Theorem elfzel2 13467

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13466	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12789	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-neg 11371  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13480  fzdisj  13496  fzssp1  13512  fzp1disj  13528  fzrev2i  13534  fzrev3  13535  elfz1b  13538  fznuz  13554  fznn0sub2  13580  elfzmlbm  13583  difelfznle  13587  nn0disj  13589  fz1fzo0m1  13656  fzofzp1b  13711  bcm1k  14268  bcp1nk  14270  pfxccatin12lem2  14684  spllen  14707  fsum0diag2  15736  fallfacval3  15968  fallfacval4  15999  psgnunilem2  19461  pntpbnd1  27567  crctcshwlkn0  29907  fzm1ne1  32880  swrdrevpfx  35345  swrdwlk  35355  elfzfzo  45725  sumnnodd  46075  dvnmul  46386  dvnprodlem1  46389  dvnprodlem2  46390  stoweidlem34  46477  fourierdlem11  46561  fourierdlem12  46562  fourierdlem15  46565  fourierdlem41  46591  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem54  46603  fourierdlem79  46628  fourierdlem102  46651  fourierdlem114  46663  etransclem23  46700  etransclem35  46712  iundjiun  46903  2elfz2melfz  47781  elfzelfzlble  47784  iccpartiltu  47897  iccpartgt  47902