Theorem elfzel2 13549

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13548	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12871	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-neg 11443  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13562  fzdisj  13578  fzssp1  13594  fzp1disj  13610  fzrev2i  13616  fzrev3  13617  elfz1b  13620  fznuz  13636  fznn0sub2  13662  elfzmlbm  13665  difelfznle  13669  nn0disj  13671  fz1fzo0m1  13738  fzofzp1b  13793  bcm1k  14350  bcp1nk  14352  pfxccatin12lem2  14767  spllen  14790  fsum0diag2  15833  fallfacval3  16065  fallfacval4  16096  psgnunilem2  19564  pntpbnd1  27715  crctcshwlkn0  30110  fzm1ne1  33073  swrdrevpfx  35506  swrdwlk  35517  elfzfzo  45887  sumnnodd  46237  dvnmul  46548  dvnprodlem1  46551  dvnprodlem2  46552  stoweidlem34  46639  fourierdlem11  46723  fourierdlem12  46724  fourierdlem15  46727  fourierdlem41  46753  fourierdlem48  46759  fourierdlem49  46760  fourierdlem54  46765  fourierdlem79  46790  fourierdlem102  46813  fourierdlem114  46825  etransclem23  46862  etransclem35  46874  iundjiun  47065  2elfz2melfz  47943  elfzelfzlble  47946  iccpartiltu  48059  iccpartgt  48064