Theorem elfzel2 13499

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13498	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 12832	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13512  fzdisj  13528  fzssp1  13544  fzp1disj  13560  fzrev2i  13566  fzrev3  13567  elfz1b  13570  fznuz  13583  fznn0sub2  13608  elfzmlbm  13611  difelfznle  13615  nn0disj  13617  fz1fzo0m1  13680  fzofzp1b  13730  bcm1k  14275  bcp1nk  14277  pfxccatin12lem2  14681  spllen  14704  fsum0diag2  15729  fallfacval3  15956  fallfacval4  15987  psgnunilem2  19363  pntpbnd1  27089  crctcshwlkn0  29075  fzm1ne1  32000  swrdrevpfx  34107  swrdwlk  34117  elfzfzo  43986  sumnnodd  44346  dvnmul  44659  dvnprodlem1  44662  dvnprodlem2  44663  stoweidlem34  44750  fourierdlem11  44834  fourierdlem12  44835  fourierdlem15  44838  fourierdlem41  44864  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem54  44876  fourierdlem79  44901  fourierdlem102  44924  fourierdlem114  44936  etransclem23  44973  etransclem35  44985  iundjiun  45176  2elfz2melfz  46026  elfzelfzlble  46029  iccpartiltu  46090  iccpartgt  46095