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Theorem monoords 41554
Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monoords.fk ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
monoords.flt ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
monoords.i (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))
monoords.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
monoords.iltj (𝜑𝐼 < 𝐽)
Assertion
Ref Expression
monoords (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹𝐽))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoords
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoords.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))
21ancli 551 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)))
3 eleq1 2898 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)))
43anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))))
5 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
65eleq1d 2895 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
74, 6imbi12d 347 . . . 4 (𝑘 = 𝐼 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)))
8 monoords.fk . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
97, 8vtoclg 3566 . . 3 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
101, 2, 9sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
11 elfzel1 12899 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
121, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 elfzelz 12900 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
141, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
15 elfzle1 12902 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐼)
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐼)
17 eluz2 12241 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼))
1812, 14, 16, 17syl3anbrc 1338 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (ℤ𝑀))
19 elfzuz2 12904 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
21 eluzelz 12245 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2314zred 12079 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
24 monoords.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
25 elfzelz 12900 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2726zred 12079 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
2822zred 12079 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
29 monoords.iltj . . . . . 6 (𝜑𝐼 < 𝐽)
30 elfzle2 12903 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽𝑁)
3124, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑁)
3223, 27, 28, 29, 31ltletrd 10792 . . . . 5 (𝜑𝐼 < 𝑁)
33 elfzo2 13033 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3418, 22, 32, 33syl3anbrc 1338 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁))
35 fzofzp1 13126 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3634, 35syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3736ancli 551 . . 3 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
38 eleq1 2898 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
3938anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
40 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
4140eleq1d 2895 . . . . 5 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
4239, 41imbi12d 347 . . . 4 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
4342, 8vtoclg 3566 . . 3 ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
4436, 37, 43sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
4524ancli 551 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)))
46 eleq1 2898 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐽 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)))
4746anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))))
48 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐽 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐽))
4948eleq1d 2895 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐽) ∈ ℝ))
5047, 49imbi12d 347 . . . 4 (𝑘 = 𝐽 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐽) ∈ ℝ)))
5150, 8vtoclg 3566 . . 3 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐽) ∈ ℝ))
5224, 45, 51sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐽) ∈ ℝ)
5334ancli 551 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)))
54 eleq1 2898 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)))
5554anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁))))
56 fvoveq1 7171 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
575, 56breq12d 5070 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1))))
5855, 57imbi12d 347 . . . 4 (𝑘 = 𝐼 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
59 monoords.flt . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
6058, 59vtoclg 3566 . . 3 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1))))
6134, 53, 60sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1)))
6214peano2zd 12082 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
63 zltp1le 12024 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6414, 26, 63syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6529, 64mpbid 234 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
66 eluz2 12241 . . . 4 (𝐽 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6762, 26, 65, 66syl3anbrc 1338 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
6812adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 ∈ ℤ)
6922adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 elfzelz 12900 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → 𝑘 ∈ ℤ)
7170adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7268, 69, 713jca 1123 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
7368zred 12079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7471zred 12079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ ℝ)
7562zred 12079 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7675adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7723adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐼 ∈ ℝ)
7816adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀𝐼)
7977ltp1d 11562 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
8073, 77, 76, 78, 79lelttrd 10790 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 < (𝐼 + 1))
81 elfzle1 12902 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
8281adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
8373, 76, 74, 80, 82ltletrd 10792 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 < 𝑘)
8473, 74, 83ltled 10780 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀𝑘)
8527adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐽 ∈ ℝ)
8669zred 12079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℝ)
87 elfzle2 12903 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → 𝑘𝐽)
8887adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘𝐽)
8931adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐽𝑁)
9074, 85, 86, 88, 89letrd 10789 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘𝑁)
9172, 84, 90jca32 518 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
92 elfz2 12891 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
9391, 92sylibr 236 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
9493, 8syldan 593 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9512adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
9622adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
97 elfzelz 12900 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9897adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
9995, 96, 983jca 1123 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
10095zred 12079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
10198zred 12079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
10275adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
10312zred 12079 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
10423ltp1d 11562 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 < (𝐼 + 1))
105103, 23, 75, 16, 104lelttrd 10790 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 < (𝐼 + 1))
106105adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 < (𝐼 + 1))
107 elfzle1 12902 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
108107adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
109100, 102, 101, 106, 108ltletrd 10792 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 < 𝑘)
110100, 101, 109ltled 10780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀𝑘)
11196zred 12079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
112 peano2rem 10945 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
11327, 112syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
114113adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
115 elfzle2 12903 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐽 − 1))
116115adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐽 − 1))
11727adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℝ)
118117ltm1d 11564 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) < 𝐽)
11931adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝐽𝑁)
120114, 117, 111, 118, 119ltletrd 10792 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) < 𝑁)
121101, 114, 111, 116, 120lelttrd 10790 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
122101, 111, 121ltled 10780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘𝑁)
12399, 110, 122jca32 518 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
124123, 92sylibr 236 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
125124, 8syldan 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
126 peano2zm 12017 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12796, 126syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12895, 127, 983jca 1123 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
129127zred 12079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
130 1red 10634 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13127, 28, 130, 31lesub1dd 11248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
132131adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
133101, 114, 129, 116, 132letrd 10789 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
134128, 110, 133jca32 518 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
135 elfz2 12891 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
136134, 135sylibr 236 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
137 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
138 fzoval 13031 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
13922, 138syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
140139eqcomd 2825 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
141140adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
142137, 141eleqtrd 2913 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
143 fzofzp1 13126 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
144142, 143syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
145 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝜑)
146145, 144jca 514 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
147 eleq1 2898 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
148147anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
149 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
150149eleq1d 2895 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑗) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
151148, 150imbi12d 347 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
152 eleq1 2898 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
153152anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))))
154 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
155154eleq1d 2895 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℝ))
156153, 155imbi12d 347 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
157156, 8chvarvv 1999 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
158151, 157vtoclg 3566 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
159144, 146, 158sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
160136, 159syldan 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
161142, 59syldan 593 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
162136, 161syldan 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
163125, 160, 162ltled 10780 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
16467, 94, 163monoord 13392 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝐹𝐽))
16510, 44, 52, 61, 164ltletrd 10792 1 (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12884  ..^cfzo 13025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026
This theorem is referenced by:  fourierdlem34  42417
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