Theorem ioossre 13069

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13038	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3921	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3883  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  (,)cioo 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ioo 13012

This theorem is referenced by:  ioosscn  13070  ioof  13108  difreicc  13145  icopnfcld  23837  ioombl1  24631  ioorcl2  24641  uniioombllem2  24652  uniioombllem3a  24653  uniioombllem3  24654  uniioombllem4  24655  uniioombllem6  24657  ismbf3d  24723  itgsplitioo  24907  ditgeq3  24919  dvmptresicc  24985  dvferm1lem  25053  dvferm2lem  25055  dvferm  25057  dvlip  25062  dvlipcn  25063  dvle  25076  dvivthlem1  25077  dvivth  25079  lhop1lem  25082  lhop1  25083  lhop2  25084  lhop  25085  dvfsumle  25090  dvfsumge  25091  dvfsumlem1  25095  dvfsumlem2  25096  dvfsumlem3  25097  dvfsumlem4  25098  dvfsumrlimge0  25099  dvfsumrlim  25100  dvfsumrlim2  25101  dvfsum2  25103  ftc1a  25106  ftc1cn  25112  ftc2  25113  itgsubstlem  25117  itgsubst  25118  itgpowd  25119  efcvx  25513  pige3ALT  25581  tanord  25599  divlogrlim  25695  logccv  25723  atantan  25978  amgmlem  26044  vmalogdivsum2  26591  2vmadivsumlem  26593  chpdifbndlem1  26606  selberg3lem1  26610  selberg4lem1  26613  selberg4  26614  selberg3r  26622  selberg4r  26623  selberg34r  26624  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem3  26632  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bndlem6  26636  pntrlog2bnd  26637  pntpbnd1a  26638  pntpbnd1  26639  pntpbnd2  26640  pntibndlem2a  26643  pntibndlem2  26644  pntibndlem3  26645  pntlemd  26647  pnt  26667  padicabv  26683  cnre2csqima  31763  ftc2re  32478  fdvposlt  32479  fdvposle  32481  itgexpif  32486  circlemeth  32520  circlemethnat  32521  circlevma  32522  circlemethhgt  32523  ioosconn  33109  iccllysconn  33112  itg2gt0cn  35759  itggt0cn  35774  ftc1cnnclem  35775  ftc1cnnc  35776  ftc1anclem8  35784  ftc2nc  35786  dvreasin  35790  dvreacos  35791  areacirclem1  35792  areacirc  35797  aks4d1p1p6  40009  aks4d1p1p5  40011  ioontr  42939  iooshift  42950  ioonct  42965  iooiinicc  42970  icomnfinre  42980  iooiinioc  42984  islptre  43050  lptioo2  43062  lptioo1  43063  limcresiooub  43073  limcresioolb  43074  limcleqr  43075  lptioo2cn  43076  lptioo1cn  43077  limclner  43082  limclr  43086  icccncfext  43318  cncfiooicclem1  43324  dvresioo  43352  dvbdfbdioolem1  43359  dvbdfbdioolem2  43360  ioodvbdlimc1lem1  43362  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  itgsin0pilem1  43381  itgcoscmulx  43400  itgiccshift  43411  itgperiod  43412  itgsbtaddcnst  43413  dirkercncflem2  43535  dirkercncflem3  43536  dirkercncflem4  43537  fourierdlem16  43554  fourierdlem21  43559  fourierdlem22  43560  fourierdlem28  43566  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem50  43587  fourierdlem56  43593  fourierdlem57  43594  fourierdlem59  43596  fourierdlem60  43597  fourierdlem61  43598  fourierdlem65  43602  fourierdlem72  43609  fourierdlem74  43611  fourierdlem75  43612  fourierdlem76  43613  fourierdlem80  43617  fourierdlem81  43618  fourierdlem83  43620  fourierdlem84  43621  fourierdlem85  43622  fourierdlem88  43625  fourierdlem89  43626  fourierdlem90  43627  fourierdlem91  43628  fourierdlem92  43629  fourierdlem94  43631  fourierdlem95  43632  fourierdlem97  43634  fourierdlem101  43638  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem111  43648  fourierdlem112  43649  fourierdlem113  43650  fouriersw  43662  fouriercn  43663  ioorrnopnlem  43735  hspdifhsp  44044  hspmbllem2  44055  hspmbl  44057  iunhoiioolem  44103  smfresal  44209  smfpimbor1lem1  44219