Theorem ioossre 13351

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13319	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3919	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3883  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  (,)cioo 13289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293

This theorem is referenced by:  ioosscn  13352  ioof  13391  difreicc  13428  icopnfcld  24750  ioombl1  25547  ioorcl2  25557  uniioombllem2  25568  uniioombllem3a  25569  uniioombllem3  25570  uniioombllem4  25571  uniioombllem6  25573  ismbf3d  25639  itgsplitioo  25823  ditgeq3  25835  dvmptresicc  25901  dvferm1lem  25969  dvferm2lem  25971  dvferm  25973  dvlip  25978  dvlipcn  25979  dvle  25992  dvivthlem1  25993  dvivth  25995  lhop1lem  25998  lhop1  25999  lhop2  26000  lhop  26001  dvfsumle  26006  dvfsumge  26007  dvfsumlem1  26011  dvfsumlem2  26012  dvfsumlem3  26013  dvfsumlem4  26014  dvfsumrlimge0  26015  dvfsumrlim  26016  dvfsumrlim2  26017  dvfsum2  26019  ftc1a  26022  ftc1cn  26028  ftc2  26029  itgsubstlem  26033  itgsubst  26034  itgpowd  26035  efcvx  26432  pige3ALT  26502  tanord  26520  divlogrlim  26617  logccv  26645  atantan  26905  amgmlem  26971  vmalogdivsum2  27519  2vmadivsumlem  27521  chpdifbndlem1  27534  selberg3lem1  27538  selberg4lem1  27541  selberg4  27542  selberg3r  27550  selberg4r  27551  selberg34r  27552  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem3  27560  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem5  27562  pntrlog2bndlem6  27564  pntrlog2bnd  27565  pntpbnd1a  27566  pntpbnd1  27567  pntpbnd2  27568  pntibndlem2a  27571  pntibndlem2  27572  pntibndlem3  27573  pntlemd  27575  pnt  27595  padicabv  27611  cnre2csqima  34095  ftc2re  34782  fdvposlt  34783  fdvposle  34785  itgexpif  34790  circlemeth  34824  circlemethnat  34825  circlevma  34826  circlemethhgt  34827  ioosconn  35475  iccllysconn  35478  itg2gt0cn  38042  itggt0cn  38057  ftc1cnnclem  38058  ftc1cnnc  38059  ftc1anclem8  38067  ftc2nc  38069  dvreasin  38073  dvreacos  38074  areacirclem1  38075  areacirc  38080  aks4d1p1p6  42558  aks4d1p1p5  42560  ioontr  45956  iooshift  45967  ioonct  45982  iooiinicc  45987  icomnfinre  45997  iooiinioc  46001  islptre  46064  lptioo2  46076  lptioo1  46077  limcresiooub  46085  limcresioolb  46086  limcleqr  46087  lptioo2cn  46088  lptioo1cn  46089  limclner  46094  limclr  46098  icccncfext  46330  cncfiooicclem1  46336  dvresioo  46364  dvbdfbdioolem1  46371  dvbdfbdioolem2  46372  ioodvbdlimc1lem1  46374  ioodvbdlimc1lem2  46375  ioodvbdlimc2lem  46377  itgsin0pilem1  46393  itgcoscmulx  46412  itgiccshift  46423  itgperiod  46424  itgsbtaddcnst  46425  dirkercncflem2  46547  dirkercncflem3  46548  dirkercncflem4  46549  fourierdlem16  46566  fourierdlem21  46571  fourierdlem22  46572  fourierdlem28  46578  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem50  46599  fourierdlem56  46605  fourierdlem57  46606  fourierdlem59  46608  fourierdlem60  46609  fourierdlem61  46610  fourierdlem65  46614  fourierdlem72  46621  fourierdlem74  46623  fourierdlem75  46624  fourierdlem76  46625  fourierdlem80  46629  fourierdlem81  46630  fourierdlem83  46632  fourierdlem84  46633  fourierdlem85  46634  fourierdlem88  46637  fourierdlem89  46638  fourierdlem90  46639  fourierdlem91  46640  fourierdlem92  46641  fourierdlem94  46643  fourierdlem95  46644  fourierdlem97  46646  fourierdlem101  46650  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierdlem111  46660  fourierdlem112  46661  fourierdlem113  46662  fouriersw  46674  fouriercn  46675  ioorrnopnlem  46747  hspdifhsp  47059  hspmbllem2  47070  hspmbl  47072  iunhoiioolem  47118  smfresal  47231  smfpimbor1lem1  47241