Theorem elfzel2 13694

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13693	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 13015	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-neg 11583  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680

This theorem is used by:  elfz1eq  13708  fzdisj  13725  fzssp1  13741  fzp1disj  13757  fzrev2i  13763  fzrev3  13764  elfz1b  13767  fznuz  13783  fznn0sub2  13809  elfzmlbm  13812  difelfznle  13816  nn0disj  13818  fz1fzo0m1  13885  fzofzp1b  13940  bcm1k  14500  bcp1nk  14502  pfxccatin12lem2  14922  spllen  14945  swrdrevpfx  14960  fsum0diag2  15993  fallfacval3  16223  fallfacval4  16253  psgnunilem2  19760  pntpbnd1  27970  swrdwlk  30325  crctcshwlkn0  30467  fzm1ne1  33476  elfzfzo  46566  sumnnodd  46915  dvnmul  47226  dvnprodlem1  47229  dvnprodlem2  47230  stoweidlem34  47317  fourierdlem11  47401  fourierdlem12  47402  fourierdlem15  47405  fourierdlem41  47431  fourierdlem48  47437  fourierdlem49  47438  fourierdlem54  47443  fourierdlem79  47468  fourierdlem102  47491  fourierdlem114  47503  etransclem23  47540  etransclem35  47552  iundjiun  47743  2elfz2melfz  48661  elfzelfzlble  48664  iccpartiltu  48777  iccpartgt  48782