Theorem elfzel2 13647

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13646	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12968	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-neg 11537  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633

This theorem is used by:  elfz1eq  13661  fzdisj  13678  fzssp1  13694  fzp1disj  13710  fzrev2i  13716  fzrev3  13717  elfz1b  13720  fznuz  13736  fznn0sub2  13762  elfzmlbm  13765  difelfznle  13769  nn0disj  13771  fz1fzo0m1  13838  fzofzp1b  13893  bcm1k  14452  bcp1nk  14454  pfxccatin12lem2  14873  spllen  14896  swrdrevpfx  14911  fsum0diag2  15942  fallfacval3  16172  fallfacval4  16202  psgnunilem2  19702  pntpbnd1  27906  swrdwlk  30261  crctcshwlkn0  30403  fzm1ne1  33373  elfzfzo  46262  sumnnodd  46611  dvnmul  46922  dvnprodlem1  46925  dvnprodlem2  46926  stoweidlem34  47013  fourierdlem11  47097  fourierdlem12  47098  fourierdlem15  47101  fourierdlem41  47127  fourierdlem48  47133  fourierdlem49  47134  fourierdlem54  47139  fourierdlem79  47164  fourierdlem102  47187  fourierdlem114  47199  etransclem23  47236  etransclem35  47248  iundjiun  47439  2elfz2melfz  48357  elfzelfzlble  48360  iccpartiltu  48473  iccpartgt  48478