Theorem elfzel2 13483

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13482	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12803	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13496  fzdisj  13512  fzssp1  13528  fzp1disj  13544  fzrev2i  13550  fzrev3  13551  elfz1b  13554  fznuz  13570  fznn0sub2  13596  elfzmlbm  13599  difelfznle  13603  nn0disj  13605  fz1fzo0m1  13671  fzofzp1b  13726  bcm1k  14280  bcp1nk  14282  pfxccatin12lem2  14696  spllen  14719  fsum0diag2  15749  fallfacval3  15978  fallfacval4  16009  psgnunilem2  19425  pntpbnd1  27497  crctcshwlkn0  29751  fzm1ne1  32711  swrdrevpfx  35104  swrdwlk  35114  elfzfzo  45275  sumnnodd  45628  dvnmul  45941  dvnprodlem1  45944  dvnprodlem2  45945  stoweidlem34  46032  fourierdlem11  46116  fourierdlem12  46117  fourierdlem15  46120  fourierdlem41  46146  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem54  46158  fourierdlem79  46183  fourierdlem102  46206  fourierdlem114  46218  etransclem23  46255  etransclem35  46267  iundjiun  46458  2elfz2melfz  47316  elfzelfzlble  47319  iccpartiltu  47420  iccpartgt  47425