Theorem elfzel2 13476

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13475	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12798	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13489  fzdisj  13505  fzssp1  13521  fzp1disj  13537  fzrev2i  13543  fzrev3  13544  elfz1b  13547  fznuz  13563  fznn0sub2  13589  elfzmlbm  13592  difelfznle  13596  nn0disj  13598  fz1fzo0m1  13665  fzofzp1b  13720  bcm1k  14277  bcp1nk  14279  pfxccatin12lem2  14693  spllen  14716  fsum0diag2  15745  fallfacval3  15977  fallfacval4  16008  psgnunilem2  19470  pntpbnd1  27549  crctcshwlkn0  29889  fzm1ne1  32861  swrdrevpfx  35299  swrdwlk  35309  elfzfzo  45710  sumnnodd  46060  dvnmul  46371  dvnprodlem1  46374  dvnprodlem2  46375  stoweidlem34  46462  fourierdlem11  46546  fourierdlem12  46547  fourierdlem15  46550  fourierdlem41  46576  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem54  46588  fourierdlem79  46613  fourierdlem102  46636  fourierdlem114  46648  etransclem23  46685  etransclem35  46697  iundjiun  46888  2elfz2melfz  47766  elfzelfzlble  47769  iccpartiltu  47882  iccpartgt  47887