Theorem fzrev3 13490

Description: The "complement" of a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrev3	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Proof of Theorem fzrev3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzel1 13423	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		elfzel2 13422	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	1, 3, 5	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
8		elfzel1 13423	. . . 4 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		elfzel2 13422	. . . 4 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	7, 9, 11	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
13		zcn 12473	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		zcn 12473	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		pncan 11366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
16		pncan2 11367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
17	15, 16	oveq12d 7364	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) = (𝑀...𝑁))
18	13, 14, 17	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) = (𝑀...𝑁))
19	18	eleq2d 2817	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
20	19	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) ↔ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
21		3simpc 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22		zaddcl 12512	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
23	22	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
24		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
25		fzrev 13487	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) ↔ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
26	21, 23, 24, 25	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)...((𝑀 + 𝑁) − 𝑀)) ↔ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
27	20, 26	bitr3d 281	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))
28	6, 12, 27	pm5.21nd 801	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (𝑀...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   + caddc 11009   − cmin 11344  ℤcz 12468  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  fzrev3i  13491