Theorem elfzel2 13527

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13526	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12849	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ...cfz 13512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-neg 11417  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13540  fzdisj  13556  fzssp1  13572  fzp1disj  13588  fzrev2i  13594  fzrev3  13595  elfz1b  13598  fznuz  13614  fznn0sub2  13640  elfzmlbm  13643  difelfznle  13647  nn0disj  13649  fz1fzo0m1  13716  fzofzp1b  13771  bcm1k  14328  bcp1nk  14330  pfxccatin12lem2  14744  spllen  14767  fsum0diag2  15810  fallfacval3  16042  fallfacval4  16073  psgnunilem2  19535  pntpbnd1  27647  crctcshwlkn0  30018  fzm1ne1  32987  swrdrevpfx  35464  swrdwlk  35474  elfzfzo  45853  sumnnodd  46203  dvnmul  46514  dvnprodlem1  46517  dvnprodlem2  46518  stoweidlem34  46605  fourierdlem11  46689  fourierdlem12  46690  fourierdlem15  46693  fourierdlem41  46719  fourierdlem48  46725  fourierdlem49  46726  fourierdlem54  46731  fourierdlem79  46756  fourierdlem102  46779  fourierdlem114  46791  etransclem23  46828  etransclem35  46840  iundjiun  47031  2elfz2melfz  47909  elfzelfzlble  47912  iccpartiltu  48025  iccpartgt  48030