Theorem elfzel2 13183

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13182	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12521	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13196  fzdisj  13212  fzssp1  13228  fzp1disj  13244  fzrev2i  13250  fzrev3  13251  elfz1b  13254  fznuz  13267  fznn0sub2  13292  elfzmlbm  13295  difelfznle  13299  nn0disj  13301  fz1fzo0m1  13363  fzofzp1b  13413  bcm1k  13957  bcp1nk  13959  pfxccatin12lem2  14372  spllen  14395  fsum0diag2  15423  fallfacval3  15650  fallfacval4  15681  psgnunilem2  19018  pntpbnd1  26639  crctcshwlkn0  28087  fzm1ne1  31012  swrdrevpfx  32978  swrdwlk  32988  elfzfzo  42704  sumnnodd  43061  dvnmul  43374  dvnprodlem1  43377  dvnprodlem2  43378  stoweidlem34  43465  fourierdlem11  43549  fourierdlem12  43550  fourierdlem15  43553  fourierdlem41  43579  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem54  43591  fourierdlem79  43616  fourierdlem102  43639  fourierdlem114  43651  etransclem23  43688  etransclem35  43700  iundjiun  43888  2elfz2melfz  44698  elfzelfzlble  44701  iccpartiltu  44762  iccpartgt  44767