Theorem fzm1ne1 32505

Description: Elementhood of an integer and its predecessor in finite intervals of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fzm1ne1	⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 − 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzm1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzne1 32504	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
2		elfzel1 13503	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3		elfzel2 13502	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfzelz 13504	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		1zzd 12594	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
7		fzsubel 13540	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
8	7	biimp3a 1465	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐾 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	syl221anc 1378	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
11		elfzel1 13503	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12668	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
14		1cnd 11210	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
15	13, 14	pncand 11573	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
16	15	oveq1d 7419	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
17	10, 16	eleqtrd 2829	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 − 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  (class class class)co 7404  1c1 11110   + caddc 11112   − cmin 11445  ℤcz 12559  ...cfz 13487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488

This theorem is referenced by: (None)