Theorem ioossre 13422

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13390	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3962	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3926  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  (,)cioo 13360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-ioo 13364

This theorem is referenced by:  ioosscn  13423  ioof  13462  difreicc  13499  icopnfcld  24704  ioombl1  25513  ioorcl2  25523  uniioombllem2  25534  uniioombllem3a  25535  uniioombllem3  25536  uniioombllem4  25537  uniioombllem6  25539  ismbf3d  25605  itgsplitioo  25789  ditgeq3  25801  dvmptresicc  25867  dvferm1lem  25938  dvferm2lem  25940  dvferm  25942  dvlip  25948  dvlipcn  25949  dvle  25962  dvivthlem1  25963  dvivth  25965  lhop1lem  25968  lhop1  25969  lhop2  25970  lhop  25971  dvfsumle  25976  dvfsumleOLD  25977  dvfsumge  25978  dvfsumlem1  25982  dvfsumlem2  25983  dvfsumlem2OLD  25984  dvfsumlem3  25985  dvfsumlem4  25986  dvfsumrlimge0  25987  dvfsumrlim  25988  dvfsumrlim2  25989  dvfsum2  25991  ftc1a  25994  ftc1cn  26000  ftc2  26001  itgsubstlem  26005  itgsubst  26006  itgpowd  26007  efcvx  26409  pige3ALT  26479  tanord  26497  divlogrlim  26594  logccv  26622  atantan  26883  amgmlem  26950  vmalogdivsum2  27499  2vmadivsumlem  27501  chpdifbndlem1  27514  selberg3lem1  27518  selberg4lem1  27521  selberg4  27522  selberg3r  27530  selberg4r  27531  selberg34r  27532  pntrlog2bndlem2  27539  pntrlog2bndlem3  27540  pntrlog2bndlem4  27541  pntrlog2bndlem5  27542  pntrlog2bndlem6  27544  pntrlog2bnd  27545  pntpbnd1a  27546  pntpbnd1  27547  pntpbnd2  27548  pntibndlem2a  27551  pntibndlem2  27552  pntibndlem3  27553  pntlemd  27555  pnt  27575  padicabv  27591  cnre2csqima  33888  ftc2re  34576  fdvposlt  34577  fdvposle  34579  itgexpif  34584  circlemeth  34618  circlemethnat  34619  circlevma  34620  circlemethhgt  34621  ioosconn  35215  iccllysconn  35218  itg2gt0cn  37645  itggt0cn  37660  ftc1cnnclem  37661  ftc1cnnc  37662  ftc1anclem8  37670  ftc2nc  37672  dvreasin  37676  dvreacos  37677  areacirclem1  37678  areacirc  37683  aks4d1p1p6  42032  aks4d1p1p5  42034  ioontr  45488  iooshift  45499  ioonct  45514  iooiinicc  45519  icomnfinre  45529  iooiinioc  45533  islptre  45596  lptioo2  45608  lptioo1  45609  limcresiooub  45619  limcresioolb  45620  limcleqr  45621  lptioo2cn  45622  lptioo1cn  45623  limclner  45628  limclr  45632  icccncfext  45864  cncfiooicclem1  45870  dvresioo  45898  dvbdfbdioolem1  45905  dvbdfbdioolem2  45906  ioodvbdlimc1lem1  45908  ioodvbdlimc1lem2  45909  ioodvbdlimc2lem  45911  itgsin0pilem1  45927  itgcoscmulx  45946  itgiccshift  45957  itgperiod  45958  itgsbtaddcnst  45959  dirkercncflem2  46081  dirkercncflem3  46082  dirkercncflem4  46083  fourierdlem16  46100  fourierdlem21  46105  fourierdlem22  46106  fourierdlem28  46112  fourierdlem48  46131  fourierdlem49  46132  fourierdlem50  46133  fourierdlem56  46139  fourierdlem57  46140  fourierdlem59  46142  fourierdlem60  46143  fourierdlem61  46144  fourierdlem65  46148  fourierdlem72  46155  fourierdlem74  46157  fourierdlem75  46158  fourierdlem76  46159  fourierdlem80  46163  fourierdlem81  46164  fourierdlem83  46166  fourierdlem84  46167  fourierdlem85  46168  fourierdlem88  46171  fourierdlem89  46172  fourierdlem90  46173  fourierdlem91  46174  fourierdlem92  46175  fourierdlem94  46177  fourierdlem95  46178  fourierdlem97  46180  fourierdlem101  46184  fourierdlem103  46186  fourierdlem104  46187  fourierdlem111  46194  fourierdlem112  46195  fourierdlem113  46196  fouriersw  46208  fouriercn  46209  ioorrnopnlem  46281  hspdifhsp  46593  hspmbllem2  46604  hspmbl  46606  iunhoiioolem  46652  smfresal  46765  smfpimbor1lem1  46775