MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcp1nk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcp1nk 14316
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with ๐‘ and ๐พ increased by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bcp1nk (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐พ + 1)) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / (๐พ + 1))))

Proof of Theorem bcp1nk
StepHypRef Expression
1 elfzel1 13540 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
2 elfzel2 13539 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3 elfzelz 13541 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
4 1zzd 12631 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
5 fzaddel 13575 . . . . . 6 (((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†” (๐พ + 1) โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 837 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†” (๐พ + 1) โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))))
76ibi 266 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))
8 1e0p1 12757 . . . . 5 1 = (0 + 1)
98oveq1i 7436 . . . 4 (1...(๐‘ + 1)) = ((0 + 1)...(๐‘ + 1))
107, 9eleqtrrdi 2840 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)))
11 bcm1k 14314 . . 3 ((๐พ + 1) โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐พ + 1)) = (((๐‘ + 1)C((๐พ + 1) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1)) / (๐พ + 1))))
1210, 11syl 17 . 2 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐พ + 1)) = (((๐‘ + 1)C((๐พ + 1) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1)) / (๐พ + 1))))
133zcnd 12705 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
14 ax-1cn 11204 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
15 pncan 11504 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1) = ๐พ)
1613, 14, 15sylancl 584 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1) = ๐พ)
1716oveq2d 7442 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C((๐พ + 1) โˆ’ 1)) = ((๐‘ + 1)C๐พ))
18 bcp1n 14315 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C๐พ) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
1917, 18eqtrd 2768 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C((๐พ + 1) โˆ’ 1)) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))))
2016oveq2d 7442 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1)) = ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))
2120oveq1d 7441 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1)) / (๐พ + 1)) = (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1)))
2219, 21oveq12d 7444 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((๐‘ + 1)C((๐พ + 1) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1)) / (๐พ + 1))) = (((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1))))
23 bcrpcl 14307 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) โˆˆ โ„+)
2423rpcnd 13058 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) โˆˆ โ„‚)
252peano2zd 12707 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
2625zred 12704 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
273zred 12704 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
282zred 12704 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
29 elfzle2 13545 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โ‰ค ๐‘)
3028ltp1d 12182 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
3127, 28, 26, 29, 30lelttrd 11410 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ < (๐‘ + 1))
32 znnsub 12646 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ < (๐‘ + 1) โ†” ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•))
333, 25, 32syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐พ < (๐‘ + 1) โ†” ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•))
3431, 33mpbid 231 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•)
3526, 34nndivred 12304 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„)
3635recnd 11280 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
3734nnred 12265 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
38 elfznn0 13634 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
39 nn0p1nn 12549 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•)
4137, 40nndivred 12304 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1)) โˆˆ โ„)
4241recnd 11280 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1)) โˆˆ โ„‚)
4324, 36, 42mulassd 11275 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1))) = ((๐‘C๐พ) ยท (((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1)))))
4425zcnd 12705 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
4534nncnd 12266 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
4640nncnd 12266 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„‚)
4734nnne0d 12300 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) โ‰  0)
4840nnne0d 12300 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐พ + 1) โ‰  0)
4944, 45, 46, 47, 48dmdcan2d 12058 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1))) = ((๐‘ + 1) / (๐พ + 1)))
5049oveq2d 7442 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘C๐พ) ยท (((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1)))) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / (๐พ + 1))))
5143, 50eqtrd 2768 . . 3 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ))) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ๐พ) / (๐พ + 1))) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / (๐พ + 1))))
5222, 51eqtrd 2768 . 2 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((๐‘ + 1)C((๐พ + 1) โˆ’ 1)) ยท (((๐‘ + 1) โˆ’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1)) / (๐พ + 1))) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / (๐พ + 1))))
5312, 52eqtrd 2768 1 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐‘ + 1)C(๐พ + 1)) = ((๐‘C๐พ) ยท ((๐‘ + 1) / (๐พ + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  ...cfz 13524  Ccbc 14301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-fac 14273  df-bc 14302
This theorem is referenced by:  sylow1lem1  19560
  Copyright terms: Public domain W3C validator