MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzel2 12894
Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzel2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 12893 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2 eluzelz 12241 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-neg 10861  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  elfz1eq  12906  fzdisj  12922  fzssp1  12938  fzp1disj  12954  fzrev2i  12960  fzrev3  12961  elfz1b  12964  fznuz  12977  fznn0sub2  13002  elfzmlbm  13005  difelfznle  13009  nn0disj  13011  fz1fzo0m1  13073  fzofzp1b  13123  bcm1k  13663  bcp1nk  13665  pfxccatin12lem2  14081  spllen  14104  fsum0diag2  15126  fallfacval3  15354  fallfacval4  15385  psgnunilem2  18552  pntpbnd1  26089  crctcshwlkn0  27526  fzm1ne1  30438  swrdrevpfx  32260  swrdwlk  32270  elfzfzo  41418  sumnnodd  41787  dvnmul  42104  dvnprodlem1  42107  dvnprodlem2  42108  stoweidlem34  42196  fourierdlem11  42280  fourierdlem12  42281  fourierdlem15  42284  fourierdlem41  42310  fourierdlem48  42316  fourierdlem49  42317  fourierdlem54  42322  fourierdlem79  42347  fourierdlem102  42370  fourierdlem114  42382  etransclem23  42419  etransclem35  42431  iundjiun  42619  2elfz2melfz  43395  elfzelfzlble  43398  iccpartiltu  43459  iccpartgt  43464
  Copyright terms: Public domain W3C validator