Theorem ioossre 13351

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13319	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3926	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  (,)cioo 13289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293

This theorem is referenced by:  ioosscn  13352  ioof  13391  difreicc  13428  icopnfcld  24742  ioombl1  25539  ioorcl2  25549  uniioombllem2  25560  uniioombllem3a  25561  uniioombllem3  25562  uniioombllem4  25563  uniioombllem6  25565  ismbf3d  25631  itgsplitioo  25815  ditgeq3  25827  dvmptresicc  25893  dvferm1lem  25961  dvferm2lem  25963  dvferm  25965  dvlip  25970  dvlipcn  25971  dvle  25984  dvivthlem1  25985  dvivth  25987  lhop1lem  25990  lhop1  25991  lhop2  25992  lhop  25993  dvfsumle  25998  dvfsumge  25999  dvfsumlem1  26003  dvfsumlem2  26004  dvfsumlem3  26005  dvfsumlem4  26006  dvfsumrlimge0  26007  dvfsumrlim  26008  dvfsumrlim2  26009  dvfsum2  26011  ftc1a  26014  ftc1cn  26020  ftc2  26021  itgsubstlem  26025  itgsubst  26026  itgpowd  26027  efcvx  26427  pige3ALT  26497  tanord  26515  divlogrlim  26612  logccv  26640  atantan  26900  amgmlem  26967  vmalogdivsum2  27515  2vmadivsumlem  27517  chpdifbndlem1  27530  selberg3lem1  27534  selberg4lem1  27537  selberg4  27538  selberg3r  27546  selberg4r  27547  selberg34r  27548  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem3  27556  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem5  27558  pntrlog2bndlem6  27560  pntrlog2bnd  27561  pntpbnd1a  27562  pntpbnd1  27563  pntpbnd2  27564  pntibndlem2a  27567  pntibndlem2  27568  pntibndlem3  27569  pntlemd  27571  pnt  27591  padicabv  27607  cnre2csqima  34071  ftc2re  34758  fdvposlt  34759  fdvposle  34761  itgexpif  34766  circlemeth  34800  circlemethnat  34801  circlevma  34802  circlemethhgt  34803  ioosconn  35445  iccllysconn  35448  itg2gt0cn  38010  itggt0cn  38025  ftc1cnnclem  38026  ftc1cnnc  38027  ftc1anclem8  38035  ftc2nc  38037  dvreasin  38041  dvreacos  38042  areacirclem1  38043  areacirc  38048  aks4d1p1p6  42526  aks4d1p1p5  42528  ioontr  45959  iooshift  45970  ioonct  45985  iooiinicc  45990  icomnfinre  46000  iooiinioc  46004  islptre  46067  lptioo2  46079  lptioo1  46080  limcresiooub  46088  limcresioolb  46089  limcleqr  46090  lptioo2cn  46091  lptioo1cn  46092  limclner  46097  limclr  46101  icccncfext  46333  cncfiooicclem1  46339  dvresioo  46367  dvbdfbdioolem1  46374  dvbdfbdioolem2  46375  ioodvbdlimc1lem1  46377  ioodvbdlimc1lem2  46378  ioodvbdlimc2lem  46380  itgsin0pilem1  46396  itgcoscmulx  46415  itgiccshift  46426  itgperiod  46427  itgsbtaddcnst  46428  dirkercncflem2  46550  dirkercncflem3  46551  dirkercncflem4  46552  fourierdlem16  46569  fourierdlem21  46574  fourierdlem22  46575  fourierdlem28  46581  fourierdlem48  46600  fourierdlem49  46601  fourierdlem50  46602  fourierdlem56  46608  fourierdlem57  46609  fourierdlem59  46611  fourierdlem60  46612  fourierdlem61  46613  fourierdlem65  46617  fourierdlem72  46624  fourierdlem74  46626  fourierdlem75  46627  fourierdlem76  46628  fourierdlem80  46632  fourierdlem81  46633  fourierdlem83  46635  fourierdlem84  46636  fourierdlem85  46637  fourierdlem88  46640  fourierdlem89  46641  fourierdlem90  46642  fourierdlem91  46643  fourierdlem92  46644  fourierdlem94  46646  fourierdlem95  46647  fourierdlem97  46649  fourierdlem101  46653  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656  fourierdlem111  46663  fourierdlem112  46664  fourierdlem113  46665  fouriersw  46677  fouriercn  46678  ioorrnopnlem  46750  hspdifhsp  47062  hspmbllem2  47073  hspmbl  47075  iunhoiioolem  47121  smfresal  47234  smfpimbor1lem1  47244