Theorem ioossre 13375

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13343	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3953	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3917  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  (,)cioo 13313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ioo 13317

This theorem is referenced by:  ioosscn  13376  ioof  13415  difreicc  13452  icopnfcld  24662  ioombl1  25470  ioorcl2  25480  uniioombllem2  25491  uniioombllem3a  25492  uniioombllem3  25493  uniioombllem4  25494  uniioombllem6  25496  ismbf3d  25562  itgsplitioo  25746  ditgeq3  25758  dvmptresicc  25824  dvferm1lem  25895  dvferm2lem  25897  dvferm  25899  dvlip  25905  dvlipcn  25906  dvle  25919  dvivthlem1  25920  dvivth  25922  lhop1lem  25925  lhop1  25926  lhop2  25927  lhop  25928  dvfsumle  25933  dvfsumleOLD  25934  dvfsumge  25935  dvfsumlem1  25939  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  dvfsumlem3  25942  dvfsumlem4  25943  dvfsumrlimge0  25944  dvfsumrlim  25945  dvfsumrlim2  25946  dvfsum2  25948  ftc1a  25951  ftc1cn  25957  ftc2  25958  itgsubstlem  25962  itgsubst  25963  itgpowd  25964  efcvx  26366  pige3ALT  26436  tanord  26454  divlogrlim  26551  logccv  26579  atantan  26840  amgmlem  26907  vmalogdivsum2  27456  2vmadivsumlem  27458  chpdifbndlem1  27471  selberg3lem1  27475  selberg4lem1  27478  selberg4  27479  selberg3r  27487  selberg4r  27488  selberg34r  27489  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem3  27497  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bndlem6  27501  pntrlog2bnd  27502  pntpbnd1a  27503  pntpbnd1  27504  pntpbnd2  27505  pntibndlem2a  27508  pntibndlem2  27509  pntibndlem3  27510  pntlemd  27512  pnt  27532  padicabv  27548  cnre2csqima  33908  ftc2re  34596  fdvposlt  34597  fdvposle  34599  itgexpif  34604  circlemeth  34638  circlemethnat  34639  circlevma  34640  circlemethhgt  34641  ioosconn  35241  iccllysconn  35244  itg2gt0cn  37676  itggt0cn  37691  ftc1cnnclem  37692  ftc1cnnc  37693  ftc1anclem8  37701  ftc2nc  37703  dvreasin  37707  dvreacos  37708  areacirclem1  37709  areacirc  37714  aks4d1p1p6  42068  aks4d1p1p5  42070  ioontr  45516  iooshift  45527  ioonct  45542  iooiinicc  45547  icomnfinre  45557  iooiinioc  45561  islptre  45624  lptioo2  45636  lptioo1  45637  limcresiooub  45647  limcresioolb  45648  limcleqr  45649  lptioo2cn  45650  lptioo1cn  45651  limclner  45656  limclr  45660  icccncfext  45892  cncfiooicclem1  45898  dvresioo  45926  dvbdfbdioolem1  45933  dvbdfbdioolem2  45934  ioodvbdlimc1lem1  45936  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  itgsin0pilem1  45955  itgcoscmulx  45974  itgiccshift  45985  itgperiod  45986  itgsbtaddcnst  45987  dirkercncflem2  46109  dirkercncflem3  46110  dirkercncflem4  46111  fourierdlem16  46128  fourierdlem21  46133  fourierdlem22  46134  fourierdlem28  46140  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem50  46161  fourierdlem56  46167  fourierdlem57  46168  fourierdlem59  46170  fourierdlem60  46171  fourierdlem61  46172  fourierdlem65  46176  fourierdlem72  46183  fourierdlem74  46185  fourierdlem75  46186  fourierdlem76  46187  fourierdlem80  46191  fourierdlem81  46192  fourierdlem83  46194  fourierdlem84  46195  fourierdlem85  46196  fourierdlem88  46199  fourierdlem89  46200  fourierdlem90  46201  fourierdlem91  46202  fourierdlem92  46203  fourierdlem94  46205  fourierdlem95  46206  fourierdlem97  46208  fourierdlem101  46212  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierdlem111  46222  fourierdlem112  46223  fourierdlem113  46224  fouriersw  46236  fouriercn  46237  ioorrnopnlem  46309  hspdifhsp  46621  hspmbllem2  46632  hspmbl  46634  iunhoiioolem  46680  smfresal  46793  smfpimbor1lem1  46803