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Theorem monoords 45314
Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monoords.fk ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
monoords.flt ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
monoords.i (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))
monoords.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
monoords.iltj (𝜑𝐼 < 𝐽)
Assertion
Ref Expression
monoords (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹𝐽))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoords
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoords.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))
21ancli 548 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)))
3 eleq1 2828 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)))
43anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))))
5 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
65eleq1d 2825 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
74, 6imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝐼 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)))
8 monoords.fk . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
97, 8vtoclg 3553 . . 3 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
101, 2, 9sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
11 elfzel1 13564 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
121, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
131elfzelzd 13566 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
14 elfzle1 13568 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐼)
151, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐼)
16 eluz2 12885 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼))
1712, 13, 15, 16syl3anbrc 1343 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (ℤ𝑀))
18 elfzuz2 13570 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
191, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
20 eluzelz 12889 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2213zred 12724 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
23 monoords.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
2423elfzelzd 13566 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2524zred 12724 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
2621zred 12724 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
27 monoords.iltj . . . . . 6 (𝜑𝐼 < 𝐽)
28 elfzle2 13569 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽𝑁)
2923, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑁)
3022, 25, 26, 27, 29ltletrd 11422 . . . . 5 (𝜑𝐼 < 𝑁)
31 elfzo2 13703 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3217, 21, 30, 31syl3anbrc 1343 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁))
33 fzofzp1 13804 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3432, 33syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3534ancli 548 . . 3 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
36 eleq1 2828 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
3736anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
38 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
3938eleq1d 2825 . . . . 5 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
4037, 39imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
4140, 8vtoclg 3553 . . 3 ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
4234, 35, 41sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
4323ancli 548 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)))
44 eleq1 2828 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐽 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)))
4544anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))))
46 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐽 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐽))
4746eleq1d 2825 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐽) ∈ ℝ))
4845, 47imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝐽 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐽) ∈ ℝ)))
4948, 8vtoclg 3553 . . 3 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐽) ∈ ℝ))
5023, 43, 49sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐽) ∈ ℝ)
5132ancli 548 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)))
52 eleq1 2828 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)))
5352anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁))))
54 fvoveq1 7455 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
555, 54breq12d 5155 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1))))
5653, 55imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝐼 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
57 monoords.flt . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
5856, 57vtoclg 3553 . . 3 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1))))
5932, 51, 58sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1)))
6013peano2zd 12727 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
61 zltp1le 12669 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6213, 24, 61syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6327, 62mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
64 eluz2 12885 . . . 4 (𝐽 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6560, 24, 63, 64syl3anbrc 1343 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
6612adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 ∈ ℤ)
6721adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℤ)
68 elfzelz 13565 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → 𝑘 ∈ ℤ)
6968adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7066zred 12724 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7169zred 12724 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ ℝ)
7260zred 12724 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7372adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7422adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐼 ∈ ℝ)
7515adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀𝐼)
7674ltp1d 12199 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
7770, 74, 73, 75, 76lelttrd 11420 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 < (𝐼 + 1))
78 elfzle1 13568 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
7978adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
8070, 73, 71, 77, 79ltletrd 11422 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 < 𝑘)
8170, 71, 80ltled 11410 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀𝑘)
8225adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐽 ∈ ℝ)
8367zred 12724 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℝ)
84 elfzle2 13569 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → 𝑘𝐽)
8584adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘𝐽)
8629adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐽𝑁)
8771, 82, 83, 85, 86letrd 11419 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘𝑁)
8866, 67, 69, 81, 87elfzd 13556 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8988, 8syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9012adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
9121adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
92 elfzelz 13565 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9392adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
9490zred 12724 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
9593zred 12724 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
9672adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
9712zred 12724 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
9822ltp1d 12199 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 < (𝐼 + 1))
9997, 22, 72, 15, 98lelttrd 11420 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 < (𝐼 + 1))
10099adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 < (𝐼 + 1))
101 elfzle1 13568 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
102101adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
10394, 96, 95, 100, 102ltletrd 11422 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 < 𝑘)
10494, 95, 103ltled 11410 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀𝑘)
10591zred 12724 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
106 peano2rem 11577 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
10725, 106syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
108107adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
109 elfzle2 13569 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐽 − 1))
110109adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐽 − 1))
11125adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℝ)
112111ltm1d 12201 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) < 𝐽)
11329adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝐽𝑁)
114108, 111, 105, 112, 113ltletrd 11422 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) < 𝑁)
11595, 108, 105, 110, 114lelttrd 11420 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
11695, 105, 115ltled 11410 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘𝑁)
11790, 91, 93, 104, 116elfzd 13556 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
118117, 8syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
119 peano2zm 12662 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12091, 119syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
121120zred 12724 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
122 1red 11263 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12325, 26, 122, 29lesub1dd 11880 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
124123adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
12595, 108, 121, 110, 124letrd 11419 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
12690, 120, 93, 104, 125elfzd 13556 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
127 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
128 fzoval 13701 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
12921, 128syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
130129eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
131130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
132127, 131eleqtrd 2842 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
133 fzofzp1 13804 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
134132, 133syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
135 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝜑)
136135, 134jca 511 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
137 eleq1 2828 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
138137anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
139 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
140139eleq1d 2825 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑗) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
141138, 140imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
142 eleq1 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
143142anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))))
144 fveq2 6905 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
145144eleq1d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℝ))
146143, 145imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
147146, 8chvarvv 1997 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
148141, 147vtoclg 3553 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
149134, 136, 148sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
150126, 149syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
151132, 57syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
152126, 151syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
153118, 150, 152ltled 11410 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
15465, 89, 153monoord 14074 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝐹𝐽))
15510, 42, 50, 59, 154ltletrd 11422 1 (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696
This theorem is referenced by:  fourierdlem34  46161
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