Theorem elfzel2 13582

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13581	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12913	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13595  fzdisj  13611  fzssp1  13627  fzp1disj  13643  fzrev2i  13649  fzrev3  13650  elfz1b  13653  fznuz  13666  fznn0sub2  13692  elfzmlbm  13695  difelfznle  13699  nn0disj  13701  fz1fzo0m1  13764  fzofzp1b  13815  bcm1k  14364  bcp1nk  14366  pfxccatin12lem2  14779  spllen  14802  fsum0diag2  15831  fallfacval3  16060  fallfacval4  16091  psgnunilem2  19537  pntpbnd1  27648  crctcshwlkn0  29854  fzm1ne1  32794  swrdrevpfx  35084  swrdwlk  35094  elfzfzo  45191  sumnnodd  45551  dvnmul  45864  dvnprodlem1  45867  dvnprodlem2  45868  stoweidlem34  45955  fourierdlem11  46039  fourierdlem12  46040  fourierdlem15  46043  fourierdlem41  46069  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem54  46081  fourierdlem79  46106  fourierdlem102  46129  fourierdlem114  46141  etransclem23  46178  etransclem35  46190  iundjiun  46381  2elfz2melfz  47233  elfzelfzlble  47236  iccpartiltu  47296  iccpartgt  47301