Theorem elfzel2 13576

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13575	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12897	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ...cfz 13561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-neg 11468  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562

This theorem is used by:  elfz1eq  13589  fzdisj  13606  fzssp1  13622  fzp1disj  13638  fzrev2i  13644  fzrev3  13645  elfz1b  13648  fznuz  13664  fznn0sub2  13690  elfzmlbm  13693  difelfznle  13697  nn0disj  13699  fz1fzo0m1  13766  fzofzp1b  13821  bcm1k  14379  bcp1nk  14381  pfxccatin12lem2  14800  spllen  14823  swrdrevpfx  14838  fsum0diag2  15869  fallfacval3  16099  fallfacval4  16129  psgnunilem2  19622  pntpbnd1  27822  swrdwlk  30147  crctcshwlkn0  30289  fzm1ne1  33259  elfzfzo  46110  sumnnodd  46460  dvnmul  46771  dvnprodlem1  46774  dvnprodlem2  46775  stoweidlem34  46862  fourierdlem11  46946  fourierdlem12  46947  fourierdlem15  46950  fourierdlem41  46976  fourierdlem48  46982  fourierdlem49  46983  fourierdlem54  46988  fourierdlem79  47013  fourierdlem102  47036  fourierdlem114  47048  etransclem23  47085  etransclem35  47097  iundjiun  47288  2elfz2melfz  48206  elfzelfzlble  48209  iccpartiltu  48322  iccpartgt  48327