Theorem ioossre 13448

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13417	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3987	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3951  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  (,)cioo 13387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391

This theorem is referenced by:  ioosscn  13449  ioof  13487  difreicc  13524  icopnfcld  24788  ioombl1  25597  ioorcl2  25607  uniioombllem2  25618  uniioombllem3a  25619  uniioombllem3  25620  uniioombllem4  25621  uniioombllem6  25623  ismbf3d  25689  itgsplitioo  25873  ditgeq3  25885  dvmptresicc  25951  dvferm1lem  26022  dvferm2lem  26024  dvferm  26026  dvlip  26032  dvlipcn  26033  dvle  26046  dvivthlem1  26047  dvivth  26049  lhop1lem  26052  lhop1  26053  lhop2  26054  lhop  26055  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumge  26062  dvfsumlem1  26066  dvfsumlem2  26067  dvfsumlem2OLD  26068  dvfsumlem3  26069  dvfsumlem4  26070  dvfsumrlimge0  26071  dvfsumrlim  26072  dvfsumrlim2  26073  dvfsum2  26075  ftc1a  26078  ftc1cn  26084  ftc2  26085  itgsubstlem  26089  itgsubst  26090  itgpowd  26091  efcvx  26493  pige3ALT  26562  tanord  26580  divlogrlim  26677  logccv  26705  atantan  26966  amgmlem  27033  vmalogdivsum2  27582  2vmadivsumlem  27584  chpdifbndlem1  27597  selberg3lem1  27601  selberg4lem1  27604  selberg4  27605  selberg3r  27613  selberg4r  27614  selberg34r  27615  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem3  27623  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem5  27625  pntrlog2bndlem6  27627  pntrlog2bnd  27628  pntpbnd1a  27629  pntpbnd1  27630  pntpbnd2  27631  pntibndlem2a  27634  pntibndlem2  27635  pntibndlem3  27636  pntlemd  27638  pnt  27658  padicabv  27674  cnre2csqima  33910  ftc2re  34613  fdvposlt  34614  fdvposle  34616  itgexpif  34621  circlemeth  34655  circlemethnat  34656  circlevma  34657  circlemethhgt  34658  ioosconn  35252  iccllysconn  35255  itg2gt0cn  37682  itggt0cn  37697  ftc1cnnclem  37698  ftc1cnnc  37699  ftc1anclem8  37707  ftc2nc  37709  dvreasin  37713  dvreacos  37714  areacirclem1  37715  areacirc  37720  aks4d1p1p6  42074  aks4d1p1p5  42076  ioontr  45524  iooshift  45535  ioonct  45550  iooiinicc  45555  icomnfinre  45565  iooiinioc  45569  islptre  45634  lptioo2  45646  lptioo1  45647  limcresiooub  45657  limcresioolb  45658  limcleqr  45659  lptioo2cn  45660  lptioo1cn  45661  limclner  45666  limclr  45670  icccncfext  45902  cncfiooicclem1  45908  dvresioo  45936  dvbdfbdioolem1  45943  dvbdfbdioolem2  45944  ioodvbdlimc1lem1  45946  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  itgsin0pilem1  45965  itgcoscmulx  45984  itgiccshift  45995  itgperiod  45996  itgsbtaddcnst  45997  dirkercncflem2  46119  dirkercncflem3  46120  dirkercncflem4  46121  fourierdlem16  46138  fourierdlem21  46143  fourierdlem22  46144  fourierdlem28  46150  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem50  46171  fourierdlem56  46177  fourierdlem57  46178  fourierdlem59  46180  fourierdlem60  46181  fourierdlem61  46182  fourierdlem65  46186  fourierdlem72  46193  fourierdlem74  46195  fourierdlem75  46196  fourierdlem76  46197  fourierdlem80  46201  fourierdlem81  46202  fourierdlem83  46204  fourierdlem84  46205  fourierdlem85  46206  fourierdlem88  46209  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fourierdlem92  46213  fourierdlem94  46215  fourierdlem95  46216  fourierdlem97  46218  fourierdlem101  46222  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem111  46232  fourierdlem112  46233  fourierdlem113  46234  fouriersw  46246  fouriercn  46247  ioorrnopnlem  46319  hspdifhsp  46631  hspmbllem2  46642  hspmbl  46644  iunhoiioolem  46690  smfresal  46803  smfpimbor1lem1  46813