Theorem elfzelz 13478

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13474	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 12798	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  elfzelzd  13479  fzssz  13480  elfz1eq  13489  fzsplit2  13503  fzdisj  13505  elfznn  13507  ssfzunsnext  13523  fznatpl1  13532  fzrev2i  13543  fzrev3i  13545  fznuz  13563  fzrevral  13566  fzshftral  13569  fznn0sub2  13589  elfzmlbm  13592  difelfznle  13596  predfz  13607  fzosplit  13647  sermono  13996  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  bcval2  14267  bcval4  14269  bccmpl  14271  bcp1nk  14279  bcval5  14280  bcpasc  14283  bccl2  14285  seqcoll2  14427  swrdval2  14609  swrdwrdsymb  14625  ccatpfx  14663  swrdswrd  14667  swrdpfx  14669  pfxccatin12lem2a  14689  pfxccatin12lem1  14690  swrdccatin2  14691  pfxccatin12lem2  14693  pfxccatin12  14695  spllen  14716  cshwidxm  14770  cshwidxn  14771  lswcshw  14777  2cshwcshw  14787  cshwcshid  14789  cshwcsh2id  14790  swrds2m  14903  seqshft  15047  sumrblem  15673  summolem2a  15677  fsum0diaglem  15738  mptfzshft  15740  fsumshftm  15743  fsum0diag2  15745  binomlem  15794  binom11  15797  bcxmas  15800  arisum  15825  geo2sum  15838  mertenslem1  15849  prodfn0  15859  prodrblem  15894  prodmolem2a  15899  fprodntriv  15907  fprodser  15914  fprodrev  15942  fallfacval3  15977  fallfacfwd  16001  0fallfac  16002  binomfallfaclem1  16004  binomfallfaclem2  16005  binomrisefac  16007  fallfacval4  16008  bpolycl  16017  bpolysum  16018  bpolydiflem  16019  fsumkthpow  16021  bpoly4  16024  fzm1ndvds  16291  pwp1fsum  16360  prmdvdsfz  16675  isprm7  16678  prmdvdsbc  16696  hashdvds  16745  phiprmpw  16746  prmdiveq  16756  modprminv  16770  modprminveq  16771  modprm0  16776  4sqlem11  16926  vdwapun  16945  prmop1  17009  prmdvdsprmo  17013  prmdvdsprmop  17014  prmgaplem1  17020  prmgaplem2  17021  prmgaplcmlem1  17022  prmgaplcmlem2  17023  prmgapprmo  17033  cshwshashlem1  17066  cshwshashlem2  17067  dfod2  19539  gsummptshft  19911  srgbinomlem3  20209  srgbinomlem4  20210  srgbinomlem  20211  freshmansdream  21554  chpscmatgsummon  22810  cayhamlem1  22831  iscmet3  25260  mbfi1fseqlem4  25685  itgz  25748  itgcl  25751  ibl0  25754  iblss  25772  iblss2  25773  itgss  25779  itgeqa  25781  iblconst  25785  iblabsr  25797  iblmulc2  25798  itgsplit  25803  dvfsumlem3  25995  plyeq0lem  26175  aalioulem1  26298  cxpeq  26721  birthdaylem2  26916  wilthlem1  27031  wilthlem3  27033  ftalem5  27040  basellem3  27046  basellem4  27047  dvdsppwf1o  27149  dvdsflf1o  27150  musum  27154  ppiub  27167  chtublem  27174  mersenne  27190  bposlem1  27247  lgsval2lem  27270  lgsdilem2  27296  lgsqrlem2  27310  gausslemma2dlem1a  27328  gausslemma2dlem1  27329  gausslemma2dlem3  27331  gausslemma2dlem4  27332  gausslemma2dlem5a  27333  gausslemma2dlem5  27334  gausslemma2dlem6  27335  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  lgseisenlem3  27340  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  lgsquadlem3  27345  2lgslem1a1  27352  2lgslem1a  27354  2lgslem1b  27355  rpvmasumlem  27450  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem2  27453  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem1  27458  dchrvmasum2lem  27459  dchrvmasum2if  27460  dchrvmasumlem3  27462  dchrvmasumiflem1  27464  dchrvmasumiflem2  27465  dchrisum0flblem1  27471  rpvmasum2  27475  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  dchrisum0lem3  27482  dchrmusumlem  27485  dchrvmasumlem  27486  logdivbnd  27519  pntpbnd1  27549  pntlemh  27562  pntlemf  27568  ostth2lem2  27597  axlowdimlem13  29023  axlowdimlem14  29024  axlowdimlem16  29026  crctcshlem4  29888  crctcshwlkn0  29889  erclwwlkeqlen  30089  clwwnisshclwwsn  30129  eleclclwwlknlem2  30131  erclwwlkneqlen  30138  fzm1ne1  32861  fzsplit3  32866  bcm1n  32868  ballotlemfc0  34637  ballotlemfcc  34638  ballotlemodife  34642  ballotlemimin  34650  ballotlemsgt1  34655  ballotlemsel1i  34657  ballotlemsf1o  34658  ballotlemsi  34659  ballotlemsima  34660  ballotlemfg  34670  ballotlemfrc  34671  ballotlemfrcn0  34674  revpfxsfxrev  35298  swrdrevpfx  35299  pfxwlk  35306  swrdwlk  35309  erdszelem8  35380  erdszelem9  35381  cvmliftlem7  35473  supfz  35911  inffz  35912  bcprod  35920  fwddifnp1  36347  poimirlem1  37942  poimirlem14  37955  poimirlem15  37956  poimirlem16  37957  poimirlem17  37958  poimirlem19  37960  poimirlem20  37961  poimirlem23  37964  poimirlem24  37965  poimirlem27  37968  poimirlem31  37972  poimirlem32  37973  mblfinlem2  37979  iblmulc2nc  38006  fdc  38066  lcmineqlem1  42468  lcmineqlem6  42473  lcmineqlem17  42484  aks4d1p1p1  42502  aks6d1c1  42555  hashscontpow  42561  aks6d1c5lem0  42574  aks6d1c5lem3  42576  aks6d1c5  42578  sticksstones6  42590  sticksstones7  42591  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  aks6d1c6lem1  42609  bcled  42617  bcle2d  42618  aks5lem5a  42630  grpods  42633  unitscyglem2  42635  unitscyglem4  42637  sumcubes  42745  irrapxlem1  43250  irrapxlem2  43251  irrapxlem3  43252  pellexlem5  43261  acongrep  43408  acongeq  43411  jm2.22  43423  jm2.23  43424  jm2.26lem3  43429  jm2.27dlem2  43438  hashnzfz  44747  monoords  45730  fmul01lt1lem1  46014  fmul01lt1lem2  46015  sumnnodd  46060  limsupubuzlem  46140  dvnmul  46371  dvnprodlem1  46374  dvnprodlem2  46375  iblsplit  46394  iblspltprt  46401  itgspltprt  46407  stoweidlem3  46431  stoweidlem11  46439  stoweidlem20  46448  stoweidlem26  46454  stoweidlem34  46462  stoweidlem59  46487  stirlinglem10  46511  dirkertrigeqlem1  46526  dirkertrigeqlem2  46527  dirkertrigeqlem3  46528  dirkertrigeq  46529  dirkeritg  46530  fourierdlem11  46546  fourierdlem12  46547  fourierdlem15  46550  fourierdlem34  46569  fourierdlem41  46576  fourierdlem46  46580  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem50  46584  fourierdlem54  46588  fourierdlem63  46597  fourierdlem64  46598  fourierdlem65  46599  fourierdlem79  46613  fourierdlem102  46636  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem114  46648  elaa2lem  46661  etransclem4  46666  etransclem7  46669  etransclem8  46670  etransclem17  46679  etransclem18  46680  etransclem20  46682  etransclem23  46685  etransclem27  46689  etransclem31  46693  etransclem32  46694  etransclem35  46697  etransclem41  46703  etransclem46  46708  etransclem48  46710  iundjiun  46888  caratheodorylem1  46954  2elfz2melfz  47766  elfzelfzlble  47769  el1fzopredsuc  47774  iccpartiltu  47882  iccpartgt  47887  iccpartnel  47898  fargshiftfo  47902  altgsumbc  48828  altgsumbcALT  48829  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglemB  49096