Theorem elfzel2 13544

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13543	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12867	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13557  fzdisj  13573  fzssp1  13589  fzp1disj  13605  fzrev2i  13611  fzrev3  13612  elfz1b  13615  fznuz  13631  fznn0sub2  13657  elfzmlbm  13660  difelfznle  13664  nn0disj  13666  fz1fzo0m1  13732  fzofzp1b  13786  bcm1k  14338  bcp1nk  14340  pfxccatin12lem2  14754  spllen  14777  fsum0diag2  15804  fallfacval3  16033  fallfacval4  16064  psgnunilem2  19481  pntpbnd1  27554  crctcshwlkn0  29808  fzm1ne1  32770  swrdrevpfx  35144  swrdwlk  35154  elfzfzo  45272  sumnnodd  45626  dvnmul  45939  dvnprodlem1  45942  dvnprodlem2  45943  stoweidlem34  46030  fourierdlem11  46114  fourierdlem12  46115  fourierdlem15  46118  fourierdlem41  46144  fourierdlem48  46150  fourierdlem49  46151  fourierdlem54  46156  fourierdlem79  46181  fourierdlem102  46204  fourierdlem114  46216  etransclem23  46253  etransclem35  46265  iundjiun  46456  2elfz2melfz  47314  elfzelfzlble  47317  iccpartiltu  47403  iccpartgt  47408