Theorem ioossre 13307

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13275	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3938	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  (,)cioo 13245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-ioo 13249

This theorem is referenced by:  ioosscn  13308  ioof  13347  difreicc  13384  icopnfcld  24683  ioombl1  25491  ioorcl2  25501  uniioombllem2  25512  uniioombllem3a  25513  uniioombllem3  25514  uniioombllem4  25515  uniioombllem6  25517  ismbf3d  25583  itgsplitioo  25767  ditgeq3  25779  dvmptresicc  25845  dvferm1lem  25916  dvferm2lem  25918  dvferm  25920  dvlip  25926  dvlipcn  25927  dvle  25940  dvivthlem1  25941  dvivth  25943  lhop1lem  25946  lhop1  25947  lhop2  25948  lhop  25949  dvfsumle  25954  dvfsumleOLD  25955  dvfsumge  25956  dvfsumlem1  25960  dvfsumlem2  25961  dvfsumlem2OLD  25962  dvfsumlem3  25963  dvfsumlem4  25964  dvfsumrlimge0  25965  dvfsumrlim  25966  dvfsumrlim2  25967  dvfsum2  25969  ftc1a  25972  ftc1cn  25978  ftc2  25979  itgsubstlem  25983  itgsubst  25984  itgpowd  25985  efcvx  26387  pige3ALT  26457  tanord  26475  divlogrlim  26572  logccv  26600  atantan  26861  amgmlem  26928  vmalogdivsum2  27477  2vmadivsumlem  27479  chpdifbndlem1  27492  selberg3lem1  27496  selberg4lem1  27499  selberg4  27500  selberg3r  27508  selberg4r  27509  selberg34r  27510  pntrlog2bndlem2  27517  pntrlog2bndlem3  27518  pntrlog2bndlem4  27519  pntrlog2bndlem5  27520  pntrlog2bndlem6  27522  pntrlog2bnd  27523  pntpbnd1a  27524  pntpbnd1  27525  pntpbnd2  27526  pntibndlem2a  27529  pntibndlem2  27530  pntibndlem3  27531  pntlemd  27533  pnt  27553  padicabv  27569  cnre2csqima  33922  ftc2re  34609  fdvposlt  34610  fdvposle  34612  itgexpif  34617  circlemeth  34651  circlemethnat  34652  circlevma  34653  circlemethhgt  34654  ioosconn  35289  iccllysconn  35292  itg2gt0cn  37721  itggt0cn  37736  ftc1cnnclem  37737  ftc1cnnc  37738  ftc1anclem8  37746  ftc2nc  37748  dvreasin  37752  dvreacos  37753  areacirclem1  37754  areacirc  37759  aks4d1p1p6  42112  aks4d1p1p5  42114  ioontr  45557  iooshift  45568  ioonct  45583  iooiinicc  45588  icomnfinre  45598  iooiinioc  45602  islptre  45665  lptioo2  45677  lptioo1  45678  limcresiooub  45686  limcresioolb  45687  limcleqr  45688  lptioo2cn  45689  lptioo1cn  45690  limclner  45695  limclr  45699  icccncfext  45931  cncfiooicclem1  45937  dvresioo  45965  dvbdfbdioolem1  45972  dvbdfbdioolem2  45973  ioodvbdlimc1lem1  45975  ioodvbdlimc1lem2  45976  ioodvbdlimc2lem  45978  itgsin0pilem1  45994  itgcoscmulx  46013  itgiccshift  46024  itgperiod  46025  itgsbtaddcnst  46026  dirkercncflem2  46148  dirkercncflem3  46149  dirkercncflem4  46150  fourierdlem16  46167  fourierdlem21  46172  fourierdlem22  46173  fourierdlem28  46179  fourierdlem48  46198  fourierdlem49  46199  fourierdlem50  46200  fourierdlem56  46206  fourierdlem57  46207  fourierdlem59  46209  fourierdlem60  46210  fourierdlem61  46211  fourierdlem65  46215  fourierdlem72  46222  fourierdlem74  46224  fourierdlem75  46225  fourierdlem76  46226  fourierdlem80  46230  fourierdlem81  46231  fourierdlem83  46233  fourierdlem84  46234  fourierdlem85  46235  fourierdlem88  46238  fourierdlem89  46239  fourierdlem90  46240  fourierdlem91  46241  fourierdlem92  46242  fourierdlem94  46244  fourierdlem95  46245  fourierdlem97  46247  fourierdlem101  46251  fourierdlem103  46253  fourierdlem104  46254  fourierdlem111  46261  fourierdlem112  46262  fourierdlem113  46263  fouriersw  46275  fouriercn  46276  ioorrnopnlem  46348  hspdifhsp  46660  hspmbllem2  46671  hspmbl  46673  iunhoiioolem  46719  smfresal  46832  smfpimbor1lem1  46842