Theorem ioossre 13323

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13291	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3937	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3901  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  (,)cioo 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ioo 13265

This theorem is referenced by:  ioosscn  13324  ioof  13363  difreicc  13400  icopnfcld  24711  ioombl1  25519  ioorcl2  25529  uniioombllem2  25540  uniioombllem3a  25541  uniioombllem3  25542  uniioombllem4  25543  uniioombllem6  25545  ismbf3d  25611  itgsplitioo  25795  ditgeq3  25807  dvmptresicc  25873  dvferm1lem  25944  dvferm2lem  25946  dvferm  25948  dvlip  25954  dvlipcn  25955  dvle  25968  dvivthlem1  25969  dvivth  25971  lhop1lem  25974  lhop1  25975  lhop2  25976  lhop  25977  dvfsumle  25982  dvfsumleOLD  25983  dvfsumge  25984  dvfsumlem1  25988  dvfsumlem2  25989  dvfsumlem2OLD  25990  dvfsumlem3  25991  dvfsumlem4  25992  dvfsumrlimge0  25993  dvfsumrlim  25994  dvfsumrlim2  25995  dvfsum2  25997  ftc1a  26000  ftc1cn  26006  ftc2  26007  itgsubstlem  26011  itgsubst  26012  itgpowd  26013  efcvx  26415  pige3ALT  26485  tanord  26503  divlogrlim  26600  logccv  26628  atantan  26889  amgmlem  26956  vmalogdivsum2  27505  2vmadivsumlem  27507  chpdifbndlem1  27520  selberg3lem1  27524  selberg4lem1  27527  selberg4  27528  selberg3r  27536  selberg4r  27537  selberg34r  27538  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntrlog2bndlem6  27550  pntrlog2bnd  27551  pntpbnd1a  27552  pntpbnd1  27553  pntpbnd2  27554  pntibndlem2a  27557  pntibndlem2  27558  pntibndlem3  27559  pntlemd  27561  pnt  27581  padicabv  27597  cnre2csqima  34068  ftc2re  34755  fdvposlt  34756  fdvposle  34758  itgexpif  34763  circlemeth  34797  circlemethnat  34798  circlevma  34799  circlemethhgt  34800  ioosconn  35441  iccllysconn  35444  itg2gt0cn  37876  itggt0cn  37891  ftc1cnnclem  37892  ftc1cnnc  37893  ftc1anclem8  37901  ftc2nc  37903  dvreasin  37907  dvreacos  37908  areacirclem1  37909  areacirc  37914  aks4d1p1p6  42327  aks4d1p1p5  42329  ioontr  45757  iooshift  45768  ioonct  45783  iooiinicc  45788  icomnfinre  45798  iooiinioc  45802  islptre  45865  lptioo2  45877  lptioo1  45878  limcresiooub  45886  limcresioolb  45887  limcleqr  45888  lptioo2cn  45889  lptioo1cn  45890  limclner  45895  limclr  45899  icccncfext  46131  cncfiooicclem1  46137  dvresioo  46165  dvbdfbdioolem1  46172  dvbdfbdioolem2  46173  ioodvbdlimc1lem1  46175  ioodvbdlimc1lem2  46176  ioodvbdlimc2lem  46178  itgsin0pilem1  46194  itgcoscmulx  46213  itgiccshift  46224  itgperiod  46225  itgsbtaddcnst  46226  dirkercncflem2  46348  dirkercncflem3  46349  dirkercncflem4  46350  fourierdlem16  46367  fourierdlem21  46372  fourierdlem22  46373  fourierdlem28  46379  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem50  46400  fourierdlem56  46406  fourierdlem57  46407  fourierdlem59  46409  fourierdlem60  46410  fourierdlem61  46411  fourierdlem65  46415  fourierdlem72  46422  fourierdlem74  46424  fourierdlem75  46425  fourierdlem76  46426  fourierdlem80  46430  fourierdlem81  46431  fourierdlem83  46433  fourierdlem84  46434  fourierdlem85  46435  fourierdlem88  46438  fourierdlem89  46439  fourierdlem90  46440  fourierdlem91  46441  fourierdlem92  46442  fourierdlem94  46444  fourierdlem95  46445  fourierdlem97  46447  fourierdlem101  46451  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fourierdlem111  46461  fourierdlem112  46462  fourierdlem113  46463  fouriersw  46475  fouriercn  46476  ioorrnopnlem  46548  hspdifhsp  46860  hspmbllem2  46871  hspmbl  46873  iunhoiioolem  46919  smfresal  47032  smfpimbor1lem1  47042