Theorem bcp1nk 14254

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 and 𝐾 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1nk	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bcp1nk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzel1 13453	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ∈ ℤ)
2		elfzel2 13452	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzelz 13454	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		1zzd 12536	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
5		fzaddel 13488	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
7	6	ibi 267	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
8		1e0p1 12663	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq1i 7380	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 + 1))
10	7, 9	eleqtrrdi 2848	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
11		bcm1k 14252	. . 3 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
13	3	zcnd 12611	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
14		ax-1cn 11098	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		pncan 11400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
16	13, 14, 15	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
17	16	oveq2d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
18		bcp1n 14253	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
19	17, 18	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
20	16	oveq2d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝐾))
21	20	oveq1d 7385	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))
22	19, 21	oveq12d 7388	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
23		bcrpcl 14245	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
24	23	rpcnd 12965	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
25	2	peano2zd 12613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
26	25	zred 12610	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
27	3	zred 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
28	2	zred 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
29		elfzle2 13458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
30	28	ltp1d 12086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
31	27, 28, 26, 29, 30	lelttrd 11305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 < (𝑁 + 1))
32		znnsub 12551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
33	3, 25, 32	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
34	31, 33	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
35	26, 34	nndivred 12213	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11174	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℂ)
37	34	nnred 12174	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℝ)
38		elfznn0 13550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
39		nn0p1nn 12454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
41	37, 40	nndivred 12213	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11174	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
43	24, 36, 42	mulassd 11169	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))))
44	25	zcnd 12611	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
45	34	nncnd 12175	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
46	40	nncnd 12175	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
47	34	nnne0d 12209	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
48	40	nnne0d 12209	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ≠ 0)
49	44, 45, 46, 47, 48	dmdcan2d 11961	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1)))
50	49	oveq2d 7386	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
51	43, 50	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
52	22, 51	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
53	12, 52	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045   < clt 11180   − cmin 11378   / cdiv 11808  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ...cfz 13437  Ccbc 14239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-fz 13438  df-seq 13939  df-fac 14211  df-bc 14240

This theorem is referenced by:  sylow1lem1  19544