MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzel2 12896
Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzel2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 12895 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2 eluzelz 12242 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6352  (class class class)co 7148  cz 11970  cuz 12232  ...cfz 12882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-neg 10862  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883
This theorem is referenced by:  elfz1eq  12908  fzdisj  12924  fzssp1  12940  fzp1disj  12956  fzrev2i  12962  fzrev3  12963  elfz1b  12966  fznuz  12979  fznn0sub2  13004  elfzmlbm  13007  difelfznle  13011  nn0disj  13013  fz1fzo0m1  13075  fzofzp1b  13125  bcm1k  13665  bcp1nk  13667  pfxccatin12lem2  14083  spllen  14106  fsum0diag2  15128  fallfacval3  15356  fallfacval4  15387  psgnunilem2  18543  pntpbnd1  26076  crctcshwlkn0  27513  fzm1ne1  30425  swrdrevpfx  32247  swrdwlk  32257  elfzfzo  41407  sumnnodd  41776  dvnmul  42093  dvnprodlem1  42096  dvnprodlem2  42097  stoweidlem34  42185  fourierdlem11  42269  fourierdlem12  42270  fourierdlem15  42273  fourierdlem41  42299  fourierdlem48  42305  fourierdlem49  42306  fourierdlem54  42311  fourierdlem79  42336  fourierdlem102  42359  fourierdlem114  42371  etransclem23  42408  etransclem35  42420  iundjiun  42608  2elfz2melfz  43384  elfzelfzlble  43387  iccpartiltu  43414  iccpartgt  43419
  Copyright terms: Public domain W3C validator