Theorem elfzelz 13427

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13423	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 12745	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  elfzelzd  13428  fzssz  13429  elfz1eq  13438  fzsplit2  13452  fzdisj  13454  elfznn  13456  ssfzunsnext  13472  fznatpl1  13481  fzrev2i  13492  fzrev3i  13494  fznuz  13512  fzrevral  13515  fzshftral  13518  fznn0sub2  13538  elfzmlbm  13541  difelfznle  13545  predfz  13556  fzosplit  13595  sermono  13941  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  bcval2  14212  bcval4  14214  bccmpl  14216  bcp1nk  14224  bcval5  14225  bcpasc  14228  bccl2  14230  seqcoll2  14372  swrdval2  14553  swrdwrdsymb  14569  ccatpfx  14607  swrdswrd  14611  swrdpfx  14613  pfxccatin12lem2a  14633  pfxccatin12lem1  14634  swrdccatin2  14635  pfxccatin12lem2  14637  pfxccatin12  14639  spllen  14660  cshwidxm  14714  cshwidxn  14715  lswcshw  14721  2cshwcshw  14732  cshwcshid  14734  cshwcsh2id  14735  swrds2m  14848  seqshft  14992  sumrblem  15618  summolem2a  15622  fsum0diaglem  15683  mptfzshft  15685  fsumshftm  15688  fsum0diag2  15690  binomlem  15736  binom11  15739  bcxmas  15742  arisum  15767  geo2sum  15780  mertenslem1  15791  prodfn0  15801  prodrblem  15836  prodmolem2a  15841  fprodntriv  15849  fprodser  15856  fprodrev  15884  fallfacval3  15919  fallfacfwd  15943  0fallfac  15944  binomfallfaclem1  15946  binomfallfaclem2  15947  binomrisefac  15949  fallfacval4  15950  bpolycl  15959  bpolysum  15960  bpolydiflem  15961  fsumkthpow  15963  bpoly4  15966  fzm1ndvds  16233  pwp1fsum  16302  prmdvdsfz  16616  isprm7  16619  prmdvdsbc  16637  hashdvds  16686  phiprmpw  16687  prmdiveq  16697  modprminv  16711  modprminveq  16712  modprm0  16717  4sqlem11  16867  vdwapun  16886  prmop1  16950  prmdvdsprmo  16954  prmdvdsprmop  16955  prmgaplem1  16961  prmgaplem2  16962  prmgaplcmlem1  16963  prmgaplcmlem2  16964  prmgapprmo  16974  cshwshashlem1  17007  cshwshashlem2  17008  dfod2  19443  gsummptshft  19815  srgbinomlem3  20113  srgbinomlem4  20114  srgbinomlem  20115  freshmansdream  21481  chpscmatgsummon  22730  cayhamlem1  22751  iscmet3  25191  mbfi1fseqlem4  25617  itgz  25680  itgcl  25683  ibl0  25686  iblss  25704  iblss2  25705  itgss  25711  itgeqa  25713  iblconst  25717  iblabsr  25729  iblmulc2  25730  itgsplit  25735  dvfsumlem3  25933  plyeq0lem  26113  aalioulem1  26238  cxpeq  26665  birthdaylem2  26860  wilthlem1  26976  wilthlem3  26978  ftalem5  26985  basellem3  26991  basellem4  26992  dvdsppwf1o  27094  dvdsflf1o  27095  musum  27099  ppiub  27113  chtublem  27120  mersenne  27136  bposlem1  27193  lgsval2lem  27216  lgsdilem2  27242  lgsqrlem2  27256  gausslemma2dlem1a  27274  gausslemma2dlem1  27275  gausslemma2dlem3  27277  gausslemma2dlem4  27278  gausslemma2dlem5a  27279  gausslemma2dlem5  27280  gausslemma2dlem6  27281  lgseisenlem1  27284  lgseisenlem2  27285  lgseisenlem3  27286  lgsquadlem1  27289  lgsquadlem2  27290  lgsquadlem3  27291  2lgslem1a1  27298  2lgslem1a  27300  2lgslem1b  27301  rpvmasumlem  27396  dchrisumlem1  27398  dchrisumlem2  27399  dchrmusum2  27403  dchrvmasumlem1  27404  dchrvmasum2lem  27405  dchrvmasum2if  27406  dchrvmasumlem3  27408  dchrvmasumiflem1  27410  dchrvmasumiflem2  27411  dchrisum0flblem1  27417  rpvmasum2  27421  dchrisum0lem1b  27424  dchrisum0lem1  27425  dchrisum0lem2a  27426  dchrisum0lem2  27427  dchrisum0lem3  27428  dchrmusumlem  27431  dchrvmasumlem  27432  logdivbnd  27465  pntpbnd1  27495  pntlemh  27508  pntlemf  27514  ostth2lem2  27543  axlowdimlem13  28899  axlowdimlem14  28900  axlowdimlem16  28902  crctcshlem4  29765  crctcshwlkn0  29766  erclwwlkeqlen  29963  clwwnisshclwwsn  30003  eleclclwwlknlem2  30005  erclwwlkneqlen  30012  fzm1ne1  32732  fzsplit3  32737  bcm1n  32739  ballotlemfc0  34467  ballotlemfcc  34468  ballotlemodife  34472  ballotlemimin  34480  ballotlemsgt1  34485  ballotlemsel1i  34487  ballotlemsf1o  34488  ballotlemsi  34489  ballotlemsima  34490  ballotlemfg  34500  ballotlemfrc  34501  ballotlemfrcn0  34504  revpfxsfxrev  35099  swrdrevpfx  35100  pfxwlk  35107  swrdwlk  35110  erdszelem8  35181  erdszelem9  35182  cvmliftlem7  35274  supfz  35712  inffz  35713  bcprod  35721  fwddifnp1  36149  poimirlem1  37611  poimirlem14  37624  poimirlem15  37625  poimirlem16  37626  poimirlem17  37627  poimirlem19  37629  poimirlem20  37630  poimirlem23  37633  poimirlem24  37634  poimirlem27  37637  poimirlem31  37641  poimirlem32  37642  mblfinlem2  37648  iblmulc2nc  37675  fdc  37735  lcmineqlem1  42012  lcmineqlem6  42017  lcmineqlem17  42028  aks4d1p1p1  42046  aks6d1c1  42099  hashscontpow  42105  aks6d1c5lem0  42118  aks6d1c5lem3  42120  aks6d1c5  42122  sticksstones6  42134  sticksstones7  42135  sticksstones10  42138  sticksstones12a  42140  sticksstones12  42141  aks6d1c6lem1  42153  bcled  42161  bcle2d  42162  aks5lem5a  42174  grpods  42177  unitscyglem2  42179  unitscyglem4  42181  sumcubes  42296  irrapxlem1  42805  irrapxlem2  42806  irrapxlem3  42807  pellexlem5  42816  acongrep  42963  acongeq  42966  jm2.22  42978  jm2.23  42979  jm2.26lem3  42984  jm2.27dlem2  42993  hashnzfz  44303  monoords  45289  fmul01lt1lem1  45575  fmul01lt1lem2  45576  sumnnodd  45621  limsupubuzlem  45703  dvnmul  45934  dvnprodlem1  45937  dvnprodlem2  45938  iblsplit  45957  iblspltprt  45964  itgspltprt  45970  stoweidlem3  45994  stoweidlem11  46002  stoweidlem20  46011  stoweidlem26  46017  stoweidlem34  46025  stoweidlem59  46050  stirlinglem10  46074  dirkertrigeqlem1  46089  dirkertrigeqlem2  46090  dirkertrigeqlem3  46091  dirkertrigeq  46092  dirkeritg  46093  fourierdlem11  46109  fourierdlem12  46110  fourierdlem15  46113  fourierdlem34  46132  fourierdlem41  46139  fourierdlem46  46143  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem50  46147  fourierdlem54  46151  fourierdlem63  46160  fourierdlem64  46161  fourierdlem65  46162  fourierdlem79  46176  fourierdlem102  46199  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  fourierdlem114  46211  elaa2lem  46224  etransclem4  46229  etransclem7  46232  etransclem8  46233  etransclem17  46242  etransclem18  46243  etransclem20  46245  etransclem23  46248  etransclem27  46252  etransclem31  46256  etransclem32  46257  etransclem35  46260  etransclem41  46266  etransclem46  46271  etransclem48  46273  iundjiun  46451  caratheodorylem1  46517  2elfz2melfz  47312  elfzelfzlble  47315  el1fzopredsuc  47319  iccpartiltu  47416  iccpartgt  47421  iccpartnel  47432  fargshiftfo  47436  altgsumbc  48346  altgsumbcALT  48347  nn0sumshdiglemA  48614  nn0sumshdiglemB  48615