Theorem elfzel2 13503

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13502	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12836	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13516  fzdisj  13532  fzssp1  13548  fzp1disj  13564  fzrev2i  13570  fzrev3  13571  elfz1b  13574  fznuz  13587  fznn0sub2  13612  elfzmlbm  13615  difelfznle  13619  nn0disj  13621  fz1fzo0m1  13684  fzofzp1b  13734  bcm1k  14279  bcp1nk  14281  pfxccatin12lem2  14685  spllen  14708  fsum0diag2  15733  fallfacval3  15960  fallfacval4  15991  psgnunilem2  19404  pntpbnd1  27313  crctcshwlkn0  29330  fzm1ne1  32255  swrdrevpfx  34393  swrdwlk  34403  elfzfzo  44285  sumnnodd  44645  dvnmul  44958  dvnprodlem1  44961  dvnprodlem2  44962  stoweidlem34  45049  fourierdlem11  45133  fourierdlem12  45134  fourierdlem15  45137  fourierdlem41  45163  fourierdlem48  45169  fourierdlem49  45170  fourierdlem54  45175  fourierdlem79  45200  fourierdlem102  45223  fourierdlem114  45235  etransclem23  45272  etransclem35  45284  iundjiun  45475  2elfz2melfz  46325  elfzelfzlble  46328  iccpartiltu  46389  iccpartgt  46394