Theorem elfzel2 13425

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13424	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12745	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13438  fzdisj  13454  fzssp1  13470  fzp1disj  13486  fzrev2i  13492  fzrev3  13493  elfz1b  13496  fznuz  13512  fznn0sub2  13538  elfzmlbm  13541  difelfznle  13545  nn0disj  13547  fz1fzo0m1  13613  fzofzp1b  13668  bcm1k  14222  bcp1nk  14224  pfxccatin12lem2  14637  spllen  14660  fsum0diag2  15690  fallfacval3  15919  fallfacval4  15950  psgnunilem2  19374  pntpbnd1  27495  crctcshwlkn0  29766  fzm1ne1  32731  swrdrevpfx  35090  swrdwlk  35100  elfzfzo  45259  sumnnodd  45611  dvnmul  45924  dvnprodlem1  45927  dvnprodlem2  45928  stoweidlem34  46015  fourierdlem11  46099  fourierdlem12  46100  fourierdlem15  46103  fourierdlem41  46129  fourierdlem48  46135  fourierdlem49  46136  fourierdlem54  46141  fourierdlem79  46166  fourierdlem102  46189  fourierdlem114  46201  etransclem23  46238  etransclem35  46250  iundjiun  46441  2elfz2melfz  47302  elfzelfzlble  47305  iccpartiltu  47406  iccpartgt  47411