Theorem ioossre 13385

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13354	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3987	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3949  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  (,)cioo 13324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328

This theorem is referenced by:  ioosscn  13386  ioof  13424  difreicc  13461  icopnfcld  24284  ioombl1  25079  ioorcl2  25089  uniioombllem2  25100  uniioombllem3a  25101  uniioombllem3  25102  uniioombllem4  25103  uniioombllem6  25105  ismbf3d  25171  itgsplitioo  25355  ditgeq3  25367  dvmptresicc  25433  dvferm1lem  25501  dvferm2lem  25503  dvferm  25505  dvlip  25510  dvlipcn  25511  dvle  25524  dvivthlem1  25525  dvivth  25527  lhop1lem  25530  lhop1  25531  lhop2  25532  lhop  25533  dvfsumle  25538  dvfsumge  25539  dvfsumlem1  25543  dvfsumlem2  25544  dvfsumlem3  25545  dvfsumlem4  25546  dvfsumrlimge0  25547  dvfsumrlim  25548  dvfsumrlim2  25549  dvfsum2  25551  ftc1a  25554  ftc1cn  25560  ftc2  25561  itgsubstlem  25565  itgsubst  25566  itgpowd  25567  efcvx  25961  pige3ALT  26029  tanord  26047  divlogrlim  26143  logccv  26171  atantan  26428  amgmlem  26494  vmalogdivsum2  27041  2vmadivsumlem  27043  chpdifbndlem1  27056  selberg3lem1  27060  selberg4lem1  27063  selberg4  27064  selberg3r  27072  selberg4r  27073  selberg34r  27074  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem3  27082  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntrlog2bndlem6  27086  pntrlog2bnd  27087  pntpbnd1a  27088  pntpbnd1  27089  pntpbnd2  27090  pntibndlem2a  27093  pntibndlem2  27094  pntibndlem3  27095  pntlemd  27097  pnt  27117  padicabv  27133  cnre2csqima  32891  ftc2re  33610  fdvposlt  33611  fdvposle  33613  itgexpif  33618  circlemeth  33652  circlemethnat  33653  circlevma  33654  circlemethhgt  33655  ioosconn  34238  iccllysconn  34241  gg-dvfsumle  35182  gg-dvfsumlem2  35183  itg2gt0cn  36543  itggt0cn  36558  ftc1cnnclem  36559  ftc1cnnc  36560  ftc1anclem8  36568  ftc2nc  36570  dvreasin  36574  dvreacos  36575  areacirclem1  36576  areacirc  36581  aks4d1p1p6  40938  aks4d1p1p5  40940  ioontr  44224  iooshift  44235  ioonct  44250  iooiinicc  44255  icomnfinre  44265  iooiinioc  44269  islptre  44335  lptioo2  44347  lptioo1  44348  limcresiooub  44358  limcresioolb  44359  limcleqr  44360  lptioo2cn  44361  lptioo1cn  44362  limclner  44367  limclr  44371  icccncfext  44603  cncfiooicclem1  44609  dvresioo  44637  dvbdfbdioolem1  44644  dvbdfbdioolem2  44645  ioodvbdlimc1lem1  44647  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  itgsin0pilem1  44666  itgcoscmulx  44685  itgiccshift  44696  itgperiod  44697  itgsbtaddcnst  44698  dirkercncflem2  44820  dirkercncflem3  44821  dirkercncflem4  44822  fourierdlem16  44839  fourierdlem21  44844  fourierdlem22  44845  fourierdlem28  44851  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem50  44872  fourierdlem56  44878  fourierdlem57  44879  fourierdlem59  44881  fourierdlem60  44882  fourierdlem61  44883  fourierdlem65  44887  fourierdlem72  44894  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem76  44898  fourierdlem80  44902  fourierdlem81  44903  fourierdlem83  44905  fourierdlem84  44906  fourierdlem85  44907  fourierdlem88  44910  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913  fourierdlem92  44914  fourierdlem94  44916  fourierdlem95  44917  fourierdlem97  44919  fourierdlem101  44923  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem111  44933  fourierdlem112  44934  fourierdlem113  44935  fouriersw  44947  fouriercn  44948  ioorrnopnlem  45020  hspdifhsp  45332  hspmbllem2  45343  hspmbl  45345  iunhoiioolem  45391  smfresal  45504  smfpimbor1lem1  45514