Theorem ioossre 13368

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13336	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3950	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3914  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  (,)cioo 13306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ioo 13310

This theorem is referenced by:  ioosscn  13369  ioof  13408  difreicc  13445  icopnfcld  24655  ioombl1  25463  ioorcl2  25473  uniioombllem2  25484  uniioombllem3a  25485  uniioombllem3  25486  uniioombllem4  25487  uniioombllem6  25489  ismbf3d  25555  itgsplitioo  25739  ditgeq3  25751  dvmptresicc  25817  dvferm1lem  25888  dvferm2lem  25890  dvferm  25892  dvlip  25898  dvlipcn  25899  dvle  25912  dvivthlem1  25913  dvivth  25915  lhop1lem  25918  lhop1  25919  lhop2  25920  lhop  25921  dvfsumle  25926  dvfsumleOLD  25927  dvfsumge  25928  dvfsumlem1  25932  dvfsumlem2  25933  dvfsumlem2OLD  25934  dvfsumlem3  25935  dvfsumlem4  25936  dvfsumrlimge0  25937  dvfsumrlim  25938  dvfsumrlim2  25939  dvfsum2  25941  ftc1a  25944  ftc1cn  25950  ftc2  25951  itgsubstlem  25955  itgsubst  25956  itgpowd  25957  efcvx  26359  pige3ALT  26429  tanord  26447  divlogrlim  26544  logccv  26572  atantan  26833  amgmlem  26900  vmalogdivsum2  27449  2vmadivsumlem  27451  chpdifbndlem1  27464  selberg3lem1  27468  selberg4lem1  27471  selberg4  27472  selberg3r  27480  selberg4r  27481  selberg34r  27482  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6  27494  pntrlog2bnd  27495  pntpbnd1a  27496  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntibndlem2a  27501  pntibndlem2  27502  pntibndlem3  27503  pntlemd  27505  pnt  27525  padicabv  27541  cnre2csqima  33901  ftc2re  34589  fdvposlt  34590  fdvposle  34592  itgexpif  34597  circlemeth  34631  circlemethnat  34632  circlevma  34633  circlemethhgt  34634  ioosconn  35234  iccllysconn  35237  itg2gt0cn  37669  itggt0cn  37684  ftc1cnnclem  37685  ftc1cnnc  37686  ftc1anclem8  37694  ftc2nc  37696  dvreasin  37700  dvreacos  37701  areacirclem1  37702  areacirc  37707  aks4d1p1p6  42061  aks4d1p1p5  42063  ioontr  45509  iooshift  45520  ioonct  45535  iooiinicc  45540  icomnfinre  45550  iooiinioc  45554  islptre  45617  lptioo2  45629  lptioo1  45630  limcresiooub  45640  limcresioolb  45641  limcleqr  45642  lptioo2cn  45643  lptioo1cn  45644  limclner  45649  limclr  45653  icccncfext  45885  cncfiooicclem1  45891  dvresioo  45919  dvbdfbdioolem1  45926  dvbdfbdioolem2  45927  ioodvbdlimc1lem1  45929  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  itgsin0pilem1  45948  itgcoscmulx  45967  itgiccshift  45978  itgperiod  45979  itgsbtaddcnst  45980  dirkercncflem2  46102  dirkercncflem3  46103  dirkercncflem4  46104  fourierdlem16  46121  fourierdlem21  46126  fourierdlem22  46127  fourierdlem28  46133  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem50  46154  fourierdlem56  46160  fourierdlem57  46161  fourierdlem59  46163  fourierdlem60  46164  fourierdlem61  46165  fourierdlem65  46169  fourierdlem72  46176  fourierdlem74  46178  fourierdlem75  46179  fourierdlem76  46180  fourierdlem80  46184  fourierdlem81  46185  fourierdlem83  46187  fourierdlem84  46188  fourierdlem85  46189  fourierdlem88  46192  fourierdlem89  46193  fourierdlem90  46194  fourierdlem91  46195  fourierdlem92  46196  fourierdlem94  46198  fourierdlem95  46199  fourierdlem97  46201  fourierdlem101  46205  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem111  46215  fourierdlem112  46216  fourierdlem113  46217  fouriersw  46229  fouriercn  46230  ioorrnopnlem  46302  hspdifhsp  46614  hspmbllem2  46625  hspmbl  46627  iunhoiioolem  46673  smfresal  46786  smfpimbor1lem1  46796