Theorem fzm1ne1 31012

Description: Elementhood of an integer and its predecessor in finite intervals of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fzm1ne1	⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 − 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzm1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzne1 31011	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
2		elfzel1 13184	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3		elfzel2 13183	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfzelz 13185	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		1zzd 12281	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
7		fzsubel 13221	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
8	7	biimp3a 1467	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐾 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	syl221anc 1379	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
11		elfzel1 13184	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12356	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
14		1cnd 10901	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
15	13, 14	pncand 11263	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
16	15	oveq1d 7270	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
17	10, 16	eleqtrd 2841	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 − 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  ℤcz 12249  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by: (None)