Theorem fzmaxdif 44254

Description: Bound on the difference between two integers constrained to two possibly overlapping finite ranges. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzmaxdif	⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (𝐹 − 𝐵))

Proof of Theorem fzmaxdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹))
2	1	elfzelzd 13697	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℤ)
3	2	zred 12843	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
4		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐹 ∈ ℤ)
5	4	zred 12843	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐹 ∈ ℝ)
6		simp1r 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶))
7		elfzel1 13695	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
9	8	zred 12843	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	5, 9	resubcld 11783	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐹 − 𝐵) ∈ ℝ)
11	3, 10	resubcld 11783	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ∈ ℝ)
12	6	elfzelzd 13697	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
13	12	zred 12843	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		elfzle2 13701	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐸...𝐹) → 𝐷 ≤ 𝐹)
15	1, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ≤ 𝐹)
16	3, 5, 10, 15	lesub1dd 11972	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ (𝐹 − (𝐹 − 𝐵)))
17	5	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐹 ∈ ℂ)
18	9	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	17, 18	nncand 11713	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐹 − (𝐹 − 𝐵)) = 𝐵)
20	16, 19	breqtrd 5137	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ 𝐵)
21		elfzle1 13700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐴)
22	6, 21	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
23	11, 9, 13, 20, 22	letrd 11506	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ 𝐴)
24		simp1l 1216	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
25	24	zred 12843	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
26	3, 10	readdcld 11377	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)) ∈ ℝ)
27		elfzle2 13701	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
28	6, 27	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
29	25, 3	resubcld 11783	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℝ)
30		elfzel1 13695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐸...𝐹) → 𝐸 ∈ ℤ)
31	1, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐸 ∈ ℤ)
32	31	zred 12843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐸 ∈ ℝ)
33	25, 32	resubcld 11783	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℝ)
34		elfzle1 13700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐸...𝐹) → 𝐸 ≤ 𝐷)
35	1, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐸 ≤ 𝐷)
36	32, 3, 25, 35	lesub2dd 11973	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐶 − 𝐸))
37		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵))
38	29, 33, 10, 36, 37	letrd 11506	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐹 − 𝐵))
39	25, 3, 10	lesubaddd 11953	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐹 − 𝐵) ↔ 𝐶 ≤ ((𝐹 − 𝐵) + 𝐷)))
40	38, 39	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ≤ ((𝐹 − 𝐵) + 𝐷))
41	10	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐹 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	3	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
43	41, 42	addcomd 11551	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → ((𝐹 − 𝐵) + 𝐷) = (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))
44	40, 43	breqtrd 5137	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ≤ (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))
45	13, 25, 26, 28, 44	letrd 11506	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))
46	13, 3, 10	absdifled 15648	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (𝐹 − 𝐵) ↔ ((𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))))
47	23, 45, 46	mpbir2and 726	1 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (𝐹 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   + caddc 11242   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℤcz 12733  ...cfz 13679  abscabs 15444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446

This theorem is used by:  acongeq  44256