Theorem fzmaxdif 42969

Description: Bound on the difference between two integers constrained to two possibly overlapping finite ranges. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzmaxdif	⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (𝐹 − 𝐵))

Proof of Theorem fzmaxdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2r 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹))
2	1	elfzelzd 13561	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℤ)
3	2	zred 12719	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
4		simp2l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐹 ∈ ℤ)
5	4	zred 12719	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐹 ∈ ℝ)
6		simp1r 1197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶))
7		elfzel1 13559	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
9	8	zred 12719	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	5, 9	resubcld 11688	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐹 − 𝐵) ∈ ℝ)
11	3, 10	resubcld 11688	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ∈ ℝ)
12	6	elfzelzd 13561	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
13	12	zred 12719	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		elfzle2 13564	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐸...𝐹) → 𝐷 ≤ 𝐹)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ≤ 𝐹)
16	3, 5, 10, 15	lesub1dd 11876	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ (𝐹 − (𝐹 − 𝐵)))
17	5	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐹 ∈ ℂ)
18	9	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	17, 18	nncand 11622	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐹 − (𝐹 − 𝐵)) = 𝐵)
20	16, 19	breqtrd 5173	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ 𝐵)
21		elfzle1 13563	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐴)
22	6, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
23	11, 9, 13, 20, 22	letrd 11415	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ 𝐴)
24		simp1l 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
25	24	zred 12719	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
26	3, 10	readdcld 11287	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)) ∈ ℝ)
27		elfzle2 13564	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
28	6, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
29	25, 3	resubcld 11688	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℝ)
30		elfzel1 13559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐸...𝐹) → 𝐸 ∈ ℤ)
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐸 ∈ ℤ)
32	31	zred 12719	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐸 ∈ ℝ)
33	25, 32	resubcld 11688	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℝ)
34		elfzle1 13563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐸...𝐹) → 𝐸 ≤ 𝐷)
35	1, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐸 ≤ 𝐷)
36	32, 3, 25, 35	lesub2dd 11877	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐶 − 𝐸))
37		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵))
38	29, 33, 10, 36, 37	letrd 11415	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐹 − 𝐵))
39	25, 3, 10	lesubaddd 11857	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐹 − 𝐵) ↔ 𝐶 ≤ ((𝐹 − 𝐵) + 𝐷)))
40	38, 39	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ≤ ((𝐹 − 𝐵) + 𝐷))
41	10	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐹 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	3	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
43	41, 42	addcomd 11460	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → ((𝐹 − 𝐵) + 𝐷) = (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))
44	40, 43	breqtrd 5173	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ≤ (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))
45	13, 25, 26, 28, 44	letrd 11415	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))
46	13, 3, 10	absdifled 15469	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (𝐹 − 𝐵) ↔ ((𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))))
47	23, 45, 46	mpbir2and 713	1 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (𝐹 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   + caddc 11155   ≤ cle 11293   − cmin 11489  ℤcz 12610  ...cfz 13543  abscabs 15269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271

This theorem is referenced by:  acongeq  42971