Theorem bcp1nk 14485

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 and 𝐾 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1nk	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bcp1nk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzel1 13679	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ∈ ℤ)
2		elfzel2 13678	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzelz 13680	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		1zzd 12751	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
5		fzaddel 13716	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
7	6	ibi 270	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
8		1e0p1 12885	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq1i 7450	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 + 1))
10	7, 9	eleqtrrdi 2875	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
11		bcm1k 14483	. . 3 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
13	3	zcnd 12828	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
14		ax-1cn 11282	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		pncan 11587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
16	13, 14, 15	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
17	16	oveq2d 7456	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
18		bcp1n 14484	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
19	17, 18	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
20	16	oveq2d 7456	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝐾))
21	20	oveq1d 7455	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))
22	19, 21	oveq12d 7458	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
23		bcrpcl 14476	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
24	23	rpcnd 13190	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
25	2	peano2zd 12830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
26	25	zred 12827	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
27	3	zred 12827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
28	2	zred 12827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
29		elfzle2 13685	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
30	28	ltp1d 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
31	27, 28, 26, 29, 30	lelttrd 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 < (𝑁 + 1))
32		znnsub 12766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
33	3, 25, 32	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
34	31, 33	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
35	26, 34	nndivred 12416	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11361	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℂ)
37	34	nnred 12374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℝ)
38		elfznn0 13778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
39		nn0p1nn 12669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
41	37, 40	nndivred 12416	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11361	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
43	24, 36, 42	mulassd 11356	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))))
44	25	zcnd 12828	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
45	34	nncnd 12375	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
46	40	nncnd 12375	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
47	34	nnne0d 12412	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
48	40	nnne0d 12412	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ≠ 0)
49	44, 45, 46, 47, 48	dmdcan2d 12147	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1)))
50	49	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
51	43, 50	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
52	22, 51	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
53	12, 52	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229   < clt 11367   − cmin 11565   / cdiv 11997  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ...cfz 13663  Ccbc 14470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-seq 14169  df-fac 14442  df-bc 14471

This theorem is used by:  sylow1lem1  19839