Theorem bcp1nk 14031

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 and 𝐾 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1nk	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bcp1nk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzel1 13255	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ∈ ℤ)
2		elfzel2 13254	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzelz 13256	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		1zzd 12351	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
5		fzaddel 13290	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
7	6	ibi 266	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
8		1e0p1 12479	. . . . 5 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq1i 7285	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 + 1))
10	7, 9	eleqtrrdi 2850	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
11		bcm1k 14029	. . 3 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
13	3	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
14		ax-1cn 10929	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		pncan 11227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
16	13, 14, 15	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
17	16	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
18		bcp1n 14030	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
19	17, 18	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
20	16	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝐾))
21	20	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))
22	19, 21	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
23		bcrpcl 14022	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
24	23	rpcnd 12774	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
25	2	peano2zd 12429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
26	25	zred 12426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
27	3	zred 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
28	2	zred 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
29		elfzle2 13260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
30	28	ltp1d 11905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
31	27, 28, 26, 29, 30	lelttrd 11133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 < (𝑁 + 1))
32		znnsub 12366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
33	3, 25, 32	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
34	31, 33	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
35	26, 34	nndivred 12027	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11003	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℂ)
37	34	nnred 11988	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℝ)
38		elfznn0 13349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
39		nn0p1nn 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
41	37, 40	nndivred 12027	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11003	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
43	24, 36, 42	mulassd 10998	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))))
44	25	zcnd 12427	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
45	34	nncnd 11989	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
46	40	nncnd 11989	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
47	34	nnne0d 12023	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
48	40	nnne0d 12023	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ≠ 0)
49	44, 45, 46, 47, 48	dmdcan2d 11781	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1)))
50	49	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
51	43, 50	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
52	22, 51	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
53	12, 52	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  Ccbc 14016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-fac 13988  df-bc 14017

This theorem is referenced by:  sylow1lem1  19203