Theorem elfzel2 13459

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13458	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12779	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13472  fzdisj  13488  fzssp1  13504  fzp1disj  13520  fzrev2i  13526  fzrev3  13527  elfz1b  13530  fznuz  13546  fznn0sub2  13572  elfzmlbm  13575  difelfznle  13579  nn0disj  13581  fz1fzo0m1  13647  fzofzp1b  13702  bcm1k  14256  bcp1nk  14258  pfxccatin12lem2  14672  spllen  14695  fsum0diag2  15725  fallfacval3  15954  fallfacval4  15985  psgnunilem2  19401  pntpbnd1  27473  crctcshwlkn0  29724  fzm1ne1  32684  swrdrevpfx  35077  swrdwlk  35087  elfzfzo  45248  sumnnodd  45601  dvnmul  45914  dvnprodlem1  45917  dvnprodlem2  45918  stoweidlem34  46005  fourierdlem11  46089  fourierdlem12  46090  fourierdlem15  46093  fourierdlem41  46119  fourierdlem48  46125  fourierdlem49  46126  fourierdlem54  46131  fourierdlem79  46156  fourierdlem102  46179  fourierdlem114  46191  etransclem23  46228  etransclem35  46240  iundjiun  46431  2elfz2melfz  47292  elfzelfzlble  47295  iccpartiltu  47396  iccpartgt  47401