MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossre 12790
Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioossre (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 12760 . 2 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
21ssriv 3969 1 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3934  (class class class)co 7148  cr 10528  (,)cioo 12730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ioo 12734
This theorem is referenced by:  ioof  12827  difreicc  12862  icopnfcld  23368  ioombl1  24155  ioorcl2  24165  uniioombllem2  24176  uniioombllem3a  24177  uniioombllem3  24178  uniioombllem4  24179  uniioombllem6  24181  ismbf3d  24247  itgsplitioo  24430  ditgeq3  24440  dvferm1lem  24573  dvferm2lem  24575  dvferm  24577  dvlip  24582  dvlipcn  24583  dvle  24596  dvivthlem1  24597  dvivth  24599  lhop1lem  24602  lhop1  24603  lhop2  24604  lhop  24605  dvfsumle  24610  dvfsumge  24611  dvfsumlem1  24615  dvfsumlem2  24616  dvfsumlem3  24617  dvfsumlem4  24618  dvfsumrlimge0  24619  dvfsumrlim  24620  dvfsumrlim2  24621  dvfsum2  24623  ftc1a  24626  ftc1cn  24632  ftc2  24633  itgsubstlem  24637  itgsubst  24638  efcvx  25029  pige3ALT  25097  tanord  25114  divlogrlim  25210  logccv  25238  atantan  25493  amgmlem  25559  vmalogdivsum2  26106  2vmadivsumlem  26108  chpdifbndlem1  26121  selberg3lem1  26125  selberg4lem1  26128  selberg4  26129  selberg3r  26137  selberg4r  26138  selberg34r  26139  pntrlog2bndlem2  26146  pntrlog2bndlem3  26147  pntrlog2bndlem4  26148  pntrlog2bndlem5  26149  pntrlog2bndlem6  26151  pntrlog2bnd  26152  pntpbnd1a  26153  pntpbnd1  26154  pntpbnd2  26155  pntibndlem2a  26158  pntibndlem2  26159  pntibndlem3  26160  pntlemd  26162  pnt  26182  padicabv  26198  cnre2csqima  31142  ftc2re  31857  fdvposlt  31858  fdvposle  31860  itgexpif  31865  circlemeth  31899  circlemethnat  31900  circlevma  31901  circlemethhgt  31902  ioosconn  32482  iccllysconn  32485  itg2gt0cn  34934  itggt0cn  34951  ftc1cnnclem  34952  ftc1cnnc  34953  ftc1anclem8  34961  ftc2nc  34963  dvreasin  34967  dvreacos  34968  areacirclem1  34969  areacirc  34974  itgpowd  39806  ioosscn  41753  ioontr  41771  iooshift  41782  ioonct  41797  iooiinicc  41802  icomnfinre  41812  iooiinioc  41816  islptre  41884  lptioo2  41896  lptioo1  41897  limcresiooub  41907  limcresioolb  41908  limcleqr  41909  lptioo2cn  41910  lptioo1cn  41911  limclner  41916  limclr  41920  icccncfext  42154  cncfiooicclem1  42160  dvmptresicc  42188  dvresioo  42190  dvbdfbdioolem1  42197  dvbdfbdioolem2  42198  ioodvbdlimc1lem1  42200  ioodvbdlimc1lem2  42201  ioodvbdlimc2lem  42203  itgsin0pilem1  42219  itgcoscmulx  42238  itgiccshift  42249  itgperiod  42250  itgsbtaddcnst  42251  dirkercncflem2  42374  dirkercncflem3  42375  dirkercncflem4  42376  fourierdlem16  42393  fourierdlem21  42398  fourierdlem22  42399  fourierdlem28  42405  fourierdlem48  42424  fourierdlem49  42425  fourierdlem50  42426  fourierdlem56  42432  fourierdlem57  42433  fourierdlem59  42435  fourierdlem60  42436  fourierdlem61  42437  fourierdlem65  42441  fourierdlem72  42448  fourierdlem74  42450  fourierdlem75  42451  fourierdlem76  42452  fourierdlem80  42456  fourierdlem81  42457  fourierdlem83  42459  fourierdlem84  42460  fourierdlem85  42461  fourierdlem88  42464  fourierdlem89  42465  fourierdlem90  42466  fourierdlem91  42467  fourierdlem92  42468  fourierdlem94  42470  fourierdlem95  42471  fourierdlem97  42473  fourierdlem101  42477  fourierdlem103  42479  fourierdlem104  42480  fourierdlem111  42487  fourierdlem112  42488  fourierdlem113  42489  fouriersw  42501  fouriercn  42502  ioorrnopnlem  42574  hspdifhsp  42883  hspmbllem2  42894  hspmbl  42896  iunhoiioolem  42942  smfresal  43048  smfpimbor1lem1  43058
  Copyright terms: Public domain W3C validator