Theorem ioossre 13452

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13420	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3944	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3908  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  (,)cioo 13390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-ioo 13394

This theorem is used by:  ioosscn  13453  ioof  13492  difreicc  13529  icopnfcld  24961  ioombl1  25758  ioorcl2  25768  uniioombllem2  25779  uniioombllem3a  25780  uniioombllem3  25781  uniioombllem4  25782  uniioombllem6  25784  ismbf3d  25850  itgsplitioo  26034  ditgeq3  26046  dvmptresicc  26112  dvferm1lem  26180  dvferm2lem  26182  dvferm  26184  dvlip  26189  dvlipcn  26190  dvle  26203  dvivthlem1  26204  dvivth  26206  lhop1lem  26209  lhop1  26210  lhop2  26211  lhop  26212  dvfsumle  26217  dvfsumge  26218  dvfsumlem1  26222  dvfsumlem2  26223  dvfsumlem3  26224  dvfsumlem4  26225  dvfsumrlimge0  26226  dvfsumrlim  26227  dvfsumrlim2  26228  dvfsum2  26230  ftc1a  26233  ftc1cn  26239  ftc2  26240  itgsubstlem  26244  itgsubst  26245  itgpowd  26246  efcvx  26649  pige3ALT  26722  tanord  26740  divlogrlim  26837  logccv  26865  atantan  27125  amgmlem  27191  vmalogdivsum2  27739  2vmadivsumlem  27741  chpdifbndlem1  27754  selberg3lem1  27758  selberg4lem1  27761  selberg4  27762  selberg3r  27770  selberg4r  27771  selberg34r  27772  pntrlog2bndlem2  27779  pntrlog2bndlem3  27780  pntrlog2bndlem4  27781  pntrlog2bndlem5  27782  pntrlog2bndlem6  27784  pntrlog2bnd  27785  pntpbnd1a  27786  pntpbnd1  27787  pntpbnd2  27788  pntibndlem2a  27791  pntibndlem2  27792  pntibndlem3  27793  pntlemd  27795  pnt  27815  padicabv  27831  cnre2csqima  34332  ftc2re  35017  fdvposlt  35018  fdvposle  35020  itgexpif  35025  circlemeth  35059  circlemethnat  35060  circlevma  35061  circlemethhgt  35062  ioosconn  35760  iccllysconn  35763  itg2gt0cn  38367  itggt0cn  38382  ftc1cnnclem  38383  ftc1cnnc  38384  ftc1anclem8  38392  ftc2nc  38394  dvreasin  38398  dvreacos  38399  areacirclem1  38400  areacirc  38405  aks4d1p1p6  42881  aks4d1p1p5  42883  ioontr  46268  iooshift  46279  ioonct  46294  iooiinicc  46299  icomnfinre  46309  iooiinioc  46313  islptre  46376  lptioo2  46388  lptioo1  46389  limcresiooub  46397  limcresioolb  46398  limcleqr  46399  lptioo2cn  46400  lptioo1cn  46401  limclner  46406  limclr  46410  icccncfext  46642  cncfiooicclem1  46648  dvresioo  46676  dvbdfbdioolem1  46683  dvbdfbdioolem2  46684  ioodvbdlimc1lem1  46686  ioodvbdlimc1lem2  46687  ioodvbdlimc2lem  46689  itgsin0pilem1  46705  itgcoscmulx  46724  itgiccshift  46735  itgperiod  46736  itgsbtaddcnst  46737  dirkercncflem2  46859  dirkercncflem3  46860  dirkercncflem4  46861  fourierdlem16  46878  fourierdlem21  46883  fourierdlem22  46884  fourierdlem28  46890  fourierdlem48  46909  fourierdlem49  46910  fourierdlem50  46911  fourierdlem56  46917  fourierdlem57  46918  fourierdlem59  46920  fourierdlem60  46921  fourierdlem61  46922  fourierdlem65  46926  fourierdlem72  46933  fourierdlem74  46935  fourierdlem75  46936  fourierdlem76  46937  fourierdlem80  46941  fourierdlem81  46942  fourierdlem83  46944  fourierdlem84  46945  fourierdlem85  46946  fourierdlem88  46949  fourierdlem89  46950  fourierdlem90  46951  fourierdlem91  46952  fourierdlem92  46953  fourierdlem94  46955  fourierdlem95  46956  fourierdlem97  46958  fourierdlem101  46962  fourierdlem103  46964  fourierdlem104  46965  fourierdlem111  46972  fourierdlem112  46973  fourierdlem113  46974  fouriersw  46986  fouriercn  46987  ioorrnopnlem  47059  hspdifhsp  47371  hspmbllem2  47382  hspmbl  47384  iunhoiioolem  47430  smfresal  47543  smfpimbor1lem1  47553