Theorem elfzel2 13566

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13565	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12888	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-neg 11459  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552

This theorem is used by:  elfz1eq  13579  fzdisj  13596  fzssp1  13612  fzp1disj  13628  fzrev2i  13634  fzrev3  13635  elfz1b  13638  fznuz  13654  fznn0sub2  13680  elfzmlbm  13683  difelfznle  13687  nn0disj  13689  fz1fzo0m1  13756  fzofzp1b  13811  bcm1k  14369  bcp1nk  14371  pfxccatin12lem2  14790  spllen  14813  swrdrevpfx  14828  fsum0diag2  15857  fallfacval3  16089  fallfacval4  16119  psgnunilem2  19609  pntpbnd1  27801  swrdwlk  30095  crctcshwlkn0  30237  fzm1ne1  33203  elfzfzo  46054  sumnnodd  46404  dvnmul  46715  dvnprodlem1  46718  dvnprodlem2  46719  stoweidlem34  46806  fourierdlem11  46890  fourierdlem12  46891  fourierdlem15  46894  fourierdlem41  46920  fourierdlem48  46926  fourierdlem49  46927  fourierdlem54  46932  fourierdlem79  46957  fourierdlem102  46980  fourierdlem114  46992  etransclem23  47029  etransclem35  47041  iundjiun  47232  2elfz2melfz  48113  elfzelfzlble  48116  iccpartiltu  48229  iccpartgt  48234