Theorem ioossre 12786

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 12756	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3919	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3881  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  (,)cioo 12726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ioo 12730

This theorem is referenced by:  ioosscn  12787  ioof  12825  difreicc  12862  icopnfcld  23373  ioombl1  24166  ioorcl2  24176  uniioombllem2  24187  uniioombllem3a  24188  uniioombllem3  24189  uniioombllem4  24190  uniioombllem6  24192  ismbf3d  24258  itgsplitioo  24441  ditgeq3  24453  dvmptresicc  24519  dvferm1lem  24587  dvferm2lem  24589  dvferm  24591  dvlip  24596  dvlipcn  24597  dvle  24610  dvivthlem1  24611  dvivth  24613  lhop1lem  24616  lhop1  24617  lhop2  24618  lhop  24619  dvfsumle  24624  dvfsumge  24625  dvfsumlem1  24629  dvfsumlem2  24630  dvfsumlem3  24631  dvfsumlem4  24632  dvfsumrlimge0  24633  dvfsumrlim  24634  dvfsumrlim2  24635  dvfsum2  24637  ftc1a  24640  ftc1cn  24646  ftc2  24647  itgsubstlem  24651  itgsubst  24652  itgpowd  24653  efcvx  25044  pige3ALT  25112  tanord  25130  divlogrlim  25226  logccv  25254  atantan  25509  amgmlem  25575  vmalogdivsum2  26122  2vmadivsumlem  26124  chpdifbndlem1  26137  selberg3lem1  26141  selberg4lem1  26144  selberg4  26145  selberg3r  26153  selberg4r  26154  selberg34r  26155  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem3  26163  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  pntrlog2bndlem6  26167  pntrlog2bnd  26168  pntpbnd1a  26169  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  pntibndlem2a  26174  pntibndlem2  26175  pntibndlem3  26176  pntlemd  26178  pnt  26198  padicabv  26214  cnre2csqima  31264  ftc2re  31979  fdvposlt  31980  fdvposle  31982  itgexpif  31987  circlemeth  32021  circlemethnat  32022  circlevma  32023  circlemethhgt  32024  ioosconn  32607  iccllysconn  32610  itg2gt0cn  35112  itggt0cn  35127  ftc1cnnclem  35128  ftc1cnnc  35129  ftc1anclem8  35137  ftc2nc  35139  dvreasin  35143  dvreacos  35144  areacirclem1  35145  areacirc  35150  ioontr  42148  iooshift  42159  ioonct  42174  iooiinicc  42179  icomnfinre  42189  iooiinioc  42193  islptre  42261  lptioo2  42273  lptioo1  42274  limcresiooub  42284  limcresioolb  42285  limcleqr  42286  lptioo2cn  42287  lptioo1cn  42288  limclner  42293  limclr  42297  icccncfext  42529  cncfiooicclem1  42535  dvresioo  42563  dvbdfbdioolem1  42570  dvbdfbdioolem2  42571  ioodvbdlimc1lem1  42573  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  itgsin0pilem1  42592  itgcoscmulx  42611  itgiccshift  42622  itgperiod  42623  itgsbtaddcnst  42624  dirkercncflem2  42746  dirkercncflem3  42747  dirkercncflem4  42748  fourierdlem16  42765  fourierdlem21  42770  fourierdlem22  42771  fourierdlem28  42777  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem50  42798  fourierdlem56  42804  fourierdlem57  42805  fourierdlem59  42807  fourierdlem60  42808  fourierdlem61  42809  fourierdlem65  42813  fourierdlem72  42820  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem76  42824  fourierdlem80  42828  fourierdlem81  42829  fourierdlem83  42831  fourierdlem84  42832  fourierdlem85  42833  fourierdlem88  42836  fourierdlem89  42837  fourierdlem90  42838  fourierdlem91  42839  fourierdlem92  42840  fourierdlem94  42842  fourierdlem95  42843  fourierdlem97  42845  fourierdlem101  42849  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem111  42859  fourierdlem112  42860  fourierdlem113  42861  fouriersw  42873  fouriercn  42874  ioorrnopnlem  42946  hspdifhsp  43255  hspmbllem2  43266  hspmbl  43268  iunhoiioolem  43314  smfresal  43420  smfpimbor1lem1  43430