Theorem ioossre 13360

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 13328	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	ssriv 3925	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ⊆ wss 3889  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  (,)cioo 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-ioo 13302

This theorem is referenced by:  ioosscn  13361  ioof  13400  difreicc  13437  icopnfcld  24732  ioombl1  25529  ioorcl2  25539  uniioombllem2  25550  uniioombllem3a  25551  uniioombllem3  25552  uniioombllem4  25553  uniioombllem6  25555  ismbf3d  25621  itgsplitioo  25805  ditgeq3  25817  dvmptresicc  25883  dvferm1lem  25951  dvferm2lem  25953  dvferm  25955  dvlip  25960  dvlipcn  25961  dvle  25974  dvivthlem1  25975  dvivth  25977  lhop1lem  25980  lhop1  25981  lhop2  25982  lhop  25983  dvfsumle  25988  dvfsumge  25989  dvfsumlem1  25993  dvfsumlem2  25994  dvfsumlem3  25995  dvfsumlem4  25996  dvfsumrlimge0  25997  dvfsumrlim  25998  dvfsumrlim2  25999  dvfsum2  26001  ftc1a  26004  ftc1cn  26010  ftc2  26011  itgsubstlem  26015  itgsubst  26016  itgpowd  26017  efcvx  26414  pige3ALT  26484  tanord  26502  divlogrlim  26599  logccv  26627  atantan  26887  amgmlem  26953  vmalogdivsum2  27501  2vmadivsumlem  27503  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem1  27520  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntpbnd1a  27548  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  pntibndlem2a  27553  pntibndlem2  27554  pntibndlem3  27555  pntlemd  27557  pnt  27577  padicabv  27593  cnre2csqima  34055  ftc2re  34742  fdvposlt  34743  fdvposle  34745  itgexpif  34750  circlemeth  34784  circlemethnat  34785  circlevma  34786  circlemethhgt  34787  ioosconn  35429  iccllysconn  35432  itg2gt0cn  37996  itggt0cn  38011  ftc1cnnclem  38012  ftc1cnnc  38013  ftc1anclem8  38021  ftc2nc  38023  dvreasin  38027  dvreacos  38028  areacirclem1  38029  areacirc  38034  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p5  42514  ioontr  45941  iooshift  45952  ioonct  45967  iooiinicc  45972  icomnfinre  45982  iooiinioc  45986  islptre  46049  lptioo2  46061  lptioo1  46062  limcresiooub  46070  limcresioolb  46071  limcleqr  46072  lptioo2cn  46073  lptioo1cn  46074  limclner  46079  limclr  46083  icccncfext  46315  cncfiooicclem1  46321  dvresioo  46349  dvbdfbdioolem1  46356  dvbdfbdioolem2  46357  ioodvbdlimc1lem1  46359  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  itgsin0pilem1  46378  itgcoscmulx  46397  itgiccshift  46408  itgperiod  46409  itgsbtaddcnst  46410  dirkercncflem2  46532  dirkercncflem3  46533  dirkercncflem4  46534  fourierdlem16  46551  fourierdlem21  46556  fourierdlem22  46557  fourierdlem28  46563  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem50  46584  fourierdlem56  46590  fourierdlem57  46591  fourierdlem59  46593  fourierdlem60  46594  fourierdlem61  46595  fourierdlem65  46599  fourierdlem72  46606  fourierdlem74  46608  fourierdlem75  46609  fourierdlem76  46610  fourierdlem80  46614  fourierdlem81  46615  fourierdlem83  46617  fourierdlem84  46618  fourierdlem85  46619  fourierdlem88  46622  fourierdlem89  46623  fourierdlem90  46624  fourierdlem91  46625  fourierdlem92  46626  fourierdlem94  46628  fourierdlem95  46629  fourierdlem97  46631  fourierdlem101  46635  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem111  46645  fourierdlem112  46646  fourierdlem113  46647  fouriersw  46659  fouriercn  46660  ioorrnopnlem  46732  hspdifhsp  47044  hspmbllem2  47055  hspmbl  47057  iunhoiioolem  47103  smfresal  47216  smfpimbor1lem1  47226