Theorem elfzel2 13544

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13543	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12870	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-neg 11477  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13557  fzdisj  13573  fzssp1  13589  fzp1disj  13605  fzrev2i  13611  fzrev3  13612  elfz1b  13615  fznuz  13631  fznn0sub2  13657  elfzmlbm  13660  difelfznle  13664  nn0disj  13666  fz1fzo0m1  13732  fzofzp1b  13786  bcm1k  14337  bcp1nk  14339  pfxccatin12lem2  14752  spllen  14775  fsum0diag2  15802  fallfacval3  16031  fallfacval4  16062  psgnunilem2  19482  pntpbnd1  27567  crctcshwlkn0  29770  fzm1ne1  32734  swrdrevpfx  35097  swrdwlk  35107  elfzfzo  45260  sumnnodd  45617  dvnmul  45930  dvnprodlem1  45933  dvnprodlem2  45934  stoweidlem34  46021  fourierdlem11  46105  fourierdlem12  46106  fourierdlem15  46109  fourierdlem41  46135  fourierdlem48  46141  fourierdlem49  46142  fourierdlem54  46147  fourierdlem79  46172  fourierdlem102  46195  fourierdlem114  46207  etransclem23  46244  etransclem35  46256  iundjiun  46447  2elfz2melfz  47303  elfzelfzlble  47306  iccpartiltu  47382  iccpartgt  47387