Theorem elfzel2 12900

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 12899	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12241	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886

This theorem is referenced by:  elfz1eq  12913  fzdisj  12929  fzssp1  12945  fzp1disj  12961  fzrev2i  12967  fzrev3  12968  elfz1b  12971  fznuz  12984  fznn0sub2  13009  elfzmlbm  13012  difelfznle  13016  nn0disj  13018  fz1fzo0m1  13080  fzofzp1b  13130  bcm1k  13671  bcp1nk  13673  pfxccatin12lem2  14084  spllen  14107  fsum0diag2  15130  fallfacval3  15358  fallfacval4  15389  psgnunilem2  18615  pntpbnd1  26170  crctcshwlkn0  27607  fzm1ne1  30538  swrdrevpfx  32476  swrdwlk  32486  elfzfzo  41907  sumnnodd  42272  dvnmul  42585  dvnprodlem1  42588  dvnprodlem2  42589  stoweidlem34  42676  fourierdlem11  42760  fourierdlem12  42761  fourierdlem15  42764  fourierdlem41  42790  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem54  42802  fourierdlem79  42827  fourierdlem102  42850  fourierdlem114  42862  etransclem23  42899  etransclem35  42911  iundjiun  43099  2elfz2melfz  43875  elfzelfzlble  43878  iccpartiltu  43939  iccpartgt  43944