Theorem fzmaxdif 42022

Description: Bound on the difference between two integers constrained to two possibly overlapping finite ranges. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fzmaxdif	⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (𝐹 − 𝐵))

Proof of Theorem fzmaxdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2r 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹))
2	1	elfzelzd 13506	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℤ)
3	2	zred 12670	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
4		simp2l 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐹 ∈ ℤ)
5	4	zred 12670	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐹 ∈ ℝ)
6		simp1r 1198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶))
7		elfzel1 13504	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
9	8	zred 12670	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	5, 9	resubcld 11646	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐹 − 𝐵) ∈ ℝ)
11	3, 10	resubcld 11646	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ∈ ℝ)
12	6	elfzelzd 13506	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
13	12	zred 12670	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		elfzle2 13509	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐸...𝐹) → 𝐷 ≤ 𝐹)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ≤ 𝐹)
16	3, 5, 10, 15	lesub1dd 11834	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ (𝐹 − (𝐹 − 𝐵)))
17	5	recnd 11246	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐹 ∈ ℂ)
18	9	recnd 11246	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	17, 18	nncand 11580	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐹 − (𝐹 − 𝐵)) = 𝐵)
20	16, 19	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ 𝐵)
21		elfzle1 13508	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐴)
22	6, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
23	11, 9, 13, 20, 22	letrd 11375	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ 𝐴)
24		simp1l 1197	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
25	24	zred 12670	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
26	3, 10	readdcld 11247	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)) ∈ ℝ)
27		elfzle2 13509	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵...𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
28	6, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
29	25, 3	resubcld 11646	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℝ)
30		elfzel1 13504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐸...𝐹) → 𝐸 ∈ ℤ)
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐸 ∈ ℤ)
32	31	zred 12670	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐸 ∈ ℝ)
33	25, 32	resubcld 11646	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐸) ∈ ℝ)
34		elfzle1 13508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐸...𝐹) → 𝐸 ≤ 𝐷)
35	1, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐸 ≤ 𝐷)
36	32, 3, 25, 35	lesub2dd 11835	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐶 − 𝐸))
37		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵))
38	29, 33, 10, 36, 37	letrd 11375	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐹 − 𝐵))
39	25, 3, 10	lesubaddd 11815	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐹 − 𝐵) ↔ 𝐶 ≤ ((𝐹 − 𝐵) + 𝐷)))
40	38, 39	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ≤ ((𝐹 − 𝐵) + 𝐷))
41	10	recnd 11246	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (𝐹 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	3	recnd 11246	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
43	41, 42	addcomd 11420	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → ((𝐹 − 𝐵) + 𝐷) = (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))
44	40, 43	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐶 ≤ (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))
45	13, 25, 26, 28, 44	letrd 11375	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))
46	13, 3, 10	absdifled 15385	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (𝐹 − 𝐵) ↔ ((𝐷 − (𝐹 − 𝐵)) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (𝐷 + (𝐹 − 𝐵)))))
47	23, 45, 46	mpbir2and 711	1 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐵...𝐶)) ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ (𝐸...𝐹)) ∧ (𝐶 − 𝐸) ≤ (𝐹 − 𝐵)) → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (𝐹 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   + caddc 11115   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℤcz 12562  ...cfz 13488  abscabs 15185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187

This theorem is referenced by:  acongeq  42024