MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1nk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1nk 14312
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 and 𝐾 increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bcp1nk (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bcp1nk
StepHypRef Expression
1 elfzel1 13535 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ∈ ℤ)
2 elfzel2 13534 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzelz 13536 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 1zzd 12626 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
5 fzaddel 13570 . . . . . 6 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 837 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
76ibi 266 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
8 1e0p1 12752 . . . . 5 1 = (0 + 1)
98oveq1i 7429 . . . 4 (1...(𝑁 + 1)) = ((0 + 1)...(𝑁 + 1))
107, 9eleqtrrdi 2836 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)))
11 bcm1k 14310 . . 3 ((𝐾 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
1210, 11syl 17 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))))
133zcnd 12700 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
14 ax-1cn 11198 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
15 pncan 11498 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
1613, 14, 15sylancl 584 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
1716oveq2d 7435 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
18 bcp1n 14311 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
1917, 18eqtrd 2765 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
2016oveq2d 7435 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝐾))
2120oveq1d 7434 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1)) = (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))
2219, 21oveq12d 7437 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))))
23 bcrpcl 14303 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
2423rpcnd 13053 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
252peano2zd 12702 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2625zred 12699 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
273zred 12699 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
282zred 12699 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
29 elfzle2 13540 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
3028ltp1d 12177 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
3127, 28, 26, 29, 30lelttrd 11404 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 < (𝑁 + 1))
32 znnsub 12641 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
333, 25, 32syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 < (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ))
3431, 33mpbid 231 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
3526, 34nndivred 12299 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℝ)
3635recnd 11274 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℂ)
3734nnred 12260 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℝ)
38 elfznn0 13629 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
39 nn0p1nn 12544 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
4137, 40nndivred 12299 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
4241recnd 11274 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)) ∈ ℂ)
4324, 36, 42mulassd 11269 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))))
4425zcnd 12700 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
4534nncnd 12261 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
4640nncnd 12261 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
4734nnne0d 12295 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
4840nnne0d 12295 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 + 1) ≠ 0)
4944, 45, 46, 47, 48dmdcan2d 12053 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1)))
5049oveq2d 7435 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · (((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1)))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
5143, 50eqtrd 2765 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
5222, 51eqtrd 2765 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (((𝑁 + 1)C((𝐾 + 1) − 1)) · (((𝑁 + 1) − ((𝐾 + 1) − 1)) / (𝐾 + 1))) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
5312, 52eqtrd 2765 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C(𝐾 + 1)) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / (𝐾 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  0cn0 12505  cz 12591  ...cfz 13519  Ccbc 14297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-seq 14003  df-fac 14269  df-bc 14298
This theorem is referenced by:  sylow1lem1  19565
  Copyright terms: Public domain W3C validator