . . . 6 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 839 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
76ibi 270 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
8 1e0p1 12335 . . . . 5 1 = (0 + 1)
98oveq1i 7223 . . . 4 (1...(𝑁 + 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 + 1))
107, 9eleqtrrdi 2849 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
11 bcm1k 13881 . . 3 ((𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
1210, 11syl 17 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
133zcnd 12283 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
14 ax-1cn 10787 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
15 pncan 11084 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
1613, 14, 15sylancl 589 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
1716oveq2d 7229 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
18 bcp1n 13882 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
1917, 18eqtrd 2777 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
2016oveq2d 7229 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝐾))
2120oveq1d 7228 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))
2219, 21oveq12d 7231 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
23 bcrpcl 13874 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 12630 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
252peano2zd 12285 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2625zred 12282 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
273zred 12282 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
282zred 12282 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
29 elfzle2 13116 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
3028ltp1d 11762 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
3127, 28, 26, 29, 30lelttrd 10990 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 < (𝑁 + 1))
32 znnsub 12223 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
333, 25, 32syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
3431, 33mpbid 235 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
3526, 34nndivred 11884 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℝ)
3635recnd 10861 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℂ)
3734nnred 11845 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℝ)
38 elfznn0 13205 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
39 nn0p1nn 12129 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
4137, 40nndivred 11884 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
4241recnd 10861 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
4324, 36, 42mulassd 10856 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))))
4425zcnd 12283 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
4534nncnd 11846 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
4640nncnd 11846 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
4734nnne0d 11880 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
4840nnne0d 11880 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ≠ 0)
4944, 45, 46, 47, 48dmdcan2d 11638 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1)))
5049oveq2d 7229 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
5143, 50eqtrd 2777 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
5222, 51eqtrd 2777 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
5312, 52eqtrd 2777 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1543  wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  cc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867  cmin 11062   / cdiv 11489  cn 11830  0cn0 12090  cz 12176  ...cfz 13095  Ccbc 13868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-seq 13575  df-fac 13840  df-bc 13869
This theorem is referenced by:  sylow1lem1  18987
  Copyright terms: Public domain W3C validator