Theorem ioossre 13392

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13361	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3986	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3948  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  (,)cioo 13331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-ioo 13335

This theorem is referenced by:  ioosscn  13393  ioof  13431  difreicc  13468  icopnfcld  24604  ioombl1  25411  ioorcl2  25421  uniioombllem2  25432  uniioombllem3a  25433  uniioombllem3  25434  uniioombllem4  25435  uniioombllem6  25437  ismbf3d  25503  itgsplitioo  25687  ditgeq3  25699  dvmptresicc  25765  dvferm1lem  25836  dvferm2lem  25838  dvferm  25840  dvlip  25846  dvlipcn  25847  dvle  25860  dvivthlem1  25861  dvivth  25863  lhop1lem  25866  lhop1  25867  lhop2  25868  lhop  25869  dvfsumle  25874  dvfsumleOLD  25875  dvfsumge  25876  dvfsumlem1  25880  dvfsumlem2  25881  dvfsumlem2OLD  25882  dvfsumlem3  25883  dvfsumlem4  25884  dvfsumrlimge0  25885  dvfsumrlim  25886  dvfsumrlim2  25887  dvfsum2  25889  ftc1a  25892  ftc1cn  25898  ftc2  25899  itgsubstlem  25903  itgsubst  25904  itgpowd  25905  efcvx  26301  pige3ALT  26369  tanord  26387  divlogrlim  26483  logccv  26511  atantan  26769  amgmlem  26835  vmalogdivsum2  27384  2vmadivsumlem  27386  chpdifbndlem1  27399  selberg3lem1  27403  selberg4lem1  27406  selberg4  27407  selberg3r  27415  selberg4r  27416  selberg34r  27417  pntrlog2bndlem2  27424  pntrlog2bndlem3  27425  pntrlog2bndlem4  27426  pntrlog2bndlem5  27427  pntrlog2bndlem6  27429  pntrlog2bnd  27430  pntpbnd1a  27431  pntpbnd1  27432  pntpbnd2  27433  pntibndlem2a  27436  pntibndlem2  27437  pntibndlem3  27438  pntlemd  27440  pnt  27460  padicabv  27476  cnre2csqima  33355  ftc2re  34074  fdvposlt  34075  fdvposle  34077  itgexpif  34082  circlemeth  34116  circlemethnat  34117  circlevma  34118  circlemethhgt  34119  ioosconn  34702  iccllysconn  34705  itg2gt0cn  37007  itggt0cn  37022  ftc1cnnclem  37023  ftc1cnnc  37024  ftc1anclem8  37032  ftc2nc  37034  dvreasin  37038  dvreacos  37039  areacirclem1  37040  areacirc  37045  aks4d1p1p6  41405  aks4d1p1p5  41407  ioontr  44683  iooshift  44694  ioonct  44709  iooiinicc  44714  icomnfinre  44724  iooiinioc  44728  islptre  44794  lptioo2  44806  lptioo1  44807  limcresiooub  44817  limcresioolb  44818  limcleqr  44819  lptioo2cn  44820  lptioo1cn  44821  limclner  44826  limclr  44830  icccncfext  45062  cncfiooicclem1  45068  dvresioo  45096  dvbdfbdioolem1  45103  dvbdfbdioolem2  45104  ioodvbdlimc1lem1  45106  ioodvbdlimc1lem2  45107  ioodvbdlimc2lem  45109  itgsin0pilem1  45125  itgcoscmulx  45144  itgiccshift  45155  itgperiod  45156  itgsbtaddcnst  45157  dirkercncflem2  45279  dirkercncflem3  45280  dirkercncflem4  45281  fourierdlem16  45298  fourierdlem21  45303  fourierdlem22  45304  fourierdlem28  45310  fourierdlem48  45329  fourierdlem49  45330  fourierdlem50  45331  fourierdlem56  45337  fourierdlem57  45338  fourierdlem59  45340  fourierdlem60  45341  fourierdlem61  45342  fourierdlem65  45346  fourierdlem72  45353  fourierdlem74  45355  fourierdlem75  45356  fourierdlem76  45357  fourierdlem80  45361  fourierdlem81  45362  fourierdlem83  45364  fourierdlem84  45365  fourierdlem85  45366  fourierdlem88  45369  fourierdlem89  45370  fourierdlem90  45371  fourierdlem91  45372  fourierdlem92  45373  fourierdlem94  45375  fourierdlem95  45376  fourierdlem97  45378  fourierdlem101  45382  fourierdlem103  45384  fourierdlem104  45385  fourierdlem111  45392  fourierdlem112  45393  fourierdlem113  45394  fouriersw  45406  fouriercn  45407  ioorrnopnlem  45479  hspdifhsp  45791  hspmbllem2  45802  hspmbl  45804  iunhoiioolem  45850  smfresal  45963  smfpimbor1lem1  45973