Theorem elfzel2 13450

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13449	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12773	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-neg 11379  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13463  fzdisj  13479  fzssp1  13495  fzp1disj  13511  fzrev2i  13517  fzrev3  13518  elfz1b  13521  fznuz  13537  fznn0sub2  13563  elfzmlbm  13566  difelfznle  13570  nn0disj  13572  fz1fzo0m1  13638  fzofzp1b  13693  bcm1k  14250  bcp1nk  14252  pfxccatin12lem2  14666  spllen  14689  fsum0diag2  15718  fallfacval3  15947  fallfacval4  15978  psgnunilem2  19436  pntpbnd1  27565  crctcshwlkn0  29906  fzm1ne1  32879  swrdrevpfx  35333  swrdwlk  35343  elfzfzo  45639  sumnnodd  45990  dvnmul  46301  dvnprodlem1  46304  dvnprodlem2  46305  stoweidlem34  46392  fourierdlem11  46476  fourierdlem12  46477  fourierdlem15  46480  fourierdlem41  46506  fourierdlem48  46512  fourierdlem49  46513  fourierdlem54  46518  fourierdlem79  46543  fourierdlem102  46566  fourierdlem114  46578  etransclem23  46615  etransclem35  46627  iundjiun  46818  2elfz2melfz  47678  elfzelfzlble  47681  iccpartiltu  47782  iccpartgt  47787