Theorem elfzelz 12902

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 12898	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 12241	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886

This theorem is referenced by:  elfzelzd  12903  fzssz  12904  elfz1eq  12913  fzsplit2  12927  fzdisj  12929  elfznn  12931  ssfzunsnext  12947  fznatpl1  12956  fzrev2i  12967  fzrev3i  12969  fznuz  12984  fzrevral  12987  fzshftral  12990  fznn0sub2  13009  elfzmlbm  13012  difelfznle  13016  predfz  13027  fzosplit  13065  sermono  13398  seqf1olem1  13405  seqf1olem2  13406  bcval2  13661  bcval4  13663  bccmpl  13665  bcp1nk  13673  bcval5  13674  bcpasc  13677  bccl2  13679  seqcoll  13818  seqcoll2  13819  swrdval2  13999  swrdwrdsymb  14015  ccatswrd  14021  addlenrevpfx  14043  ccatpfx  14054  swrdswrd  14058  swrdpfx  14060  pfxccatin12lem2a  14080  pfxccatin12lem1  14081  swrdccatin2  14082  pfxccatin12lem2  14084  pfxccatin12  14086  spllen  14107  splfv1  14108  cshwidxm  14161  cshwidxn  14162  lswcshw  14168  2cshwcshw  14178  cshwcshid  14180  cshwcsh2id  14181  swrds2m  14294  seqshft  14436  sumrblem  15060  summolem2a  15064  fsum0diaglem  15123  mptfzshft  15125  fsumrev  15126  fsumshftm  15128  fsum0diag2  15130  binomlem  15176  binom11  15179  bcxmas  15182  arisum  15207  geo2sum  15221  mertenslem1  15232  prodfn0  15242  prodrblem  15275  prodmolem2a  15280  fprodntriv  15288  fprodser  15295  fprod1p  15314  fprodrev  15323  fallfacval3  15358  fallfacfwd  15382  0fallfac  15383  binomfallfaclem1  15385  binomfallfaclem2  15386  binomrisefac  15388  fallfacval4  15389  bpolycl  15398  bpolysum  15399  bpolydiflem  15400  fsumkthpow  15402  bpoly4  15405  fzm1ndvds  15664  pwp1fsum  15732  prmdvdsfz  16039  isprm7  16042  hashdvds  16102  phiprmpw  16103  prmdiveq  16113  prmdivdiv  16114  modprminv  16126  modprminveq  16127  modprm0  16132  4sqlem11  16281  4sqlem12  16282  vdwapun  16300  prmop1  16364  prmdvdsprmo  16368  prmdvdsprmop  16369  prmgaplem1  16375  prmgaplem2  16376  prmgaplcmlem1  16377  prmgaplcmlem2  16378  prmgapprmo  16388  cshwshashlem1  16421  cshwshashlem2  16422  dfod2  18683  efgredleme  18861  efgredlemc  18863  efgredlemb  18864  gsummptshft  19049  srgbinomlem3  19285  srgbinomlem4  19286  srgbinomlem  19287  chpscmatgsummon  21450  cayhamlem1  21471  iscmet3  23897  mbfi1fseqlem4  24322  itgz  24384  itgcl  24387  ibl0  24390  iblss  24408  iblss2  24409  itgss  24415  itgeqa  24417  iblconst  24421  iblabsr  24433  iblmulc2  24434  itgsplit  24439  dvfsumlem3  24631  plyeq0lem  24807  aalioulem1  24928  cxpeq  25346  birthdaylem2  25538  wilthlem1  25653  wilthlem2  25654  wilthlem3  25655  ftalem5  25662  basellem3  25668  basellem4  25669  dvdsppwf1o  25771  dvdsflf1o  25772  musum  25776  ppiub  25788  chtublem  25795  mersenne  25811  bposlem1  25868  lgsval2lem  25891  lgsdilem2  25917  lgsqrlem2  25931  lgsqrlem4  25933  gausslemma2dlem1a  25949  gausslemma2dlem1  25950  gausslemma2dlem3  25952  gausslemma2dlem4  25953  gausslemma2dlem5a  25954  gausslemma2dlem5  25955  gausslemma2dlem6  25956  lgseisenlem1  25959  lgseisenlem2  25960  lgseisenlem3  25961  lgsquadlem1  25964  lgsquadlem2  25965  lgsquadlem3  25966  2lgslem1a1  25973  2lgslem1a  25975  2lgslem1b  25976  rpvmasumlem  26071  dchrisumlem1  26073  dchrisumlem2  26074  dchrmusum2  26078  dchrvmasumlem1  26079  dchrvmasum2lem  26080  dchrvmasum2if  26081  dchrvmasumlem3  26083  dchrvmasumiflem1  26085  dchrvmasumiflem2  26086  dchrisum0flblem1  26092  rpvmasum2  26096  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem1  26100  dchrisum0lem2a  26101  dchrisum0lem2  26102  dchrisum0lem3  26103  dchrmusumlem  26106  dchrvmasumlem  26107  logdivbnd  26140  pntpbnd1  26170  pntlemh  26183  pntlemj  26187  pntlemf  26189  ostth2lem2  26218  axlowdimlem13  26748  axlowdimlem14  26749  axlowdimlem16  26751  crctcshlem4  27606  crctcshwlkn0  27607  erclwwlkeqlen  27804  clwwnisshclwwsn  27844  eleclclwwlknlem2  27846  erclwwlkneqlen  27853  fzm1ne1  30538  fzsplit3  30543  bcm1n  30544  fzone1  30549  prmdvdsbc  30558  swrdf1  30656  cycpmco2lem7  30824  freshmansdream  30909  ballotlemfc0  31860  ballotlemfcc  31861  ballotlemodife  31865  ballotlemimin  31873  ballotlemsgt1  31878  ballotlemsel1i  31880  ballotlemsf1o  31881  ballotlemsi  31882  ballotlemsima  31883  ballotlemfg  31893  ballotlemfrc  31894  ballotlemfrceq  31896  ballotlemfrcn0  31897  ballotlemirc  31899  ballotlem1ri  31902  revpfxsfxrev  32475  swrdrevpfx  32476  pfxwlk  32483  swrdwlk  32486  erdszelem8  32558  erdszelem9  32559  cvmliftlem7  32651  supfz  33073  inffz  33074  bcprod  33083  fwddifnp1  33739  poimirlem1  35058  poimirlem2  35059  poimirlem7  35064  poimirlem14  35071  poimirlem15  35072  poimirlem16  35073  poimirlem17  35074  poimirlem19  35076  poimirlem20  35077  poimirlem23  35080  poimirlem24  35081  poimirlem27  35084  poimirlem28  35085  poimirlem31  35088  poimirlem32  35089  mblfinlem2  35095  iblmulc2nc  35122  fdc  35183  lcmineqlem1  39317  lcmineqlem6  39322  lcmineqlem17  39333  aks4d1p1p1  39345  metakunt15  39364  metakunt16  39365  metakunt19  39368  metakunt25  39374  metakunt33  39382  irrapxlem1  39763  irrapxlem2  39764  irrapxlem3  39765  pellexlem5  39774  acongrep  39921  fzmaxdif  39922  acongeq  39924  jm2.22  39936  jm2.23  39937  jm2.26lem3  39942  jm2.26  39943  jm2.27dlem2  39951  hashnzfz  41024  monoords  41929  fmul01lt1lem1  42226  fmul01lt1lem2  42227  sumnnodd  42272  limsupubuzlem  42354  dvnmul  42585  dvnprodlem2  42589  iblsplit  42608  iblspltprt  42615  itgspltprt  42621  stoweidlem3  42645  stoweidlem11  42653  stoweidlem20  42662  stoweidlem26  42668  stoweidlem34  42676  stoweidlem59  42701  stirlinglem10  42725  dirkertrigeqlem1  42740  dirkertrigeqlem2  42741  dirkertrigeqlem3  42742  dirkertrigeq  42743  dirkeritg  42744  fourierdlem11  42760  fourierdlem12  42761  fourierdlem15  42764  fourierdlem34  42783  fourierdlem41  42790  fourierdlem46  42794  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem50  42798  fourierdlem54  42802  fourierdlem63  42811  fourierdlem64  42812  fourierdlem65  42813  fourierdlem79  42827  fourierdlem102  42850  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem114  42862  elaa2lem  42875  etransclem4  42880  etransclem7  42883  etransclem8  42884  etransclem17  42893  etransclem18  42894  etransclem20  42896  etransclem23  42899  etransclem27  42903  etransclem31  42907  etransclem32  42908  etransclem35  42911  etransclem41  42917  etransclem46  42922  etransclem48  42924  iundjiun  43099  caratheodorylem1  43165  2elfz2melfz  43875  elfzelfzlble  43878  el1fzopredsuc  43882  iccpartgtprec  43937  iccpartiltu  43939  iccpartgt  43944  iccpartnel  43955  fargshiftfo  43959  altgsumbc  44754  altgsumbcALT  44755  nn0sumshdiglemA  45033  nn0sumshdiglemB  45034