Theorem elfzel2 13436

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13435	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12759	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-neg 11365  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13449  fzdisj  13465  fzssp1  13481  fzp1disj  13497  fzrev2i  13503  fzrev3  13504  elfz1b  13507  fznuz  13523  fznn0sub2  13549  elfzmlbm  13552  difelfznle  13556  nn0disj  13558  fz1fzo0m1  13624  fzofzp1b  13679  bcm1k  14236  bcp1nk  14238  pfxccatin12lem2  14652  spllen  14675  fsum0diag2  15704  fallfacval3  15933  fallfacval4  15964  psgnunilem2  19422  pntpbnd1  27551  crctcshwlkn0  29843  fzm1ne1  32817  swrdrevpfx  35260  swrdwlk  35270  elfzfzo  45467  sumnnodd  45818  dvnmul  46129  dvnprodlem1  46132  dvnprodlem2  46133  stoweidlem34  46220  fourierdlem11  46304  fourierdlem12  46305  fourierdlem15  46308  fourierdlem41  46334  fourierdlem48  46340  fourierdlem49  46341  fourierdlem54  46346  fourierdlem79  46371  fourierdlem102  46394  fourierdlem114  46406  etransclem23  46443  etransclem35  46455  iundjiun  46646  2elfz2melfz  47506  elfzelfzlble  47509  iccpartiltu  47610  iccpartgt  47615