Theorem ioossre 13468

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13437	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 4012	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3976  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  (,)cioo 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ioo 13411

This theorem is referenced by:  ioosscn  13469  ioof  13507  difreicc  13544  icopnfcld  24809  ioombl1  25616  ioorcl2  25626  uniioombllem2  25637  uniioombllem3a  25638  uniioombllem3  25639  uniioombllem4  25640  uniioombllem6  25642  ismbf3d  25708  itgsplitioo  25893  ditgeq3  25905  dvmptresicc  25971  dvferm1lem  26042  dvferm2lem  26044  dvferm  26046  dvlip  26052  dvlipcn  26053  dvle  26066  dvivthlem1  26067  dvivth  26069  lhop1lem  26072  lhop1  26073  lhop2  26074  lhop  26075  dvfsumle  26080  dvfsumleOLD  26081  dvfsumge  26082  dvfsumlem1  26086  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dvfsumlem3  26089  dvfsumlem4  26090  dvfsumrlimge0  26091  dvfsumrlim  26092  dvfsumrlim2  26093  dvfsum2  26095  ftc1a  26098  ftc1cn  26104  ftc2  26105  itgsubstlem  26109  itgsubst  26110  itgpowd  26111  efcvx  26511  pige3ALT  26580  tanord  26598  divlogrlim  26695  logccv  26723  atantan  26984  amgmlem  27051  vmalogdivsum2  27600  2vmadivsumlem  27602  chpdifbndlem1  27615  selberg3lem1  27619  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd1a  27647  pntpbnd1  27648  pntpbnd2  27649  pntibndlem2a  27652  pntibndlem2  27653  pntibndlem3  27654  pntlemd  27656  pnt  27676  padicabv  27692  cnre2csqima  33857  ftc2re  34575  fdvposlt  34576  fdvposle  34578  itgexpif  34583  circlemeth  34617  circlemethnat  34618  circlevma  34619  circlemethhgt  34620  ioosconn  35215  iccllysconn  35218  itg2gt0cn  37635  itggt0cn  37650  ftc1cnnclem  37651  ftc1cnnc  37652  ftc1anclem8  37660  ftc2nc  37662  dvreasin  37666  dvreacos  37667  areacirclem1  37668  areacirc  37673  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p5  42032  ioontr  45429  iooshift  45440  ioonct  45455  iooiinicc  45460  icomnfinre  45470  iooiinioc  45474  islptre  45540  lptioo2  45552  lptioo1  45553  limcresiooub  45563  limcresioolb  45564  limcleqr  45565  lptioo2cn  45566  lptioo1cn  45567  limclner  45572  limclr  45576  icccncfext  45808  cncfiooicclem1  45814  dvresioo  45842  dvbdfbdioolem1  45849  dvbdfbdioolem2  45850  ioodvbdlimc1lem1  45852  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  itgsin0pilem1  45871  itgcoscmulx  45890  itgiccshift  45901  itgperiod  45902  itgsbtaddcnst  45903  dirkercncflem2  46025  dirkercncflem3  46026  dirkercncflem4  46027  fourierdlem16  46044  fourierdlem21  46049  fourierdlem22  46050  fourierdlem28  46056  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem50  46077  fourierdlem56  46083  fourierdlem57  46084  fourierdlem59  46086  fourierdlem60  46087  fourierdlem61  46088  fourierdlem65  46092  fourierdlem72  46099  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem76  46103  fourierdlem80  46107  fourierdlem81  46108  fourierdlem83  46110  fourierdlem84  46111  fourierdlem85  46112  fourierdlem88  46115  fourierdlem89  46116  fourierdlem90  46117  fourierdlem91  46118  fourierdlem92  46119  fourierdlem94  46121  fourierdlem95  46122  fourierdlem97  46124  fourierdlem101  46128  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem111  46138  fourierdlem112  46139  fourierdlem113  46140  fouriersw  46152  fouriercn  46153  ioorrnopnlem  46225  hspdifhsp  46537  hspmbllem2  46548  hspmbl  46550  iunhoiioolem  46596  smfresal  46709  smfpimbor1lem1  46719