Theorem ioossre 13435

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13403	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3942	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3906  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  (,)cioo 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13377

This theorem is referenced by:  ioosscn  13436  ioof  13475  difreicc  13512  icopnfcld  24905  ioombl1  25702  ioorcl2  25712  uniioombllem2  25723  uniioombllem3a  25724  uniioombllem3  25725  uniioombllem4  25726  uniioombllem6  25728  ismbf3d  25794  itgsplitioo  25978  ditgeq3  25990  dvmptresicc  26056  dvferm1lem  26124  dvferm2lem  26126  dvferm  26128  dvlip  26133  dvlipcn  26134  dvle  26147  dvivthlem1  26148  dvivth  26150  lhop1lem  26153  lhop1  26154  lhop2  26155  lhop  26156  dvfsumle  26161  dvfsumge  26162  dvfsumlem1  26166  dvfsumlem2  26167  dvfsumlem3  26168  dvfsumlem4  26169  dvfsumrlimge0  26170  dvfsumrlim  26171  dvfsumrlim2  26172  dvfsum2  26174  ftc1a  26177  ftc1cn  26183  ftc2  26184  itgsubstlem  26188  itgsubst  26189  itgpowd  26190  efcvx  26593  pige3ALT  26666  tanord  26684  divlogrlim  26781  logccv  26809  atantan  27069  amgmlem  27135  vmalogdivsum2  27683  2vmadivsumlem  27685  chpdifbndlem1  27698  selberg3lem1  27702  selberg4lem1  27705  selberg4  27706  selberg3r  27714  selberg4r  27715  selberg34r  27716  pntrlog2bndlem2  27723  pntrlog2bndlem3  27724  pntrlog2bndlem4  27725  pntrlog2bndlem5  27726  pntrlog2bndlem6  27728  pntrlog2bnd  27729  pntpbnd1a  27730  pntpbnd1  27731  pntpbnd2  27732  pntibndlem2a  27735  pntibndlem2  27736  pntibndlem3  27737  pntlemd  27739  pnt  27759  padicabv  27775  cnre2csqima  34282  ftc2re  34966  fdvposlt  34967  fdvposle  34969  itgexpif  34974  circlemeth  35008  circlemethnat  35009  circlevma  35010  circlemethhgt  35011  ioosconn  35720  iccllysconn  35723  itg2gt0cn  38307  itggt0cn  38322  ftc1cnnclem  38323  ftc1cnnc  38324  ftc1anclem8  38332  ftc2nc  38334  dvreasin  38338  dvreacos  38339  areacirclem1  38340  areacirc  38345  aks4d1p1p6  42821  aks4d1p1p5  42823  ioontr  46210  iooshift  46221  ioonct  46236  iooiinicc  46241  icomnfinre  46251  iooiinioc  46255  islptre  46318  lptioo2  46330  lptioo1  46331  limcresiooub  46339  limcresioolb  46340  limcleqr  46341  lptioo2cn  46342  lptioo1cn  46343  limclner  46348  limclr  46352  icccncfext  46584  cncfiooicclem1  46590  dvresioo  46618  dvbdfbdioolem1  46625  dvbdfbdioolem2  46626  ioodvbdlimc1lem1  46628  ioodvbdlimc1lem2  46629  ioodvbdlimc2lem  46631  itgsin0pilem1  46647  itgcoscmulx  46666  itgiccshift  46677  itgperiod  46678  itgsbtaddcnst  46679  dirkercncflem2  46801  dirkercncflem3  46802  dirkercncflem4  46803  fourierdlem16  46820  fourierdlem21  46825  fourierdlem22  46826  fourierdlem28  46832  fourierdlem48  46851  fourierdlem49  46852  fourierdlem50  46853  fourierdlem56  46859  fourierdlem57  46860  fourierdlem59  46862  fourierdlem60  46863  fourierdlem61  46864  fourierdlem65  46868  fourierdlem72  46875  fourierdlem74  46877  fourierdlem75  46878  fourierdlem76  46879  fourierdlem80  46883  fourierdlem81  46884  fourierdlem83  46886  fourierdlem84  46887  fourierdlem85  46888  fourierdlem88  46891  fourierdlem89  46892  fourierdlem90  46893  fourierdlem91  46894  fourierdlem92  46895  fourierdlem94  46897  fourierdlem95  46898  fourierdlem97  46900  fourierdlem101  46904  fourierdlem103  46906  fourierdlem104  46907  fourierdlem111  46914  fourierdlem112  46915  fourierdlem113  46916  fouriersw  46928  fouriercn  46929  ioorrnopnlem  47001  hspdifhsp  47313  hspmbllem2  47324  hspmbl  47326  iunhoiioolem  47372  smfresal  47485  smfpimbor1lem1  47495