Theorem ioossre 13444

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13413	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3998	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3962  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  (,)cioo 13383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-ioo 13387

This theorem is referenced by:  ioosscn  13445  ioof  13483  difreicc  13520  icopnfcld  24803  ioombl1  25610  ioorcl2  25620  uniioombllem2  25631  uniioombllem3a  25632  uniioombllem3  25633  uniioombllem4  25634  uniioombllem6  25636  ismbf3d  25702  itgsplitioo  25887  ditgeq3  25899  dvmptresicc  25965  dvferm1lem  26036  dvferm2lem  26038  dvferm  26040  dvlip  26046  dvlipcn  26047  dvle  26060  dvivthlem1  26061  dvivth  26063  lhop1lem  26066  lhop1  26067  lhop2  26068  lhop  26069  dvfsumle  26074  dvfsumleOLD  26075  dvfsumge  26076  dvfsumlem1  26080  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082  dvfsumlem3  26083  dvfsumlem4  26084  dvfsumrlimge0  26085  dvfsumrlim  26086  dvfsumrlim2  26087  dvfsum2  26089  ftc1a  26092  ftc1cn  26098  ftc2  26099  itgsubstlem  26103  itgsubst  26104  itgpowd  26105  efcvx  26507  pige3ALT  26576  tanord  26594  divlogrlim  26691  logccv  26719  atantan  26980  amgmlem  27047  vmalogdivsum2  27596  2vmadivsumlem  27598  chpdifbndlem1  27611  selberg3lem1  27615  selberg4lem1  27618  selberg4  27619  selberg3r  27627  selberg4r  27628  selberg34r  27629  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem3  27637  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntrlog2bndlem6  27641  pntrlog2bnd  27642  pntpbnd1a  27643  pntpbnd1  27644  pntpbnd2  27645  pntibndlem2a  27648  pntibndlem2  27649  pntibndlem3  27650  pntlemd  27652  pnt  27672  padicabv  27688  cnre2csqima  33871  ftc2re  34591  fdvposlt  34592  fdvposle  34594  itgexpif  34599  circlemeth  34633  circlemethnat  34634  circlevma  34635  circlemethhgt  34636  ioosconn  35231  iccllysconn  35234  itg2gt0cn  37661  itggt0cn  37676  ftc1cnnclem  37677  ftc1cnnc  37678  ftc1anclem8  37686  ftc2nc  37688  dvreasin  37692  dvreacos  37693  areacirclem1  37694  areacirc  37699  aks4d1p1p6  42054  aks4d1p1p5  42056  ioontr  45463  iooshift  45474  ioonct  45489  iooiinicc  45494  icomnfinre  45504  iooiinioc  45508  islptre  45574  lptioo2  45586  lptioo1  45587  limcresiooub  45597  limcresioolb  45598  limcleqr  45599  lptioo2cn  45600  lptioo1cn  45601  limclner  45606  limclr  45610  icccncfext  45842  cncfiooicclem1  45848  dvresioo  45876  dvbdfbdioolem1  45883  dvbdfbdioolem2  45884  ioodvbdlimc1lem1  45886  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889  itgsin0pilem1  45905  itgcoscmulx  45924  itgiccshift  45935  itgperiod  45936  itgsbtaddcnst  45937  dirkercncflem2  46059  dirkercncflem3  46060  dirkercncflem4  46061  fourierdlem16  46078  fourierdlem21  46083  fourierdlem22  46084  fourierdlem28  46090  fourierdlem48  46109  fourierdlem49  46110  fourierdlem50  46111  fourierdlem56  46117  fourierdlem57  46118  fourierdlem59  46120  fourierdlem60  46121  fourierdlem61  46122  fourierdlem65  46126  fourierdlem72  46133  fourierdlem74  46135  fourierdlem75  46136  fourierdlem76  46137  fourierdlem80  46141  fourierdlem81  46142  fourierdlem83  46144  fourierdlem84  46145  fourierdlem85  46146  fourierdlem88  46149  fourierdlem89  46150  fourierdlem90  46151  fourierdlem91  46152  fourierdlem92  46153  fourierdlem94  46155  fourierdlem95  46156  fourierdlem97  46158  fourierdlem101  46162  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  fourierdlem111  46172  fourierdlem112  46173  fourierdlem113  46174  fouriersw  46186  fouriercn  46187  ioorrnopnlem  46259  hspdifhsp  46571  hspmbllem2  46582  hspmbl  46584  iunhoiioolem  46630  smfresal  46743  smfpimbor1lem1  46753