Theorem elfzel2 13562

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13561	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12888	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13575  fzdisj  13591  fzssp1  13607  fzp1disj  13623  fzrev2i  13629  fzrev3  13630  elfz1b  13633  fznuz  13649  fznn0sub2  13675  elfzmlbm  13678  difelfznle  13682  nn0disj  13684  fz1fzo0m1  13750  fzofzp1b  13804  bcm1k  14354  bcp1nk  14356  pfxccatin12lem2  14769  spllen  14792  fsum0diag2  15819  fallfacval3  16048  fallfacval4  16079  psgnunilem2  19513  pntpbnd1  27630  crctcshwlkn0  29841  fzm1ne1  32790  swrdrevpfx  35122  swrdwlk  35132  elfzfzo  45288  sumnnodd  45645  dvnmul  45958  dvnprodlem1  45961  dvnprodlem2  45962  stoweidlem34  46049  fourierdlem11  46133  fourierdlem12  46134  fourierdlem15  46137  fourierdlem41  46163  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem54  46175  fourierdlem79  46200  fourierdlem102  46223  fourierdlem114  46235  etransclem23  46272  etransclem35  46284  iundjiun  46475  2elfz2melfz  47330  elfzelfzlble  47333  iccpartiltu  47409  iccpartgt  47414