Theorem fzm1ne1 32885

Description: Elementhood of an integer and its predecessor in finite intervals of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fzm1ne1	⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 − 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzm1ne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzne1 13534	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
2		elfzel1 13453	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3		elfzel2 13452	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		elfzelz 13454	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		1zzd 12536	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
7		fzsubel 13490	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
8	7	biimp3a 1472	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐾 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	syl221anc 1384	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 − 1) ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
11		elfzel1 13453	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12611	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
14		1cnd 11141	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
15	13, 14	pncand 11507	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
16	15	oveq1d 7385	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
17	10, 16	eleqtrd 2839	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 − 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7370  1c1 11041   + caddc 11043   − cmin 11378  ℤcz 12502  ...cfz 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438

This theorem is referenced by: (None)