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Theorem monoords 40256
Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monoords.fk ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
monoords.flt ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
monoords.i (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))
monoords.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
monoords.iltj (𝜑𝐼 < 𝐽)
Assertion
Ref Expression
monoords (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹𝐽))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoords
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoords.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))
21ancli 545 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)))
3 eleq1 2866 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)))
43anbi2d 623 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁))))
5 fveq2 6411 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐼))
65eleq1d 2863 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
74, 6imbi12d 336 . . . 4 (𝑘 = 𝐼 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)))
8 monoords.fk . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
97, 8vtoclg 3453 . . 3 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐼) ∈ ℝ))
101, 2, 9sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
11 elfzel1 12595 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
121, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 elfzelz 12596 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
141, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
15 elfzle1 12598 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐼)
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝐼)
17 eluz2 11936 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼))
1812, 14, 16, 17syl3anbrc 1444 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (ℤ𝑀))
19 elfzuz2 12600 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
21 eluzelz 11940 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2314zred 11772 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
24 monoords.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
25 elfzelz 12596 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2726zred 11772 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
2822zred 11772 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
29 monoords.iltj . . . . . 6 (𝜑𝐼 < 𝐽)
30 elfzle2 12599 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽𝑁)
3124, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑁)
3223, 27, 28, 29, 31ltletrd 10487 . . . . 5 (𝜑𝐼 < 𝑁)
33 elfzo2 12728 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3418, 22, 32, 33syl3anbrc 1444 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁))
35 fzofzp1 12820 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3634, 35syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
3736ancli 545 . . 3 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
38 eleq1 2866 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
3938anbi2d 623 . . . . 5 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
40 fveq2 6411 . . . . . 6 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
4140eleq1d 2863 . . . . 5 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
4239, 41imbi12d 336 . . . 4 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)))
4342, 8vtoclg 3453 . . 3 ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ))
4436, 37, 43sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
4524ancli 545 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)))
46 eleq1 2866 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐽 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)))
4746anbi2d 623 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))))
48 fveq2 6411 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐽 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐽))
4948eleq1d 2863 . . . . 5 (𝑘 = 𝐽 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐽) ∈ ℝ))
5047, 49imbi12d 336 . . . 4 (𝑘 = 𝐽 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐽) ∈ ℝ)))
5150, 8vtoclg 3453 . . 3 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝐽) ∈ ℝ))
5224, 45, 51sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐽) ∈ ℝ)
5334ancli 545 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)))
54 eleq1 2866 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)))
5554anbi2d 623 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁))))
56 fvoveq1 6901 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝐼 + 1)))
575, 56breq12d 4856 . . . . 5 (𝑘 = 𝐼 → ((𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1))))
5855, 57imbi12d 336 . . . 4 (𝑘 = 𝐼 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1)))))
59 monoords.flt . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
6058, 59vtoclg 3453 . . 3 (𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝜑𝐼 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1))))
6134, 53, 60sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹‘(𝐼 + 1)))
6214peano2zd 11775 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
63 zltp1le 11717 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6414, 26, 63syl2anc 580 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6529, 64mpbid 224 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
66 eluz2 11936 . . . 4 (𝐽 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
6762, 26, 65, 66syl3anbrc 1444 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘(𝐼 + 1)))
6812adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 ∈ ℤ)
6922adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 elfzelz 12596 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → 𝑘 ∈ ℤ)
7170adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7268, 69, 713jca 1159 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
7368zred 11772 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7471zred 11772 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ ℝ)
7562zred 11772 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7675adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7723adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐼 ∈ ℝ)
7816adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀𝐼)
7977ltp1d 11246 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
8073, 77, 76, 78, 79lelttrd 10485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 < (𝐼 + 1))
81 elfzle1 12598 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
8281adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
8373, 76, 74, 80, 82ltletrd 10487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀 < 𝑘)
8473, 74, 83ltled 10475 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑀𝑘)
8527adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐽 ∈ ℝ)
8669zred 11772 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℝ)
87 elfzle2 12599 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽) → 𝑘𝐽)
8887adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘𝐽)
8931adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝐽𝑁)
9074, 85, 86, 88, 89letrd 10484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘𝑁)
9172, 84, 90jca32 512 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
92 elfz2 12587 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
9391, 92sylibr 226 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
9493, 8syldan 586 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...𝐽)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9512adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
9622adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
97 elfzelz 12596 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9897adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
9995, 96, 983jca 1159 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
10095zred 11772 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
10198zred 11772 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
10275adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
10312zred 11772 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
10423ltp1d 11246 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 < (𝐼 + 1))
105103, 23, 75, 16, 104lelttrd 10485 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 < (𝐼 + 1))
106105adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 < (𝐼 + 1))
107 elfzle1 12598 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
108107adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑘)
109100, 102, 101, 106, 108ltletrd 10487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀 < 𝑘)
110100, 101, 109ltled 10475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑀𝑘)
11196zred 11772 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
112 peano2rem 10640 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℝ → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
11327, 112syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
114113adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ∈ ℝ)
115 elfzle2 12599 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝐽 − 1))
116115adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝐽 − 1))
11727adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝐽 ∈ ℝ)
118117ltm1d 11248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) < 𝐽)
11931adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝐽𝑁)
120114, 117, 111, 118, 119ltletrd 10487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) < 𝑁)
121101, 114, 111, 116, 120lelttrd 10485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 < 𝑁)
122101, 111, 121ltled 10475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘𝑁)
12399, 110, 122jca32 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
124123, 92sylibr 226 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
125124, 8syldan 586 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
126 peano2zm 11710 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12796, 126syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12895, 127, 983jca 1159 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
129127zred 11772 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
130 1red 10329 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13127, 28, 130, 31lesub1dd 10935 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
132131adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐽 − 1) ≤ (𝑁 − 1))
133101, 114, 129, 116, 132letrd 10484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 1))
134128, 110, 133jca32 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
135 elfz2 12587 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 − 1))))
136134, 135sylibr 226 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
137 simpr 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
138 fzoval 12726 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
13922, 138syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
140139eqcomd 2805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
141140adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = (𝑀..^𝑁))
142137, 141eleqtrd 2880 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
143 fzofzp1 12820 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
144142, 143syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
145 simpl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝜑)
146145, 144jca 508 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
147 eleq1 2866 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
148147anbi2d 623 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))))
149 fveq2 6411 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑗) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
150149eleq1d 2863 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑗) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
151148, 150imbi12d 336 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
152 eleq1 2866 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)))
153152anbi2d 623 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))))
154 fveq2 6411 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
155154eleq1d 2863 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℝ))
156153, 155imbi12d 336 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)))
157156, 8chvarv 2403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
158151, 157vtoclg 3453 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
159144, 146, 158sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
160136, 159syldan 586 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
161142, 59syldan 586 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
162136, 161syldan 586 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
163125, 160, 162ltled 10475 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐼 + 1)...(𝐽 − 1))) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
16467, 94, 163monoord 13085 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝐹𝐽))
16510, 44, 52, 61, 164ltletrd 10487 1 (𝜑 → (𝐹𝐼) < (𝐹𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223  1c1 10225   + caddc 10227   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556  cz 11666  cuz 11930  ...cfz 12580  ..^cfzo 12720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721
This theorem is referenced by:  fourierdlem34  41101
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