Theorem elfzelz 13501

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13497	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 12832	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  elfzelzd  13502  fzssz  13503  elfz1eq  13512  fzsplit2  13526  fzdisj  13528  elfznn  13530  ssfzunsnext  13546  fznatpl1  13555  fzrev2i  13566  fzrev3i  13568  fznuz  13583  fzrevral  13586  fzshftral  13589  fznn0sub2  13608  elfzmlbm  13611  difelfznle  13615  predfz  13626  fzosplit  13665  sermono  14000  seqf1olem1  14007  seqf1olem2  14008  bcval2  14265  bcval4  14267  bccmpl  14269  bcp1nk  14277  bcval5  14278  bcpasc  14281  bccl2  14283  seqcoll2  14426  swrdval2  14596  swrdwrdsymb  14612  addlenrevpfx  14640  ccatpfx  14651  swrdswrd  14655  swrdpfx  14657  pfxccatin12lem2a  14677  pfxccatin12lem1  14678  swrdccatin2  14679  pfxccatin12lem2  14681  pfxccatin12  14683  spllen  14704  cshwidxm  14758  cshwidxn  14759  lswcshw  14765  2cshwcshw  14776  cshwcshid  14778  cshwcsh2id  14779  swrds2m  14892  seqshft  15032  sumrblem  15657  summolem2a  15661  fsum0diaglem  15722  mptfzshft  15724  fsumshftm  15727  fsum0diag2  15729  binomlem  15775  binom11  15778  bcxmas  15781  arisum  15806  geo2sum  15819  mertenslem1  15830  prodfn0  15840  prodrblem  15873  prodmolem2a  15878  fprodntriv  15886  fprodser  15893  fprodrev  15921  fallfacval3  15956  fallfacfwd  15980  0fallfac  15981  binomfallfaclem1  15983  binomfallfaclem2  15984  binomrisefac  15986  fallfacval4  15987  bpolycl  15996  bpolysum  15997  bpolydiflem  15998  fsumkthpow  16000  bpoly4  16003  fzm1ndvds  16265  pwp1fsum  16334  prmdvdsfz  16642  isprm7  16645  hashdvds  16708  phiprmpw  16709  prmdiveq  16719  modprminv  16732  modprminveq  16733  modprm0  16738  4sqlem11  16888  vdwapun  16907  prmop1  16971  prmdvdsprmo  16975  prmdvdsprmop  16976  prmgaplem1  16982  prmgaplem2  16983  prmgaplcmlem1  16984  prmgaplcmlem2  16985  prmgapprmo  16995  cshwshashlem1  17029  cshwshashlem2  17030  dfod2  19432  gsummptshft  19804  srgbinomlem3  20051  srgbinomlem4  20052  srgbinomlem  20053  chpscmatgsummon  22347  cayhamlem1  22368  iscmet3  24810  mbfi1fseqlem4  25236  itgz  25298  itgcl  25301  ibl0  25304  iblss  25322  iblss2  25323  itgss  25329  itgeqa  25331  iblconst  25335  iblabsr  25347  iblmulc2  25348  itgsplit  25353  dvfsumlem3  25545  plyeq0lem  25724  aalioulem1  25845  cxpeq  26265  birthdaylem2  26457  wilthlem1  26572  wilthlem3  26574  ftalem5  26581  basellem3  26587  basellem4  26588  dvdsppwf1o  26690  dvdsflf1o  26691  musum  26695  ppiub  26707  chtublem  26714  mersenne  26730  bposlem1  26787  lgsval2lem  26810  lgsdilem2  26836  lgsqrlem2  26850  gausslemma2dlem1a  26868  gausslemma2dlem1  26869  gausslemma2dlem3  26871  gausslemma2dlem4  26872  gausslemma2dlem5a  26873  gausslemma2dlem5  26874  gausslemma2dlem6  26875  lgseisenlem1  26878  lgseisenlem2  26879  lgseisenlem3  26880  lgsquadlem1  26883  lgsquadlem2  26884  lgsquadlem3  26885  2lgslem1a1  26892  2lgslem1a  26894  2lgslem1b  26895  rpvmasumlem  26990  dchrisumlem1  26992  dchrisumlem2  26993  dchrmusum2  26997  dchrvmasumlem1  26998  dchrvmasum2lem  26999  dchrvmasum2if  27000  dchrvmasumlem3  27002  dchrvmasumiflem1  27004  dchrvmasumiflem2  27005  dchrisum0flblem1  27011  rpvmasum2  27015  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  dchrisum0lem2  27021  dchrisum0lem3  27022  dchrmusumlem  27025  dchrvmasumlem  27026  logdivbnd  27059  pntpbnd1  27089  pntlemh  27102  pntlemf  27108  ostth2lem2  27137  axlowdimlem13  28243  axlowdimlem14  28244  axlowdimlem16  28246  crctcshlem4  29105  crctcshwlkn0  29106  erclwwlkeqlen  29303  clwwnisshclwwsn  29343  eleclclwwlknlem2  29345  erclwwlkneqlen  29352  fzm1ne1  32031  fzsplit3  32036  bcm1n  32037  prmdvdsbc  32053  freshmansdream  32412  ballotlemfc0  33522  ballotlemfcc  33523  ballotlemodife  33527  ballotlemimin  33535  ballotlemsgt1  33540  ballotlemsel1i  33542  ballotlemsf1o  33543  ballotlemsi  33544  ballotlemsima  33545  ballotlemfg  33555  ballotlemfrc  33556  ballotlemfrcn0  33559  revpfxsfxrev  34137  swrdrevpfx  34138  pfxwlk  34145  swrdwlk  34148  erdszelem8  34220  erdszelem9  34221  cvmliftlem7  34313  supfz  34729  inffz  34730  bcprod  34739  fwddifnp1  35168  poimirlem1  36537  poimirlem14  36550  poimirlem15  36551  poimirlem16  36552  poimirlem17  36553  poimirlem19  36555  poimirlem20  36556  poimirlem23  36559  poimirlem24  36560  poimirlem27  36563  poimirlem31  36567  poimirlem32  36568  mblfinlem2  36574  iblmulc2nc  36601  fdc  36661  lcmineqlem1  40942  lcmineqlem6  40947  lcmineqlem17  40958  aks4d1p1p1  40976  sticksstones6  41015  sticksstones7  41016  sticksstones10  41019  sticksstones12a  41021  sticksstones12  41022  metakunt15  41047  metakunt16  41048  metakunt19  41051  metakunt25  41057  metakunt33  41065  sumcubes  41259  irrapxlem1  41608  irrapxlem2  41609  irrapxlem3  41610  pellexlem5  41619  acongrep  41767  acongeq  41770  jm2.22  41782  jm2.23  41783  jm2.26lem3  41788  jm2.27dlem2  41797  hashnzfz  43127  monoords  44055  fmul01lt1lem1  44348  fmul01lt1lem2  44349  sumnnodd  44394  limsupubuzlem  44476  dvnmul  44707  dvnprodlem2  44711  iblsplit  44730  iblspltprt  44737  itgspltprt  44743  stoweidlem3  44767  stoweidlem11  44775  stoweidlem20  44784  stoweidlem26  44790  stoweidlem34  44798  stoweidlem59  44823  stirlinglem10  44847  dirkertrigeqlem1  44862  dirkertrigeqlem2  44863  dirkertrigeqlem3  44864  dirkertrigeq  44865  dirkeritg  44866  fourierdlem11  44882  fourierdlem12  44883  fourierdlem15  44886  fourierdlem34  44905  fourierdlem41  44912  fourierdlem46  44916  fourierdlem48  44918  fourierdlem49  44919  fourierdlem50  44920  fourierdlem54  44924  fourierdlem63  44933  fourierdlem64  44934  fourierdlem65  44935  fourierdlem79  44949  fourierdlem102  44972  fourierdlem103  44973  fourierdlem104  44974  fourierdlem114  44984  elaa2lem  44997  etransclem4  45002  etransclem7  45005  etransclem8  45006  etransclem17  45015  etransclem18  45016  etransclem20  45018  etransclem23  45021  etransclem27  45025  etransclem31  45029  etransclem32  45030  etransclem35  45033  etransclem41  45039  etransclem46  45044  etransclem48  45046  iundjiun  45224  caratheodorylem1  45290  2elfz2melfz  46074  elfzelfzlble  46077  el1fzopredsuc  46081  iccpartiltu  46138  iccpartgt  46143  iccpartnel  46154  fargshiftfo  46158  altgsumbc  47076  altgsumbcALT  47077  nn0sumshdiglemA  47353  nn0sumshdiglemB  47354