Theorem elfzel2 13661

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13660	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12982	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℤcz 12700  ℤ_≥cuz 12972  ...cfz 13646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-neg 11551  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647

This theorem is used by:  elfz1eq  13675  fzdisj  13692  fzssp1  13708  fzp1disj  13724  fzrev2i  13730  fzrev3  13731  elfz1b  13734  fznuz  13750  fznn0sub2  13776  elfzmlbm  13779  difelfznle  13783  nn0disj  13785  fz1fzo0m1  13852  fzofzp1b  13907  bcm1k  14466  bcp1nk  14468  pfxccatin12lem2  14888  spllen  14911  swrdrevpfx  14926  fsum0diag2  15958  fallfacval3  16188  fallfacval4  16218  psgnunilem2  19718  pntpbnd1  27922  swrdwlk  30277  crctcshwlkn0  30419  fzm1ne1  33430  elfzfzo  46401  sumnnodd  46750  dvnmul  47061  dvnprodlem1  47064  dvnprodlem2  47065  stoweidlem34  47152  fourierdlem11  47236  fourierdlem12  47237  fourierdlem15  47240  fourierdlem41  47266  fourierdlem48  47272  fourierdlem49  47273  fourierdlem54  47278  fourierdlem79  47303  fourierdlem102  47326  fourierdlem114  47338  etransclem23  47375  etransclem35  47387  iundjiun  47578  2elfz2melfz  48496  elfzelfzlble  48499  iccpartiltu  48612  iccpartgt  48617