Theorem elfzel2 13539

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13538	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12870	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-neg 11484  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13552  fzdisj  13568  fzssp1  13584  fzp1disj  13600  fzrev2i  13606  fzrev3  13607  elfz1b  13610  fznuz  13623  fznn0sub2  13648  elfzmlbm  13651  difelfznle  13655  nn0disj  13657  fz1fzo0m1  13720  fzofzp1b  13771  bcm1k  14315  bcp1nk  14317  pfxccatin12lem2  14722  spllen  14745  fsum0diag2  15770  fallfacval3  15997  fallfacval4  16028  psgnunilem2  19467  pntpbnd1  27569  crctcshwlkn0  29709  fzm1ne1  32644  swrdrevpfx  34859  swrdwlk  34869  elfzfzo  44798  sumnnodd  45158  dvnmul  45471  dvnprodlem1  45474  dvnprodlem2  45475  stoweidlem34  45562  fourierdlem11  45646  fourierdlem12  45647  fourierdlem15  45650  fourierdlem41  45676  fourierdlem48  45682  fourierdlem49  45683  fourierdlem54  45688  fourierdlem79  45713  fourierdlem102  45736  fourierdlem114  45748  etransclem23  45785  etransclem35  45797  iundjiun  45988  2elfz2melfz  46838  elfzelfzlble  46841  iccpartiltu  46901  iccpartgt  46906