Theorem ioossre 13328

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13296	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3941	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3905  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  (,)cioo 13266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ioo 13270

This theorem is referenced by:  ioosscn  13329  ioof  13368  difreicc  13405  icopnfcld  24671  ioombl1  25479  ioorcl2  25489  uniioombllem2  25500  uniioombllem3a  25501  uniioombllem3  25502  uniioombllem4  25503  uniioombllem6  25505  ismbf3d  25571  itgsplitioo  25755  ditgeq3  25767  dvmptresicc  25833  dvferm1lem  25904  dvferm2lem  25906  dvferm  25908  dvlip  25914  dvlipcn  25915  dvle  25928  dvivthlem1  25929  dvivth  25931  lhop1lem  25934  lhop1  25935  lhop2  25936  lhop  25937  dvfsumle  25942  dvfsumleOLD  25943  dvfsumge  25944  dvfsumlem1  25948  dvfsumlem2  25949  dvfsumlem2OLD  25950  dvfsumlem3  25951  dvfsumlem4  25952  dvfsumrlimge0  25953  dvfsumrlim  25954  dvfsumrlim2  25955  dvfsum2  25957  ftc1a  25960  ftc1cn  25966  ftc2  25967  itgsubstlem  25971  itgsubst  25972  itgpowd  25973  efcvx  26375  pige3ALT  26445  tanord  26463  divlogrlim  26560  logccv  26588  atantan  26849  amgmlem  26916  vmalogdivsum2  27465  2vmadivsumlem  27467  chpdifbndlem1  27480  selberg3lem1  27484  selberg4lem1  27487  selberg4  27488  selberg3r  27496  selberg4r  27497  selberg34r  27498  pntrlog2bndlem2  27505  pntrlog2bndlem3  27506  pntrlog2bndlem4  27507  pntrlog2bndlem5  27508  pntrlog2bndlem6  27510  pntrlog2bnd  27511  pntpbnd1a  27512  pntpbnd1  27513  pntpbnd2  27514  pntibndlem2a  27517  pntibndlem2  27518  pntibndlem3  27519  pntlemd  27521  pnt  27541  padicabv  27557  cnre2csqima  33880  ftc2re  34568  fdvposlt  34569  fdvposle  34571  itgexpif  34576  circlemeth  34610  circlemethnat  34611  circlevma  34612  circlemethhgt  34613  ioosconn  35222  iccllysconn  35225  itg2gt0cn  37657  itggt0cn  37672  ftc1cnnclem  37673  ftc1cnnc  37674  ftc1anclem8  37682  ftc2nc  37684  dvreasin  37688  dvreacos  37689  areacirclem1  37690  areacirc  37695  aks4d1p1p6  42049  aks4d1p1p5  42051  ioontr  45496  iooshift  45507  ioonct  45522  iooiinicc  45527  icomnfinre  45537  iooiinioc  45541  islptre  45604  lptioo2  45616  lptioo1  45617  limcresiooub  45627  limcresioolb  45628  limcleqr  45629  lptioo2cn  45630  lptioo1cn  45631  limclner  45636  limclr  45640  icccncfext  45872  cncfiooicclem1  45878  dvresioo  45906  dvbdfbdioolem1  45913  dvbdfbdioolem2  45914  ioodvbdlimc1lem1  45916  ioodvbdlimc1lem2  45917  ioodvbdlimc2lem  45919  itgsin0pilem1  45935  itgcoscmulx  45954  itgiccshift  45965  itgperiod  45966  itgsbtaddcnst  45967  dirkercncflem2  46089  dirkercncflem3  46090  dirkercncflem4  46091  fourierdlem16  46108  fourierdlem21  46113  fourierdlem22  46114  fourierdlem28  46120  fourierdlem48  46139  fourierdlem49  46140  fourierdlem50  46141  fourierdlem56  46147  fourierdlem57  46148  fourierdlem59  46150  fourierdlem60  46151  fourierdlem61  46152  fourierdlem65  46156  fourierdlem72  46163  fourierdlem74  46165  fourierdlem75  46166  fourierdlem76  46167  fourierdlem80  46171  fourierdlem81  46172  fourierdlem83  46174  fourierdlem84  46175  fourierdlem85  46176  fourierdlem88  46179  fourierdlem89  46180  fourierdlem90  46181  fourierdlem91  46182  fourierdlem92  46183  fourierdlem94  46185  fourierdlem95  46186  fourierdlem97  46188  fourierdlem101  46192  fourierdlem103  46194  fourierdlem104  46195  fourierdlem111  46202  fourierdlem112  46203  fourierdlem113  46204  fouriersw  46216  fouriercn  46217  ioorrnopnlem  46289  hspdifhsp  46601  hspmbllem2  46612  hspmbl  46614  iunhoiioolem  46660  smfresal  46773  smfpimbor1lem1  46783