Theorem elfzel2 13545

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13544	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12867	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-neg 11439  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13558  fzdisj  13575  fzssp1  13591  fzp1disj  13607  fzrev2i  13613  fzrev3  13614  elfz1b  13617  fznuz  13633  fznn0sub2  13659  elfzmlbm  13662  difelfznle  13666  nn0disj  13668  fz1fzo0m1  13735  fzofzp1b  13790  bcm1k  14347  bcp1nk  14349  pfxccatin12lem2  14764  spllen  14787  fsum0diag2  15830  fallfacval3  16062  fallfacval4  16092  psgnunilem2  19560  pntpbnd1  27750  crctcshwlkn0  30170  fzm1ne1  33133  swrdrevpfx  35608  swrdwlk  35619  elfzfzo  45996  sumnnodd  46346  dvnmul  46657  dvnprodlem1  46660  dvnprodlem2  46661  stoweidlem34  46748  fourierdlem11  46832  fourierdlem12  46833  fourierdlem15  46836  fourierdlem41  46862  fourierdlem48  46868  fourierdlem49  46869  fourierdlem54  46874  fourierdlem79  46899  fourierdlem102  46922  fourierdlem114  46934  etransclem23  46971  etransclem35  46983  iundjiun  47174  2elfz2melfz  48055  elfzelfzlble  48058  iccpartiltu  48171  iccpartgt  48176