Theorem elfzel2 12594

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 12593	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 11940	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℤcz 11666  ℤ_≥cuz 11930  ...cfz 12580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-neg 10559  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581

This theorem is referenced by:  elfz1eq  12606  fzdisj  12622  fzssp1  12638  fzp1disj  12653  fzrev2i  12659  fzrev3  12660  elfz1b  12663  fznuz  12676  fznn0sub2  12701  elfzmlbm  12704  difelfznle  12708  nn0disj  12710  fz1fzo0m1  12771  fzofzp1b  12821  bcm1k  13355  bcp1nk  13357  pfxccatin12lem2  13792  swrdccatin12lem2OLD  13793  spllen  13830  spllenOLD  13831  fsum0diag2  14853  fallfacval3  15079  fallfacval4  15110  psgnunilem2  18228  pntpbnd1  25627  crctcshwlkn0  27072  elfzfzo  40230  sumnnodd  40602  dvnmul  40898  dvnprodlem1  40901  dvnprodlem2  40902  stoweidlem34  40990  fourierdlem11  41074  fourierdlem12  41075  fourierdlem15  41078  fourierdlem41  41104  fourierdlem48  41110  fourierdlem49  41111  fourierdlem54  41116  fourierdlem79  41141  fourierdlem102  41164  fourierdlem114  41176  etransclem23  41213  etransclem35  41225  iundjiun  41416  2elfz2melfz  42164  elfzelfzlble  42167  iccpartiltu  42194  iccpartgt  42199