Theorem elfzel2 12989

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 12988	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12327	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  ℤcz 12055  ℤ_≥cuz 12317  ...cfz 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-fv 6341  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-neg 10944  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13002  fzdisj  13018  fzssp1  13034  fzp1disj  13050  fzrev2i  13056  fzrev3  13057  elfz1b  13060  fznuz  13073  fznn0sub2  13098  elfzmlbm  13101  difelfznle  13105  nn0disj  13107  fz1fzo0m1  13169  fzofzp1b  13219  bcm1k  13760  bcp1nk  13762  pfxccatin12lem2  14175  spllen  14198  fsum0diag2  15224  fallfacval3  15451  fallfacval4  15482  psgnunilem2  18734  pntpbnd1  26314  crctcshwlkn0  27751  fzm1ne1  30677  swrdrevpfx  32641  swrdwlk  32651  elfzfzo  42336  sumnnodd  42697  dvnmul  43010  dvnprodlem1  43013  dvnprodlem2  43014  stoweidlem34  43101  fourierdlem11  43185  fourierdlem12  43186  fourierdlem15  43189  fourierdlem41  43215  fourierdlem48  43221  fourierdlem49  43222  fourierdlem54  43227  fourierdlem79  43252  fourierdlem102  43275  fourierdlem114  43287  etransclem23  43324  etransclem35  43336  iundjiun  43524  2elfz2melfz  44328  elfzelfzlble  44331  iccpartiltu  44392  iccpartgt  44397