Theorem fzmaxdif 42402

Description: Bound on the difference between two integers constrained to two possibly overlapping finite ranges. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzmaxdif	⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (𝐹 − 𝐵))

Proof of Theorem fzmaxdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2r 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹))
2	1	elfzelzd 13535	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℤ)
3	2	zred 12697	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
4		simp2l 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐹 ∈ ℤ)
5	4	zred 12697	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐹 ∈ ℝ)
6		simp1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶))
7		elfzel1 13533	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
9	8	zred 12697	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	5, 9	resubcld 11673	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐹 − 𝐵) ∈ ℝ)
11	3, 10	resubcld 11673	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ∈ ℝ)
12	6	elfzelzd 13535	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
13	12	zred 12697	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		elfzle2 13538	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐸...𝐹) → 𝐷 ≤ 𝐹)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ≤ 𝐹)
16	3, 5, 10, 15	lesub1dd 11861	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ (𝐹 − (𝐹 − 𝐵)))
17	5	recnd 11273	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐹 ∈ ℂ)
18	9	recnd 11273	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	17, 18	nncand 11607	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐹 − (𝐹 − 𝐵)) = 𝐵)
20	16, 19	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ 𝐵)
21		elfzle1 13537	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐴)
22	6, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
23	11, 9, 13, 20, 22	letrd 11402	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ 𝐴)
24		simp1l 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
25	24	zred 12697	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
26	3, 10	readdcld 11274	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)) ∈ ℝ)
27		elfzle2 13538	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
28	6, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
29	25, 3	resubcld 11673	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℝ)
30		elfzel1 13533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐸...𝐹) → 𝐸 ∈ ℤ)
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐸 ∈ ℤ)
32	31	zred 12697	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐸 ∈ ℝ)
33	25, 32	resubcld 11673	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℝ)
34		elfzle1 13537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐸...𝐹) → 𝐸 ≤ 𝐷)
35	1, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐸 ≤ 𝐷)
36	32, 3, 25, 35	lesub2dd 11862	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐶 − 𝐸))
37		simp3 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵))
38	29, 33, 10, 36, 37	letrd 11402	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐹 − 𝐵))
39	25, 3, 10	lesubaddd 11842	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐹 − 𝐵) ↔ 𝐶 ≤ ((𝐹 − 𝐵) + 𝐷)))
40	38, 39	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ≤ ((𝐹 − 𝐵) + 𝐷))
41	10	recnd 11273	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐹 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	3	recnd 11273	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
43	41, 42	addcomd 11447	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → ((𝐹 − 𝐵) + 𝐷) = (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))
44	40, 43	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ≤ (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))
45	13, 25, 26, 28, 44	letrd 11402	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))
46	13, 3, 10	absdifled 15414	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (𝐹 − 𝐵) ↔ ((𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))))
47	23, 45, 46	mpbir2and 712	1 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (𝐹 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   + caddc 11142   ≤ cle 11280   − cmin 11475  ℤcz 12589  ...cfz 13517  abscabs 15214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216

This theorem is referenced by:  acongeq  42404