Theorem elfzel2 13559

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13558	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12886	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13572  fzdisj  13588  fzssp1  13604  fzp1disj  13620  fzrev2i  13626  fzrev3  13627  elfz1b  13630  fznuz  13646  fznn0sub2  13672  elfzmlbm  13675  difelfznle  13679  nn0disj  13681  fz1fzo0m1  13747  fzofzp1b  13801  bcm1k  14351  bcp1nk  14353  pfxccatin12lem2  14766  spllen  14789  fsum0diag2  15816  fallfacval3  16045  fallfacval4  16076  psgnunilem2  19528  pntpbnd1  27645  crctcshwlkn0  29851  fzm1ne1  32797  swrdrevpfx  35101  swrdwlk  35111  elfzfzo  45227  sumnnodd  45586  dvnmul  45899  dvnprodlem1  45902  dvnprodlem2  45903  stoweidlem34  45990  fourierdlem11  46074  fourierdlem12  46075  fourierdlem15  46078  fourierdlem41  46104  fourierdlem48  46110  fourierdlem49  46111  fourierdlem54  46116  fourierdlem79  46141  fourierdlem102  46164  fourierdlem114  46176  etransclem23  46213  etransclem35  46225  iundjiun  46416  2elfz2melfz  47268  elfzelfzlble  47271  iccpartiltu  47347  iccpartgt  47352